Divisão e conquista. Há divisão quando o algoritmo tem pelo menos 2 chamadas recursivas no corpo

Transcrição

1 Divisão e conquista Divisão: resolver recursivamente problemas mais pequenos (até caso base) Conquista: solução do problema original é formada com as soluções dos subproblemas á divisão quando o algoritmo tem pelo menos 2 chamadas recursivas no corpo Subproblemas devem ser disjuntos Algoritmos já vistos: ravessia de árvores em tempo linear: processar árvore esquerda, visitar nó, processar árvore direita Ordenações: mergesort: ordenar 2 subsequências e juntá-las quicksort: ordenar elementos menores e maiores que pivot, concatenar

2 Eficiência de divisão e conquista eorema: A solução da equação (n) = a (n/b) + Θ(n k ), com a 1, e b > 1 é (n) = O(n log b a ) O(n k logn) O(n k ) a > b k a = b k a < b k Prova: Supondo: n = b m -> n/b = b m-1 n k = b mk = (b k ) m (1) = 1 e ignorando a constante em Θ(n k )

3 Eficiência (b m ) = a(b m 1 ) + (b k ) m (b m ) a m = (bm 1 ) + bk a m 1 a (b m 1 ) a m 1 = (bm 2 ) + b k a m 2 a m m 1 Somando: (b m ) a m = 1 + m b k = a i =1 i m i = 0 b k a i (b m 2 ) a m 2 = (b m 3 ) + bk a m 3 a m 2 (b 1 ) a 1 = (b0 ) + bk a 0 a 1

4 Eficiência (n) = a m m i=0 b k a i Se a > b k (n) = O(a m ) = O(a log b n ) = O(n log b a ) Se a = b k Se a < b k (n) = a m (b k / a) m 1 1 b k / a 1 (n) = O(a m log b n) = O(n log b a log b n) = (n) = O(n k log b n) = O(n k log n) = O(a m (b k / a) m ) = O((b k ) m ) = O(n k )

5 Mais casos eorema: A solução da equação (n) = a(n/b) +Θ(n k log p n), com a 1, b > 1 e p 0 é (n) = O(n log b a ) O(n k log p+1 n) O(n k log p n) a > b k a = b k a < b k eorema: k α i < 1 i =1 k i =1 Se, a solução da equação (n) = (α i n) + O(n) é (n) = O(n)

6 Problema dos pontos mais próximos Dados: lista de P pontos num plano p1=(x1,y1) p2=(x2,y2) distância [(x1-x2) 2 + (y1-y2) 2 ] 1/2 Para n pontos há n(n-1)/2 pares de distâncias por pesquisa exaustiva tem-se algoritmo O(n 2 ) Alternativa: supor pontos ordenados por coordenada x sobrecarga O(n log n) Para ter algoritmo O(n log n) é preciso calcular d c com esforço O(n) d e d c d r Pe Pd

7 δ = min( d e, d d ) Pontos mais próximos- divisão só é preciso calcular d c se fôr inferior a δ pontos que definem d c : têm de estar numa faixa de largura 2 δ a partir do centro d e p1 p2 O que pode fazer-se para obter d c : pesquisa exaustiva nos pontos da faixa ou ordenar pontos na faixa por coordenada y p3 p6 Žδ p4 d r p5 p7 δž

8 Cálculo de distância mínima Por método exaustivo: //só para pontos na faixa for(i=0; i< n_pontos_na_faixa; i++) for(j=1+i; j< n_pontos_na_faixa; j++) if(dist(pi,pj) < δ) δ =dist(pi,pj); endo coordenadas y ordenadas: //só para pontos na faixa; ordenados por yy for(i=0; i< n_pontos_na_faixa; i++) for(j=i+1; j< n_pontos_na_faixa; j++) if( Coordenadas de Pi e Pj diferem de mais que δ) break; //passar a Pi seguinte. else if(dist(pi,pj) < δ) δ =dist(pi,pj);

9 Usando ordenação dos yy Para o ponto p3: só os pontos p4 e p5 ficam na faixa a distância inferior a δ d e p1 p2 p3 p4 δž d r p5 p6 δž p7 Žδ

10 Pior caso á a considerar no máximo 7 pontos: pontos têm deestar em 1 de 2 rectângulos de δ por δ, na parte direita ou na parte esquerda da faixa p e1 p e2 p d1 p d2 odos os pontos em cada rectângulo δ x δ estão separados de pelo menos δ (é a distância mínima dos 2 subproblemas) p e3 ŽxŽ p e4 p d3 ŽxŽ p d4 Um dos pontos é pi, restam no máximo 7 empo para calcular d c : O(n) Fazendo ordenação dos yy em cada chamada recursiva: O(n log 2 n) Mantendo listas ordenadas por xx e yy e passando-as as chamadas recursivas: O(n log n)

11 Problema da selecção Numa lista S de n elementos, encontrar o k-ésimo (caso particular: calcular mediana k=n/2) Usando variante do quicksort -tempo médio é O(n), pior caso é O(n 2 ) Como se faz: escolher pivot v, dividir elementos em 2 conjuntos S1 e S2 comparar k com S1 e S2, descer recursivamente Ponto crítico: escolha do pivot típico no quicksort: usar mediana de 3 elementos Mesmo princípio aplica-se aqui a 2 níveis para diminuir número de comparações: faz-se a mediana de uma amostra das medianas Selecção do pivot: pôr n elementos em n/5 grupos de 5 elementos fazer mediana de cada grupo, fica lista M de medianas fazer a mediana de M

12 Eficiência da partição Selecção do pivot com mediana de medianas de 5: subproblemas são no máximo 70% do problema original n=45 Medianas L L v S L S L S S

13 Mediana de medianas de 5 Com n = 45, há 9 grupos de 5 elementos, e 9 medianas 4 medianas inferiores ao pivot (S), 4 medianas são superiores ao pivot (L) elementos : maiores que as medianas grandes elementos : menores que as medianas pequenas á 10 elementos de tipo, e 10 elementos de tipo 14 elementos de tipo L ou são maiores que v 14 elementos de tipo S ou são menores que v Então a chamada recursiva tem no máximo = 30 elementos Em geral, para n da forma 10k+5: k elementos de tipo L, k elementos de tipo S 2k+2 elementos de tipo, 2k+2 elementos de tipo -> 3k+2 elementos maiores que v, 3k+2 elementos menores que v Chamada recursiva é no máximo sobre 7k+2 < 0.7n elementos

14 empo de cálculo do pivot 2 passos: medianas de 5 e mediana das medianas Mediana de 5: tempo constante; faz-se n/5 vezes, O(n) Mediana do grupo de n/5 elementos: ordenar grupo e dar elemento do meio: leva O(n/5 log(n/5))=o(nlogn) chamar algoritmo de selecção recursivamentenos n/5 elementos Algoritmo consiste de 2 chamadas recursivas de peso 0.7 n e 0.2 n, mais tempo linear. Como < 1, a sua eficiência é O(n) Ainda por divisão e conquista: pode obter-se redução no número de comparações efectuadas pelo algoritmo de selecção tomar um subconjunto da sequência dada, usá-lo como amostra para resolver o problema encontrar os elementos v1=ks/n- e v2=ks/n/ elemento de ordem k em S estará provavelmente entre v1 e v2- problema de selecção fica reduzido a 2 elementos

15 Aritmética Multiplicação de inteiros algoritmo manual: O(n 2 ) pois cada dígito do 1º número é multiplicado por cada um dos do 2º Pode melhorar mas Ex: 2 números de 8 bits,x e y, cada um dividido em 2 números de 4 dígitos xy= x l y l (x l y r + x r y l ) x r y r 4 multiplicações, sobre números com metade do tamanho (n/2 dígitos) em-se (n) = 4 (n/2) + O(n) ou seja (n) = O(n 2 ) -> não melhora x l y r + x r y l = (x l -x r ) ( y r - y l )+ x r y r + x l y l (n) = 3 (n/2) + O(n) (n) = O(n log 2 3 ) = O(n 1.59 ) só 3 multiplicações Caso base: números de 1 dígito (ou de acordo com a máquina)

16 Multiplicação de matrizes C = AB A, B, C matrizes nxn Algoritmo O(n 3 ): Cij é produto interno da linha i de A com a coluna j deb Decomposição: cada matriz em 4 quadrantes Cada quadrante em C resulta da soma de 2 produtos envolvendo cada um 1 quadrante de A e 1 quadrante de B Mas... (n) = 8 (n/2) + O(n 2 ) (n) = O(n 3 ) não há ganho! Rearranjando as operações: M1= (A12 - A22) (B21 + B22) M2 = (A11+A22) (B11+B22) M3= (A11 - A21) (B11 + B12) M4 = (A11 + A12) B22 M5 = A11 (B12 - B22) M6 = A22 (B21 - B11) M7 = (A21 + A22) B11 C11 = M1 + M2 - M4 + M6 C21 = M6 + M7 C12 = M4 + M5 C22 = M2 - M3 + M5 - M7 (n) = 7 (n/2) + O(n 2 ) (n) = O(n log 2 7 ) = O(n 2.81 )