Projeto de Algoritmos por Divisão e Conquista
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1 Projeto de Algoritmos por Divisão e Conquista Profa. Sheila Morais de Almeida DAINF-UTFPR-PG junho Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Divisão e Conquista junho / 70
2 Este material é preparado usando como referência o texto do seguinte livro. Udi Manber. Introduction to Algorithms: a creative approach., 1st ed., Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Divisão e Conquista junho / 70
3 Problema do Skyline Problema Dadas as coordenadas de um conjunto de prédios, determinar qual é a silhueta da cidade. Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Divisão e Conquista junho / 70
4 Problema do Skyline Entrada: (1, 11, 5); (2, 6, 7); (3, 13, 9); (12, 7, 16); (14, 3, 25); (19, 18, 22); (23, 13, 29); (24, 4, 28) Saída: (1, 11, 3, 13, 9, 0, 12, 7, 16, 3, 19, 18, 22, 3, 23, 13, 29, 0) Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Divisão e Conquista junho / 70
5 Problema do Skyline Aula passada: projeto de algoritmos por indução. Se a entrada é um único prédio (x, y, z), o skyline são as próprias coordenadas do prédio: (x, y, z, 0). Suponha que já temos um skyline de n prédios e recebemos mais um. Como incluí-lo no skyline? Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Divisão e Conquista junho / 70
6 Problema do Skyline novo prédio: (5, 9, 26) skyline: (1, 11, 3, 13, 9, 0, 12, 7, 16, 3, 19, 18, 22, 3, 23, 13, 29, 0) Como resolver? Nada se altera até a coordenada inicial do novo prédio! Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Divisão e Conquista junho / 70
7 Problema do Skyline novo prédio: (5, 9, 26) skyline: (1, 11, 3, 13, 9, 0, 12, 7, 16, 3, 19, 18, 22, 3, 23, 13, 29, 0) percorremos as coordenadas do skyline da esquerda para a direita ignorando as alturas enquanto o valor da coordenada for menor que a do início do novo prédio Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Divisão e Conquista junho / 70
8 Problema do Skyline novo prédio: (5, 9, 26) skyline: (1, 11, 3, 13, 9, 0, 12, 7, 16, 3, 19, 18, 22, 3, 23, 13, 29, 0) Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Divisão e Conquista junho / 70
9 Problema do Skyline novo prédio: (5, 9, 26) skyline: (1, 11, 3, 13, 9, 0, 12, 7, 16, 3, 19, 18, 22, 3, 23, 13, 29, 0) Avaliamos o intervalo que termina na coordenada selecionada. Nesse intervalo é o começo do novo prédio. Se a altura é maior que a do novo prédio, olhar o próximo intervalo. Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Divisão e Conquista junho / 70
10 Problema do Skyline novo prédio: (5, 9, 26) skyline: (1, 11, 3, 13, 9, 0, 12, 7, 16, 3, 19, 18, 22, 3, 23, 13, 29, 0) Se a altura (0) é menor que a do novo prédio (9), vericar se o ponto nal do intervalo (12) é menor que o ponto nal do prédio (26). Se sim, substituir a altura do intervalo pela do prédio (9). Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Divisão e Conquista junho / 70
11 Problema do Skyline novo prédio: (5, 9, 26) skyline: (1, 11, 3, 13, 9, 9, 12, 7, 16, 3, 19, 18, 22, 3, 23, 13, 29, 0) Se a altura (0) é menor que a do novo prédio (9), vericar se o ponto nal do intervalo (12) é menor que o ponto nal do prédio (26). Se sim, substituir a altura do intervalo pela do prédio (9). Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Divisão e Conquista junho / 70
12 Problema do Skyline novo prédio: (5, 9, 26) skyline: (1, 11, 3, 13, 9, 9, 12, 7, 16, 3, 19, 18, 22, 3, 23, 13, 29, 0) Se a altura anterior no skyline é igual à do intervalo atual, apagar a coordenada incial do intervalo e a altura atual. Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Divisão e Conquista junho / 70
13 Problema do Skyline novo prédio: (5, 9, 26) skyline: (1, 11, 3, 13, 9, 9, 12, 7, 16, 3, 19, 18, 22, 3, 23, 13, 29, 0) Avaliar o próximo intervalo. Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Divisão e Conquista junho / 70
14 Problema do Skyline novo prédio: (5, 9, 26) skyline: (1, 11, 3, 13, 9, 9, 12, 7, 16, 3, 19, 18, 22, 3, 23, 13, 29, 0) Se a altura (7) é menor que a do novo prédio (9), vericar se o ponto nal do intervalo (16) é menor que o ponto nal do prédio (26). Se sim, substituir a altura do intervalo pela do prédio (9). Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Divisão e Conquista junho / 70
15 Problema do Skyline novo prédio: (5, 9, 26) skyline: (1, 11, 3, 13, 9, 9, 12, 9, 16, 3, 19, 18, 22, 3, 23, 13, 29, 0) Se a altura (7) é menor que a do novo prédio (9), vericar se o ponto nal do intervalo (16) é menor que o ponto nal do prédio (26). Se sim, substituir a altura do intervalo pela do prédio (9). Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Divisão e Conquista junho / 70
16 Problema do Skyline novo prédio: (5, 9, 26) skyline: (1, 11, 3, 13, 9, 9, 12, 9, 16, 3, 19, 18, 22, 3, 23, 13, 29, 0) Se a altura anterior no skyline é igual à do intervalo atual, apagar a coordenada incial do intervalo e a altura atual. Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Divisão e Conquista junho / 70
17 Problema do Skyline novo prédio: (5, 9, 26) skyline: (1, 11, 3, 13, 9, 9, 16, 3, 19, 18, 22, 3, 23, 13, 29, 0) Se a altura anterior no skyline é igual à do intervalo atual, apagar a coordenada incial do intervalo e a altura atual. Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Divisão e Conquista junho / 70
18 Problema do Skyline novo prédio: (5, 9, 26) skyline: (1, 11, 3, 13, 9, 9, 16, 3, 19, 18, 22, 3, 23, 13, 29, 0) Vericar o próximo intervalo. Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Divisão e Conquista junho / 70
19 Problema do Skyline novo prédio: (5, 9, 26) skyline: (1, 11, 3, 13, 9, 9, 16, 3, 19, 18, 22, 3, 23, 13, 29, 0) Vericar o próximo intervalo. Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Divisão e Conquista junho / 70
20 Problema do Skyline novo prédio: (5, 9, 26) skyline: (1, 11, 3, 13, 9, 9, 16, 3, 19, 18, 22, 3, 23, 13, 29, 0) Se a altura (3) é menor que a do novo prédio (9), vericar se o ponto nal do intervalo (19) é menor que o ponto nal do prédio (26). Se sim, substituir a altura do intervalo pela do prédio (9). Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Divisão e Conquista junho / 70
21 Problema do Skyline novo prédio: (5, 9, 26) skyline: (1, 11, 3, 13, 9, 9, 16, 9, 19, 18, 22, 3, 23, 13, 29, 0) Se a altura (3) é menor que a do novo prédio (9), vericar se o ponto nal do intervalo (19) é menor que o ponto nal do prédio (26). Se sim, substituir a altura do intervalo pela do prédio (9). Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Divisão e Conquista junho / 70
22 Problema do Skyline novo prédio: (5, 9, 26) skyline: (1, 11, 3, 13, 9, 9, 16, 9, 19, 18, 22, 3, 23, 13, 29, 0) Se a altura anterior no skyline é igual à do intervalo atual, apagar a coordenada incial do intervalo e a altura atual. Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Divisão e Conquista junho / 70
23 Problema do Skyline novo prédio: (5, 9, 26) skyline: (1, 11, 3, 13, 9, 9, 19, 18, 22, 3, 23, 13, 29, 0) Se a altura anterior no skyline é igual à do intervalo atual, apagar a coordenada incial do intervalo e a altura atual. Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Divisão e Conquista junho / 70
24 Problema do Skyline novo prédio: (5, 9, 26) skyline: (1, 11, 3, 13, 9, 9, 19, 18, 22, 3, 23, 13, 29, 0) Vericar o próximo intervalo. Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Divisão e Conquista junho / 70
25 Problema do Skyline novo prédio: (5, 9, 26) skyline: (1, 11, 3, 13, 9, 9, 19, 18, 22, 3, 23, 13, 29, 0) Vericar o próximo intervalo. Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Divisão e Conquista junho / 70
26 Problema do Skyline novo prédio: (5, 9, 26) skyline: (1, 11, 3, 13, 9, 9, 19, 18, 22, 3, 23, 13, 29, 0) Se a altura no intervalo atual (18) é maior que a do novo prédio (9) e o ponto nal do intervalo (22) é menor que a coordenada nal do novo prédio (26), nada se altera. Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Divisão e Conquista junho / 70
27 Problema do Skyline novo prédio: (5, 9, 26) skyline: (1, 11, 3, 13, 9, 9, 19, 18, 22, 3, 23, 13, 29, 0) Se a altura anterior no skyline é igual à do intervalo atual, apagar a coordenada incial do intervalo e a altura atual. Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Divisão e Conquista junho / 70
28 Problema do Skyline novo prédio: (5, 9, 26) skyline: (1, 11, 3, 13, 9, 9, 19, 18, 22, 3, 23, 13, 29, 0) Vericar o próximo intervalo Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Divisão e Conquista junho / 70
29 Problema do Skyline novo prédio: (5, 9, 26) skyline: (1, 11, 3, 13, 9, 9, 19, 18, 22, 3, 23, 13, 29, 0) Vericar o próximo intervalo Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Divisão e Conquista junho / 70
30 Problema do Skyline novo prédio: (5, 9, 26) skyline: (1, 11, 3, 13, 9, 9, 19, 18, 22, 3, 23, 13, 29, 0) Se a altura (3) é menor que a do novo prédio (9), vericar se o ponto nal do intervalo (23) é menor que o ponto nal do prédio (26). Se sim, substituir a altura do intervalo pela do prédio (9). Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Divisão e Conquista junho / 70
31 Problema do Skyline novo prédio: (5, 9, 26) skyline: (1, 11, 3, 13, 9, 9, 19, 18, 22, 9, 23, 13, 29, 0) Se a altura (3) é menor que a do novo prédio (9), vericar se o ponto nal do intervalo (19) é menor que o ponto nal do prédio (26). Se sim, substituir a altura do intervalo pela do prédio (9). Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Divisão e Conquista junho / 70
32 Problema do Skyline novo prédio: (5, 9, 26) skyline: (1, 11, 3, 13, 9, 9, 19, 18, 22, 9, 23, 13, 29, 0) Se a altura anterior no skyline é igual à do intervalo atual, apagar a coordenada incial do intervalo e a altura atual. Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Divisão e Conquista junho / 70
33 Problema do Skyline novo prédio: (5, 9, 26) skyline: (1, 11, 3, 13, 9, 9, 19, 18, 22, 9, 23, 13, 29, 0) Vericar o próximo intervalo. Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Divisão e Conquista junho / 70
34 Problema do Skyline novo prédio: (5, 9, 26) skyline: (1, 11, 3, 13, 9, 9, 19, 18, 22, 9, 23, 13, 29, 0) Vericar o próximo intervalo. Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Divisão e Conquista junho / 70
35 Problema do Skyline novo prédio: (5, 9, 26) skyline: (1, 11, 3, 13, 9, 9, 19, 18, 22, 9, 23, 13, 29, 0) Se a altura (13) é maior que a do novo prédio (9) e o ponto nal do intervalo (29) é maior que o ponto nal do prédio (26), terminou. Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Divisão e Conquista junho / 70
36 Problema do Skyline Observe que o algoritmo indutivo avalia cada intervalo no máximo duas vezes (a segunda é para vericar se a altura do intervalo anterior é igual ao do atual.) A complexidade do algoritmo que inclui um novo prédio é O(n). Mas esse algoritmo se repete para incluir cada um dos prédios. Na primeira vez, avalia zero prédios, depois 1, depois 2, depois 3... Para incluir o n-ésimo prédio, avalia n 1 prédios (considerando o pior caso). Então a complexidade para resolver o Problema do Skyline com nosso algoritmo projetado por indução é n 1 i=0 i O(n2 ). Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Divisão e Conquista junho / 70
37 Divisão e Conquista Divisão e Conquista é uma técnica de projeto de algoritmos que consiste em dividir o problema original em subproblemas, resolver esses subproblemas e combinar essas soluções para obter a solução do problema original. Dica: Normalmente, os resultados são melhores se você divide o problema original em subproblemas de taamanhos parecidos (iguais, se possível). Exemplo de algoritmo de Divisão e Conquista: MergeSort ou ordenação por intercalação. Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Divisão e Conquista junho / 70
38 Divisão e Conquista: MergeSort Você se lembra de como funciona o MergeSort? Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Divisão e Conquista junho / 70
39 Divisão e Conquista: MergeSort Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Divisão e Conquista junho / 70
40 Divisão e Conquista: MergeSort Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Divisão e Conquista junho / 70
41 Divisão e Conquista: MergeSort Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Divisão e Conquista junho / 70
42 Divisão e Conquista: MergeSort Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Divisão e Conquista junho / 70
43 Divisão e Conquista: MergeSort Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Divisão e Conquista junho / 70
44 Divisão e Conquista: MergeSort Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Divisão e Conquista junho / 70
45 Divisão e Conquista: MergeSort Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Divisão e Conquista junho / 70
46 Divisão e Conquista: MergeSort Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Divisão e Conquista junho / 70
47 Divisão e Conquista: MergeSort Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Divisão e Conquista junho / 70
48 Divisão e Conquista: MergeSort Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Divisão e Conquista junho / 70
49 Divisão e Conquista: MergeSort Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Divisão e Conquista junho / 70
50 Divisão e Conquista: MergeSort Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Divisão e Conquista junho / 70
51 Divisão e Conquista: MergeSort Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Divisão e Conquista junho / 70
52 Divisão e Conquista: MergeSort Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Divisão e Conquista junho / 70
53 Divisão e Conquista: MergeSort Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Divisão e Conquista junho / 70
54 Divisão e Conquista: MergeSort Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Divisão e Conquista junho / 70
55 Divisão e Conquista: MergeSort Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Divisão e Conquista junho / 70
56 Divisão e Conquista: MergeSort Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Divisão e Conquista junho / 70
57 Divisão e Conquista: MergeSort Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Divisão e Conquista junho / 70
58 Divisão e Conquista: MergeSort Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Divisão e Conquista junho / 70
59 Divisão e Conquista: MergeSort Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Divisão e Conquista junho / 70
60 Divisão e Conquista: MergeSort Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Divisão e Conquista junho / 70
61 Divisão e Conquista: MergeSort Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Divisão e Conquista junho / 70
62 Divisão e Conquista: MergeSort Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Divisão e Conquista junho / 70
63 Divisão e Conquista: MergeSort Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Divisão e Conquista junho / 70
64 Divisão e Conquista: MergeSort Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Divisão e Conquista junho / 70
65 Divisão e Conquista: MergeSort Qual a complexidade do MergeSort? Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Divisão e Conquista junho / 70
66 Divisão e Conquista: MergeSort Qual a complexidade do MergeSort? O(n log n) Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Divisão e Conquista junho / 70
67 Divisão e Conquista: MergeSort Qual a complexidade do MergeSort? O(n log n) O Problema do Skyline é O(n 2 ). Será que conseguimos fazer um algoritmo melhor para o Problema do Skyline usando Divisão e Conquista? Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Divisão e Conquista junho / 70
68 Divisão e Conquista: Problema do Skyline Ideia: Dividir o conjunto de prédios em dois. Construir o Skyline de cada um dos conjuntos. Unir os dois Skylines para construir a solução do problema original. Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Divisão e Conquista junho / 70
69 Divisão e Conquista: Problema do Skyline Problema: Dadas as coordenadas de dois Skylines, como construir um único Skyline? Exemplo: S 1 = (1, 11, 3, 13, 9, 9, 19, 18, 22, 9, 23, 13, 29, 0) S 2 = (5, 8, 15, 4, 21, 20, 25, 0) Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Divisão e Conquista junho / 70
70 Divisão e Conquista: Problema do Skyline Problema: Dadas as coordenadas de dois Skylines, como construir um único Skyline? Exemplo: S 1 = (1, 11, 3, 13, 9, 9, 19, 18, 22, 9, 23, 13, 29, 0) S 2 = (5, 8, 15, 4, 21, 20, 25, 0) Valendo 1 ponto no último teste: apresente até o nal dessa aula um pseudocódigo de complexidade linear O( S 1 + S 2 ) para resolver esse problema. Faça a análise de complexidade do seu pseudocódigo para garantir que ele é linear. Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Divisão e Conquista junho / 70
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