Modelos matemáticos para resolução de problemas de afectação de operações a recursos produtivos

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1 Métodos de Análise de Sistemas Produtivos Modelos matemáticos para resolução de problemas de afectação de operações a recursos produtivos 17 de Maio de 2002 Alunos: Álvaro Magalhães Bernardo Ribeiro João Bessa José Lúcio Teresa Marques Docentes: Fernando Manuel Ferreira Lobo Pereira Gil Manuel Magalhães de Andrade Gonçalves

2 Índice: Introdução 2 O Grafo 3 Algoritmo de Dijkstra 4 Dijkstra com variável de ocupação da rede 8 Método k shortest path 10 Algoritmo A star Masp grupo 1 1

3 Introdução Este documento pretende enumerar vários modelos matemáticos para resolução de problemas de afectação de operações a recursos produtivos. Os diversos métodos existentes apoiam-se nos algoritmos de caminho mínimo, em especial o algoritmo de dijkstra. Cada método é apresentado pretende demostrar o funcionamento do algoritmo para um dos grafos construídos para o enunciado. Deste documento resultará a escolha de um modelo a seguir de acordo com as vantagens e desvantagens de cada modelo Masp grupo 1 2

4 O Grafo De seguida é apresentado o grafo escolhido como principal e que foi utilizado para demonstração dos vários métodos e para o qual foram calculados os algoritmos matemáticos particulares. Legenda: Tempo, Custo Masp grupo 1 3

5 Algoritmo de Dijkstra Forma Tabelar de resolver o nosso problema especifico: Letra representa recursos e algarismos representam operação; Dentro de ( ) está atribuição a cada recurso de um valor, para que possa ser identificado como um nó; um mesmo recurso pode então estar representado por mais de um nó diferente; I (0) A1 (1) F1 (2) E1 (3) C2 (4) B2 (5) D2 (6) D3 (7) C3 (8) B3 (9) F4 (10) A4 (11) F (12) E E Valor mínimo até ao nó respectivo (cada operação tem apenas um valor mínimo) Valor mínimo dos nós associados às últimas operações possíveis Valor mínimo óptimo final, calculado através do mínimo dos valores a Valor que não o mínimo >>> valor mínimo A solução deste problema é a seguinte sequência: E1 >> D2 >> C3 Esta solução apenas considera um valor fixo para cada arco, considerando para tal que tanto a variável Custo como Tempo têm um peso unitário; Em seguida demonstra-se a resolução do mesmo problema mas considerando o valor de cada ramo em função das duas variáveis já referidas; W = T*x + C*y I (0) A1 (1) F1 (2) E1 (3) C2 (4) B2 (5) D2 (6) 5x + 5y 4x + 3y 3x + 2y 10x + 11y 7x + 8y 6x + 6y E 8x + 5y 6x + 5y 8<10 6=6 5<11 5< Masp grupo 1 4

6 D3 (7) C3 (8) B3 (9) F4 (10) A4 (11) F (12) 11x + 7y 17x + 14y 10x + 7y 13x + 9y 16x + 10y 11x + 7y 11x + 8y 18x + 17y 16x + 10y 11x + 7y 15x + 8y 11<17 10<11 13<18 15<16 11<13<15 7<14 7<8 9<17 8<10 7<8<9 Resolvendo então o nosso problema em função dos pesos das variáveis Tempo e Custo, verifica-se que a solução do problema se mantém a mesma independente dos referidos parâmetros; Em seguida passa-se apresentar um modelo matemático para este problema, em que primeiramente temos uma solução orientada ao nosso problema especifico, e em seguida em função disso se tenta retirar um modelo generalizado que sirva para qualquer outro problema deste tipo; ESPECIFICAÇÕES: W = X*T + Y*C em que... W >> Peso total do arco; T >> Tempo de operação; C >> Custo de operação; X,Y >> pesos das variáveis que estão em jogo; Wi [j] >> Peso do arco com origem em i e destino em j; i,j e [0,12] Ek >> valor mínimo até ao nó k; k e [0,12] E [0] = 0 >> Ponto de partida; E [12] >> solução óptima a encontrar; Pode existir mais de que um nó associado a uma mesmo recurso, por isso convém ter presente quais os nós respectivos para cada recurso, para que depois de encontrada a solução óptima se poder fazer o escalonamento em Masp grupo 1 5

7 termos temporais dos diversos recursos; a identificação através dos nós só serve para resolução do problema, já que um recurso pode aparecer mais de que uma vez na rede, e nessa altura terá que ser tratado como se diferentes recursos se tratassem, 1ª OPERAÇÃO (1) E1 = min { E0 + W0 [1] } E2 = min { E0 + W0 [2] } E3 = min { E0 + W0 [3] } // só entra um arco em cada um destes nós por isso a solução até aqui é imediata; 2ª OPERAÇÃO (2) E4 = min { E1 + W1 [4] ; E2 + W2 [4] } E5 = min { E1 + W1 [5] } E6 = min { E2 + W2 [6] ; E3 + W3 [6] } 3ª OPERAÇÃO (3) E7 = min { E4 + W4 [7] } E8 = min { E5 + W5 [8] ; E6 + W6 [8] } E9 = min { E4 + W4 [9] ; E6 + W6 [9] } 4ª OPERAÇÃO (4) E10 = min { E7 + W7 [10] ; E5 + W5 [10] } E11 = min { E7 + W7 [11] ; E8 + W8 [11] ; E9 + W9 [11] } SOLUÇÃO FINAL: E12 = min { E8 ; E10 ; E11 } >>> solução óptima Masp grupo 1 6

8 Modelo matemático generalizado: Para todas as operações que compõem a rede calcula-se o valor mínimo (E) para todos os nós que lhe estão associados, em que o valor mínimo de cada nó é encontrado da seguinte forma: Sendo h = [0,...,r] o conjunto de nós pertencentes à rede, m o índice do nó para o qual se está a calcular o valor mínimo ( m e h ), e [n,...,t] o intervalo de índices associados aos nós precedentes, que têm arcos a entrar no nó m... Em = min { En + Wn [m] ;... ; Et + Wt [m] }, para m e [0,r-1] Tendo que para inicializar E0 = 0; E que a solução óptima é encontrada quando se encontrar o valor mínimo para Er e que é calculado da seguinte forma: Er = min { Ey ;...; Ex } conjunto de nós que têm arcos com destino ao nó r ; em que [y,...,x] e [0,...,r-1] e que define o De referir que o nó 0 e r não estão associados a recursos mas sim a marcas que representam o início e fim da rede; NOTA: A fim de se entender este raciocínio, é aconselhável ter presente um dos esquemas das redes que foram criadas; Tendo em conta que objectivo é implementar este sistema em MATLAB, é possível que este modelo tenha que ser revisto e completado a fim de se ter toda a rede representada em forma matemática Masp grupo 1 7

9 Dijkstra com variável de ocupação da rede Este método é idêntico ao método de dijktra simples para apenas um grafo. A sua aplicação para apenas um grafo é idêntica à acima mencionado tendo por isso sido decidido apenas apresentar o modelo matemático. Função objectivo: MIN N N i= 1 J= 1 q= 1 N q q [ ( c + ] ij * xij * p1_ ij) ( t ij * xij * p2_ ij) Restrições: N q 1. x ki x k= 1 rede ) N k = 1 q ik ; i=1,...,n q=1,...,n (Assegura a continuidade da 2. p1_ ij td = ; p 2 _ ij td = 1 p td > 1 p td < 1 p 1_ ij 1_ ij 1_ ij = p > p < p 2 _ ij 2 _ ij 2_ ij p p p 1_ ij 1_ ij 1_ ij = 1 p = 1 p = 0 p 2 _ ij 2 _ ij 2_ ij = 1 = 0 = 1 q 3. x ( 0,1) ki Definição de variáveis: c ij -custo de processamento (i,j) q x 1 se (i,j) encontrar-se ocupado no processamento de um produto, ij q caso contrário x = 0 ij p 1_ ij - Peso da decisão em se optar pelo peso do custo p 1 _ ij = 1 p 2_ ij - Peso da decisão em se optar pelo peso do tempo p 2 _ ij = 1 td taxa de decisão Masp grupo 1 8

10 A ideia subjacente a este modelo será a do operador definir à partida um determinado peso para o custo e para o tempo, de forma a permitir uma melhor decisão, tendo sempre em conta a ocupação das máquinas Masp grupo 1 9

11 Método k shortest path Introdução ao k shortest path Este algoritmo é uma generalização do problema de caminho mínimo em que são obtidos não um mas vários caminhos mínimos unindo um nó inicial s e um nó de destino t. O objectivo é listar k caminhos que unem dois pontos de um grafo com o menor comprimento total. A ideia essencial deste algoritmo é calcular vários caminhos mínimos partindo não do nó inicial mas do final. Dessa forma é sempre possível conhecer o valor ao ponto inicial em qualquer ponto da rede. È por isso o contrário do normal algoritmo de Dijkstra. Resolver do problema especifico usando a forma tabular: Letra representa recursos e algarismos representam operação; Dentro de ( ) está atribuição a cada recurso de um valor, para que possa ser identificado como um nó; um mesmo recurso pode então estar representado por mais de um nó diferente; Analisando o grafo e considerando a soma dos diferentes parâmetros tempo e custo, considerando-os unitários ou seja com a mesma importância para o problema, obtêm-se a seguinte tabela : F (12) A4 (11) F4 (10) B3 (9) C3 (8) D3 (7) D2 (6) B2 (5) C2 (4) E1 (3) F1 (2) A1 (1) I (0) E Valor mínimo até ao nó respectivo (cada operação tem apenas um valor mínimo) Valor mínimo óptimo final, calculado através do mínimo dos valores a mínimos Valor que não o mínimo E>>> valor mínimo Masp grupo 1 10

12 A solução deste problema é a seguinte sequência: E1 >> D2 >> C3 Em seguida demonstra-se a resolução do mesmo problema mas considerando o valor de cada ramo em função das duas variáveis já referidas; W = T*x + C*y F (12) A4 (11) F4 (10) B3 (9) C3 (8) D3 (7) D2 (6) 0x + 0y 0x + 0y 5x + 1y 5x + 3y 2x + 2y 10x + 4y E 0x + 0y 5x+ 3y 5x + 2y B2 (5) C2 (4) E1 (3) F1 (2) A1 (1) I (0) 10x + 6y 7x + 3y 8x + 5y 7x + 5y 12x + 9y 11x+ 12y 11x+ 9y 5x + 4y 11x + 5y 12x + 9y 11x + 7y 9x+ 11y 10x + 10y 17x+ 14y 15x+15y Resolvendo então o nosso problema em função dos pesos das variáveis Tempo e Custo, verifica-se que a solução do problema se mantém a mesma independente dos referidos parâmetros. No entanto vê-se que os melhores caminhos alternativos podem variar de acordo com os pesos atribuídos aos diferentes parâmetros. O grande interesse deste método é reconhecer para cada nó qual é o valor mais curto de chegada ao nó final e qual o melhor caminho para o fazer. Caminho óptimo E1 -> 13 D2 ->7 C3 -> 0 Final 18 F1-> 12 D2->7 C3->0 Final 19 A1->20 C2->9 D4->4 F5->0 Final Masp grupo 1 11

13 Grafo do caminho óptimo e caminhos totais alternativos considerando os tempos e custos com pesos iguais Poderemos ver que estes são caminhos directos mas podem ser calculadas as distâncias para caminhos não directos através da inserção de outro caminho da rede. Para o cálculo da perda de distância poder-se-á utilizar a fórmula: δ(e)= l(e) + d(head(e),t)-d(tail(e),t) em que: δ(e) : corresponde à variação no caminho total com a inclusão do novo braço e. l(e) : valor de percorrer o novo braço e d(head(e),t): distância mínima associada ao nó que separa o Início do arco e e o nó final d(tail(e),t): distância mínima associada ao nó que separa o fim do arco de e o nó final por exemplo, se quisermos não passar pelo nó C3 por alguma impossibilidade e em vez disso formos por B3 temos um acrescento ao caminho mínimo de: δ(d2->b3) = -(5+3) +7-6= Masp grupo 1 12

14 Daqui se pode concluir que alterando o percurso para incluir o nó B3 em vez de C3 gastamos mais 7 unidades de distância. De notar que se o nó a incluir já pertencer ao caminho óptimo temos que a variação terá o valor zero. Modelo Matemático Em seguida passa-se apresentar um modelo matemático para este problema: - primeiramente temos uma solução orientada ao nosso problema especifico - em seguida e em função disso tenta-se retirar um modelo generalizado que sirva para qualquer outro problema deste tipo; ESPECIFICAÇÕES: em que... W T C X,Y W = X*T + Y*C Peso total do arco; Tempo de operação; Custo de operação; pesos das variáveis que estão em jogo; Wi [j] Peso do arco com origem em i e destino em j; i,j ε [0,12] Ek Valor mínimo até ao nó k; k e [0,12] E [12] = 0 Ponto de partida; E [0] Solução óptima a encontrar; 1ª OPERAÇÃO (4) E12 = min { E11 + E10 + E8 } E12 = E11 = E10 = E8 // o nó final é único e o valor inicial será neste caso é sempre 0 // devido à forma como estamos a considerar o problema Masp grupo 1 13

15 2ª OPERAÇÃO (3) E9 = min { E11 + W9 [11] } E8 = min { E12 ; E11 + W8 [11] } E7 = min { E10 + W7 [10] ; E11 + W7 [11] } 3ª OPERAÇÃO (2) E6 = min { E9 + W6 [9] ; E8 + W6 [8] } E5 = min { E8 + W5 [8] ; E10 + W5 [10] } E4 = min { E9 + W4 [9] ; E7 + W7 [7] } 4ª OPERAÇÃO (1) E3 = min { E6 + W3 [6] } E2 = min { E6 + W2 [6] ; E4 + W2 [4] } E1 = min { E4 + W1 [4] ; E5 + W1 [5] } SOLUÇÃO FINAL: E0 = min { E1+ W0 [1] ; E2 + W0 [2]; E3 + W0 [3] } >>> solução óptima Modelo matemático generalizado: Para todas as operações que compõem a rede calcula-se o valor mínimo (E) para todos os nós que lhe estão associados, em que o valor mínimo de cada nó é encontrado da seguinte forma: Em = min { En + Wm [n] ;... ; Et + Wm [t] } para m e [0,r-1] e m anterior a n Sendo: h = [0,...,r] o conjunto de nós pertencentes à rede m, o índice do nó para o qual se está a calcular o valor mínimo ( m e h ), Masp grupo 1 14

16 [n,...,t] o intervalo de índices associados aos nós precedentes, que têm arcos a entrar no nó m... A inicialização ocorre para Er = 0; A solução óptima é encontrada quando se encontrar o valor mínimo para Er e que é calculado da seguinte forma: E0 = min { Ey ;...; Ex } em que [y,...,x] e [0,...,r-1] e que define o conjunto de nós que têm arcos com destino ao nó 0 ; De referir que o nó 0 e r não estão associados a recursos mas sim a marcas que representam o início e fim da rede; Um algoritmo de trocas englobado neste modelo foi já referido e é formulado matematicamente através de: δ (em[n])= Wm[n] + Em - En) em que: em[n] : novo braço a incluir no grafo partindo de um nó inicial m e terminando no nó final n δ(em[n]) : corresponde à variação no caminho total com a inclusão do novo braço Em Masp grupo 1 15

17 Algoritmo A star A teoria do A* é relativamente simples. Basicamente, cada nó (posição) no gráfico tem três atributos principais: f, g e h. g é o custo de chegar ao ponto. Este normalmente é o custo de mudar um nó mais o custo do nó pai. h é a distância à meta - não tem que ser a distância real (A * tem muitas aplicação - pathfinder é um). Podemos definir uma classe de heurísticas admissíveis de estratégias de procura usando a função evolução: f(n) =g(n)+h(n). f(n) representa uma estimativa do custo total do caminho desde o início, por n até ao objectivo. Também há duas listas, Aberto e Fechado. Na lista aberta estão todos os nó que não foram explorados. Por explorar, quero dizer todas as posições adjacentes que foram abertas (também passou para a lista Aberta), ou não podem ser aberto. Na lista fechada estão todos os nós que foram explorados. O algoritmo de A* pode ser definido da seguinte forma: 1. Iniciar no primeiro nó; 2. Se o nó actual é o objectivo então, deve-se parar a pesquisa; 3. Se o nó actual não é o nó final, então escolhe-se o caminho com a menor estimativa; 4. Repetir o ponto 2. Desta forma temos que calcular todos os caminhos conhecidos desde o início até ao fim. Com esta informação da estimativa vamos escolher o melhor caminho Masp grupo 1 16

18 Aplicação do método - Atribuição do valores aos nós Resultado final O caminho mínimo está demarcado por uma linha vermelha Masp grupo 1 17