O Problema do Fluxo de Custos Mínimos Terça-feira 2 de abril. O Problema do Caminho mais Curto. Fórmula. Outra Fórmula

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1 Terça-feira 2 de abril O Problema do Caminho mais Curto Algoritmo de Dijkstra para solucionar o Problema do Caminho mais Curto Distribuir: Observações de Aula 1 O Problema do Fluxo de Custos Mínimos Grafo Direcionado G = (N, A). Conjunto de nós N, conjunto de arcos A; Capacidade ui jj no arco (i,j) limite inferior 0 no arco (i,j) Custo c ij no arco (i,j) Oferta/demanada bi para o nó i. (Valores positivos indicam oferta) o custo de envio de fluxo Uma rede com custos, capacidades, ofertas e demandas de forma que o Fluxo que sai de i Fluxo que entra em i = b i 0 x ij u ij 2 Fórmula O Problema do Caminho mais Curto De maneira geral, a fórmula LP é dada como 3 Qual é o caminho mais curto de um nó-fonte (freqüentemente chamado de s) até um nó-consumidor (freqüentemente chamado de t)? Qual é o caminho mais curto do nó 1 até o nó 6? Suposições dessa aula: 1. Existe um caminho da fonte até os demais nós. 2. Todos os comprimentos de arcos são não-negativos 4 Fórmula como um programa linear De maneira geral, a fórmula para o caminho mais curto de uma fonte, s, até o consumidor, t, é dada por Outra Fórmula A fórmula LP para o caminho mais curto de uma fonte s, para todos os demais nós é dada como 5 6

2 Algumas Perguntas a Respeito do Problema do Caminho mais Curto Onde ele surge na prática? Aplicações diretas Aplicações Indiretas (e freqüentemente sutis) Como é possível solucionar o Problema do Caminho mais Curto? Algoritmo de Dijkstra Como é possível medir o desempenho de um algoritmo? medidas de tempo de CPU Garantias de Desempenho Como é possível definir que a solução é mesmo o caminho mais curto? Conexão com a dualidade LP 7 Possíveis Placares Esportivos Flumbaya é um esporte aquático pouco comum onde existem dois tipos de placares diferentes. Eles podem marcar o gymbol, que vale 7 pontos, ou pode marcar o quasher, que vale 5 pontos. Um comentarista na TV anunciou o placar final de 19 a 18 para um jogo. Isso é possível? 8 Mais informações sobre Flumbaya Mais informações sobre Flumbaya Não existe um caminho do nó 0 até o nó 18. Um placar de 18 pontos é impossível. 9 Dados: Gymbol vale n1 pontos Quasher vale n2 pontos: determinar se é possível marcar q pontos A rede: G = (N, A), onde N = {0,, q} para cada nó j = 0 to q n1, (j, j+n 1 ) ε A para cada nó j = 0 to q n2, (j, j+n 2 ) ε A Pergunta: Existe um caminho em G do nó 0 para o nó q? Fato: se n 1 e n 2 não possuem um divisor comum inteiro (diferente de 1 e 1), então o número de pontos que não pode ser atingido e (n 1-1)(n 2-1)/2. Ponto extra para quem fornecer esse fato. (Cuidado, é difícil de provar). 10 Uma aplicação indireta: Encontrando layouts ótimos para parágrafos Uma aplicação indireta: Encontrando layouts ótimos para parágrafos selecionar os pontos de quebra ótimos para cada linha. Ele possui uma sub-rotina que calcula a atratividade F(i,j) de uma linha que começa com a palavra i e termina com a palavra j-1. Como podemos usar F(i,j) para criar um problema do caminho mais curto cuja solução será a resposta para o problema do parágrafo? selecionar os pontos de quebra ótimos para cada linha. Ele possui uma sub-rotina que calcula a atratividade F(i,j) de uma linha que começa com a palavra i e termina com a palavra j-1. Como podemos usar F(i,j) para criar um problema do caminho mais curto cuja solução será a resposta para o problema do parágrafo? 11 selecionar os pontos de quebra ótimos para cada linha. Ele possui uma sub-rotina que calcula a atratividade F(i,j) de uma linha que começa com a palavra i e termina com a palavra j-1. Como podemos usar F(i,j) para criar um problema do caminho mais curto cuja solução será a resposta para o problema do parágrafo? Cada palavra corresponde a um nó e um arco (i,j) indica que a linha começa com a palavra i e termina com a palavra j-1. Um caminho de Tex para termina corresponde a um layout de parágrafo. O valor de um caminho é a feiura desse caminho. 12

3 No exemplo de parágrafo n diferentes decisões sim-não Decisão j: Sim significa iniciar a linha na palavra j Não: não inicie a linha na palavra j O custo de cada decisão sim depende apenas da próxima decisão sim f(i,j) é o custo de começar uma linha com a palavra i, assumindo-se que a palavra j começará a próxima linha. Crie o problema do caminho mais curto com os nós 1, 2,, n+1 onde o custo do arco (i,j) é f(i,j). Qual é o caminho mais curto de 1 até n+1 13 Uma Aplicação na Compressão de Dados: Aproximação de Funções Lineares por Partes ENTRADA: Uma função linear por partes n pontos a 1 = (x 1,y 1 ), a 2 = (x 2,y 2 ),..., an = (x n,y n ). x 1 x 2... x n. Objetivo: aproximar f com menos pontos c* é o custo por ponto incluído c ij = custo de aproximação da função por meio de pontos i, i+1,..., j-1 por uma única linha ligando o ponto i ao ponto j. (soma dos erros ou erros ao quadrado). 14 Aproximação de Funções Lineares por Partes Objetivo: aproximar f com menos pontos c* é o custo por ponto incluído c 36 = a 4 - b 4 + a 5 - b 5 = soma dos erros (outra métrica também está OK.) 15 Ao aproximar as funções n diferentes decisões sim-não Decisão j: Sim significa iniciar a linha na palavra j Não: não inicie a linha na palavra j O custo de cada decisão sim depende apenas da próxima decisão sim c ij é o custo de selecionar o ponto i seguido pelo ponto j e leva em consideração o custo de selecionar i e os custos de aproximação dos pontos i+1,, j-1. Crie um problema do caminho mais curto com os nós 1,,n onde o custo do arco (i,j) é c ij. Qual é o problema do caminho mais curto entre 1 e n? 16 Algoritmo de Dijkstra para o Problema do Caminho mais Curto Faça o exemplo com seu colega. Encontre os caminhos mais curtos por meio de inspeções. Exercícios: encontre o caminho mais curto do nó 1 para todos os demais nós. Registre as distâncias usando rótulos, d(i) e o predecessor imediato de cada nó, pred(i). d(1)= 0, pred(1)=0; d(2) = 2, pred(2)=1 Encontra as demais distâncias, na ordem de distâncias crescentes a partir do nó Uma Etapa-Chave nos Algoritmos de Caminho Mais Curto Deixe que d( ) denote um vetor de rótulos de distância temporal. d(j) é o comprimento de um caminho do nó de origem 1 até o nó j. Atualização do Procedimento (i) para cada (i,j) ε A(i) faça se d(j) > d(i) + c ij então d(j) : = d(i) + c ij e pred(j) : = i; Até esse ponto, o melhor caminho de 1 a j tem o comprimento de 78 18

4 Uma Etapa-Chave nos Algoritmos de Caminho Mais Curto Deixe que d( ) denote um vetor de rótulos de distância temporal. d(j) é o comprimento de um caminho do nó de origem 1 até o nó j. Atualização do Procedimento (i) para cada (i,j) ε A(i) faça se d(j) > d(i) + c ij então d(j) : = d(i) + c ij e pred(j) : = i; P(1,j) é um caminho de 1 a j de comprimento Algoritmo de Dijkstra começo d(s) : = 0 e pred(s) : = 0; d(j) : = para cada j N - {s}; LISTA : = {s}; enquanto LISTA faça começo deixe d(i) : = min {d(j) : j LISTA}; remova nó i de LIST; atualize (i) se d(j) diminui, coloque j em LIST fim fim Inicializar as distâncias. LIST = conjunto de nós temporários Selecione o nó i em LIST com um rótulo de distância mínima e então atualize (i) 20 Um Exemplo Leia os arcos fora de i e atualize d( ), pred ( ) e LIST O Resultado do Algoritmo de Dijkstra Para encontrar o caminho mais curto a partir do nó j, trace o caminho de volta do nó até a fonte. Fim Encontre o nó i em LIST com a mínima distância 21 Dijkstra fornece o caminho mais curto do nó 1 até os demais nós. Fornece a árvore de caminho mais curto. 22 Comentários sobre Tempo de Execução A solução do fio e dualidade LP algoritmo de Dijkstra é eficaz na sua forma atual. O tempo de execução cresce como n2. Pode se tornar bem mais eficaz Na prática, é executado em tempo linear com o número de arcos (ou quase isso). 23 Deixe que d(j) denote a distância do nó até a fonte. d(1) = 0 Dual: d(2) <= d(1) + 2; Máx d(t)-d(s) d(5) <= d(2) + 2; d(2) <= d(5) + 2 p.q. d(s) = 0 d(5) <= d(3) + 3; d(3) <= d(5) etc. d(j) <= d(i) + c ij

5 A solução do fio A solução do fio Imagine substituir cada arco por um fio de mesmo comprimento. Dessa forma, o arco (1,3) seria substituído por um fio de 4 polegadas de comprimento, unindo o nó 1 ao 3. Agora segure o nó 1 em uma mão e o nó 6 na outra e É possível obter o caminho mais curto do nó 1 ao nó 6? Se a resposta por sim, explique por quê. Observação : Até certo ponto, estamos maximizando a distância física do nó 1 ao nó 6. estique o fio Resumo Aplicações diretas e indiretas para o problema do caminho mais curto O algoritmo de Dijkstra encontra o caminho mais curto do nó 1 até os demais nós em ordem crescente de distância do nó fonte. A operação de gargalo identifica o rótulo de distância mínima. É possível acelerar a operação e obter um algoritmo incrivelmente eficaz. A solução do fio otimiza a LP dual assim como o problema do caminho mais curto. Algumas consideração finais O problema do caminho mais curto está sempre presente durante a otimização de redes Existe uma conexão interessante com a programação dinâmica Existem outras técnicas de solução. Veremos uma em outra aula