Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241

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Simone do Amaral
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1 Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241 Aula passada Função Distribuição Condicional Calculando Probabilidades condicionando Esperança Condicional Aula de hoje Análise de Comandos de Programação Introdução à simulação Geração de números aleatórios

2 Exemplo: X e Y v.a. contínuas Queremos calcular P[X<Y] P[ X Y ]= P [ X Y /Y = y] f Y y dy P[ X Y ]= P [ X y] f Y y dy P[ X Y ]= F X y f Y y dy

3 Esperança Condicional

4 Esperança Condicional

5 Somas Aleatórias Seja T=X 1 +X 2 + +X N, onde N é uma variável aleatória que é independente dex k e todos os X k são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas

6 Somas Aleatórias Estas variáveis aleatórias ocorrem nos seguintes casos: Tempo de execução de comandos de programação como while e repeat Tempo para transmitir uma mensagem em um canal de múltiplo acesso Como o número de parcelas (N) na soma é uma variável aleatória, iremos usar o condicionamento para cálculo de medidas de interesse

7 Somas Aleatórias: Média

8 Somas Aleatórias: Variância

9 Análise de Comandos de Programação Suponha que queiramos obter a média e variância de comandos usados em programação v.a. X representa o tempo de execução do comando v.a. N representa a probabilidade de um determinado trecho ser executado

10 Análise de Comandos de Programação Comando if B then S1 else S2 Variável X está condicionada a N onde N representa a probabilidade de execução de S i X é uma v.a. contínua condicionada a uma v.a. discreta. Podemos definir a função densidade condicional de X como: f X / N x/i = f i x, função densidade condicional de X dada a escolha S i

11 Análise de Comandos de Programação A função densidade marginal de X é: f x = X n i=1 p N i f i x Temos que E[X] pode ser obtido de: E [ X ]= n x i=1 n E [ X ]= i=1 p N i n E [ X ]= i=1 p N i f i x dx x f i x dx p N i E [ X i ]

12 Análise de Comandos de Programação No caso do comando if then else, N é uma v.a. Bernoulli, logo temos: E[X] = pe[x 1 ] + (1-p)E[X 2 ]

13 Análise de Comandos de Programação A variância é dada por E[X 2 ] E[X] 2, onde No caso do comando if then else, N é uma v.a. Bernoulli, logo temos: Temos que Var[T] = pvar[x 1 ] + (1- p)var[x 2 ] +p(1-p)(e[x 1 ]-E[X 2 ]) 2 n E [ X 2 ]= i=1 p N i E [ X i 2 ] E [ X 2 ]= pe [ X 1 2 ] 1 p E [ X 2 2 ]

14 Análise de Comandos de Comando case i of Programação 1: S1; 2: S2; end Mesmo caso do comando if then else, só que existem várias opções de escolha Variável X está condicionada a N onde N representa a probabilidade de execução de S i

15 Análise de Comandos de Programação Média: E [ X ]= i p N i E [ X i ] Variância: probabilidade de escolha de uma das opçõ Tempo médio de execução de Si Var [ X ]= i n pn i E [ X i 2 ] i n p N i E [ X i ] 2

16 Análise de Comandos de Programação Threads concorrentes N é o número de threads Xi é o tempo de execução de cada thread Estatística de ordem permite o cálculo da distribuição até que a primeira thread termine e até que a última termine

17 Simulação de Sistemas Discretos É uma técnica de modelagem que visa a representação do comportamento do sistema para obtenção de medidas de desempenho e/ou confiabilidade O sistema é representado através de eventos que ocorrem segundo uma distribuição de probabilidade

18 O Ciclo de Modelagem Sistema real Criação do Modelo aproximação Influência no sistema Solução do Modelo

19 Modelando um Sistema Abstração do sistema Simplificação necessária Representação matemática do sistema Aleatoriedade Servido r Web pedidos Taxa de chegada de pedidos CPU pedido finalizado Disco 1 Disco 2

20 Algumas Medidas de Desempenho Vazão de um recurso: número de processos servidos por unidade de tempo Utilização de um recurso: percentual do tempo que o recurso fica ocupado Número médio de processos na fila do recurso Tempo médio que cada processo fica na fila do recurso

21 Fila Genérica requisições CPU Como avaliar o desempenho desta fila? Qual o tamanho médio da fila? Simulação

22 Simulando uma Fila Genérica requisições CPU O que é uma simulação? Programa que imita comportamento do sistema Como simular este sistema? Programa deve gerar eventos de chegadas e serviço, manter estado da fila, calcular medidas de interesse

23 Simulando uma Fila Genérica requisições CPU N(t) Sistema ocioso Sistema ocupado Imitar evolução do sistema: N(t) Obter medidas de interesse: vazão, utilização, E[N], etc. t

24 Simulação Vantagens Pode lidar com modelos mais complexos Melhor representação do sistema real Desvantagens Difícil verificar a precisão dos resultados Pode ter longo tempo de execução Modelos analíticos possuem vantagens e desvantagens com relação a simulação

25 Caracterizando um Simulador Determinístico ou Estocástico Modelo contém eventos aleatórios? Estático ou Dinâmico Evolução do tempo influi no sistema? Contínuo ou Discreto Estado do sistema evolui continuamente ou em instantes discretos no tempo? Simulação Discreta de Eventos estocástica, dinâmica e discreta

26 Primeiro Passo para Simulação Como gerar números aleatórios? Gerar números pseudo-aleatórios que pareçam aleatórios

27 Gerador de Números Pseudo- Aleatórios Algoritmo que gera uma sequência de números inteiros U 1, U 2,..., que pareçam ser: Uniformemente distribuídos no intervalo [0, M-1] (para algum M fixo) Estatisticamente independentes pareçam ser: sequência deve ter propriedades relevantes de uma sequência de v.a. uniforme

28 Método Congruente Dois parâmetros a e M (números inteiros) e o valor inicial é x 0 (semente) x i =a x i 1 mod M U i = x i M x 0 determina a sequência inteira M determina quantos diferentes números podem ser gerados

29 Exemplo Supor a=3 e M=11 x i =3 x i 1 mod 11 Quantos números diferentes podemos gerar? Supor x 0 =4 (semente) x 1 =3 x 0 m o d1 1 x 2 =3 x 1 m o d1 1 = = 1 2m o d1 1 1 = = 3 m o d 1 1 3

30 Exemplo Supor a=3 e M=11 x i =3 x i 1 m o d1 1 x 0 =4 x 1 =1 x 2 =3 x 3 =9 Gerador entra em loop depois de 5 amostras E se x 0 for diferente? x 4 =5 x 5 =4 x 6 =1...

31 Propriedades do Gerador Qual o tamanho de uma sequência? Escolher a e M tal que para qualquer x 0 Sequência pareça aleatória Longo ciclo antes de repetição Cálculo seja eficiente

32 Método Congruente Linear Três parâmetros a, c e M (números inteiros) Dado x (semente) 0 x i = a x i 1 c m o d M U i = x i M diferença do outro método x 0 determina a sequência inteira Bastante utilizado

33 Exemplo Supor a = 3, M = 11, c = 2 Semente x 0 = 4 x 0 =4 x 1 =3 x 2 =0 x i = 3 x i 1 2 m o d1 1 x 1 = 3 x 0 2 m o d1 1 = = 1 4m o d x 3 =2 x 4 =8 x 5 =4 x 6 =3...

34 Geradores na Prática Linguagens de programação oferecem geradores C ou C++ (gnu) lrand48() - retorna long [0, 2 31 ] drand48() - retorna float [0, 1) Método Congruente Linear Usuário define semente (x 0 ) M =2 48 a= c =1 1 Matlab utiliza múltiplos geradores usuário pode escolher

35 Tarefa de Casa (1) Fazer um programa para gerar números aleatórios usando o método congruente linear Escolha conjuntos de parâmetros e justifique a escolha de cada conjunto Gerar gráfico com histograma para cada conjunto de parâmetros comentando como a escolha dos parâmetros influenciou nos resultados Número de ocorrências

36 Tarefa de Casa (2) Repetir o experimento usando o gerador da linguagem de programação Comparar resultados do seu gerador com os obtidos com o gerador da linguagem Entregar relatório contendo os resultados do seu experimento e o código do programa

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