CIC 111 Análise e Projeto de Algoritmos II

Transcrição

1 CIC 111 Análise e Projeto de Algoritmos II Prof. Roberto Affonso da Costa Junior Universidade Federal de Itajubá

2 AULA 19 Paths and circuits Eulerian paths Hamiltonian paths De Bruijn sequences Knight s tours

3 Paths and Circuits Nesta Aula vamos ver enfocar dois tipos de caminhos em grafo: Um caminho Euleriano é um caminho que passa por cada aresta exatamente uma vez. Um caminho hamiltoniano é um caminho que visita cada nó exatamente uma vez.

4 Paths and Circuits Embora os caminhos euleriano e hamiltoniano pareçam conceitos semelhantes à primeira vista, os problemas computacionais relacionados a eles são muito diferentes. Acontece que há uma regra simples que determina se um grafo contém um caminho euleriano, e também há um algoritmo eficiente para encontrar tal caminho, se existir. Pelo contrário, verificar a existência de um caminho hamiltoniano é um problema NP-difícil, e nenhum algoritmo eficiente é conhecido para resolver o problema.

5 Eulerian paths Um caminho Euleriano é um caminho que passa exatamente uma vez por cada aresta do grafo. Por exemplo, o grafo

6 Eulerian paths tem um caminho euleriano do nó 2 ao nó 5:

7 Eulerian paths Um circuito euleriano é um caminho euleriano que inicia e termina no mesmo nó. Por exemplo, o gráfico

8 Eulerian paths tem um circuito euleriano que inicia e termina no nó 1:

9 Existence A existência de caminhos e circuitos eulerianos depende dos graus dos nós. Primeiro, um grafo não direcionado tem um caminho euleriano exatamente quando todas as bordas pertencem ao mesmo componente conectado e o grau de cada nó é par ou o grau de exatamente dois nós é ímpar, e o grau de todos os outros nós é par.

10 Existence No primeiro caso, cada caminho euleriano é também um circuito euleriano. No segundo caso, os nós de graus ímpares são os nós inicial e final de um caminho euleriano que não é um circuito euleriano. Por exemplo, no gráfico

11 Existence os nós 1, 3 e 4 têm um grau 2, e os nós 2 e 5 têm um grau de 3. Exatamente dois nós têm um grau ímpar, portanto existe um caminho Euleriano entre os nós 2 e 5, mas o grafo não contém um circuito euleriano. Em um grafo direcionado, nos concentramos em graus de entrada e graus de saída dos nós. Um grafo direcionado contém um caminho euleriano exatamente quando todas as bordas pertencem ao mesmo componente fortemente conectado e

12 Existence em cada nó, o grau de entrada é igual ao grau de saída, ou em um nó, o grau de entrada é um maior que o grau de saída, em outro nó, o grau de saída é maior que o grau de entrada e, em todos os outros nós, o grau de entrada é igual ao grau de saída. No primeiro caso, cada caminho euleriano é também um circuito euleriano, e no segundo caso, o gráfico contém um caminho euleriano que começa no nó cujo nível é maior e termina no nó cujo grau é maior.

13 Por exemplo, no grafo Existence

14 Existence os nós 1, 3 e 4 têm o grau de entrada 1 e grau de saída 1, o nó 2 tem grau de entrada 1 e grau de saída 2, e o nó 5 tem grau de entrada 2 e grau de saída 1. Assim, o grafo contém um caminho euleriano do nó 2 ao nó 5:

15 Hierholzer s algorithm O algoritmo de Hierholzer é um método eficiente para a construção de um circuito euleriano. O algoritmo consiste em várias rodadas, cada uma das quais adiciona novas arestas ao circuito. Naturalmente, assumimos que o grafo contém um circuito euleriano; caso contrário, o algoritmo de Hierholzer não poderá encontrá-lo. Primeiro, o algoritmo constrói um circuito que contém algumas (não necessariamente todas) as arestas do grafo. Depois disso, o algoritmo estende o circuito passo a passo, adicionando sub circuitos a ele. O processo continua até que todas as arestas tenham sido adicionadas ao circuito.

16 Hierholzer s algorithm O algoritmo estende o circuito sempre encontrando um nó x que pertence ao circuito, mas possui uma aresta de saída que não está incluída no circuito. O algoritmo constrói um novo caminho a partir do nó x que contém apenas arestas que ainda não estão no circuito. Mais cedo ou mais tarde, o caminho retornará ao nó x, o que cria um sub circuito.

17 Hierholzer s algorithm Se o grafo contiver apenas um caminho Euleriano, ainda podemos usar o algoritmo de Hierholzer para encontrá-lo adicionando uma aresta extra ao grafo e removendo a aresta depois que o circuito tiver sido construído. Por exemplo, em um grafo não direcionado, adicionamos a aresta extra entre os dois nós de graus ímpares. Em seguida, veremos como o algoritmo de Hierholzer constrói um circuito euleriano para um grafo não direcionado.

18 Example Vamos considerar o seguinte gráfico:

19 Example Suponha que o algoritmo crie primeiro um circuito que começa no nó 1. Um possível circuito é :

20 Example Depois disso, o algoritmo adiciona o sub circuito ao circuito:

21 Example Finalmente, o algoritmo adiciona o sub circuito ao circuito:

22 Example Agora todas as arestas estão incluídas no circuito, então construímos com sucesso um circuito Euleriano

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24 Hamiltonian paths Um caminho Hamiltoniano é um caminho que visita cada nó do grafo exatamente uma vez. Por exemplo, o grafo

25 Hamiltonian paths contém um caminho hamiltoniano do nó 1 ao nó 3:

26 Hamiltonian paths Se um caminho hamiltoniano começa e termina no mesmo nó, ele é chamado de circuito hamiltoniano. O gráfico acima também possui um circuito hamiltoniano que começa e termina no nó 1:

27 Existence Nenhum método eficiente é conhecido para testar se um grafo contém um caminho Hamiltoniano e o problema é NP-difícil. Ainda assim, em alguns casos especiais, podemos ter certeza de que um grafo contém um caminho hamiltoniano. Uma observação simples é que, se o grafo estiver completo, ou seja, existe uma aresta entre todos os pares de nós, ele também contém um caminho hamiltoniano. Também resultados mais fortes foram alcançados:

28 Existence Teorema de Dirac: Se o grau de cada nó é pelo menos n/2, o grafo contém um caminho Hamiltoniano. Teorema de Ore: se a soma dos graus de cada par de nós não adjacentes for pelo menos n, o grafo conterá um caminho hamiltoniano. Uma propriedade comum nesses teoremas e outros resultados é que eles garantem a existência de um caminho hamiltoniano se o grafo tiver um grande número de arestas. Isso faz sentido, porque quanto mais arestas o grafo contém, mais possibilidades existem para construir um caminho Hamiltoniano.

29 Construction Como não há uma maneira eficiente de verificar se existe um caminho Hamiltoniano, está claro que também não existe um método para construir o caminho de forma eficiente, porque senão poderíamos tentar construir o caminho e ver se ele existe. Uma maneira simples de procurar por um caminho Hamiltoniano é usar um algoritmo de retrocesso que passe por todas as formas possíveis para construir o caminho. A complexidade temporal de tal algoritmo é pelo menos O(n!), Porque existem n! diferentes maneiras de escolher a ordem de n nós.

30 Construction Uma solução mais eficiente é baseada em programação dinâmica. A ideia é calcular valores de uma função possível (S, x), onde S é um subconjunto de nós e x é um dos nós. A função indica se existe um caminho hamiltoniano que visita os nós de S e termina no nó x. É possível implementar esta solução no tempo O(2 n n 2 ).

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32 De Bruijn sequences Uma sequência De Bruijn é uma cadeia que contém todas as cadeias de comprimento n exatamente uma vez como substring, para um alfabeto fixo de k caracteres. O tamanho dessa string é k n + n - 1 caracteres. Por exemplo, quando n = 3 e k = 2, um exemplo de uma sequência de De Bruijn é

33 De Bruijn sequences Os substrings desta string são todas as combinações de três bits: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110 e 111. Acontece que cada sequência de De Bruijn corresponde a um caminho euleriano em um grafo. A ideia é construir um grafo onde cada nó contenha uma cadeia de caracteres n - 1 e cada aresta adicione um caractere à string. O grafo a seguir corresponde ao cenário acima:

34 De Bruijn sequences

35 De Bruijn sequences Um caminho Euleriano neste grafo corresponde a uma cadeia que contém todas as cadeias de comprimento n. A string contém os caracteres do nó inicial e todos os caracteres das arestas. O nó inicial tem n - 1 caracteres e existem k n caracteres nas bordas, então o tamanho da string é k n + n - 1.

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37 Knight s tours O caminho de um cavalo é uma sequência de movimentos de um cavalo em um tabuleiro de xadrez n n seguindo as regras do xadrez, de modo que o cavalo visite cada quadrado exatamente uma vez. O passeio de um cavalo é chamado de excursão fechada se o cavalo finalmente retornar ao quadrado inicial e, caso contrário, é chamado de excursão aberta. Por exemplo, aqui está o caminho de um cavalo aberto em um tabuleiro de 5 5:

38 Knight s tours O caminho de um cavalo corresponde a um caminho hamiltoniano em um grafo cujos nós representam os quadrados do tabuleiro, e dois nós estão conectados com uma aresta se um cavaleiro puder se mover entre os quadrados de acordo com as regras do xadrez.

39 Knight s tours Uma maneira natural de construir um caminho de cavalo é usar o retrocesso. A pesquisa pode ser mais eficiente usando heurísticas que tentam guiar o cavalo para que um caminho completo seja encontrado rapidamente.

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41 Warnsdorf s rule A regra de Warnsdorf é uma heurística simples e eficaz para encontrar um caminho de cavalo. Usando a regra, é possível construir eficientemente um caminho mesmo em uma grande placa. A ideia é sempre mover o cavalo para que ele termine em um quadrado onde o número de movimentos possíveis seja o menor possível. Por exemplo, na seguinte situação, há cinco possíveis quadrados para os quais o cavalo pode se mover (quadrados a... e):

42 Knight s tours 1 a 2 b e c d Nesta situação, a regra de Warnsdorf move o cavalo para o quadrado, porque após esta escolha, há apenas um único movimento possível. As outras escolhas moveriam o cavalo para quadrados onde haveria três movimentos disponíveis.

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