CIC 111 Análise e Projeto de Algoritmos II

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1 CIC 111 Análise e Projeto de Algoritmos II Prof. Roberto Affonso da Costa Junior Universidade Federal de Itajubá

2 AULA 22 Combinatorics Binomial coefficients Catalan numbers Inclusion-exclusion Burnside s lemma Cayley s formula

3 Combinatorics Combinatória estuda métodos para contagem de combinações de objetos. Normalmente, o objetivo é encontrar uma maneira de contar as combinações de maneira eficiente, sem gerar cada combinação separadamente. Como exemplo, considere o problema de contar o número de maneiras de representar um inteiro n como uma soma de inteiros positivos. Por exemplo, existem 8 representações para 4:

4 Combinatorics

5 Combinatorics Um problema combinatorial pode frequentemente ser resolvido usando uma função recursiva. Neste problema, podemos definir uma função f(n) que dá o número de representações para n. Por exemplo, f(4) = 8 de acordo com o exemplo acima. Os valores da função podem ser recursivamente calculados da seguinte forma: f (n)= { 1 n=0 f (0)+ f (1)+ + f (n 1) n>0

6 Combinatorics O caso base é f(0) = 1, porque a soma vazia representa o número 0. Então, se n > 0, consideramos todas as formas de escolher o primeiro número da soma. Se o primeiro número for k, existem representações f(n k) para a parte restante da soma. Assim, calculamos a soma de todos os valores da forma f(n k) onde k < n. Os primeiros valores para a função são:

7 Combinatorics f (0)=1 f (1)=1 f (2)=2 f (3)=4 f (4)=8 Às vezes, uma fórmula recursiva pode ser substituída por uma fórmula fechada. Neste problema, f (n)=2 (n 1) que é baseado no fato de que existem n 1 possíveis posições para + ou - sinais na soma e podemos escolher qualquer subconjunto deles.

8 Binomial coefficients ( n k ) O coeficiente binomial é igual ao número de maneiras pelas quais podemos escolher um subconjunto de k elementos de um conjunto de n elementos. Por exemplo, ( 5 3) = 10, porque o conjunto {1, 2, 3, 4, 5} tem 10 subconjuntos de 3 elementos: {1,2,3},{1,2,4}, {1,2,5}, {1,3,4}, {1,3,5}, {1,4,5}, {2,3,4},{2,3,5},{2,4,5}, {3,4,5}

9 Formula 1 Os coeficientes binomiais podem ser recursivamente calculados da seguinte forma: ( n k ) = ( n 1 k 1) + ( n 1 k ) A ideia é fixar um elemento x do conjunto. Se x é incluído no subconjunto, temos que escolher elementos k - 1 de n - 1 elementos, e se x não estiver incluído no subconjunto, temos que escolher k elementos de n - 1 elementos.

10 Formula 1 Os casos base para a recursão são ( n 0) = ( n n) =1, porque existe sempre exatamente uma maneira de construir um subconjunto vazio e um subconjunto que contém todos os elementos.

11 Formula 2 Outra maneira de calcular os coeficientes binomiais é a seguinte: ( n k ) = n! k! (n k)! Existem n! permutações de n elementos. Passamos por todas as permutações e sempre incluímos os primeiros k elementos da permutação no subconjunto. Como a ordem dos elementos no subconjunto e fora do subconjunto não importa, o resultado é dividido por k! e (n - k)!

12 Properties Para coeficientes binomiais, ( n k ) = ( n ) n k, porque nós realmente dividimos um conjunto de n elementos em dois subconjuntos: o primeiro contém k elementos e o segundo contém n - k elementos. A soma dos coeficientes binomiais é ( n 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n,

13 Properties A razão para o nome "coeficiente binomial" pode ser visto quando o binômio (a + b) é elevado à enésima potência: (a+b) n =( n 0) an b 0 +( 1) n an 1 b 1 + +( n 1) a1 b n 1 +( n n) a0 b n. Os coeficientes binomiais também aparecem no triângulo de Pascal, onde cada valor é igual à soma de dois valores acima: n

14 Boxes and balls "Caixas e bolas" é um modelo útil, onde contamos as formas de colocar k bolas em n caixas. Vamos considerar três cenários: Cenário 1: cada caixa pode conter no máximo uma bola. Por exemplo, quando n = 5 e k = 2, existem 10 soluções:

15 Boxes and balls Neste cenário, a resposta é diretamente o coeficiente binomial. ( n k ) Cenário 2: Uma caixa pode conter várias bolas. Por exemplo, quando n = 5 e k = 2, existem 15 soluções:

16 Boxes and balls O processo de colocar as bolas nas caixas pode ser representado como uma string que consiste nos símbolos "o" e " ". Inicialmente, assuma que estamos na caixa mais à esquerda. O símbolo "o" significa que colocamos uma bola na caixa atual e o símbolo " " significa que passamos para a próxima caixa à direita.

17 Boxes and balls Usando essa notação, cada solução é uma string que contém k vezes o símbolo "o" e n - 1 vezes o símbolo " ". Por exemplo, a solução superior direita na imagem anterior para a cadeia de caracteres " o o ". Assim, usando a fórmula do cenário 2, o número de soluções é ( n+k 1 k ).

18 Boxes and balls Cenário 3: Cada caixa pode conter no máximo uma bola e, além disso, não há dois caixas adjacentes podem conter uma bola. Por exemplo, quando n = 5 e k = 2, são 6 soluções:

19 Boxes and balls Neste cenário, podemos supor que k bolas são inicialmente colocadas em caixas e há uma caixa vazia entre cada duas caixas adjacentes. A tarefa restante é escolher as posições para as caixas vazias restantes. Existem n - 2k + 1 caixas e k + 1 as posiciona. Assim, usando a fórmula do cenário 2, o número de soluções é ( n k+1 n 2 k+1).

20 Multinomial coefficients O coeficiente multinomial ( n k 1, k 2,, k m ) = n! k 1! k 2! k m!, é igual ao número de maneiras pelas quais podemos dividir n elementos em subconjuntos de tamanhos k 1, k 2,, k m, onde k 1 + k k m = n. Os coeficientes multinomiais podem ser vistos como uma generalização dos coeficientes binomiais; se m = 2, a fórmula acima corresponde à fórmula do coeficiente binomial.

21 Catalan numbers O número catalão C n é igual ao número de expressões de parênteses válidas que consistem em n parênteses à esquerda e n parênteses à direita. Por exemplo, C 3 = 5, porque podemos construir as seguintes expressões com parênteses usando três parênteses esquerdo e direito: ()()() (())() ()(()) ((())) (()())

22 Parenthesis expressions O que é exatamente uma expressão parêntese válida? As regras a seguir definem precisamente todas as expressões de parênteses válidas: Uma expressão de parênteses vazia é válida. Se uma expressão A for válida, a expressão (A) também será válida. Se as expressões A e B são válidas, então também a expressão AB é válida.

23 Parenthesis expressions Outra maneira de caracterizar expressões com parênteses válidas é que, se escolhermos qualquer prefixo de tal expressão, ela deve conter pelo menos tantos parênteses esquerdos quanto parênteses direitos. Além disso, a expressão completa deve conter um número igual de parênteses esquerdo e direito.

24 Formula 1 Números catalães podem ser calculados usando a fórmula n 1 C n = i=0 C i C n i 1. A soma percorre as maneiras de dividir a expressão em duas partes, de modo que ambas as partes sejam expressões válidas e a primeira parte seja a mais curta possível, mas não vazia. Para qualquer i, a primeira parte contém pares de parênteses i + 1 e o número de expressões é o produto dos seguintes valores:

25 Formula 1 C i : é o número de maneiras de construir uma expressão usando os parênteses da primeira parte, sem contar os parênteses mais externos; C n-i-1 : o número de maneiras de construir uma expressão usando os parênteses da segunda parte O caso base é C 0 = 1, porque podemos construir uma expressão parêntese vazia usando pares zero de parênteses.

26 Formula 2 Os números catalães também podem ser calculados usando coeficientes binomiais: C n = 1 n+1 ( 2n A fórmula pode ser explicada da seguinte maneira: ( 2n ) n Há um total de maneiras de construir uma expressão parêntese (não necessariamente válida) que contém n parênteses à esquerda e n parênteses à direita. Vamos calcular o número de expressões que não são válidas. n )

27 Formula 2 Se uma expressão parêntese não for válida, ela deverá conter um prefixo em que o número de parênteses direito excede o número de parênteses esquerdos. A ideia é inverter cada parêntese que pertence a esse prefixo. Por exemplo, a expressão ())() ( contém um prefixo ()) e, após reverter o prefixo, a expressão se torna )((()(.

28 Counting trees Os números catalães também estão relacionados às árvores: existem árvores binárias C n de n nós; existem árvores enraizadas em C n - 1 de n nós. Por exemplo, para C 3 = 5, as árvores binárias são

29 Counting trees e as árvores com raízes são

30 Inclusion-exclusion A inclusão-exclusão é uma técnica que pode ser usada para contar o tamanho de uma união de conjuntos quando os tamanhos das interseções são conhecidos e vice-versa. Um exemplo simples da técnica é a fórmula A B = A + B A B, onde A e B são conjuntos e X denota o tamanho de X. A fórmula pode ser ilustrada da seguinte forma: A A B B

31 Inclusion-exclusion Nosso objetivo é calcular o tamanho da união A B que corresponde à área da região que pertence a pelo menos um círculo. A figura mostra que podemos calcular a área de A B somando as áreas de A e B e subtraindo a área de A B. A mesma ideia pode ser aplicada quando o número de conjuntos é maior. Quando há três conjuntos, a fórmula de exclusão de inclusão é A B C = A + B + C A B A C B C + A B C,

32 Inclusion-exclusion e a imagem correspondente é A A B A B C B A C B C C

33 Inclusion-exclusion No caso geral, o tamanho da união X 1 X 2 pode ser calculado passando por todas as X n interseções possíveis que contêm alguns dos conjuntos X 1, X 2,, X n. Se a interseção contiver um número ímpar de conjuntos, seu tamanho será adicionado à resposta e, caso contrário, seu tamanho será subtraído da resposta. Observe que existem fórmulas semelhantes para calcular o tamanho de uma interseção dos tamanhos A B C = A + B + C A B A C B C + A B C, das uniões. Por exemplo,

34 Inclusion-exclusion Observe que existem fórmulas semelhantes para calcular o tamanho de uma interseção dos tamanhos das uniões. Por exemplo, e A B = A + B A B A B C = A + B + C A B A C B C + A B C.

35 Derangements Como exemplo, vamos contar o número de desarranjos de elementos {1, 2,, n}, isto é, permutações onde nenhum elemento permanece no seu lugar original. Por exemplo, quando n = 3, há dois distúrbios: (2, 3, 1) e (3, 1, 2). Uma abordagem para resolver o problema é usar inclusão-exclusão. Seja X k o conjunto de permutações que contêm o elemento k na posição k. Por exemplo, quando n = 3, os conjuntos são os seguintes:

36 Inclusion-exclusion X 1 ={(1,2,3),(1,3,2)} X 2 ={(1,2,3),(3,2,1)} X 3 ={(1,2,3),(2,1,3)} Usando esses conjuntos, o número de desequilíbrios é igual n! X 1 X 2 X n

37 Inclusion-exclusion então é suficiente calcular o tamanho da união. Usando a inclusão-exclusão, isso reduz o cálculo dos tamanhos das interseções, o que pode ser feito de forma eficiente. Por exemplo, quando n = 3, o tamanho de X 1 X 2 X 3 é X 1 + X 2 + X 3 X 1 X 2 X 1 X 3 X 2 X 3 + X 1 X 2 X então o número de soluções é 3! - 4 = 2.

38 Inclusion-exclusion A fórmula pode ser derivada considerando as possibilidades de como o elemento 1 muda no desarranjo. Existem n - 1 maneiras de escolher um elemento x que substitui o elemento 1. Em cada escolha, há duas opções: Opção 1: Também substituímos o elemento x pelo elemento 1. Depois disso, a tarefa restante é construir f (n)= { 0 n=1 1 n=2 um desarranjo de n-2 elementos. (n 1)(f (n 2)+f (n 1)) n>2 Opção 2: Substituímos o elemento x por algum outro elemento além de 1. Agora, temos que construir um desarranjo do elemento n-1, porque não podemos substituir o elemento x pelo elemento 1, e todos os outros elementos devem ser alterados.

39 Inclusion-exclusion A fórmula pode ser derivada considerando as possibilidades de como o elemento 1 muda no desarranjo. Existem n - 1 maneiras de escolher um elemento x que substitui o elemento 1. Em cada escolha, há duas opções: Opção 1: Também substituímos o elemento x pelo elemento 1. Depois disso, a tarefa restante é construir um desarranjo de n - 2 elementos.

40 Inclusion-exclusion Opção 2: Substituímos o elemento x por algum outro elemento além de 1. Agora, temos que construir um desarranjo do elemento n - 1, porque não podemos substituir o elemento x pelo elemento 1, e todos os outros elementos devem ser alterados.

41 Burnside s lemma O lema de Burnside pode ser usado para contar o número de combinações de modo que apenas um representante seja contado para cada grupo de combinações simétricas. O lema de Burnside afirma que o número de combinações é n k=1 c(k) n, onde existem n maneiras de mudar a posição de uma combinação, e existem combinações c(k) que permanecem inalteradas quando a k-way é aplicada.

42 Burnside s lemma tem os seguintes colares simétricos: Não há maneiras de mudar a posição de um colar, porque podemos girá-lo 0, 1,, n - 1 passos no sentido horário. Se o número de passos for 0, todos os colares m n permanecerão os mesmos, e se o número de passos for 1, somente os colares m onde cada pérola tem a mesma cor permanecem os mesmos.

43 Burnside s lemma Mais geralmente, quando o número de passos é k, um total mdc(k,n) m decolares permanecem os mesmos, onde mdc(k, n) é o maior divisor comum de k e n. A razão para isto é que os blocos de pérolas de tamanho mdc(k, n) se substituirão mutuamente. Assim, de acordo com o lema de Burnside, o número de colares é n 1 mdc(i,n) m i=0 n.

44 Burnside s lemma Por exemplo, o número de colares de comprimento 4 com 3 cores é =24.

45 Cayley s formula A fórmula de Cayley afirma que existem árvores n n-2 marcadas que contêm n nós. Os nós são rotulados 1, 2,, n e duas árvores são diferentes se sua estrutura ou rotulagem for diferente. Por exemplo, quando n = 4, o número de árvores rotuladas é = 16:

46 Cayley s formula Em seguida, veremos como a fórmula de Cayley pode ser derivada usando os códigos Prüfer.

47 Prüfer code Um código Prüfer é uma sequência de n - 2 números que descreve uma árvore rotulada. O código é construído seguindo um processo que remove n - 2 folhas da árvore. Em cada etapa, a folha com o menor rótulo é removida e o rótulo de seu único vizinho é adicionado ao código. Por exemplo, vamos calcular o código Prüfer do seguinte gráfico:

48 Prüfer code Primeiro nós removemos o nó 1 e adicionamos o nó 4 ao código: Em seguida, removemos o nó 3 e adicionamos o nó 4 ao código:

49 Prüfer code Finalmente, removemos o nó 4 e adicionamos o nó 2 ao código: 2 5 Assim, o código Prüfer do grafo é [4, 4, 2]. Podemos construir um código Prüfer para qualquer árvore e, mais importante, a árvore original pode ser reconstruída a partir de um código Prüfer. Assim, o número de árvores rotuladas de n nós é igual a n n - 2, o número de códigos Prüfer de tamanho n.

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