Comunicação e redes. Aula 2: Teoria dos Grafos Conceitos básicos. Professor: Guilherme Oliveira Mota.
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1 Comunicação e redes Aula 2: Teoria dos Grafos Conceitos básicos Professor: Guilherme Oliveira Mota g.mota@ufabc.edu.br
2 Aula passada Redes complexas Grafo G: Conjunto de pontos e linhas ligando esses pontos Grafo G = (V, E): estrutura matemática onde V é o conjunto de vértices e E ( V 2) é o conjunto de arestas Problemas de diversas áreas são modelados com grafos! Representando um grafo: cores nas arestas, cores nos vértices, pesos nas arestas, pesos nos vértices y 1 y 2 x 1 x 8 y 8 x 2 x 7 y 3 y 7 x 3 x 6 y 4 y 6 x 4 x 5
3 Aula passada Grafos Vértices podem representar pessoas, animais, computadores, fábricas, antenas... Arestas podem representar interferências, relações sociais, estradas, conexões... Grafos são utilizados em áreas como Computação, Ciências Sociais, Bioinformática, Linguística...
4 Roteiro da aula História da Teoria dos Grafos Pontes de Königsberg Definições e propriedades de grafos Representação de grafos: Matriz e listas de adjacências Exercícios
5 O comec o de tudo Problema das 7 pontes de Ko nigsberg I Cidade de Ko nigsberg, na antiga Pru ssia I Duas ilhas cortadas pelo Rio Pregel I Essas ilhas eram conectadas por 7 pontes
6 O comec o de tudo Problema das 7 pontes de Ko nigsberg I Cidade de Ko nigsberg, na antiga Pru ssia I Duas ilhas cortadas pelo Rio Pregel I Essas ilhas eram conectadas por 7 pontes
7 O comec o de tudo Problema das 7 pontes de Ko nigsberg I Problema: Existe um caminho que passa por todas as pontes sem que uma ponte seja visitada mais de uma vez? (Caminho Euleriano) Pensem sobre qual e a resposta para esse problema
8 O comec o de tudo Problema das 7 pontes de Ko nigsberg I Problema: Existe um caminho que passa por todas as pontes sem que uma ponte seja visitada mais de uma vez? (Caminho Euleriano) I Pensem sobre qual e a resposta para esse problema
9 O comec o de tudo Problema das 7 pontes de Ko nigsberg I Problema: Existe um caminho que passa por todas as pontes sem que uma ponte seja visitada mais de uma vez? (Caminho Euleriano) I Pensem sobre qual e a resposta para esse problema
10 O começo de tudo Problema das 7 pontes de Königsberg Informalmente, um caminho aqui é uma sequência de áreas visitadas Essas áreas estão separadas por pontes Formalmente, um caminho é uma sequência de vértices conectados por arestas Ex.: (1, 3, 2, 1, 4) é um caminho, mas (1, 3, 4) não é um caminho Qual é a resposta para o problema?
11 O começo de tudo Problema das 7 pontes de Königsberg Informalmente, um caminho aqui é uma sequência de áreas visitadas Essas áreas estão separadas por pontes Formalmente, um caminho é uma sequência de vértices conectados por arestas Ex.: (1, 3, 2, 1, 4) é um caminho, mas (1, 3, 4) não é um caminho Qual é a resposta para o problema?
12 O começo de tudo Problema das 7 pontes de Königsberg Informalmente, um caminho aqui é uma sequência de áreas visitadas Essas áreas estão separadas por pontes Formalmente, um caminho é uma sequência de vértices conectados por arestas Ex.: (1, 3, 2, 1, 4) é um caminho, mas (1, 3, 4) não é um caminho Qual é a resposta para o problema?
13 Problema das 7 pontes de Ko nigsberg I Esse problema foi solucionado em 1736 I Leonhard Euler criou um grafo para modelar esse problema I Talvez o primeiro grafo da histo ria!
14 Grafos Grafo G = (V, E): estrutura matemática onde V é o conjunto de vértices e E ( V 2) é o conjunto de arestas Cada aresta conecta um par de vértices Se não há laços, qual a quantidade máxima de arestas em um grafo com n vértices?
15 Grafos Grafo G = (V, E): estrutura matemática onde V é o conjunto de vértices e E ( V 2) é o conjunto de arestas Cada aresta conecta um par de vértices Se não há laços, qual a quantidade máxima de arestas em um grafo com n vértices? Grafo G com n vértices possui no máximo ( n 2) arestas
16 Grafos Grafo G = (V, E): estrutura matemática onde V é o conjunto de vértices e E ( V 2) é o conjunto de arestas Cada aresta conecta um par de vértices Se não há laços, qual a quantidade máxima de arestas em um grafo com n vértices? Grafo G com n vértices possui no máximo ( n 2) arestas Existem infinitas formas de se desenhar um mesmo grafo Essas formas somente mudam a visualização dos grafos Elas não têm influência sobre as propriedades dos grafos
17 Grafos Grafo G = (V, E): estrutura matemática onde V é o conjunto de vértices e E ( V 2) é o conjunto de arestas Cada aresta conecta um par de vértices Se não há laços, qual a quantidade máxima de arestas em um grafo com n vértices? Grafo G com n vértices possui no máximo ( n 2) arestas Existem infinitas formas de se desenhar um mesmo grafo Essas formas somente mudam a visualização dos grafos Elas não têm influência sobre as propriedades dos grafos
18 Grafos Grafo G = (V, E): estrutura matemática onde V é o conjunto de vértices e E ( V 2) é o conjunto de arestas Cada aresta conecta um par de vértices Se não há laços, qual a quantidade máxima de arestas em um grafo com n vértices? Grafo G com n vértices possui no máximo ( n 2) arestas Existem infinitas formas de se desenhar um mesmo grafo Essas formas somente mudam a visualização dos grafos Elas não têm influência sobre as propriedades dos grafos
19 Grafos Grafo G = (V, E): estrutura matemática onde V é o conjunto de vértices e E ( V 2) é o conjunto de arestas Cada aresta conecta um par de vértices Se não há laços, qual a quantidade máxima de arestas em um grafo com n vértices? Grafo G com n vértices possui no máximo ( n 2) arestas Existem infinitas formas de se desenhar um mesmo grafo Essas formas somente mudam a visualização dos grafos Elas não têm influência sobre as propriedades dos grafos
20 Problema das 7 pontes de Ko nigsberg I Euler modelou o problema com o grafo abaixo
21 Problema das 7 pontes de Königsberg Euler modelou o problema com o grafo abaixo
22 Problema das 7 pontes de Königsberg Resposta para o problema: O caminho desejado NÃO existe
23 Problema das 7 pontes de Königsberg Vamos tentar resolver o problema adicionando e removendo novas arestas (1, 2, 1, 3, 1, 4, 2, 3, 4)
24 Problema das 7 pontes de Königsberg Vamos tentar resolver o problema adicionando e removendo novas arestas (2, 4, 3, 1, 2, 1, 3)
25 Problema das 7 pontes de Königsberg Vamos tentar resolver o problema adicionando e removendo novas arestas (2, 4, 3, 1, 2, 1, 4)
26 Problema das 7 pontes de Königsberg Por que o caminho existe em todos os casos anteriores? O que os 3 grafos considerados têm em comum?
27 Problema das 7 pontes de Königsberg Por que o caminho existe em todos os casos anteriores? O que os 3 grafos considerados têm em comum? Resposta: Analisar o grau dos vértices! O grau de um vértice v em um grafo G, denotado por d G (v), representa a quantidade de arestas incidentes a v, i.e., a quantidade de vizinhos de v em G
28 Problema das 7 pontes de Königsberg Por que o caminho existe em todos os casos anteriores? O que os 3 grafos considerados têm em comum? Resposta: Analisar o grau dos vértices! O grau de um vértice v em um grafo G, denotado por d G (v), representa a quantidade de arestas incidentes a v, i.e., a quantidade de vizinhos de v em G
29 Problema das 7 pontes de Königsberg Sejam v 1... v 8 os vértices de um grafo G que possui um caminho Euleriano
30 Problema das 7 pontes de Königsberg Sejam v 1... v 8 os vértices de um grafo G que possui um caminho Euleriano Suponha que esse caminho é dado por (v 1,v 3,v 2,v 5,v 6,v 3,v 7,v 1,v 8,v 5,v 4 )
31 Problema das 7 pontes de Königsberg Sejam v 1... v 8 os vértices de um grafo G que possui um caminho Euleriano Suponha que esse caminho é dado por (v 1,v 3,v 2,v 5,v 6,v 3,v 7,v 1,v 8,v 5,v 4 ) Todos os vértices internos possuem grau par! Euler mostrou que Teorema Se um grafo G possui um caminho Euleriano, então todo vértice interno de G possui grau par
32 Problema das 7 pontes de Königsberg Sejam v 1... v 8 os vértices de um grafo G que possui um caminho Euleriano Suponha que esse caminho é dado por (v 1,v 3,v 2,v 5,v 6,v 3,v 7,v 1,v 8,v 5,v 4 ) Todos os vértices internos possuem grau par! Euler mostrou que Teorema Se um grafo G possui um caminho Euleriano, então todo vértice interno de G possui grau par Teorema Se existe um vértice interno em G com grau ímpar, então G não possui um caminho Euleriano
33 Problema das 7 pontes de Königsberg Teorema Se um grafo G possui um caminho Euleriano, então todo vértice interno de G possui grau par
34 Problema das 7 pontes de Königsberg Teorema Se um grafo G possui um caminho Euleriano, então todo vértice interno de G possui grau par Teorema Um grafo G admite um circuito Euleriano se e somente se todo vértice de G tem grau par.
35 Nascimento da Teoria dos Grafos
36 Circuito Euleriano Um circuito Euleriano é um caminho Euleriano onde o primeiro vértice é o mesmo do último
37 Circuito Euleriano Um circuito Euleriano é um caminho Euleriano onde o primeiro vértice é o mesmo do último
38 Circuito Euleriano Um circuito Euleriano é um caminho Euleriano onde o primeiro vértice é o mesmo do último
39 Circuito Euleriano Um circuito Euleriano é um caminho Euleriano onde o primeiro vértice é o mesmo do último
40 Circuito Euleriano Um circuito Euleriano é um caminho Euleriano onde o primeiro vértice é o mesmo do último
41 Circuito Euleriano Um circuito Euleriano é um caminho Euleriano onde o primeiro vértice é o mesmo do último
42 Circuito Euleriano Um circuito Euleriano é um caminho Euleriano onde o primeiro vértice é o mesmo do último
43 Circuito Euleriano Um circuito Euleriano é um caminho Euleriano onde o primeiro vértice é o mesmo do último
44 Circuito Euleriano Um circuito Euleriano é um caminho Euleriano onde o primeiro vértice é o mesmo do último
45 Circuito Euleriano Um circuito Euleriano é um caminho Euleriano onde o primeiro vértice é o mesmo do último
46 Circuito Euleriano Um circuito Euleriano é um caminho Euleriano onde o primeiro vértice é o mesmo do último
47 Circuito Euleriano Um circuito Euleriano é um caminho Euleriano onde o primeiro vértice é o mesmo do último
48 Caminho Hamiltoniano Um caminho Hamiltoniano é um caminho que passa por todos os vértices do grafo exatamente uma vez
49 Caminho Hamiltoniano Um caminho Hamiltoniano é um caminho que passa por todos os vértices do grafo exatamente uma vez Problema: Decidir se um dado grafo G possui um caminho Hamiltoniano
50 Caminho Hamiltoniano Um caminho Hamiltoniano é um caminho que passa por todos os vértices do grafo exatamente uma vez Problema: Decidir se um dado grafo G possui um caminho Hamiltoniano Esse problema é mais fácil ou mais difícil que o problema sobre caminho Euleriano?
51 Caminho Hamiltoniano Um caminho Hamiltoniano é um caminho que passa por todos os vértices do grafo exatamente uma vez Problema: Decidir se um dado grafo G possui um caminho Hamiltoniano Esse problema é mais fácil ou mais difícil que o problema sobre caminho Euleriano? Mais difícil!
52 Caminho Hamiltoniano Um caminho Hamiltoniano é um caminho que passa por todos os vértices do grafo exatamente uma vez Problema: Decidir se um dado grafo G possui um caminho Hamiltoniano Esse problema é mais fácil ou mais difícil que o problema sobre caminho Euleriano? Mais difícil! Muuuuuuito mais difícil!
53 Caminho Hamiltoniano Um caminho Hamiltoniano é um caminho que passa por todos os vértices do grafo exatamente uma vez Problema: Decidir se um dado grafo G possui um caminho Hamiltoniano Esse problema é mais fácil ou mais difícil que o problema sobre caminho Euleriano? Mais difícil! Muuuuuuito mais difícil! Prêmio de US$ ,00 para quem resolver
54 Caminho Hamiltoniano Um caminho Hamiltoniano é um caminho que passa por todos os vértices do grafo exatamente uma vez Problema: Decidir se um dado grafo G possui um caminho Hamiltoniano Esse problema é mais fácil ou mais difícil que o problema sobre caminho Euleriano? Mais difícil! Muuuuuuito mais difícil! Prêmio de US$ ,00 para quem resolver É um dos 7 Problemas do Milênio
55 Caminho Hamiltoniano Um caminho Hamiltoniano é um caminho que passa por todos os vértices do grafo exatamente uma vez Problema: Decidir se um dado grafo G possui um caminho Hamiltoniano Esse problema é mais fácil ou mais difícil que o problema sobre caminho Euleriano? Mais difícil! Muuuuuuito mais difícil! Prêmio de US$ ,00 para quem resolver É um dos 7 Problemas do Milênio Resolução acarretaria enormes consequências!
56 Grafos: Definições e propriedades Grafo G = (V, E): estrutura matemática onde V é o conjunto de vértices e E ( V 2) é o conjunto de arestas
57 Grafos: Definições e propriedades Grafo G = (V, E): estrutura matemática onde V é o conjunto de vértices e E ( V 2) é o conjunto de arestas G = (V, E), onde V = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e E = {{1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 5}, {2, 7}, {3, 4}, {3, 5}, {3, 6}}
58 Grafos: Definições e propriedades Uma sequência de vértices (v 1, v 2,..., v k ) em um grafo G = (V, E) é dito um caminho se {v i, v i+1 } E para todo 1 i k 1
59 Grafos: Definições e propriedades Uma sequência de vértices (v 1, v 2,..., v k ) em um grafo G = (V, E) é dito um caminho se {v i, v i+1 } E para todo 1 i k 1 Ex.: Caminho (1, 2, 5, 3, 4) Comprimento 4
60 Grafos: Definições e propriedades Uma sequência de vértices (v 1, v 2,..., v k ) em um grafo G = (V, E) é dito um caminho se {v i, v i+1 } E para todo 1 i k 1 Ex.: Caminho (1, 2, 5, 3, 4) Comprimento 4
61 Grafos: Definições e propriedades O grafo acima é simples, não-direcionado e sem pesos
62 Grafos: Definições e propriedades Da esquerda para direita, de cima para baixo: Grafo 1: Multigrafo, não-direcionado, sem pesos Grafo 2: Simples, direcionado, sem pesos Grafo 3: Simples, não-direcionado, pesos nas arestas Grafo 4: simples, não-direcionado, sem pesos
63 Grafos: Definições e propriedades Grafos não-direcionados G = (V, E), onde V = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e E = {{1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 5}, {2, 7}, {3, 4}, {3, 5}, {3, 6}} Arestas são pares não ordenados
64 Grafos: Definições e propriedades Grafos direcionados (Arcos em vez de arestas) G = (V, A), onde V = {1, 2, 3, 4, 5} e A = {(1, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 4), (3, 5), (4, 2)} Arestas são pares ordenados
65 Grafos: Definições e propriedades Ordem Tamanho Diâmetro Conexidade Conectividade de vértices Conectividade de arestas
66 Grafos: Definições e propriedades Ordem: Quantidade de vértices do grafo
67 Grafos: Definições e propriedades Ordem: Quantidade de vértices do grafo Tamanho: Quantidade de arestas do grafo
68 Grafos: Definições e propriedades Ordem: Quantidade de vértices do grafo Tamanho: Quantidade de arestas do grafo Diâmetro: Maior dos menores caminhos entre 2 vértices
69 Grafos: Definições e propriedades Ordem: Quantidade de vértices do grafo Tamanho: Quantidade de arestas do grafo Diâmetro: Maior dos menores caminhos entre 2 vértices Conexidade: G é conexo se existe caminho entre quaisquer par de vértices
70 Grafos: Definições e propriedades Ordem: Quantidade de vértices do grafo Tamanho: Quantidade de arestas do grafo Diâmetro: Maior dos menores caminhos entre 2 vértices Conexidade: G é conexo se existe caminho entre quaisquer par de vértices Conectividade de vértices: Menor quantidade de vértices cuja remoção desconecta o grafo
71 Grafos: Definições e propriedades Ordem: Quantidade de vértices do grafo Tamanho: Quantidade de arestas do grafo Diâmetro: Maior dos menores caminhos entre 2 vértices Conexidade: G é conexo se existe caminho entre quaisquer par de vértices Conectividade de vértices: Menor quantidade de vértices cuja remoção desconecta o grafo Conectividade de arestas: Menor quantidade de arestas cuja remoção desconecta o grafo
72 Grafos: Definições e propriedades Ordem:
73 Grafos: Definições e propriedades Ordem: 7 Tamanho:
74 Grafos: Definições e propriedades Ordem: 7 Tamanho: 9 Conexidade:
75 Grafos: Definições e propriedades Ordem: 7 Tamanho: 9 Conexidade: É um grafo conexo Conectividade de vértices:
76 Grafos: Definições e propriedades Ordem: 7 Tamanho: 9 Conexidade: É um grafo conexo Conectividade de vértices: 1 Conectividade de arestas:
77 Grafos: Definições e propriedades Ordem: 7 Tamanho: 9 Conexidade: É um grafo conexo Conectividade de vértices: 1 Conectividade de arestas: 1 Diâmetro:
78 Grafos: Definições e propriedades Ordem: 7 Tamanho: 9 Conexidade: É um grafo conexo Conectividade de vértices: 1 Conectividade de arestas: 1 Diâmetro: 3
79 Grafos: Definições e propriedades Ordem: 7 Tamanho: 9 Conexidade: É um grafo conexo Conectividade de vértices: 1 Conectividade de arestas: 1 Diâmetro: 3
80 Grafos: Exemplos Mapear em um grafo orientado todas as movimentações possíveis de um bispo na casa branca em um tabuleiro 3x3
81 Grafos: Exemplos Mapear em um grafo orientado todas as movimentações possíveis de um bispo na casa branca em um tabuleiro 3x3
82 Grafos: Exemplos Mapear em um grafo orientado todas as movimentações possíveis de um torre em um tabuleiro 3x3
83 Grafos: Exemplos Mapear em um grafo orientado todas as movimentações possíveis de um torre em um tabuleiro 3x3
84 Grafos: Exemplos Mapear em um grafo orientado todas as movimentações possíveis de um torre em um tabuleiro 3x3
85 Representação de grafos Existem duas maneiras tradicionais de se representar um grafo G = (V, E) Matriz de adjacências Listas de adjacências
86 Avisos Site no Tidia-4 para envio das listas de exercícios Nome: Comunicação e Redes - Turma A Nome: Comunicação e Redes - Turma B Entrega: Até 18:55h do dia 5/6
87 Próxima aula Busca em grafos: busca em largura
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