Simulação estocástica discreta

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1 Simulação estocástica discreta Apoio ao projecto Simulação estocástica discreta : 1/31

2 Introdução (1) Existem diversos tipos de simulação de sistemas: Simulação analógica: com modelos físicos, por exemplo, o modelo reduzido de uma ponte. Simulação digital: realizada em computador. Modelos possíveis: Modelos contínuos: equações diferenciais que descrevem a evolução de grandezas contínuas. Modelos discretos: fenómenos que podem ser descritos por eventos e suas sequências. Classificação: Estocástica: as grandezas em causa seguem leis aleatórias, por exemplo, o tempo que decorre entre eventos. Determinista: as grandezas em causa seguem leis deterministas. LEEC@IST Simulação estocástica discreta : 2/31

3 Introdução (2) No seguimento, vamos ilustrar uma técnica de simulação digital, discreta e estocástica. Problema: Simulação de um troço de auto-estrada. Simular o tráfego num troço de estrada com portagem, só num dos sentidos. Os veículos entram no troço em causa com uma cadência aleatória no final do qual chegam a uma portagem (apenas com um portageiro), ficam em fila até ao pagamento e, concluído este, saem do troço. Pretende-se estudar a evolução do número de veículos na fila, em função de leis aleatórias: tempo entre chegadas; tempo de travessia; tempo de pagamento. LEEC@IST Simulação estocástica discreta : 3/31

4 Introdução (3) A técnica adoptada é a de sequenciamento de eventos pendentes (SEP): 1. Identificar os eventos que afectam o sistema a modelar. É necessário caracterizar os eventos, entre outros: É essencial categorizar os eventos, por forma a distingui-los. É essencial um atributo de tempo, que marca o instante em que se dá o evento. 2. Definir as leis aleatórias que regem o acontecimento dos eventos. LEEC@IST Simulação estocástica discreta : 4/31

5 Introdução (4) 3. Definir procedimentos para simular a observação das variáveis aleatórias em causa. 4. Simular os eventos. O núcleo do simulador é a cadeia de acontecimentos pendentes (CAP), na qual se encontram todos os eventos (futuros). Durante a simulação podem: Retirar-se eventos da CAP. Colocar-se novos eventos na CAP. LEEC@IST Simulação estocástica discreta : 5/31

6 Identificação de eventos (1) Na simulação de um troço de auto-estrada existem os seguintes eventos: Chegada: chegada de um veículo ao troço em estudo (entrada na auto-estrada). Portagem: chegada de um veículo à portagem no final do troço (ou fica na fila da portagem ou entra em pagamento). Partida: saída do veículo da portagem após pagamento. Simulação estocástica discreta : 6/31

7 Identificação de eventos (2) Na simulação de um troço de auto-estrada não há outros atributos para além do atributo de tempo. Em simulações mais complicadas pode ser necessário considerar outros atributos. Poderia ser necessário associar cada evento ao veículo em causa se se pretendesse estudar o tempo total de permanência dos carros no troço incluindo a portagem. LEEC@IST Simulação estocástica discreta : 7/31

8 Identificação de eventos (3) Diagrama de classes dos eventos do sistema (sem representação de atributos e métodos): <<abstract> Evento EvChegada EvPortagem EvPartida LEEC@IST Simulação estocástica discreta : 8/31

9 Leis aleatórias (1) Na simulação de um troço de auto-estrada há que considerar as seguintes leis aleatórias: Chegadas: admite-se que o tempo entre chegadas consecutivas é uma variável aleatória com distribuição exponencial de valor médio chegada. Travessias: admite-se que o tempo que um veículo leva a atravessar o troço é uma variável aleatória com distribuição exponencial de valor médio travessia. Pagamentos: admite-se que o tempo que cada veículo leva a pagar (tempo entre o início do pagamento, depois de ficar em primeiro lugar na fila, e a saída) é uma variável aleatória com distribuição exponencial de valor médio pagamento. LEEC@IST Simulação estocástica discreta : 9/31

10 Leis aleatórias (2) Uma variável aleatória com distribuição exponencial de valor médio m tem a seguinte distribuição: 1-exp{-t/m} Por exemplo, para m=2: LEEC@IST Simulação estocástica discreta : 10/31

11 Observação de variáveis aleatórias (1) A geração de uma observação de uma variável aleatória exponencial é feita por intermédio da inversa da função de distribuição: -m log(1-y) Por exemplo, para m=2: LEEC@IST Simulação estocástica discreta : 11/31

12 Observação de variáveis aleatórias (2) Se Y~U(0,1) então -m log(1-y)~exp(m) public static double exprandom(double m) { Random random = new Random(); double next = random.nextdouble(); return -m*math.log(1.0-next); } LEEC@IST Simulação estocástica discreta : 12/31

13 Observação de variáveis aleatórias (3) Para uma variável aleatória com distribuição exponencial de valor médio 2: for (int i=0; i<5; i++) { System.out.println(expRandom(2)); } No terminal é impresso: LEEC@IST Simulação estocástica discreta : 13/31

14 Simulação dos eventos CAP (1) Para se entender a utilidade da CAP, considere-se o problema da simulação de tráfego em estudo na situação em que: há veículos já no troço, há veículos na fila, e está um veículo a pagar a portagem. Como deverá continuar a simulação a partir desta situação? LEEC@IST Simulação estocástica discreta : 14/31

15 Simulação dos eventos CAP (2) A simulação é apenas um ciclo em que em cada passo se simula o acontecimento de um evento. Põe-se então a questão: qual será o próximo evento a simular? A resposta é simples: vai-se buscar à CAP o próximo evento, onde por próximo se entende o evento com o atributo tempo de menor valor. Põe-se então outra questão: como alimentar a CAP de novos eventos? A resposta a esta questão já é mais complicada LEEC@IST Simulação estocástica discreta : 15/31

16 Simulação dos eventos CAP (3) Na CAP devem estar os eventos que já sabemos que terão de ser simulados no futuro (e que ainda não foram simulados por ainda não ter chegado a vez deles). De cada vez que se simula uma chegada ao troço devese colocar na CAP: 1. A próxima chegada: basta guardar na CAP o evento new EvChegada(tempo+expRandom(chegada)) 2. O fim da travessia do veículo cuja travessia se está a simular: basta guardar na CAP o evento new EvPortagem(tempo+expRandom(travessia)) em que tempo é um atributo que contém o tempo de simulação do evento corrente (o tempo corrente), neste caso um evento de chegada. LEEC@IST Simulação estocástica discreta : 16/31

17 Simulação dos eventos CAP (4) De cada vez que se simula um fim de travessia do troço há que examinar se o portageiro está ocupado. 1. Se estiver ocupado há que colocar mais um veículo na fila de espera. 2. Caso contrário começa a fase de pagamento. Pode-se então calcular o evento de fim de pagamento e, portanto, deve-se colocar na CAP o evento new EvPartida(tempo+expRandom(pagamento)) Finalmente, de cada vez que se simula uma saída, ou seja, fim de pagamento, há que examinar a fila de espera. Se esta não estiver vazia há que retirar um elemento da fila (o primeiro) e planificar o fim de pagamento desse veículo guardando na CAP o evento new EvPartida(tempo+expRandom(pagamento)) LEEC@IST Simulação estocástica discreta : 17/31

18 Simulação dos eventos CAP (5) Na realidade, não é necessária a fila de portagem, sendo apenas necessário guardar o número de carros na fila LEEC@IST Simulação estocástica discreta : 18/31

19 Simulação (1) A classe SimuladorTrafego pode então ser definida como se segue (definição parcial): public class SimuladorTrafego { private static double temposimulacao, tempocorrente; private static Evento eventocorrente; static CAP static int cap; numcarrosfilaportagem; } //... LEEC@IST Simulação estocástica discreta : 19/31

20 Simulação (2) A classe Evento pode então ser definida como se segue (definição parcial): public abstract class Evento { protected static double protected double chegada, travessia, pagamento; tempo; public abstract void simulaevento(); } //... LEEC@IST Simulação estocástica discreta : 20/31

21 Simulação (3) Supondo existe acesso à cap e ao método exprandom, o método simulaevento relativo à chegada ao troço de auto-estrada é definido como se segue: cap.adicionarevcap( new EvChegada(tempo+expRandom(chegada))); cap.adicionarevcap( new EvPortagem(tempo+expRandom(travessia))); Nota: estudar com cuidado de que forma deve ser dado o acesso à cap e ao método exprandom! LEEC@IST Simulação estocástica discreta : 21/31

22 Simulação (4) Supondo que existe acesso à cap, ao numcarrosfilaportagem e ao método exprandom, o método simulaevento relativo à chegada à portagem é definido como se segue: if (numcarrosfilaportagem==0) cap.adicionarevcap( new EvPartida(tempo+expRandom(pagamento))); numcarrosfilaportagem++; Nota: estudar com cuidado de que forma deve ser dado o acesso à cap, numcarrosfilaportagem, e ao método exprandom! LEEC@IST Simulação estocástica discreta : 22/31

23 Simulação (5) Supondo que existe acesso à cap, ao numcarrosfilaportagem e ao método exprandom, o método simulaevento relativo à saída da portagem é definido como se segue: numcarrosfilaportagem--; if (numcarrosfilaportagem>0) cap.adicionarevcap( new EvPartida(tempo+expRandom(pagamento))); Nota: estudar com cuidado de que forma deve ser dado o acesso à cap, numcarrosfilaportagem, e ao método exprandom! LEEC@IST Simulação estocástica discreta : 23/31

24 Simulação (6) A CAP é uma classe com dois métodos: public void adicionarevcap(evento ev) adiciona o evento recebido como parâmetro à CAP. public Evento proximoevcap(evento ev) remove o primeiro evento da CAP e devolve-o. LEEC@IST Simulação estocástica discreta : 24/31

25 Simulação (7) O simulador é o método main da classe SimuladorTrafego e consiste basicamente num ciclo, onde em cada passo se simula o próximo evento na CAP. O simulador tem como input: chegada travessia pagamento temposimulacao LEEC@IST Simulação estocástica discreta : 25/31

26 Simulação (8) public static void main(string[] args) { // TODO: ler input e actualizar atributos de: // chegada, travessia, pagamento e temposimulacao //inicialização numcarrosfilaportagem = 0; cap = new CAP(); eventocorrente = new EvChegada(expRandom(chegada)); tempocorrente = eventocorrente.tempo; //ciclo de simulação while (tempocorrente<temposimulacao) { //TODO: simular eventocorrente eventocorrente = cap.proximoevcap(); tempocorrente = eventocorrente.tempo; } } LEEC@IST Simulação estocástica discreta : 26/31

27 Exemplos (1) É obtido o seguinte gráfico para o comprimento da fila de espera da portagem executando o SimuladorTrafego com: chegada=1 travessia=50 pagamento=0.9 temposimulacao= LEEC@IST Simulação estocástica discreta : 27/31

28 Exemplos (2) Outra simulação para o mesmo input: LEEC@IST Simulação estocástica discreta : 28/31

29 Exemplos (3) Mais outra simulação para o mesmo input: LEEC@IST Simulação estocástica discreta : 29/31

30 Exemplos (4) Aumentado apenas pagamento para 2: Simulação estocástica discreta : 30/31

31 Exemplos (5) Diminuindo apenas pagamento para 0.7: LEEC@IST Simulação estocástica discreta : 31/31