Caminho Mínimo de Fonte Única em Grafos sem Pesos Negativos

Transcrição

1 Caminho Mínimo de Fonte Única em Grafos sem Pesos Negativos Letícia Rodrigues Bueno UFABC

2 Problema : Menor caminho entre duas cidades Dado um mapa de cidades, contendo as distâncias entre cidades, qual o menor caminho entre quaisquer cidades A e B?

3 Problema : Menor caminho entre duas cidades Dado um mapa de cidades, contendo as distâncias entre cidades, qual o menor caminho entre quaisquer cidades A e B? Este problema pode ser modelado através de um grafo: Cidade: vértices; Estradas entre cidades: arestas ponderadas com peso que indicam distância entre cidades. Arestas ponderadas: podem indicar tempo, custo, penalidades, perdas, etc; Esse problema é conhecido como Problema do Caminho Mínimo.

4 Abordagem Problema do caminho mínimo é semelhante a problema do número de Erdõs;

5 Abordagem Problema do caminho mínimo é semelhante a problema do número de Erdõs; Podemos utilizar uma idéia semelhante a do algoritmo de Busca em Largura; Levar em consideração: O problema tem subestrutura ótima: um caminho mínimo entre dois vértices contém outros caminhos mínimos em seu interior.

6 Caminho mínimo de fonte única: algoritmo de Dijkstra t 1 x s y z

7 Caminho mínimo de fonte única: algoritmo de Dijkstra t 1 x s y z

8 Caminho mínimo de fonte única: algoritmo de Dijkstra t 1 x s y z

9 Caminho mínimo de fonte única: algoritmo de Dijkstra t 1 1 x s y z

10 Caminho mínimo de fonte única: algoritmo de Dijkstra 8 t 1 x 14 s y z 7

11 Caminho mínimo de fonte única: algoritmo de Dijkstra 8 t 1 x 13 s y z 7

12 Caminho mínimo de fonte única: algoritmo de Dijkstra 8 t 1 x 9 s y z 7

13 Caminho mínimo de fonte única: algoritmo de Dijkstra 8 t 1 x 9 s y z 7

14 Caminho mínimo de fonte única: algoritmo de Dijkstra u v 9 1 relaxa(u, v): se v.d > u.d + p(u, v) então 3 v.d = u.d + p(u, v) 4 v.p = u u u u Relaxa(u,v) v 7 (a) v 6 Relaxa(u,v) v 6 (b)

15 Caminho mínimo de fonte única: algoritmo de Dijkstra 1 dijkstra(g, s): para u em V(G) faça 3 u.d = 4 u.p = None s.d = 6 s.p = s 7 A = Heap(V(G)) \\ com base em d 8 S = [ ] 9 enquanto tamanho(a) > 1 faça 1 u = retira_min(a) 11 S = S + u 1 para v em adj(u) faça 13 relaxa(u, v) 14 refaz_heap(a)

16 Caminho mínimo de fonte única: algoritmo de Dijkstra 1 dijkstra(g, s): para u em V(G) faça 3 u.d = 4 u.p = None s.d = 6 s.p = s 7 A = Heap(V(G)) \\ com base em d 8 S = [ ] 9 enquanto tamanho(a) > 1 faça 1 u = retira_min(a) 11 S = S + u 1 para v em adj(u) faça 13 relaxa(u, v) 14 refaz_heap(a) Análise da complexidade:

17 Caminho mínimo de fonte única: algoritmo de Dijkstra 1 dijkstra(g, s): para u em V(G) faça 3 u.d = 4 u.p = None s.d = 6 s.p = s 7 A = Heap(V(G)) \\ com base em d 8 S = [ ] 9 enquanto tamanho(a) > 1 faça 1 u = retira_min(a) 11 S = S + u 1 para v em adj(u) faça 13 relaxa(u, v) 14 refaz_heap(a) Análise da complexidade: Construção do heap (linha 6): O(n)

18 Caminho mínimo de fonte única: algoritmo de Dijkstra 1 dijkstra(g, s): para u em V(G) faça 3 u.d = 4 u.p = None s.d = 6 s.p = s 7 A = Heap(V(G)) \\ com base em d 8 S = [ ] 9 enquanto tamanho(a) > 1 faça 1 u = retira_min(a) 11 S = S + u 1 para v em adj(u) faça 13 relaxa(u, v) 14 refaz_heap(a) Análise da complexidade: Construção do heap (linha 6): O(n) retira_min (linha 9) tem complexidade (log n) e é executado n vezes: O(n log n)

19 Caminho mínimo de fonte única: algoritmo de Dijkstra 1 dijkstra(g, s): para u em V(G) faça 3 u.d = 4 u.p = None s.d = 6 s.p = s 7 A = Heap(V(G)) \\ com base em d 8 S = [ ] 9 enquanto tamanho(a) > 1 faça 1 u = retira_min(a) 11 S = S + u 1 para v em adj(u) faça 13 relaxa(u, v) 14 refaz_heap(a) Análise da complexidade: Construção do heap (linha 6): O(n) retira_min (linha 9) tem complexidade (log n) e é executado n vezes: O(n log n) refaz_heap (linha 13) tem complexidade (log n) e é executado m vezes: O(m log n)

20 Caminho mínimo de fonte única: algoritmo de Dijkstra 1 dijkstra(g, s): para u em V(G) faça 3 u.d = 4 u.p = None s.d = 6 s.p = s 7 A = Heap(V(G)) \\ com base em d 8 S = [ ] 9 enquanto tamanho(a) > 1 faça 1 u = retira_min(a) 11 S = S + u 1 para v em adj(u) faça 13 relaxa(u, v) 14 refaz_heap(a) Análise da complexidade: Construção do heap (linha 6): O(n) retira_min (linha 9) tem complexidade (log n) e é executado n vezes: O(n log n) refaz_heap (linha 13) tem complexidade (log n) e é executado m vezes: O(m log n) Complexidade total: O((n+m) log n)

21 Problemas do Caminho Mínimo Caminho mínimo de fonte única: algoritmo de Dijsktra;

22 Problemas do Caminho Mínimo Caminho mínimo de fonte única: algoritmo de Dijsktra; Caminho mínimo de destino único: inverta a direção das arestas e aplique algoritmo de Dijstra;

23 Problemas do Caminho Mínimo Caminho mínimo de fonte única: algoritmo de Dijsktra; Caminho mínimo de destino único: inverta a direção das arestas e aplique algoritmo de Dijstra; Caminho mínimo entre quaisquer vértices u e v: algoritmo de Dijsktra;

24 Problemas do Caminho Mínimo Caminho mínimo de fonte única: algoritmo de Dijsktra; Caminho mínimo de destino único: inverta a direção das arestas e aplique algoritmo de Dijstra; Caminho mínimo entre quaisquer vértices u e v: algoritmo de Dijsktra; Caminho mínimo de todos os vértices para todos os vértices: algoritmo de Floyd-Warshall em tempo O(n 3 ).

25 Limitações do algoritmo de Dijkstra Não funciona para grafos que contém ciclos com pesos negativos acessíveis a partir da origem;

26 Limitações do algoritmo de Dijkstra Não funciona para grafos que contém ciclos com pesos negativos acessíveis a partir da origem; Alternativa: Algoritmo de Bellman-Ford de complexidade O(n m); s 3 a c e b d f g h -8 j 3 i

27 Caminho Mínimo em Grafos com Pesos Negativos E se adicionarmos uma constante ao peso de cada aresta? a b 4-9 c d 6

28 Caminho Mínimo em Grafos com Pesos Negativos E se adicionarmos uma constante ao peso de cada aresta? a 4 c 6 mais 9 11 a 13 c 1 b -9 d b d

29 Caminho Mínimo em Grafos com Pesos Negativos E se adicionarmos uma constante ao peso de cada aresta? a b 4 c custo:1 custo: -9 d 6 mais 9 11 a b 13 c d 1

30 Caminho Mínimo em Grafos com Pesos Negativos E se adicionarmos uma constante ao peso de cada aresta? a b 4 c custo:1 custo: 6-9 d mais 9 a b 13 c custo:8 11 custo:111 d

31 Bibliografia Utilizada CORMEN, T. H.; LEISERSON, C. E.; RIVEST, R. L. e STEIN, C. Introduction to Algorithms, 3 a edição, MIT Press, 9.