Abordagens para Problemas Intratáveis

Transcrição

1 Abordagens para Problemas Intratáveis Letícia Rodrigues Bueno UFABC

2 Motivação Se você se depara com um problema intratável...

3 Motivação Se você se depara com um problema intratável... I can t find an efficient algorithm, but neither can all these famous people. Fonte: GAREY, M. R. e JOHNSON, D. S. Computers and Intractability. A guide to the theory of NP-Completeness,

4 Motivação...e não pode usar alternativas como ebay... Fonte:

5 Motivação...mas ainda precisa de uma solução...

6 Motivação...mas ainda precisa de uma solução... "You are on your own!" Fonte: GAREY, M. R. e JOHNSON, D. S. Computers and Intractability. A guide to the theory of NP-Completeness, W.H. Freeman and Company: New York, 1979.

7 Algumas Abordagens...há problemas NP-completos que admitem um tratamento razoável desde que algumas concessões sejam feitas (relaxações):

8 Algumas Abordagens...há problemas NP-completos que admitem um tratamento razoável desde que algumas concessões sejam feitas (relaxações): 1. Algoritmos heurísticos: fornecem soluções sem limite formal de qualidade, avaliação empírica de complexidade e qualidade das soluções. Exemplos: algoritmos gulosos, Simulated Annealing, busca tabu, algoritmos genéticos, ant system, etc;

9 Algumas Abordagens...há problemas NP-completos que admitem um tratamento razoável desde que algumas concessões sejam feitas (relaxações): 1. Algoritmos heurísticos: fornecem soluções sem limite formal de qualidade, avaliação empírica de complexidade e qualidade das soluções. Exemplos: algoritmos gulosos, Simulated Annealing, busca tabu, algoritmos genéticos, ant system, etc; 2. Algoritmos randomizados: fornecem melhor solução possível com probabilidade (alta) conhecida em tempo execução determinístico (Monte Carlo) e/ou fornecem melhor solução possível em tempo execução que é variável aleatória (Las Vegas);

10 Algumas Abordagens 1. Algoritmos aproximativos: fornecem soluções que estão a um fator ǫ da melhor solução possível;

11 Algumas Abordagens 1. Algoritmos aproximativos: fornecem soluções que estão a um fator ǫ da melhor solução possível; 2. Algoritmos paralelos: fornecem soluções pelo uso de computadores com grande poder de processamento e do princípio de que alguns problemas grandes podem ser divididos em problemas menores que então são resolvidos em paralelo.

12 Heurísticas: Algoritmos Gulosos heurística que faz a escolha localmente ótima a cada estágio com a esperança de encontrar o ótimo global.

13 Heurísticas: Algoritmos Gulosos heurística que faz a escolha localmente ótima a cada estágio com a esperança de encontrar o ótimo global. Problemas com subestrutura ótima: se solução ótima contém dentro dela soluções ótimas para subproblemas;

14 Algoritmo Guloso Bem-sucedido Caminho mínimo de fonte única (algoritmo de Dijkstra): s 10 5 t 2 3 y x 4 6 z

15 Algoritmo Guloso Bem-sucedido Caminho mínimo de fonte única (algoritmo de Dijkstra): t 1 x s y 2 z

16 Algoritmo Guloso Bem-sucedido Caminho mínimo de fonte única (algoritmo de Dijkstra): t 1 x s y 2 z

17 Algoritmo Guloso Bem-sucedido Caminho mínimo de fonte única (algoritmo de Dijkstra): t 10 1 x s y 2 z

18 Algoritmo Guloso Bem-sucedido Caminho mínimo de fonte única (algoritmo de Dijkstra): 8 t 1 x 14 s y 2 z 7

19 Algoritmo Guloso Bem-sucedido Caminho mínimo de fonte única (algoritmo de Dijkstra): 8 t 1 x 13 s y 2 z 7

20 Algoritmo Guloso Bem-sucedido Caminho mínimo de fonte única (algoritmo de Dijkstra): 8 t 1 x 9 s y 2 z 7

21 Algoritmo Guloso Bem-sucedido Caminho mínimo de fonte única (algoritmo de Dijkstra): 8 t 1 x 9 s y 2 z 7

22 Algoritmo Guloso Mal-sucedido Problema do Caixeiro Viajante: c1 c c3 8 3 c2

23 Algoritmo Guloso Mal-sucedido Problema do Caixeiro Viajante: c1 c c3 8 3 c2

24 Algoritmo Guloso Mal-sucedido Problema do Caixeiro Viajante: c1 c c3 8 3 c2

25 Algoritmo Guloso Mal-sucedido Problema do Caixeiro Viajante: c1 c c3 8 3 c2

26 Algoritmo Guloso Mal-sucedido Problema do Caixeiro Viajante: c1 c c3 8 3 c2

27 Algoritmo Guloso Mal-sucedido Problema do Caixeiro Viajante: c1 c c3 3 8 Custo: 25 c2

28 Algoritmo Guloso Mal-sucedido Problema do Caixeiro Viajante: c1 c c3 3 8 Custo: 24 c2

29 Algoritmo Guloso Mal-sucedido Problema da Mochila 0 1:

30 Algoritmo Guloso Mal-sucedido Problema da Mochila 0 1: item 3 item 2 item R$60 R$100 R$ Mochila

31 Algoritmo Guloso Mal-sucedido Problema da Mochila 0 1: item 3 30 R$120 item 2 + item R$ R$60 R$100 R$120 Mochila=R$220

32 Algoritmo Guloso Mal-sucedido Problema da Mochila 0 1: item 3 item 2 20 R$100 item R$60 R$60 R$100 R$120 Mochila=R$160

33 Algoritmo Guloso Mal-sucedido Problema da Mochila 0 1: item 3 item 2 30 R$120 item R$60 R$60 R$100 R$120 Mochila=R$180

34 Algoritmo Guloso Bem-sucedido Problema da Mochila Fracionária: item 3 item 2 item R$60 R$100 R$ Mochila

35 Algoritmo Guloso Bem-sucedido Problema da Mochila Fracionária: 20/30 R$80 item 3 + item 2 20 R$100 item R$60 R$60 R$100 R$120 Mochila=R$240

36 Programação Dinâmica Método de resolução de problemas complexos que os quebra em subproblemas mais simples (procura resolver cada subproblema somente uma vez, tentando reduzir o número de computações); Problema da Mochila 0 1; Multiplicação de Matrizes;

37 Exemplo de Programação Dinâmica Programação de linha de montagem: f1 f2

38 Exemplo de Programação Dinâmica Programação de linha de montagem: f1 9 f2 12

39 Exemplo de Programação Dinâmica Programação de linha de montagem: f1 9 f

40 Exemplo de Programação Dinâmica Programação de linha de montagem: f f

41 Exemplo de Programação Dinâmica Programação de linha de montagem: f f

42 Exemplo de Programação Dinâmica Programação de linha de montagem: f f

43 Exemplo de Programação Dinâmica Programação de linha de montagem: f f

44 Exemplo de Programação Dinâmica Programação de linha de montagem: f f

45 Bibliografia CORMEN, T. H.; LEISERSON, C. E.; RIVEST, R. L. e STEIN, C. Introduction to Algorithms, 3 a edição, MIT Press, GAREY, M. R. e JOHNSON, D. S. Computers and Intractability. A guide to the theory of NP-Completeness, W.H. Freeman and Company: New York, ZIVIANI, N. Projeto de Algoritmos: com implementações em Pascal e C, 2 a edição, Cengage Learning,