Algoritmos em Grafos

Transcrição

1 Algoritmos em Grafos Letícia Rodrigues Bueno UFABC

2 Motivação Objetivo: aprender a resolver problemas; Como: usando grafos para modelar problemas; Grafos: ferramenta fundamental de abstração; Abstraímos problema real (usando grafos) e solucionamos através de algoritmos;

3 Definição de Grafos Wikipedia (2012):...conjunto de pontos (vértices) ligados por retas (as arestas) Abstração que permite codificar relacionamentos entre pares de objetos; Objetos: cidades, pessoas, países, empresas, etc; Relacionamentos: amizade, conectividade, idioma, etc;

4 Supervisão de pós-graduação

5 Supervisão de pós-graduação Rodrigo Leticia Andreia Renata Felipe Jorge

6 Vôos Aéreos Azul Linhas Aéreas, retirado de:

7 Vôos Aéreos Webjet Linhas Aéreas, retirado de:

8 Vôos Aéreos TAM Linhas Aéreas, retirado de:

9 Número de Bacon Fonte:

10 Número de Bacon Fonte:

11 Representação Computacional: Lista de Adjacências (a) G (b) Lista de Adjacências de G Vantagem: espaço em memória Θ(n + m). Desvantagem: determinar se aresta está em G exige percorrer lista de adjacências.

12 Representação Computacional: Matriz de Adjacências (c) H (d) Matriz de Adjacências de H Vantagem: determinar se aresta está em G exige O(1). Desvantagem: espaço em memória Θ(n 2 ).

13 Representação Computacional: E esse grafo? (e) G 1

14 Problema 1: Número de Erdõs Paul Erdõs: famoso matemático hungáro; Trabalhou com centenas de colaboradores; Publicou mais de artigos; Número de Erdõs é um tributo divertido criado pelos amigos; Paul Erdõs tem número de Erdõs 0; Os colaboradores diretos tem número 1; Os colaboradores dos colaboradores tem número 2 e assim por diante;

15 Definição Dada uma lista de pessoas e as relações de colaboração entre elas, qual é o número de Erdõs de cada pessoa?

16 Definição Dada uma lista de pessoas e as relações de colaboração entre elas, qual é o número de Erdõs de cada pessoa? Este problema pode ser modelado através de um grafo: As pessoas são os vértices; As relações de colaboração são as arestas.

17 Exemplo Murty Bondy White Chvatal Harary Lovasz 0 Erdos Babai Hell Deng Imrich Papadi mitriou Watkins Gates

18 Busca em Largura (BFS - Breadth-First Search) Murty Bondy White Chvatal Harary Lovasz 0 Erdos Babai Hell Deng Imrich Papadi mitriou Watkins Gates

19 Busca em Largura (BFS - Breadth-First Search) Murty Bondy White Chvatal Harary Lovasz 0 Erdos Babai Hell Deng Imrich Papadi mitriou Watkins Erdos Gates

20 Busca em Largura (BFS - Breadth-First Search) Murty Bondy White Chvatal1 Harary1 Lovasz1 0 Erdos Babai 1 Imrich Watkins Hell 1 Deng Papadi mitriou Gates Chvatal Lovasz Babai Hell Harary

21 Busca em Largura (BFS - Breadth-First Search) Murty Bondy 2 White 2 Chvatal1 Harary1 Lovasz1 0 Erdos Babai 1 Imrich2 Watkins2 Hell 1 2 Deng Papadi mitriou Gates Bondy Imrich Watkins Deng White

22 Busca em Largura (BFS - Breadth-First Search) Murty 3 Bondy 2 White 2 Chvatal1 Harary1 Lovasz1 0 Erdos Babai 1 Imrich2 Watkins2 Hell Deng Papadi mitriou Gates Murty Papadimitriou

23 Busca em Largura (BFS - Breadth-First Search) Murty 3 Bondy 2 White 2 Chvatal1 Harary1 Lovasz1 0 Erdos Babai 1 Imrich2 Watkins2 Gates Hell Deng Papadi mitriou 4 Gates

24 Busca em Largura (BFS - Breadth-First Search) Murty Bondy White Chvatal Harary Lovasz Erdos Babai Hell Deng Imrich Papadi mitriou Watkins Gates

25 Algoritmo BFS 1 bfs(g, s): 2 para u em V(G) faça 3 u.visitado = False 4 u.d = 5 u.p = None 6 s.visitado = True 7 s.d = 0 8 Q = Fila() 9 insere(q, s) 10 enquanto tamanho(q) > 0 faça 11 u = remove(q) 12 para v em adj(u) faça 13 se não v.visitado então 14 v.d = u.d v.p = u 16 v.visitado = True 17 insere(q, v)

26 Algoritmo BFS 1 bfs(g, s): 2 para u em V(G) faça 3 u.visitado = False 4 u.d = 5 u.p = None 6 s.visitado = True 7 s.d = 0 8 Q = Fila() 9 insere(q, s) 10 enquanto tamanho(q) > 0 faça 11 u = remove(q) 12 para v em adj(u) faça 13 se não v.visitado então 14 v.d = u.d v.p = u 16 v.visitado = True 17 insere(q, v) Análise da complexidade:

27 Algoritmo BFS 1 bfs(g, s): 2 para u em V(G) faça 3 u.visitado = False 4 u.d = 5 u.p = None 6 s.visitado = True 7 s.d = 0 8 Q = Fila() 9 insere(q, s) 10 enquanto tamanho(q) > 0 faça 11 u = remove(q) 12 para v em adj(u) faça 13 se não v.visitado então 14 v.d = u.d v.p = u 16 v.visitado = True 17 insere(q, v) Análise da complexidade: Cada vértice adicionado uma vez na fila (linha 17): O(n)

28 Algoritmo BFS 1 bfs(g, s): 2 para u em V(G) faça 3 u.visitado = False 4 u.d = 5 u.p = None 6 s.visitado = True 7 s.d = 0 8 Q = Fila() 9 insere(q, s) 10 enquanto tamanho(q) > 0 faça 11 u = remove(q) 12 para v em adj(u) faça 13 se não v.visitado então 14 v.d = u.d v.p = u 16 v.visitado = True 17 insere(q, v) Análise da complexidade: Cada vértice adicionado uma vez na fila (linha 17): O(n) A lista de adjacência de cada vértice percorrida uma vez (linha 12): O(m)

29 Algoritmo BFS 1 bfs(g, s): 2 para u em V(G) faça 3 u.visitado = False 4 u.d = 5 u.p = None 6 s.visitado = True 7 s.d = 0 8 Q = Fila() 9 insere(q, s) 10 enquanto tamanho(q) > 0 faça 11 u = remove(q) 12 para v em adj(u) faça 13 se não v.visitado então 14 v.d = u.d v.p = u 16 v.visitado = True 17 insere(q, v) Análise da complexidade: Cada vértice adicionado uma vez na fila (linha 17): O(n) A lista de adjacência de cada vértice percorrida uma vez (linha 12): O(m) Complexidade total: O(n+m)

30 Exercícios 1. Considere G = (V, E), n = V, m = E e grafos não-orientados. Calcule a complexidade no pior caso de: Problema Espaço em memória Buscar vértices adjacentes de um vértice v Conferir adjacência dos vértices u e v Visitar todas as arestas Calcular o grau de um vértice v Matriz Adjacências Lista Adjacências

31 Bibliografia Utilizada CORMEN, T. H.; LEISERSON, C. E.; RIVEST, R. L. e STEIN, C. Introduction to Algorithms, 3 a edição, MIT Press, 2009.