Melhor caminho entre duas estações de metro

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1 [EIC0110] Concepção e Análise de algoritmos Trabalho de Grupo 1: Tema 7 Melhor caminho entre duas estações de metro Turma 3 Grupo 13 Maio de 2011 Trabalho realizado por: Maria Antonieta Dias Ponce de Leão e Oliveira ei07157@fe.up.pt

2 Índice 1 Introdução Resumo Limites da aplicação Resultados esperados Detalhes da implementação Situações de contorno Algoritmos Implementados Diagrama de Classes Casos de utilização Dificuldades Encontradas Conclusão Desenvolvimentos Futuros Bibliografia Índice de Figuras Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Página 2 de 12

3 1 Introdução 1.1 Resumo Este trabalho consiste numa optimização de procura do melhor caminho (menor peso) entre duas estações de metro. Como parâmetros de entrada, fornecidos pelo utilizador tem-se: Nome do executável (obrigatório); Um ficheiro de texto com o nome da rede de metro, em termos de linhas e estações pertencentes a essa linha (cada linha horizontal corresponde a uma linha de metro e nela se encontram, separadas por espaços, as estações que constituem essa mesma linha) (obrigatório); Estação de origem e de destino (opcionais). Pretende-se que o utilizador introduza os parâmetros na consola da seguinte forma: Nome_do_executável Nome_do_ficheiro_de_texto.txt Estação_de_origem Estação_de_destino Por exemplo: Figura 1 A Figura 1 representa um mapa de linhas de metro correspondente ao input de um ficheiro (Graph1.txt) com o formato: A B C Página 3 de 12

4 1.2 Limites da aplicação Prevê-se que uma vez que será implementado um algoritmo de Dijkstra (modificado) esta aplicação funcionará apenas para grafos não dirigidos e com arestas de custo não negativo. 1.3 Resultados esperados Prevê-se que seja calculado, correctamente, o caminho de menor peso entre pares de estações, o que nem sempre poderá significar a passagem por menos estações. Por exemplo o caminho de menor custo entre 3 e 5 é 3 A 2 A 1 C 4 C 5 e não 3 A 2 B 4 C 5. Prevê-se também que a implementação deste algoritmo de Dijsktra modificado resulte numa complexidade temporal e espacial apropriadas. Página 4 de 12

5 2 Detalhes da implementação 2.1 Situações de contorno A criação do grafo correspondente a um determinado mapa é feita de forma a que, a cada combinação estação linha, corresponda um vértice do grafo. Por exemplo na Figura 1, pela estação 1 passam 3 linhas diferentes, a linha A, B e C. Assim na construção do grafo são criados 4 vértices, o vértice 1, correspondente a estação 1, o vértice 1A correspondente à escolha da linha A na estação 1, o vértice 1B correspondente à escolha da linha B na estação 1 e o vértice 1C correspondente à escolha da linha C na estação 1, e por assim em diante para as restantes combinações de estação linha (ver Figura 2). Esta modificação também facilita a atribuição de pesos diferentes para mudar/entrar/sair de linhas e viajar na mesma linha. Figura 2 Página 5 de 12

6 2.2 Algoritmos Implementados O algoritmo de escolha foi baseado no de Dijkstra 1, que consiste no seguinte: Para um dado vértice de um grafo o algoritmo encontra o caminho de menor custo entre esse vértice e todos os outros vértices do grafo. 1. Chama-se ao vértice de origem nó inicial. Marcando-o com peso zero (0) e todos os restantes nós com peso infinito (9999); 2. Para o vértice actual consideram-se todos os vértices vizinhos e calcula-se o seu peso de ensaio. Se o peso calculado for menor que o peso que se encontra no vértice (que no inicio do algoritmo é infinito ) substituímos pelo peso agora calculado, somando o custo do vértice actual com o custo da aresta; 3. Verifica-se se o peso de algum vértice foi alterado; 3.1. Se sim, executar o passo 2 para todos os vértices cujo peso foi alterado; 3.2. Se não, terminar. Este algoritmo tem uma complexidade temporal de O(N.log(N)) e uma complexidade espacial de O(N 2 ). 1 Dijkstra Algoritmo criado por (Edsger Wybe Dijkstra) em 1956 e publicado em Página 6 de 12

7 2.3 Diagrama de Classes Figura 3 Página 7 de 12

8 2.4 Casos de utilização O programa calcula o caminho mais curto entre estações de metro: 1. Se for fornecido pelo utilizador uma estação de origem e uma estação de destino, o programa devolve, na consola (ver Figura 4), o caminho mais curto entre elas. Abre a API de visualização e marca esse caminho mais grosso e as estações por onde passa a Vermelho (ver Figura 5). Por exemplo, caminho mais curto entre as estações estação 1 e 2: (entrar na estação 1, apanhar a linha A e seguir na linha A até à estação 2) Figura 4 Figura 5 Página 8 de 12

9 2. Se for fornecido pelo utilizador apenas a estação de origem o programa devolve o caminho mais curto entre a estação de origem e todas as outras e mostra o grafo na API de visualização. Por exemplo, estação de origem 1: Figura 6 3. Se não for fornecida nem estação de origem nem estação de destino o programa devolve na consola o caminho mais curto entre todos os pares de estações e os seus simétricos. E mostra o grafo na API de visualização. Figura 7 Página 9 de 12

10 2.5 Dificuldades Encontradas A leitura do ficheiro e consequente criação dos vértices e das arestas do grafo sofreu variadas alterações, devido a situações que foram surgindo durante a implementação, assim houve a necessidade de criar: a) Vértices para cada estação, a estação em si, e as combinações estação linha. Criando os parâmetros string originalname que corresponde ao nome da estação em si, e o parâmetro string name que corresponde à combinação estação linha. b) Parâmetro int id, uma vez que a API de visualização restringe o uso de inteiros para identificar tanto os vértices como as arestas. c) A função Reset(), que repõe todos os nós com peso infinito (9999) e como não visitados. Pois o algoritmo de Dijkstra apenas permite o cálculo entre uma estação de origem e uma de destino. Quando se queria calcular o peso entre uma estação e todas as outras (no caso de apenas a estação de origem ser fornecida) ou o peso entre todos os pares de estações (no caso de não ser fornecida nem estação de origem nem destino) os vértices já se encontravam marcados como visitados e, como tal, o algoritmo parava, pois todos os pesos, a partir de uma origem e em direcção a um destino, já se encontravam calculados. Mas as restantes combinações não. d) O parâmetro previousconnection, que indica qual foi o vértice anterior pelo qual se chegou ao vértice actual, necessário para a criação do caminho que no final é devolvido ao utilizador. e) MAKEFILE, poderá não estar a funcionar correctamente. Página 10 de 12

11 3 Conclusão Os objectivos propostos foram cumpridos, cálculo e visualização do melhor caminho (de menor peso) entre estações. Chegou-se à conclusão que o algoritmo de Dijkstra (Dijkstra's algorithm) não é o algoritmo mais indicado para o problema proposto. Surgiu a necessidade de criar um algoritmo baseado no de Dijkstra que apesar de aumentar a complexidade temporal, aumenta também a qualidade dos resultados e permite a utilização de grafos mais complexos. 3.1 Desenvolvimentos Futuros Para grafos direccionados é preciso definir um formato do ficheiro de entrada e implementar um parser para isso. Caso essa funcionalidade estivesse disponível, dependendo do grafo e do ponto de partida, o algoritmo iria conseguir chegar ao ponto de destino mas nesse caso haveria a possibilidade de não encontrar um caminho. Página 11 de 12

12 Bibliografia CPlusPlus. (s.d.). Obtido em 9 de Maio de 2011, de Dijkstra's algorithm. (s.d.). Obtido em 9 de Maio de 2011, de Edsger Wybe Dijkstra. (s.d.). Obtido em 9 de Maio de 2011, de Fibonacci heap. (s.d.). Obtido em 9 de Maio de 2011, de Rossetti, R. (s.d.). Wiki da disciplina. Obtido em Maio de 2011, de Página 12 de 12