2º Trabalho Prático - Algoritmos em grafos

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1 Page of LEIC - AEDII - 00/003 - º Semestre º Trabalho Prático - Algoritmos em grafos Introdução Conteúdo do trabalho O segundo trabalho consiste no desenvolvimento de um programa em Java de aplicação de algoritmos em grafos, escrita de um pequeno relatório e realização de uma apresentação e discussão final. Duração do trabalho O segundo trabalho está dimensionado para poder ser realizado em 3 semanas, entre de Maio e 3 de Maio. Formação dos grupos e escolha do trabalho Os trabalhos são realizados em grupos de alunos no máximo, todos da mesma turma. Cada grupo deve enviar o mais cedo possível uma mensagem por para o respectivo docente das aulas práticas com a constituição do grupo e uma lista de preferências, com todos os trabalhos propostos ordenados por ordem de preferência decrescente. O docente responder á por e- mail indicando qual o trabalho atribuído ao grupo. Pretende-se que, em cada turma, não existam dois grupos a realizar o mesmo trabalho. Estrutura do relatório O relatório deve descrever o objectivo do programa, a estrutura geral do programa (estrutura de classes e "packages"), principais problemas encontrados e soluções adoptadas durante o desenvolvimento, o modo de utilização do programa (formatos de entrada

2 Page of e saída de dados, opções de chamada, etc.), exemplos de execução e teste do programa e resultados obtidos. Deve também mencionar as fontes consultadas. A capa deve ter o título do trabalho, o contexto em que se realizou (escola, curso e disciplina), os autores e a data. As páginas devem ter um cabeçalho ou rodapé com o título do trabalho e o número da página, pelo menos. O relatório não deve ter mais de 0 páginas A. Em todos os trabalhos, o relatório deve descrever casos de teste ou exemplos suficientes para cobrir as várias situações previstas nos algoritmos (idealmente, devem-se exercitar todas as linhas do programa). Entrega e discussão do trabalho O trabalho ser entregue até ao fim do dia 3 de Maio ao respectivo docente das aulas práticas, sendo demonstrado e discutido na aula prática subsequente. Enviar por o projecto Java com o código fonte, o relatório e eventuais ficheiros adicionais, tudo compactado num.zip, até ao fim do dia 3 de Maio (ou enviar mensagem com link para sítio onde se pode recolher esse material). O relatório impresso pode ser depositado até ao fim do dia de Junho na caixa de correio do docente respectivo. Segue-se uma lista de temas de trabalhos propostos. Lista de Trabalhos Propostos #. Melhor caminho entre duas estações de metro #. Caminho mais rápido em transportes aéreos #3. Fluxo máximo numa rede de transporte #. Árvore de expansão mínima (minimum spanning tree) #. Componentes fortemente conexos #. Circuito de Euler #7. Problema do carteiro Chinês (Chinese postman problem)

3 Page 3 of. Melhor caminho entre duas estações de metro A figura seguinte mostra um exemplo esquemático de uma rede de metro. Estação linha A 3 linha B linha C Supõe-se que uma rede de metro é constituída por estações (representadas por números na figura) ligadas por ramais sobre os quais são definidas linhas de circulação (representadas por letras e cores na figura). As linhas podem ser circulares (como a linha B na figura) ou "lineares" (com as linhas A e C na figura). Supõe-se que todas as linhas são realizadas nos dois sentidos (mesmo as linhas circulares). Supõe-se que a rede é conexa (isto é, pode-se ir de uma estação qualquer para outra qualquer). A configuração de uma rede de metro pode ser definida num ficheiro de texto, com uma linha de texto para cada linha de circulação, contendo o nome da linha seguido dos nomes das estações. Para simplificar, supõe-se que os nomes das linhas e das estações não têm espaços. A rede da figura acima seria definida da seguinte forma: A 3 B C Dada uma estação de origem e uma estação de saída, pretende-se determinar o melhor caminho a seguir, no sentido de

4 Page of minimizar, em primeiro lugar, as mudanças de linha de circulação (mudanças de veículo) e, em segundo lugar, o número de estações atravessadas. Nesse sentido, o melhor caminho a seguir entre a estação e a estação 3 na figura acima seria B A 3 Quando há dois caminhos igualmente bons por este critério, o programa pode escolher um qualquer (não é necessário mostrar os vários caminhos igualmente bons). O programa deve ter como parâmetros de chamada (passados na linha de comandos) o nome do ficheiro com a configuração da rede, o nome da estação de origem e o nome da estação de destino. O programa deve escrever no standard output o caminho a seguir, no formato indicado acima (sem mais nenhuma mensagem adicional, para facilitar). Se não for indicada o 3º parâmetro (estação de destino), o programa deve escrever no standard output, os melhores caminhos para todas as outras estações (a partir da estação de origem indicada no º parâmetro). Se forem omitidos o º e o 3º parâmetro, o programa deve escrever no standard output os melhores caminhos entre todos os pares de estações (uma linha de texto para cada par de estações). No caso da figura, os melhores caminhos entre todos os pares de estações seriam: A ou B A A 3 B ou C C C A 3 B B C 3 A B 3 A A C C C (mais todos os simétricos) Conceptualmente, este problema pode ser resolvido aplicando os algoritmos de caminhos mais curtos em grafos (nomeadamente o algoritmo de Dijkstra), sobre um grafo modificado conforme indicado na figura seguinte:

5 Page of A 3A 3 A B C B B C ou outro valor superior ao nº total de ramais (neste caso ) C A figura mostra também a traço mais forte o melhor caminho que se obtém entre as estações e 3, que corresponde ao caminho de menor custo total (neste caso, ). De acordo com o critério indicado acima, a cada entrada ou saída de um veículo é associado um custo elevado, enquanto que a cada ligação entre duas estações é associado um custo baixo.. Caminho mais rápido em transportes aéreos Pretende-se desenvolver um programa para ajudar a escolher o voo ou voos a tomar para viajar de um aeroporto de origem para um aeroporto de destino no menor tempo possível (desde a partida no aeroporto de origem até à chegada ao aeroporto de

6 Page of destino), sem restrição de hora de partida ou chegada. Os voos oferecidos pelas companhias aéreas estão especificados num ficheiro de texto (a ler pelo programa), com uma linha para cada voo, indicando o número do voo (sigla da companhia aérea seguido de um número atribuído pela companhia), o nome do aeroporto de origem, a hora de partida do aeroporto de origem, o nome do aeroporto de destino e a hora de chegada ao aeroporto de destino. No caso de um voo com escalas, são indicados os aeroportos intermédios, por ordem, entre os aeroportos de origem e de destino, com a hora de chegada e a hora de partida a seguir ao nome de cada aeroporto intermédio. Os nomes de aeroportos são escritos sem espaços. Todas as horas são em tempo GMT. Exemplo de um ficheiro com especificação de voos: TP98 Porto 09:00 Madrid :00 IB877 Madrid :00 LasPalmasGranCanaria :00 :30 SantaCruzTenerife :0 TP98 Porto 09:30 Lisboa 0:30 PGA0 Lisboa :0 SantaCruzTenerife :00 :30 LasPalmasGranCanaria 7:0 Supõe-se que todos os voos se realizam diariamente. Supõe-se que podem entrar e sair passageiros em todos os aeroportos intermédios em que um voo faz escala. Supõe-se que, para poder mudar de voo num aeroporto, um passageiro precisa pelo menos de 30 minutos (entre a chegada num voo e a partida noutro voo). O programa deve ter como parâmetros de chamada (passados na linha de comandos) o nome do ficheiro com a especificação dos voos, o nome do aeroporto de origem e o nome do aeroporto de destino. O programa deve escrever no standard output o voo ou voos a tomar. No caso de vários voos, o programa deve escrever uma linha para cada voo. Para cada voo a tomar, o programa deve mostrar o número do voo, o aeroporto em que se deve tomar esse voo, a hora de saída do voo, o aeroporto em que se deve deixar esse voo e a hora de chegada do voo. Por exemplo, para os voos acima especificados, e para viajar do Porto para SantaCruzTenerife o programa deve produzir o seguinte resultado: TP98 Porto 09:30 Lisboa 0:30 PGA0 Lisboa :0 SantaCruzTenerife :00 Conceptualmente, este problema pode ser resolvido aplicando os algoritmos de caminhos mais curtos em grafos (nomeadamente o algoritmo de Dijkstra), sobre um grafo modificado conforme indicado na figura seguinte (relativamente aos voos acima

7 Page 7 of exemplificados): 0 Porto P TP98 0:00 Madrid C TP98 0:00 Madrid P IB877 Porto 0 Porto P TP98 03:00 LPGC C IB877 00:30 0:00 LPGC C PGA0 :0 LPGC P IB877 00:0 00:0 Lisboa C TP98 SCT P PGA0 :0 SCT C IB877 0:0 Lisboa P PGA0 03:0 00:30 SCT C PGA0 0 0 SCT

8 Page 8 of As letras "C" e "P" referem-se a chegadas e partidas, respectivamente. As ligações entre aeroportos são marcadas com o tempo de voo correspondente. Em cada aeroporto, todas as chegadas são ligadas a todas as partidas, com o tempo de espera correspondente. O caminho mais curto entre Porto e SCT está indicado a traço mais forte. O programa deve ter opções (na forma de parâmetros passados na linha de comandos) para, caso o utilizador pretenda, restringir as horas de saída e as horas de chegada. 3. Fluxo máximo numa rede de transporte Implementar o algoritmo de cálculo do fluxo máximo numa rede de transporte estudado nas aulas teóricas (ver grafos.ppt). A rede de transporte (grafo de capacidades) deve ser definida num ficheiro de texto, com uma linha de texto para cada aresta da rede, indicando os nomes dos vértices de origem e de destino e a capacidade da aresta. Os nomes dos vértices não podem ter espaços. O programa deve ter como parâmetro de chamada (passado na linha de comandos) o nome do ficheiro com a especificação da rede de transporte, e deve escrever no standard output o fluxo máximo que a rede suporta e uma solução correspondente a esse fluxo máximo (grafo de fluxos) com o fluxo que passa em cada aresta, no mesmo formato que o especificado para o ficheiro de entrada, com fluxos nas arestas em vez de capacidades.. Árvore de expansão mínima (minimum spanning tree) Implementar os algoritmos de Prim e Kruskal para determinar uma árvore de expansão mínima de um grafo não dirigido pesado conexo. Estes algoritmos foram estudados nas aulas teóricas (ver grafos.ppt). O programa também deve aceitar grafos não conexos. Nesse caso, deve determinar tantas árvores quantos os componentes conexos do grafo. O grafo deve ser definido num ficheiro de texto, com uma linha de texto para cada aresta do grafo, com os nomes dos dois vértices ligados pela aresta e a capacidade da aresta. Os nomes dos vértices não podem ter espaços. O mesmo par de vértices não pode aparecer mais do que uma vez

9 Page 9 of O programa deve ter como parâmetros de chamada (passados na linha de comandos) o nome do ficheiro com a especificação do grafo e o nome do algoritmo a usar (Prim ou Kruskal), e deve escrever no standard output uma árvore de expansão máxima (ou conjunto de árvores, se o grafo não for conexo) obtida pelo algoritmo escolhido. Essa árvore deve ser escrita no mesmo formato que o ficheiro de entrada (com menos arestas).. Componentes fortemente conexos Implementar o algoritmo estudado nas aulas teóricas (ver grafos3.ppt) para determinar os componentes fortemente conexos de um grafo dirigido, com base no algoritmo de pesquisa em profundidade. O grafo deve ser definido num ficheiro de texto, com uma linha de texto para cada aresta, com o nome da aresta e os nomes dos vértices de origem e de destino, separados por um ou mais espaços. Os nomes dos vértices e das arestas não podem ter espaços. Não podem existir duas arestas com o mesmo nome. O programa deve ter como parâmetro de chamada (passado na linha de comandos) o nome do ficheiro com a especificação do grafo, e deve escrever no standard output os componentes fortemente conexos obtidos, com um componente por linha. Para descrever um componente, basta indicar um número de ordem do componente, seguido da lista de vértices que fazem parte do componente.. Circuito de Euler Implementar o algoritmo estudado nas aulas teóricas (ver grafos3.ppt) para verificar se um grafo não dirigido tem um circuito de Euler e, em caso afirmativo, determiná-lo. O grafo deve ser definido num ficheiro de texto, com uma linha de texto para cada aresta, com o nome da aresta e os nomes dos vértices de origem e de destino, separados por um ou mais espaços. Os nomes dos vértices e das arestas não podem ter espaços. Não podem existir duas arestas com o mesmo nome. No entanto, podem existir arestas paralelas. O programa deve ter como parâmetro de chamada (passado na linha de comandos) o nome do ficheiro com a especificação do grafo, e deve escrever no standard output uma mensagem indicando se o grafo tem um circuito de Euler e, em caso afirmativo, a

10 Page 0 of descrição de um circuito de Euler possível. O circuito deve ser apresentado na forma de uma sequência de nomes de vértices e arestas (alternados), começando num vértice e acabando no mesmo vértice. 7. Problema do carteiro Chinês (Chinese postman problem) Nota: Este trabalho só deve ser escolhido por alunos que gostam de desafios. Um carteiro recolhe um conjunto de correspondência numa estação de correios, distribui a correspondência ao longo de um conjunto de ruas e regressa à estação de correios. Obviamente, o carteiro tem de percorrer cada rua pelo menos uma vez, numa direcção qualquer. A questão é: Que caminho deve seguir o carteiro para percorrer a menor distância possível? Este problema, conhecido como o problema do carteiro Chinês (Chinese postman problem) foi proposto pela primeira vez por um matemático Chinês Kwan. Se G denotar o grafo não dirigido conexo pesado representando as ruas e respectivos comprimentos (os vértices são os cruzamentos ou entroncamentos de ruas), então o problema do carteiro Chinês é simplesmente o problema de encontrar um caminho fechado (i.e., com início e fim no mesmo vértice) de peso mínimo que atravesse cada aresta de G pelo menos uma vez. A um caminho nessas condições chamaremos percurso óptimo do carteiro Chinês. A qualquer caminho fechado (não necessariamente de peso mínimo) que atravesse cada aresta de G pelo menos uma vez chamaremos percurso do carteiro. Se G for um grafo Euleriano (o que acontece quando o número de arestas convergentes em cada vértice de G é par), então qualquer circuito de Euler é um percurso óptimo do carteiro Chinês. Um algoritmo para encontrar um circuito de Euler foi estudado nas aulas teóricas (ver grafos3.ppt). Se G não for um grafo Euleriano, é necessário usar um algoritmo mais elaborado. O algoritmo a seguir apresentado, baseia-se na construção de um grafo Euleriano G* obtido a partir de G duplicando algumas arestas (seleccionadas por forma a conseguir um grafo Euleriano com peso total mínimo). Este algoritmo pode ser implementado em tempo polinomial

11 Page of Algoritmo para achar um percurso óptimo do carteiro Chinês num grafo G (não dirigido pesado conexo):. Identificar todos os vértices de G de grau ímpar (isto é, vértices com número ímpar de arestas convergentes). Sejam v, v,..., v k esses vértices (k ). Se não existirem vértices de grau ímpar em G, fazer G*=G e saltar para o passo.. Calcular os caminhos mais curtos entre todos os pares de vértices de grau ímpar. Seja d(v i,v j ) a distância entre dois vértices de grau ímpar v i e v j (distância pelo caminho mais curto). 3. Construir um grafo completo G' com os vértices de grau ímpar de G ligados entre si por arestas de peso igual à distância mínima calculada no passo anterior.. Encontrar um matching perfeito de peso mínimo em G' (). Isto corresponde a agrupar os vértices de grau ímpar em grupos de, tal que a soma das distâncias (em G) entre vértices do mesmo grupo é mínima. Para cada par (x i, y j ) neste matching perfeito, adicionar pseudo-arestas (arestas paralelas duplicadas) a G ao longo de um caminho mais curto entre v i e v j. Seja G* o grafo resultante.. Achar um circuito de Euler em G* (ver algoritmo em grafos3.ppt). Este circuito é um percurso óptimo do carteiro Chinês. Nota: () Um matching num grafo é um conjunto de arestas independentes, isto é, arestas que não se tocam (não têm vértices em comum). Intuitivamente, um matching estabelece um agrupamento de vértices em pares. Um matching perfeito é um matching que envolve todos os vértices. Um matching perfeito de peso mínimo é um matching em que a soma dos pesos das arestas seleccionadas é o menor possível entre todos os matchings perfeitos. O problema de encontrar um matching perfeito de peso mínimo pode ser reduzido ao problema de encontrar um matching de peso máximo por uma simples mudança de pesos. Basta substituir cada peso w ij por max(w ij )+-w ij. Sendo o grafo completo e com número par de vértices, um matching de peso máximo (ou mínimo) é necessariamente perfeito. Um algoritmo para resolver eficientemente (em tempo polinomial) o problema de matching de peso mínimo num grafo genérico é descrito por exemplo em (cópia em chap9.pdf). Uma vez que o algoritmo é complexo, aceita-se aqui uma implementação de "força bruta", em que são analisadas todas as (k-)x(k-3)x...x maneiras possíveis de emparelhar k vértices. Ou então, pedir a ajuda dos docentes

12 Page of É relativamente fácil verificar que nenhuma aresta aparece mais do que uma vez nos caminhos mais curtos identificados no passo do algoritmo. Isto significa que nenhuma aresta será atravessada mais do que duas vezes num percurso óptimo. A figura seguinte mostra um exemplo de um grafo representando um conjunto de ruas com cruzamentos e entroncamentos. Cada rua tem associado um peso que representa o seu comprimento numa determinada unidade de medida. Os vértices de grau ímpar estão marcados a sombreado. v v v v v 8 7 v

13 Page 3 of Para encontrar as arestas a duplicar, temos de primeiro calcular as distâncias (pelo caminho mais curto) entre todos os pares de vértices de grau ímpar. O quadro seguinte mostra essas distâncias (o triângulo inferior não é mostrado porque é simétrico): d(v i,v j ) v v v3 v v v v v - 3 v3-9 0 v - 3 v - 7 v - O grafo G' correspondente (com estes vértices unidos por arestas de peso igual à distância) é:

14 Page of O matching perfeito de peso mínimo é o indicado pelas arestas a traço forte no grafo G'. Assim, temos de adicionar ao grafo G caminhos mais curtos a ligar os vértices e 3, os vértices e, e os vértices e. O resultado é o grafo Eulereriano G* a seguir indicado. Os números nas arestas indicam já a ordem por que devem ser percorridas as arestas ao longo de um circuito de Euler (e não as distâncias) O programa deve ler a definição do grafo de um ficheiro de texto cujo nome é indicado como parâmetro de chamada do programa (pela linha de comandos) e deve escrever no standard output o caminho a seguir pelo carteiro (como uma sequência de nomes de arestas)

15 Page of Cada linha do ficheiro de entrada deve descrever uma aresta pesada, com o nome da aresta, os nomes dos dois vértices ligados por essa aresta e a distância. Os nomes dos vértices e das arestas não podem ter espaços. João Pascoal Faria (jpf@fe.up.pt) Última modificação: