Lógica Proposicional. LEIC - Tagus Park 2 o Semestre, Ano Lectivo 2007/08. c Inês Lynce c Luísa Coheur

Transcrição

1 Capítulo 2 Lógica Proposicional Lógica para Programação LEIC - Tagus Park 2 o Semestre, Ano Lectivo 2007/08 c Inês Lynce c Luísa Coheur

2 Programa Apresentação Conceitos Básicos Lógica Proposicional ou Cálculo Proposicional Lógica de 1 a ordem ou Lógica de Predicados Programação em Lógica Prolog

3 Programa Apresentação Conceitos Básicos Lógica Proposicional ou Cálculo Proposicional Lógica de 1 a ordem ou Lógica de Predicados Programação em Lógica Prolog

4 Bibliografia Martins J.P., Lógica para Programação, Capítulo 2. Ben-Ari M., Mathematical Logic for Computer Science, Springer-Verlag, 2003, capítulos 2 e 4 (parte) Huth M. e Ryan M., Logic in Computer Science, Cambridge University Press, 2004, capítulos 1 e 6 (parte)

5 Componentes de uma Lógica (relembrar) 1. Linguagem 2. Sistema dedutivo o que estivémos a dar até agora Sistema semântico

6 Componentes de uma Lógica (relembrar) 1. Linguagem 2. Sistema dedutivo 3. Sistema semântico o que vamos começar a dar hoje...

7 Sistema Semântico 1. O que acontece num sistema semântico? 2. Conceitos básicos 3. Como obter o valor lógico de uma fbf? 4. Diagramas de decisão binários (BDDs) 5. Diagramas de decisão binários ordenados (OBDDs)

8 Sistema Semântico 1. O que acontece num sistema semântico? 2. Conceitos básicos 3. Como obter o valor lógico de uma fbf? 4. Diagramas de decisão binários (BDDs) 5. Diagramas de decisão binários ordenados (OBDDs)

9 O que acontece num sistema semântico? Num sistema semântico consideram-se as fbfs e os símbolos lógicos sob o ponto de vista do seu significado (e não da sua forma).

10 O que acontece num sistema semântico? Num sistema semântico o valor lógico de uma fbf depende apenas dos valores lógicos das fbfs que a compõem e dos símbolos lógicos que relacionam esses componentes.

11 Sistema Semântico 1. O que acontece num sistema semântico? 2. Conceitos básicos 3. Como obter o valor lógico de uma fbf? 4. Diagramas de decisão binários (BDDs) 5. Diagramas de decisão binários ordenados (OBDDs)

12 Conceitos básicos função de valoração No sistema semântico da lógica proposicional, uma função de valoração v é uma função que faz corresponder a cada símbolo de proposição o valor Verdadeiro (V) ou Falso (F): v : P {V, F }

13 Conceitos básicos Satisfação Dado um símbolo de proposição P e uma função de valoração v, diz-se que: v satisfaz P se e só se v(p) = V (diz-se também que P é verdadeiro segundo a função de valoração v); v não satisfaz P caso contrário.

14 Exemplo Sejam A o símbolo que representa O IST tem dois campus ; B o símbolo que representa A cadeira de LP é fácil ; v uma função de valoração tal que v(a) = T e v(b) = F. Nesta situação, v satisfaz A e não satisfaz B.

15 Conceitos básicos interpretação Dada uma fbf α que contenha os símbolos de proposição P 1,..., P n, uma interpretação é uma função de valoração que atribui valores a todos esses símbolos de proposição.

16 Sistema Semântico 1. O que acontece num sistema semântico? 2. Conceitos básicos 3. Como obter o valor lógivo de uma fbf 4. Diagramas de decisão binários (BDDs) 5. Diagramas de decisão binários ordenados (OBDDs)

17 Então e como é que se obtém o valor lógivo de uma fbf?

18 Se a fbf for um símbolo de predicado esse valor lógico é dado directamente pela função de valoração.

19 Se a fbf contiver símbolos lógicos há que definir o significado dos símbolos lógicos (,,, )....

20 Tabelas de verdade para,,, α α V F F V α β α β α β α β α β α β V V V V V V V V V V F F V F V V F F F V F F V V F V V F F F F F F F F V

21 ... e depois de definir o significado dos símbolos lógicos os valores lógicos da fbf são obtidos através da composição dos valores lógicos das suas fbfs.

22 Exemplo: (A B) ( A B) A B A B A B (A B) ( A B) V V V F F V F F V V F V F V V F F F V V

23 Só que há um problema com este método a dimensão da tabela de verdade cresce exponencialmente em função do número de predicados.

24 Mas antes de avançar para uma solução vamos fixar um conjunto de conceitos.

25 Conceitos: fbfs tautológicas, satisfazíveis, falsificáveis e contraditórias Tautológicas: verdadeiras para todas as interpretações Satisfazíveis: existe pelo menos uma interpretação na qual a fbf é verdadeira Falsificável: existe pelo menos uma interpretação na qual a fbf é falsa Contraditórias (ou não satisfazíveis): falsas para todas as interpretações

26 Exemplos (P Q) é satisfazível e falsificável; P P é tautológica; (P P) é contraditória.

27 Conceitos: conjunto satisfazível/contraditório e modelo Um conjunto de fbfs diz-se satisfazível sse existe pelo menos uma interpretação (dita um modelo) que satisfaz todas as suas fórmulas; Um conjunto de fbfs diz-se contraditório sse não existe nenhuma interpretação que satisfaz todas as suas fórmulas.

28 Exemplos O conjunto {P,Q,P Q}, pois a interpretação v(p) = V e v(q) = V satisfaz todas as suas fórmulas (e é portanto um modelo desse conjunto); O conjunto {P, P} é contraditório, pois não existe nenhuma interpretação que satisfaça todas as suas fórmulas.

29 Sistema Semântico 1. O que acontece num sistema semântico? 2. Conceitos básicos 3. Como obter o valor lógico de uma fbf 4. Diagramas de decisão binários (BDDs) 5. Diagramas de decisão binários ordenados (OBDDs)

30 Diagramas de decisão binários (Binary Decision Diagrams OBDDs) Para se conseguir determinar de um modo mais eficiente o valor lógico das fbfs vamos estudar os BDDS.

31 Diagramas de decisão binários (Binary Decision Diagrams OBDDs) Mas antes de chagar aos BDDs, há que apresentar um conjunto de conceitos...

32 Conceito Árvores de decisão binárias Nós não terminais: são rotulados com os símbolos de predicado da fbf; cada um tem dois arcos: um tracejado e outro cheio; Nós terminais: são rotulados com 0/1 (Falso/Verdadeiro).

33 Exemplo: Árvore binária para (x y) x y y

34 Árvore de decisão binária finita (cont) Uma árvore de decisão binária finita determina uma única função Booleana definida em função dos símbolos de predicado que constam nos nós não terminais. Dada uma interpretação para os símbolos proposicionais, começamos pela raíz da árvore e seguimos o arco no sentido descendente tracejado/cheio no caso da interpretação do símbolo proposicional ser F/V

35 Exemplo: Árvore binária para (x y) x y y valor lógico para a interpretação x = F,y = V x y y

36 E qual a relação com as tabelas de verdade?

37 Exemplo: tabela de verdade para (x y) x y (x y) V V F V F F F V F F F V x y y

38 E qual a vantagem em relação às tabelas de verdade? Árvores de decisão binária têm uma dimensão semelhante às tabelas de verdade MAS as árvores de decisão binária contêm redundâncias que podem ser eliminadas!

39 Definição formal de BDDs Antes de definir formalmente o que é um BDD, vamos ter de introduzir as definições de grafo dirigido e grafo dirigido acíclico

40 Conceito: grafo dirigido Um grafo dirigido é um par (N,A) em que: N é um conjunto de elementos chamados nós; A é um conjunto de arcos.

41 Conceito: arco Um arco é um par ordenado cujos elementos são nós, sendo cada arco (n i,n j ) caracterizado pelo nó de partida n i e pelo nó de chegada n j.

42 Conceito: ciclo Um ciclo num grafo dirigido é um caminho finito num grafo que começa e termina num mesmo nó.

43 Exemplo: ciclo Um caminho com a forma n 1 n 2... n m n 1 é um ciclo.

44 Conceito: grafo dirigido acíclico (DAG) Um grafo dirigido acíclico (DAG, do Inglês Directed Acyclic Graph) é um grafo dirigido que não contém ciclos.

45 Conceito: nós iniciais/finais num DAG) Um nó num DAG é um nó inicial se não existem arcos que terminem nesse nó; Um nó num DAG é um nó final se não existem arcos que tenham início nesse nó.

46 Exemplo: grafo dirigido acíclico

47 Conceito: definição formal de BDD Um BDD é um DAG finito com as seguintes características: Tem um único nó inicial Todos os nós terminais são rotulados com 1/0 Todos os nós não terminais são rotulados com um símbolo proposicional Cada nó não terminal é o nó inicial para dois arcos, em que um arco é representado a tracejado e outro arco é representado a cheio (correspondentes aos rótulos 0/1, respectivamente) Nota: considera-se que os arcos têm o sentido descendente

48 Exemplo: BDDs B 0 e B x x 0 0 1

49 A seguir vamos ver como é que os as redundâncias das BDDs podem ser eliminadas através de um conjunto de passos chamados reduções (porque permitem reduzir o tamanho do BDD).

50 Reduções em BDDs R1: Remoção de folhas duplicadas R2: Remoção de testes redundantes R3: Remoção de nós redundantes Nota: um BDD diz-se reduzido se nenhuma destas reduções puder ser aplicada

51 R1: Remoção de folhas duplicadas Se um BDD contém mais do que um nó terminal com os rótulos 0/1, então podemos redireccionar todos os arcos dirigidos para nós com o rótulo 0/1 para apenas um nó. Nota: na prática existe no máximo um nó com o rótulo V e um nó com o rótulo F.

52 Exemplo: Remoção de folhas duplicadas x x y y y y

53 R2: Remoção de testes redundantes Se os dois arcos que saem de um nó n se dirigem a um mesmo nó m então podemos eliminar o nó n e direccionar os arcos para o nó m Por cada nó eliminado, é eliminado um par de arcos tracejados/cheios

54 Exemplo: remoção de testes redundantes x x y y y

55 R3: Remoção de nós redundantes Se dois nós distintos n e m são raíz de dois sub-bdds estruturalmente equivalentes, então podemos eliminar o nó m e dirigir todos os arcos para o nó n. Nota: a remoção de folhas duplicadas é um caso especial da remoção de nós redundantes.

56 Exemplo: BDD com sub-bdds duplicadas z x x y y y y 0 1

57 Exemplo: remoção de nós redundantes z z x x x y y y y y

58 Vamos lá fazer uns exercícios!

59 Mas então... tudo bem que conseguimos reduzir os BDDs mas antes de chegar ao BDD reduzido temos de construir previamente a árvore de decisão binária, mantendo-se o problema de complexidade exponencial que já tínhamos com as tabelas de verdade...

60 E então que ganhamos com isto tudo?

61 É que podemos fazer composição de BDDs! Ou seja, podemos construir um BDD para uma fbf a partir de BDDs (já reduzidas) que correspondem a componentes da fbf.

62 E como é que é feita essa composição? BDD para α construída a partir do BDD para α (BDD α ): nós terminais com rótulo 0/1 substituídos por nós terminais com rótulo 1/0 BDD para α β construída a partir do BDD α : nó com rótulo 1 substituído pela BDD β ; de seguida aplicar transformações BDD para α β construída a partir do BDD α : nó com rótulo 0 substituído pela BDD β ; de seguida aplicar transformações

63 Exemplo: BDDs B e B x x y y y y

64 Vamos lá ver outros exemplos

65 Só que a composição pode não correr sempre bem com BDDs

66 Basicamente porque nada impede que um mesmo símbolo proposicional apareça num caminho de um BDD mais do que uma vez.

67 Exemplo: símbolo repetido x y z x y x 0 1

68 Aliás... O mesmo símbolo pode aparecer mais do que uma vez (por exemplo quando um BDD é construída usando composição).

69 E o problema é que BDDs com múltiplas ocorrências de um mesmo símbolo proposicional ao longo de um caminho não são eficientes, pois, por exemplo, passa a ser difícil detectar BDDs equivalentes;

70 Exemplo: BDDs equivalentes x x y z y y x y x z

71 Então há que arranjar uma alternativa uma solução passa por impôr uma ordem aos símbolos proposicionais!

72 E surge então o conceito de BDDs ordenados, isto é, OBDDs