Heapsort ordenação por árvore de seleção

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1 UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ DEPARTAMENTO DE INFORMÁTICA Heapsort ordenação por árvore de seleção Prof. Yandre Maldonado - 1 Prof. Yandre Maldonado e Gomes da Costa

2 Prof. Yandre Maldonado - 2 Métodos de ordenação interna: Simples: complexidade média O(n 2 ); Eficientes: complexidade média O(n log n); Simples: Inserção; Seleção; Troca (bolha); Eficientes: Shell (ou shellsort); Quick (ou quicksort); Heap (ou heapsort).

3 Prof. Yandre Maldonado - 3 Método proposto por Floyd e Williams, em 1964; É considerado um método de ordenação de bom desempenho; O desempenho no pior caso é semelhante ao caso médio; É considerado uma variação do método de ordenação por seleção; Faz um uso comportado da memória;

4 Prof. Yandre Maldonado - 4 O método consiste em: Transformar a seqüência inicial em uma seqüência que esteja associada à uma estrutura do tipo heap; Heap é uma árvore binária em que: A diferença máxima de altura entre os nós folha é de um nível; Os nós do nível mais profundo são preenchidos da esquerda para a direita; Todo nó deve armazenar uma chave maior do que as dos seus filhos;

5 Prof. Yandre Maldonado - 5 Um heap pode ser representado em um vetor com índices c 1, c 2,..., c n da seguinte forma: Para toda chave c i, com i entre 1 e n div 2: c 1 é a raiz da árvore; c 2i é a raiz da sub-árvore esquerda de c i e c 2i+1 é a raiz da sub-árvore direita de c i ;

6 Para um vetor com índices de 1 a 7 haveria o seguinte heap associado: Prof. Yandre Maldonado - 6 c 1 c 2 c 3 c 4 c 5 c 6 c 7 C 1 C 2 C 3 C 4 C 5 C 6 C 7

7 A seqüência de chaves descrita a seguir será transformada em um heap: Prof. Yandre Maldonado - 7 ` Para que a estrutura seja um heap, cada nó deve ter chave maior do que as chaves de seus filhos.

8 A transformação começa a partir do nó que ocupa a posição n div 2 do vetor, neste caso a posição de índice 3: Prof. Yandre Maldonado - 8 ` Como esta subárvore respeita o critério para formação do heap, volta-se para o nó associado à posição anterior do vetor.

9 Os próximos nós serão obtidos decrementando-se o índice no vetor até atingir o índice 1: Prof. Yandre Maldonado - 9 ` Neste ponto, percebe-se que a chave 5 é menor do que a dos seus filhos, então troca-se as posições desta chave com a maior chave associada aos seus filhos.

10 Os próximos nós serão obtidos decrementando-se o índice no vetor até atingir o índice 1: Prof. Yandre Maldonado - 10 ` Agora esta subárvore respeita o critério para formação do heap. Com isto, volta-se para o nó associado à posição anterior do vetor.

11 O índice 1 finalmente foi atingido: Prof. Yandre Maldonado - 11 ` Neste ponto, percebe-se que a chave 19 é menor do que a de um dos seus filhos, então troca-se a posição destas chaves.

12 Agora, percebe-se que esta última troca trouxe um novo problema ao heap como um todo : Prof. Yandre Maldonado - 12 ` Para corrigir este problema, percorre-se agora no sentido inverso as posições, de 1 até n div 2.

13 Para corrigir o problema, percorre-se agora no sentido inverso as posições, de 1 até n div 2: Prof. Yandre Maldonado - 13 ` Esta sub-árvore respeita o critério para formação do heap. Com isto, passa-se para a próxima posição do vetor.

14 Para corrigir o problema, percorre-se agora no sentido inverso as posições, de 1 até n div 2: Prof. Yandre Maldonado - 14 ` Esta sub-árvore respeita o critério para formação do heap. Com isto, passa-se para a próxima posição do vetor.

15 Para corrigir o problema, percorre-se agora no sentido inverso as posições, de 1 até n div 2: Prof. Yandre Maldonado - 15 ` Neste ponto, percebe-se que a chave 19 é menor do que a de um dos seus filhos, então troca-se a posição destas chaves.

16 Para corrigir o problema, percorre-se agora no sentido inverso as posições, de 1 até n div 2: Prof. Yandre Maldonado - 16 ` A varredura do índice 1 até n div 2 deve ser repetida até que nenhuma nova troca ocorra. Assim, o heap estará definitivamente formado.

17 Formado o heap, sabe-se que a maior de todas as chaves está posicionada na primeira posição do vetor: Prof. Yandre Maldonado - 17 ` Neste caso, nenhuma nova troca acontece, portanto o heap já está formado.

18 Com isto, troca-se a posição da primeira chave com a última no vetor: Prof. Yandre Maldonado - 18 ` Sabendo-se que a posição definitiva da maior de todas as chaves será a última do vetor, faz-se a troca entre a chave do primeiro e a do último índice.

19 Prof. Yandre Maldonado - 19 Entende-se que a última chave já encontrou sua posição definitiva e as demais passam a formar um novo heap, de tamanho menor: ` Novo heap O heap agora será formado pelas chaves que estão nas posições entre os índices 1 e 6.

20 Prof. Yandre Maldonado - 20 Para restabelecer o heap, percorre-se as chaves no vetor a partir da posição 1 até a posição n div 2 * percorrendo apenas os índices que correspondam a elementos eventualmente trocados: ` Neste ponto, percebe-se que a chave 19 é menor do que a de um dos seus filhos, então troca-se a posição destas chaves. * Sem alterar chaves das células sombreadas, que já se encontram em suas posições definitivas.

21 Prof. Yandre Maldonado - 21 Para restabelecer o heap, percorre-se as chaves no vetor a partir da posição 1 até a posição n div 2 * percorrendo apenas os índices que correspondam a elementos eventualmente trocados: * Sem alterar chaves das células sombreadas, que já se encontram em suas posições definitivas.

22 Prof. Yandre Maldonado - 22 Para restabelecer o heap, percorre-se as chaves no vetor a partir da posição 1 até a posição n div 2 * percorrendo apenas os índices que correspondam a elementos eventualmente trocados: Esta sub-árvore respeita o critério para formação do heap, já que a posição de índice 7 do vetor não é mais parte do heap. * Sem alterar chaves das células sombreadas, que já se encontram em suas posições definitivas.

23 Atingido o índice n div 2, o heap está finalmente restabelecido: Prof. Yandre Maldonado Restabelecido o heap, a chave que ocupa a posição de índice 1 pode ser trocada com a que está no último índice associado ao heap.

24 Agora, mais uma chave encontrou sua posição definitiva e as demais passam a formar um novo heap, de tamanho menor: Prof. Yandre Maldonado Novo heap O heap agora será formado pelas chaves que estão nas posições entre os índices 1 e 5.

25 Prof. Yandre Maldonado - 25 Para restabelecer o heap, percorre-se as chaves no vetor a partir da posição 1 até a posição n div 2 * percorrendo apenas os índices que correspondam a elementos eventualmente trocados: Neste ponto, percebe-se que a chave 12 é menor do que a de um dos seus filhos, então troca-se a posição destas chaves. * Sendo n igual a 5 neste momento. As posições sombreadas não podem mais ser alteradas.

26 Prof. Yandre Maldonado - 26 Para restabelecer o heap, percorre-se as chaves no vetor a partir da posição 1 até a posição n div 2 * percorrendo apenas os índices que correspondam a elementos eventualmente trocados: * Sendo n igual a 5 neste momento. As posições sombreadas não podem mais ser alteradas.

27 Prof. Yandre Maldonado - 27 Para restabelecer o heap, percorre-se as chaves no vetor a partir da posição 1 até a posição n div 2 * percorrendo apenas os índices que correspondam a elementos eventualmente trocados: O índice 2 era o último a ser percorrido nesta variação, com isto, o heap está formado e a chave que ocupa o índice 1 pode ser trocada com aquela que ocupa a última posição do heap. * Sendo n igual a 5 neste momento. As posições sombreadas não podem mais ser alteradas.

28 Agora, mais uma chave encontrou sua posição definitiva e as demais passam a formar um novo heap, de tamanho menor: Prof. Yandre Maldonado Novo heap O heap agora será formado pelas chaves que estão nas posições entre os índices 1 e 4.

29 Prof. Yandre Maldonado - 29 Para restabelecer o heap, percorre-se as chaves no vetor a partir da posição 1 até a posição n div 2 * percorrendo apenas os índices que correspondam a elementos eventualmente trocados: Neste ponto, percebe-se que a chave 9 é menor do que as suas filhas, então troca-se a posição dela com a da maior das filhas. * Sendo n igual a 4 neste momento. As posições sombreadas não podem mais ser alteradas.

30 Prof. Yandre Maldonado - 30 Para restabelecer o heap, percorre-se as chaves no vetor a partir da posição 1 até a posição n div 2 * percorrendo apenas os índices que correspondam a elementos eventualmente trocados: O índice 2 era o último a ser percorrido nesta variação, com isto, o heap está formado e a chave que ocupa o índice 1 pode ser trocada com aquela que ocupa a última posição do heap. * Sendo n igual a 4 neste momento. As posições sombreadas não podem mais ser alteradas.

31 Prof. Yandre Maldonado - 31 Para restabelecer o heap, percorre-se as chaves no vetor a partir da posição 1 até a posição n div 2 * percorrendo apenas os índices que correspondam a elementos eventualmente trocados: Neste ponto, percebe-se que a chave 5 é menor do que as suas filhas, então troca-se a posição dela com a da maior das filhas. * Sendo n igual a 3 neste momento. As posições sombreadas não podem mais ser alteradas.

32 Prof. Yandre Maldonado - 32 Para restabelecer o heap, percorre-se as chaves no vetor a partir da posição 1 até a posição n div 2 * percorrendo apenas os índices que correspondam a elementos eventualmente trocados: Restabelecido o heap, a chave da posição de índice 1 pode ser trocada com a da posição de índice 3. * Sendo n igual a 3 neste momento. As posições sombreadas não podem mais ser alteradas.

33 Prof. Yandre Maldonado - 33 Para restabelecer o heap, percorre-se as chaves no vetor a partir da posição 1 até a posição n div 2 * percorrendo apenas os índices que correspondam a elementos eventualmente trocados: Esta sub-árvore respeita o critério para formação de um heap. Assim, a chave da posição de índice 1 pode ser trocada com a do índice 2. * Sendo n igual a 2 neste momento. As posições sombreadas não podem mais ser alteradas.

34 Prof. Yandre Maldonado Seqüência ordenada!

35 Prof. Yandre Maldonado - 35 Desempenho do Heapsort: Médio: O (n log n); Pior caso: O (n log n); Boa opção para situações em que é necessário garantir que a ordenação não esteja sujeita a um desempenho desastroso; Não indicado para quantidades pequenas de chaves devido ao custo da reconstrução do heap; Desempenho médio duas vezes inferior ao do Quicksort.

36 Bibliografia Heapsort Prof. Yandre Maldonado - 36 Azeredo, P. A. Métodos de Classificação de Dados e Análise de suas Complexidades. Rio de Janeiro: Editora Campus, 1996; Moraes, Celso Roberto. Estruturas de Dados e Algoritmos. São Paulo: Berkeley Brasil, 2001; Wirth, N. Algoritmos e Estruturas de Dados. Rio de Janeiro: LTC, 1999; Ziviani, N. Projeto de Algoritmos. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002.