Paulo Guilherme Inça. 7 de dezembro de 2016

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1 Coloração de grafos é NP-Difícil Paulo Guilherme Inça 7 de dezembro de 2016 Sumário 1 Introdução 1 2 O Problema da Coloração de Grafos Coloração é NP-Completo 3 4 Generalizações e Restrições 6 5 Conclusão 6 1 Introdução As primeiras aparições na literatura de problemas de coloração foram relacionadas à coloração de mapas. Nessa época foi proposta a conjectura das quatro cores, que dizia ser possível colorir qualquer mapa com apenas quatro cores de forma que nenhum vizinho tivesse a mesma cor. A primeira solução foi apresentada em 1879 por Alfred Kempe, que, no entanto, se mostrou estar errada alguns anos mais tarde. O problema ficou em aberto até o ano de 1976, quando se tornou o teorema da quatro cores, após prova, dessa vez definitiva, apresentada em 1976 por Kenneth Appel e Wolfgang Haken O Connor and Robertson (1996). 1

2 A coloração de mapas está intrinsecamente relacionada a grafos planares. No entanto, coloração de grafos em geral vem sendo estudado computacionalmente desde o início dos anos 70. O problema de encontrar o número cromático de um grafo foi apresentado como um dos 21 problemas NP-Completo de Karp em 1972 Karp (1972). Esse trabalho está estruturado da seguinte forma: na Seção 2 veremos uma introdução à notação usada e ao problema da coloração de grafos, tanto na sua versão de otimização quanto de decisão. Na Seção 3, provaremos que 3-coloração é NP-Completo. Na Seção 4, falaremos sobre a generalização de 3-coloração para K-coloração, assim como a importância de analisar as restrições dos problemas. A Seção 5 conclui o trabalho. 2 O Problema da Coloração de Grafos Um dos interesses no estudo do problema de coloração de grafos é sua vasta aplicabilidade em diversas áreas. As mais conhecidas são em problemas de agendamento, o problema da alocação de registradores para otimização de compiladores e resolução de puzzles. Antes de vermos a definição do problema precisamos de algumas definições preliminares. Seja G(V, E) um grafo, onde V é o conjunto de vértices e E é o conjunto de arestas, e seja c : V {1,..., K} uma função que atribui um dos K números para cada vértice. O conjunto do contradomínio pode conter qualquer objeto, no nosso caso são cores. Uma K-coloração de G é dita apropriada se c(u) c(v) {u, v} E. Formalmente, o problema de coloração de grafos é apresentado da seguinte forma: Problema 1. Coloração Instância: Um grafo G. Resposta: O mínimo de cores necessárias para colorir G. A versão de decisão do mesmo problema responde se é possível colorir um grafo com um número especificado de cores. Formalmente: Problema 2. K-coloração 2

3 Instância: Um grafo G e um inteiro K. Resposta: É possível colorir G com K cores? O problema de otimização é polinomialmente redutível ao problema de decisão, utilizando a versão de decisão em uma busca binária para encontrar o K mínimo. Para provar que coloração de grafos é NP-Difícil basta provar que a versão de decisão K-coloração é NP-Completo. Para isso vou começar mostrando que 3-coloração é NP-Completo, sua definição é: Problema 3. 3-coloração Instância: Um grafo G. Resposta: É possível colorir G com 3 cores? Entendido as definições preliminares, podemos agora ver como reduzir problemas NP-Completo para 3-coloração. 3 3-Coloração é NP-Completo Para provar que um dado problema X é NP-Completo precisamos mostrar que existe uma redução em tempo polinomial de um problema Y para X, denotado por Y X, onde já sabemos que Y é NP-Completo. Além disso, precisamos provar que X pertence a classe NP. Teorema 4. 3-coloração é NP-Completo Garey, Johnson, and Stockmeyer (1974) Demonstração. Para mostrar que 3-coloração está em NP basta usar como certificado uma coloração c. Dado um grafo G(V, E) e um certificado c, um verificador checa em tempo O(n 2 ) se c é uma coloração apropriada de G olhando se as pontas de uma aresta tem cores diferentes, para toda aresta em E. Para provar que 3-coloração é NP-difícil vamos mostrar que 3-SAT 3- coloração. Ou seja, dado uma instância de 3-SAT, vamos construir um grafo G, em tempo polinomial, onde G é 3-colorável se e somente se a instância de 3-SAT é satisfatível. 3

4 Uma instância de 3-SAT é um par (V, F), onde V é um conjunto de literais da forma {x 1,..., x n }, e F é uma fórmula sobre V cujas cláusulas tem exatamente 3 literais, e cada cláusula em V será denotado por C 1, C 2,..., C m. G será construído baseado em gadgets, que nada mais é do que uma construção que simula partes do comportamento de outro problema computacional Garey and Johnson (1979). G terá três gadgets, onde o primeiro será o conjunto dos vértices {T, F, B} conectados formando um triângulo. Imaginemos {T, F, B} como o conjunto de cores a ser usado para colorir G. Como temos um triângulo, inicialmente já precisamos de três cores para G. T F B O segundo gadget adiciona dois vértices v i e v i, também formando um triângulo com a base, para cada x i V. Nesse caso, garantimos que um se literal receber a cor verdadeira obrigatoriamente sua negação deverá receber a cor falsa para satisfazer a coloração de G. B v1 v1 O terceiro gadget também conhecido como OR-gadget conecta os literais de uma cláusula, simulando uma porta OR, aos vértices base e falso, para cada C 1, C 2,..., C m F. Esse gadget captura o comportamento da satistatibilidade de cada clausula da seguinte forma: 1. Se a, b e c receberem a cor falsa, então o vértice j 6 irá obrigatoriamente receber a cor falsa. Capturando a insatisfatibilidade da cláusula C i = (a b c). 2. Se um dos a, b ou c receber a cor verdadeiro, então existe uma coloração válida onde o vértice j 6 recebe a cor verdadeiro. Capturando assim a satisfatibilidade da cláusula. 4

5 a b c j 1 j 2 j 3 j 4 j 5 j 6 B T F É trivial perceber que G é construído em tempo polinomial com relação ao tamanho da instância (V, F), já que adicionamos uma quantidade constante de vértices a G para cada literal em V e também adicionamos uma quantidade contante de vértices par cada cláusula em F, além dos três vértices iniciais. Portanto, após mostrar que 3-coloração é NP-Difícil e que o problema está contido na classe NP, podemos concluir que 3-coloração é NP-Completo. Para ilustrar a construção completa do grafo de coloração usarei como exemplo a instância (a b c) (b c d) (ā c d) (a b d) de 3-SAT Nesse caso, a = c = Verdadeiro e b = d = Falso, e portanto a instância é satisfatível. Como consequência, o grafo construído é 3-colorável. T F B a ā b b c c d d 5

6 4 Generalizações e Restrições Provar que 3-coloração é NP-Completo implica em provar que sua generalização K-coloração também é NP-Completo. Isso pode ser dito devido ao fato de que, se pudéssemos resolver o problema em tempo polinomial para um K arbitrário, então poderíamos resolver em tempo polinomial para K igual a 3, o que não é verdade como vimos na Seção anterior. Agora que sabemos que K-coloração é uma problema NP-Completo, podemos concluir que Coloração, na sua versão de otimização, é NP-Dificíl. O uso do problema 3-SAT deixou claro a importância de sabermos que a restrição de um problema NP-Completo também faz parte dessa classe. Essa importância se da ao fato de que sabendo que uma restrição é NP-Completo sabemos que o problema é intratável. Além disso, a restrição de um problema NP-Completo pode nos levar a ter ideias para reduções à outros problemas que até então não tínhamos certeza da sua tratabilidade. Levando isso em consideração, gostaria de deixar indicado algumas restrições de 3-coloração que também são problemas NP-Completos. São esses 3-coloração, onde as instâncias são apenas grafos planares e 3-coloração, onde as instâncias são apenas grafos planares com grau máximo 4 Garey et al. (1974). 5 Conclusão Nesse trabalho fomos apresentados ao problema de Coloração de grafos e a prova de sua classificação na classe NP-Difícil. A prova se deu usando a uma restrição da sua versão de decisão e partindo de um problema que sabíamos ser NP-Completo. Vimos também alguns exemplos de aplicabilidade dos problemas de coloração, além da importância de sabermos que a restrição de um certo problema também pertence a classe NP-Completo. 6

7 Referências M. R. Garey, D. S. Johnson, and L. Stockmeyer. Some simplified np-complete problems. In Proceedings of the Sixth Annual ACM Symposium on Theory of Computing, STOC 74, pages 47 63, New York, NY, USA, ACM. doi: / URL Michael R. Garey and David S. Johnson. Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-Completeness. W. H. Freeman & Co., New York, NY, USA, ISBN R.M. Karp. Reducibility among combinatorial problems. Complexity of computer computations: proceedings, page 85, J J O Connor and E F Robertson. The four colour theorem, URL colour_theorem.html. 7