Triângulos. Unicamp. University of Waterloo. Seminário de Teoria da Computação IC Unicamp

Transcrição

1 3-Coloração de Grafos Planares Livres de Triângulos C. N. da Silva 1 R. B. Richter 2 D. H. Younger 2 1 Instituto de Computação Unicamp 2 Department of Combinatorics and Optimization University of Waterloo Seminário de Teoria da Computação IC Unicamp

2 Outline Motivação 1 Motivação Teorema de Grötzsch: Enunciado e Versão Dual Equivalência de Colorações e Fluxos Inteiros Conjectura de Tutte 2 Redução ao

3 Outline Motivação Teorema de Grötzsch: Enunciado e Versão Dual Equivalência de Colorações e Fluxos Inteiros Conjectura de Tutte 1 Motivação Teorema de Grötzsch: Enunciado e Versão Dual Equivalência de Colorações e Fluxos Inteiros Conjectura de Tutte 2 Redução ao

4 Legenda: Motivação Uma Nova Demonstração do vteorema de Grötzsch 0 v 1 Teorema de Grötzsch Teorema de Grötzsch: Enunciado e Versão Dual Equivalência de Colorações e Fluxos Inteiros Conjectura de Tutte Enunciado e Versão Dual v 2 v 3 Teorema de Grötzsch v 1 = w 1 Um grafo planar sem laços e sem triângulos admite uma w 2 3-coloração de vértices. w 1 = x 1 Pela dualidadexplanar, 2 podemos enunciar o Teorema equivalente: v 2 v 1 Teorema de Grötzsch (dual) Um grafo planar sem aresta de v corte de sem 3-cortes admite uma 3-coloração de faces. v + val = 2 val = 1 val 3 M 0 M 1

5 Outline Motivação Teorema de Grötzsch: Enunciado e Versão Dual Equivalência de Colorações e Fluxos Inteiros Conjectura de Tutte 1 Motivação Teorema de Grötzsch: Enunciado e Versão Dual Equivalência de Colorações e Fluxos Inteiros Conjectura de Tutte 2 Redução ao

6 Nowhere-zero k-flows and Mod k-flows Definition Teorema de Grötzsch: Enunciado e Versão Dual Equivalência de Colorações e Fluxos Inteiros Conjectura de Tutte Um grafo G = (V, E) admite um k-fluxo (inteiro) se existirem (D, ϕ) tais que: D é uma função que associa orientações às arestas de E, ϕ é uma função que associa pesos inteiros às arestas de E tal que: 1 0 < ϕ(e) < k, para toda aresta de E, 2 o fluxo ĺıquido ϕ v = X ϕ(e) X ϕ(e) = 0, v V. e δ + v e δ v Em um k-fluxo modular (D, ϕ) permite-se que ϕ v 0 (mod k), v V.

7 Outline Motivação Teorema de Grötzsch: Enunciado e Versão Dual Equivalência de Colorações e Fluxos Inteiros Conjectura de Tutte 1 Motivação Teorema de Grötzsch: Enunciado e Versão Dual Equivalência de Colorações e Fluxos Inteiros Conjectura de Tutte 2 Redução ao

8 Conjectura dos 3-Fluxos de Tutte Uma generalização do Teorema de Grötzsch Teorema de Grötzsch: Enunciado e Versão Dual Equivalência de Colorações e Fluxos Inteiros Conjectura de Tutte (Tutte) Um grafo G admite um k-fluxo se e somente se admite um k-fluxo modular. (Tutte) Um grafo planar G admite um k-fluxo modular se e somente se possui uma k-coloração de faces. Conjectura dos 3-Fluxos de Tutte Um grafo sem aresta de corte e sem 3-cortes admite um 3-fluxo. Se a Conjectura dos 3-Fluxos de Tutte generaliza o Teorema de Grötzsch, poderíamos então estender sua demonstração? Não... :-(

9 Teorema de Grötzsch Demonstração Original Teorema de Grötzsch: Enunciado e Versão Dual Equivalência de Colorações e Fluxos Inteiros Conjectura de Tutte A demonstração original é uma indução que trata uma sequência de configurações redutíveis. A última redução redutível é a Configuração de Grötzsch. Para provar a existência da Configuração de Grötzsch, é preciso recorrer à Fórmula de Euler: V E + F = 2 2h c

10 Teorema de Grötzsch Dipensando a Fórmula de Euler Teorema de Grötzsch: Enunciado e Versão Dual Equivalência de Colorações e Fluxos Inteiros Conjectura de Tutte Será que é possível demonstrar o Teorema de Grötzsch sem utilizar a Fórmula de Euler? Sim! Thomassen foi pioneiro na apresentação de uma tal demonstração. Aqui apresentamos uma outra versão, que acreditamos ser mais simples. É possivel estender essa demonstração do Teorema de Grötzsch a uma demosntração da Conjectura dos 3-Fluxos de Tutte? Talvez...

11 Outline Motivação Redução ao 1 Motivação Teorema de Grötzsch: Enunciado e Versão Dual Equivalência de Colorações e Fluxos Inteiros Conjectura de Tutte 2 Redução ao

12 Redução ao Nova Demonstração do Teorema de Grötzsch Redução ao A idéia da nova demonstração é escolher judiciosamente alguns vértices para colorir de forma a garantir que seja possível completar a 3-coloração do grafo todo. A nova demonstração do Teorema de Grötzsch envolve uma redução ao. O refere-se a grafos parcialmente 3-coloridos com certas propriedades especiais.

13 3-Coloração Parcial Definição Redução ao Seja C = {0, 1, 2} um conjunto de cores e C o conjunto dos subconjuntos não vazios de C. Dado um grafo G = (V, E) e uma função r : V C e v V, dizemos que r(v) é o conjunto das cores disponíveis para colorir v; quando r(v) é unitário, dizemos que seu único elemento é a cor de v. A função r estabelece uma partição de V em três conjuntos V 1, V 2 e V 3, alguns possivelmente vazios, onde r(v) = i, para todo v V i. A função r é uma 3-coloração parcial de G se para todo par de vértices distintos u e v em V 1 a cor de u é distinta da cor de v. Uma 3-coloração (total) r é uma 3-coloração parcial para a qual V 1 = V.

14 Uma Novav 0 Demonstração do Teorema de Grötzsch v 1 3-Coloração Parcial Exemplo v 2 v 3 v 1 = w 1 w 2 w 1 = x 1 x 2 v 2 v 1 v v + val = 2 val = 1 val 3 M 0 M 1 Redução ao Legenda: V 1 V 2 V 3

15 3-Coloração Parcial Tipo s, t Redução ao Dados s e t inteiros, dizemos que uma 3-coloração parcial de um grafo G é do tipo s, t quando satisfaz as seguintes propriedades: G[V 1 ] é um caminho com no máximo s vértices; E(G[V 2 ]) = t; Nenhum vértice de V 1 é adjacente a um vértice de V 2.

16 3-Coloração Parcial Tipo s, t Exemplo ements V 1 V 2 V 3 V 0 genda: 0 1 v 2 v 3 1 = w 1 w 2 1 = x 1 2 v 2 v 1 v v + val = 2 val = 1 val 3 M 0 M 1 PSfrag replacements V 1 V 2 V 3 V 0 Redução ao Tipo 5, 0 Tipo 3, 1 Legenda: 0 1 v 2 3 w 2 x 2 v 2 v 1 v + v 1 = w 1 w 1 = x 1 val = 2 val = 1 val 3 M 0 M 1

17 Enunciado Redução ao : Seja G um grafo planar de cintura pelo menos cinco e M uma imersão de G no plano. Se G possui uma 3-coloração parcial r do tipo 5, 0 ou do tipo 3, 1 tal que ambos G[V 1 ] e G[V 2 ] estão na fronteira de M, então G possui uma 3-coloração que refina r. Dadas duas 3-colorações parciais r e r de um grafo G, dizemos que r refina r se r (v) r(v) para todo v V.

18 Outline Motivação Redução ao 1 Motivação Teorema de Grötzsch: Enunciado e Versão Dual Equivalência de Colorações e Fluxos Inteiros Conjectura de Tutte 2 Redução ao

19 Redução ao Redução do Teorema de Grötzsch ao Teorema da Coloração Parcial Comparação dos Enunciados Teorema de Grötzsch Um grafo planar sem laços e sem triângulos admite uma 3-coloração de vértices. : Seja G um grafo planar de cintura pelo menos cinco e M uma imersão de G no plano. Se G possui uma 3-coloração parcial r do tipo 5, 0 ou do tipo 3, 1 tal que ambos G[V 1 ] e G[V 2 ] estão na fronteira de M, então G possui uma 3-coloração que refina r. Só não podemos aplicar o para grafos com arestas múltiplas ou quadriláteros.

20 Redução ao Redução do Teorema de Grötzsch ao Teorema da Coloração Parcial Demonstração Se G possui cintura cinco, possui 3-coloração parcial com V 3 = V, então podemos aplicar o Teorema da Coloração Parcial para uma imersão qualquer. Se G possui arestas múltiplas, basta remover uma das arestas.

21 Redução ao Redução do Teorema de Grötzsch ao Teorema da Coloração Parcial Demonstração Se G possui cintura cinco, possui 3-coloração parcial com V 3 = V, então podemos aplicar o Teorema da Coloração Parcial para uma imersão qualquer. Se G possui arestas múltiplas, basta remover uma das arestas.

22 Redução ao Redução do Teorema de Grötzsch ao Teorema da Coloração Parcial PSfrag replacements frag replacements Demonstração V 1 V 1 V 2 V 2 V Se G possui 3 V um qudrilátero P, 3 V 0 V 0 fixe uma imersão M. Legenda: Se P é um quadriláterolegenda: facial de M, identificamos algum par de vértices v 1 opostos e aplicamos a hipótese de indução no grafo resultante. v 1 = w 1 w 1 = x 1 x 2 x 2 v 2 2 v 1 v 0 v 1 v + v + val 2 val 2 val = 1v 3 v 1 = val w 1 = 1 val 3 M 0 M 1 v 2 val 3 M 0 M w 1 2 v 3 v 0 v 2 v 1 w 1 = x 1 w 2

23 Redução ao Redução do Teorema de Grötzsch ao Teorema da Coloração Parcial Demonstração ements PSfrag replacements PSfrag replacements V 1 Se P é um quadrilátero V 1 não facial de M, então: V 1 V 2 V P separa M em dois 2 V submapas próprios M 2 V 0 (de fora ) e M 3 V 3 V 3 1 V 0 (de dentro ). V 0 V 0 genda: EscolhemosLegenda: P de forma que M 1 seja Legenda: minimal v v 3 v 1 = 3 v 2 w 1 M v 1 = 1 M 0 v 3 M 2 w 1 = 1 w 1 = 2 w 1 x 1 w 1 = 1 w 2 2 x 1 = 2 x 1 2 v 2 v 2 v 2 v 1 v 1 v 1 v v v v + val = 2 val = 1 val 3 M 0 M 1 v + val 2 val = 1 val 3 M 0 M 1 v + val = 2 val = 1 val 3 M 0 M 1

24 Redução ao Redução do Teorema de Grötzsch ao Teorema da Coloração Parcial Demonstração Sfrag replacements Se P é um PSfrag quadrilátero replacements não facial de M, então: Colorimos V 1 M 0 por hipotese V 1 V de indução e transferimos as cores 2 V 2 dev P 3 em M 0 para P em MV 31. Como V 0 P é o único quadrilátero V 0 de M 1, se subdividirmos uma Legenda: aresta de P, o grafo Legenda: 0 resultante tem cintura cinco e uma 3-coloração 1 2 parcial do tipo 0 1 5, 0 : podemos aplicar o Teorema dav v Coloração 3 1 = 1 Parcial. v 2 v 3 w 1 = w 2 w 1 1 = x 2 1 w 1 = x 1 x 2 v 2 v 1 v v + val = 2 val = 1 val 3 M 0 M 1 x 2 v 2 v 1 v v + val = 2 val = 1 val 3 M 0 M 1

25 Redução ao Redução do Teorema de Grötzsch ao Teorema da Coloração Parcial Demonstração Sfrag replacements Se P é um PSfrag quadrilátero replacements não facial de M, então: Colorimos V 1 M 0 por hipotese V 1 V de indução e transferimos as cores 2 V 2 dev P 3 em M 0 para P em MV 31. Como V 0 P é o único quadrilátero V 0 de M 1, se subdividirmos uma Legenda: aresta de P, o grafo Legenda: 0 resultante tem cintura cinco e uma 3-coloração 1 2 parcial do tipo 0 1 5, 0 : podemos aplicar o Teorema dav v Coloração 3 1 = 1 Parcial. v 2 v 3 w 1 = w 2 w 1 1 = x 2 1 w 1 = x 1 x 2 v 2 v 1 v v + val = 2 val = 1 val 3 M 0 M 1 x 2 v 2 v 1 v v + val = 2 val = 1 val 3 M 0 M 1

26 Outline Motivação Redução ao 1 Motivação Teorema de Grötzsch: Enunciado e Versão Dual Equivalência de Colorações e Fluxos Inteiros Conjectura de Tutte 2 Redução ao

27 Redução ao Enunciado : Seja G um grafo planar de cintura pelo menos cinco e M uma imersão de G no plano. Se G possui uma 3-coloração parcial r do tipo 5, 0 ou do tipo 3, 1 tal que ambos G[V 1 ] e G[V 2 ] estão na fronteira de M, então G possui uma 3-coloração que refina r. A demonstração é por indução no número de vértices V do grafo.

28 Redução ao Reduções Conexo e Grau Mínimo 3 Se G não é conexo, aplicamos a hipótese de indução em cada uma das componentes conexas. Se G possui um vértice v V i com grau no máximo i 1: 3-colorimos G v, p. h. i.; podemos estender a 3-coloração para G pois v tem no máximo i 1 vizinhos já coloridos.

29 Redução ao Reduções Vértices de Corte Se M possui vértice de corte v, este separa M em dois submapas próprios M 0 e M 1. M 1 deve ter no máximo tantos vértices em V 1 quanto M 0 ; em caso de empate M 1 não deve conter a aresta de G[V 2 ]. Escolha v e M 1 de forma que M 1 seja minimal, isto é, 2-conexo. Se v V 1, 3-colorimos ambos M 0 e M 1 p. h. i. Se v V 2, 3-colorimos M 0 p. h. i, transferimos a cor de v para M 1 e, se v tiver vizinho em V 2, também é colorido. Podemos então colorir M 1 p. h. i. Se v V 3 e nenhuma corda liga v a um vértice de V 2 em M 1, 3-colorimos M 0 primeiro e M 1 em seguida, como antes. Se v V 3 e possui corda ligando v a um vértice de V 2 em M 1, selecionamos outro par M 0, M 1.

30 Redução ao Reduções Cordas com extremo em V 2 ou V 1 Se M possui corda (v, w), com w V 2 V 1, esta separa M em dois submapas próprios M 0 e M 1. M 1 deve ter no máximo tantos vértices em V 1 quanto M 0 ; em caso de empate M 1 não deve conter a aresta de G[V 2 ]. Escolha (v, w) de forma que M 1 seja minimal, isto é, não exista w em M 1 tal que w V 2 e w w. Tratamos primeiro o caso w V 2 : colorimos M 0 primeiro e, em seguida, M 1. Por fim, tratamos o caso w V 2 da mesma forma, colorimos M 0 primeiro e depois M 1.

31 Redução ao Reduções Quase cordas com ambos extremos em V 2 ou V 1 Uma quase corda é um caminho de comprimento 2 com ambos extremos na fronteira do mapa M. Se M possui quase corda (u, v, w), com u, w V 2 V 1, esta separa M em dois submapas próprios M 0 e M 1. M 1 deve ter no máximo tantos vértices em V 1 quanto M 0 ; em caso de empate M 1 não deve conter a aresta de G[V 2 ]. Escolha (u, v, w) de forma que M 1 seja minimal, isto é, não exista w em M 1 tal que w V 2 e w w. Tratamos os casos na seguinte ordem: Quase corda (u, v, w) com ambos u, w V 2 ; Quase corda (u, v, w) com u V 2 e w V 1 ; Quase corda (u, v, w) com ambos u, w V 1 ; Em todos os casos, colorimos M 0 primeiro e M 1 em seguida.

32 Redução ao Reduções Poĺıgonos não faciais com 5, 6 ou 7 lados Se M possui um poĺıgono facial P de 5, 6 ou 7 lados, então P separa M em dois submapas próprios M 0 (de fora ) e M 1 (de dentro ). Escolhemos P de forma que M 1 seja minimal, isto é, não contenha outro poĺıgono não facial de 5, 6 ou 7 lados. Podemos 3-colorir M 0 p. h. i.; transferimos a 3-coloração de P em M 0 para P em M 1.

33 Redução ao Reduções Poĺıgonos não faciais com 5, 6 ou 7 lados Agora removemos um par de vértices consecutivos de P em M 1, colocando seus vizinhos em V 2. Podemos aplicar o no grafo resultante pois: O que resta de P é um caminho de no máximo 5 vértices; Para o novo V 2, E(G[V 2 ]) =, pois G tem cintura pelo menos cinco. Nenhum vértice de V 1 é adjacente a um de V 2, pela minimalidade. Esta redução também pode ser aplicada à face externa se essa contiver apenas 5, 6 ou 7 vértices.

34 Redução ao Reduções M livre das configurações anteriores e r do tipo 5, 0 M é livre das configurações anteriores e r é do tipo 5, 0. Podemos supor que V 1 3, caso contrário colorimos mais alguns vértices na fronteira. Removemos um par de vértices consecutivos em algum extremo do caminho de G[V 1 ], bem como adicionamos seus vizinhos a V 2. O grafo menor resultante possui 3-coloração parcial do tipo 5, 0 ou 3, 1. Por h. i., pode ser 3-colorido. Essa 3-coloração pode ser trivialmente estendida para M.

35 v 3 Motivação v 1 = w 1 Redução ao Demonstração dowteorema 2 da Coloração Parcial Reduções M livrewdas 1 = configurações x 1 anteriores e r do tipo 3, 1 x 2 M é livre das configurações anteriores e r é do tipo 3, 1. Considere a vizinhança da aresta de G[V 2 ]: val = 2 val = 1 val 3 M 0 M 1 v 2 v 1 v v + v 1 v 2

36 Redução ao Reduções M livre das configurações anteriores e r do tipo 3, 1 Se v 2 ou v 2 está em V 3, então podemos: Colorir v + e v com cores distintas escolhidas dentre as disponíveis; Remover ambos v + e v, adicionando seus vizinhos a V 2. Devido às reduções anteriores, a 3-coloração parcial r do novo grafo tem no máximo uma aresta em G[V 2 ] ou uma aresta e com um extremo em V 1 e outro em V 2. Se E(G[V 2 ]) = 1, r continua do tipo 3, 1 ; senão, ou r já é do tipo 5, 0, ou colorir o extremo de e em V 2 a torna 5, 0. Por h. i., o grafo menor pode ser 3-colorido, e essa 3-coloração pode ser trivialmente estendida para M.

37 Redução ao Reduções M livre das configurações anteriores e r do tipo 3, 1 Portanto, v 2 e v 2 estão em V 1 V 2. Certamente, um de v 2 e v 2 não está em V 1, caso contrário, a fronteira é um poĺıgono de 5, 6 ou 7 lados. Por simetria, vamos supor que v 1 V 2. Temos dois casos para tratar: grau(v + ) = 2 e grau(v + ) = 2.

38 Redução ao Reduções M livre das configurações anteriores e r do tipo 3, 1 Se grau(v + ) = 2, podemos: Colorir v 1 com a cor não disponível para v + ; Colorir v 2 com uma cor distinta da de v 1 ; Remover ambos v 1 e v 2, adicionando seus vizinhos a V 2. Remover o vértice v +, agora com grau um. Devido às reduções anteriores, a 3-coloração parcial r do novo grafo tem no máximo uma aresta em G[V 2 ] ou uma aresta e com um extremo em V 1 e outro em V 2. Se E(G[V 2 ]) = 1, r continua do tipo 3, 1 ; senão, ou r já é do tipo 5, 0, ou colorir o extremo de e em V 2 a torna 5, 0. Por h. i., o grafo menor pode ser 3-colorido, e essa 3-coloração pode ser trivialmente estendida para M.

39 Redução ao Reduções M livre das configurações anteriores e r do tipo 3, 1 Se grau(v + ) 2, podemos: Colorir v 1 com a cor não disponível para v 2 ; Colorir v + com uma cor distinta da de v 1 ; Colorir v com uma cor distinta da de v 1 ; Remover v 1, v 2 e v 3, adicionando seus vizinhos a V 2. Devido às reduções anteriores, a 3-coloração parcial r do novo grafo tem no máximo uma aresta em G[V 2 ] ou uma aresta e com um extremo em V 1 e outro em V 2. Se E(G[V 2 ]) = 1, r continua do tipo 3, 1 ; senão, ou r já é do tipo 5, 0, ou colorir o extremo de e em V 2 a torna 5, 0. Por h. i., o grafo menor pode ser 3-colorido, e essa 3-coloração pode ser trivialmente estendida para M.