A Projeção e seu Potencial

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1 A Projeção e seu Potencial Rolci Cipolatti Departamento de Métodos Matemáticos Instituto de Matemática, Universidade Federal do Rio de Janeiro C.P , Rio de Janeiro, Brasil cipolatti@im.ufrj.br É sabido que o operador de projeção sobre um convexo fechado de R n (ou mais geralmente, um convexo fechado de um espaço de Hilbert H) desempenha um papel importante na Matemática e nas suas aplicações. É dele que queremos falar e dirigimonos em especial aos estudantes. Se C é um conjunto convexo, fechado e não vazio de R n, então, como precisaremos adiante, podemos definir para cada x R n a sua projeção sobre C, que será denotada por P C (x). Temos, assim, definida a função P C : R n R n o Operador Projeção sobre C. O objetivo desta nota é mostrar que podemos construir explicitamente uma função J: R n R o Potencial da Projeção que é convexa, de classe C 1 e tal que J (x) = P C (x), x R n. Mais precisamente, se x; y denota o produto escalar usual de R n, temos: Teorema 1: Seja C um conjunto convexo, fechado e não vazio de R n e considere a função J: R n R definida por J(x) := x 1 2 P C(x); P C (x), (1) onde P C : R n R n é a projeção sobre C. Então J é função convexa de classe C 1 em R n e J = P C. Antes de passarmos à prova do Teorema 1, sejamos mais precisos. A proposição a seguir define a função projeção e aponta algumas de suas propriedades mais importantes. Se x = (x 1, x 2,..., x n ) R n, denotamos x = x; x = x x2 n. Proposição 1: Seja C R n um conjunto convexo, fechado e não vazio. Então: (a) Para todo x R n, existe um único y C tal que x y z x, z C. (2) 1

2 y = P C (x) é denominado a Projeção de x sobre C. Temos assim definida a aplicação P C : R n R n x P C (x) (3) (b) y = P C (x) x y ; z y 0, z C. (c) Para todo x 1, x 2 R n, temos P C (x 1 ) P C (x 2 ) 2 P C (x 1 ) P C (x 2 ); x 1 x 2. (4) Em particular, P C é função Lipschitz-contínua em R n. Prova: Seja x R n. Se x C, então y = x satisfaz (2). Se x / C, seja x 1 C e considere r = x x 1 > 0. É claro que C r := B r (x) C é compacto e não vazio. Como a função z x z é contínua, existe y C r tal que x y x z, z C r. Por outro lado, se z C \ C r, então e obtemos a desigualdade (2). x z x x 1 x y Seja z C. Então, para todo t ]0, 1[ temos (1 t)y + tz C e, em particular, x y 2 x (1 t)y tz 2, o que implica x y; z y t 2 y z 2. Fazendo t 0 +, obtemos a desigualdade em (b). Para provar que y é único, suponhamos y 1, y 2 satisfazendo (2). Então x y 1 ; z y 1 0 x y 2 ; z y 2 0 z C. (5) Substituindo z = y 2 na primeira desigualdade de (5), z = y 1 na segunda e somando as duas, obtemos y 1 y 2 0, ou y 1 = y 2. Para provar (c), consideremos x 1, x 2 R n. Então segue de (b) que x 1 P C (x 1 ); P C (x 2 ) P C (x 1 ) 0, x 2 P C (x 2 ); P C (x 1 ) P C (x 2 ) 0. (6) Somando as desigualdade em (6), obtemos (c). Para mostrar que P C é Lipschitz-contínua, basta aplicar a desigualdade de Cauchy- Schwarz no lado direito de (4). Sabemos do Cálculo Diferencial (veja [3]) que se f: R R é derivável, então f é convexa se e somente se f é função monótona crescente. Esta propriedade pode ser generalizada para funções f: R n R se considerarmos a extensão apropriada do conceito de função crescente para funções vetoriais. Definição: Uma função g: R n R n é dita monótona positiva em R n se g(x) g(y); x y 0, x, y R n. 2

3 O proposição seguinte (veja [2]) nos será útil para a prova do Teorema 1. Proposição 2: Seja f: R n R uma função diferenciável. Então f é convexa se e somente se g = f é monótona positiva (onde f (x 0 ) denota o gradiente de f em x 0 ). Prova: Provemos inicialmente a implicação. Por hipótese temos, para t [0, 1], onde f ( x 0 + t(x 1 x 0 ) ) f(x 0 ) + t ( f(x 1 ) f(x 0 ) ), f ( x 0 + t(x 1 x 0 ) ) = f(x 0 ) + t f (x 0 ); x 1 x 0 + ɛ ( t(x1 x 0 ) ), ɛ(ξ) lim ξ 0 ξ = 0, ξ Rn. Subtraindo a segunda equação da primeira, obtemos t ( f(x 1 ) f(x 0 ) ) t f (x 0 ); x 1 x 0 + ɛ ( t(x1 x 0 ) ). Denotando por ξ = t(x 1 x 0 ), t > 0, temos após divisão por t Fazendo t 0, concluímos Mutatis mutandis, e temos a conclusão. f(x 1 ) f(x 0 ) f (x 0 ); x 1 x 0 + ɛ(ξ) ξ x 1 x 0. f(x 1 ) f(x 0 ) f (x 0 ); x 1 x 0. f(x 0 ) f(x 1 ) f (x 1 ); x 0 x 1 Provemos a implicação contrária. Sabemos da Análise Real que se ϕ: R R é derivável e ϕ é crescente, então ϕ é convexa. Sejam x 1, x 0 R n e consideremos ϕ(t) = f ( x 0 + t(x 1 x 0 ) ). Como f é diferenciável, segue da Regra da Cadeia que ϕ (t) = f ( x 0 + t(x 1 x 0 ) ) ; x 1 x 0. Provemos que ϕ é crescente. ϕ (t 1 ) ϕ (t 0 ) = f ( x 0 + t 0 (x 1 x 0 ) ) f ( x 0 + t 1 (x 1 x 0 ) ) ; x 1 x 0. Como ( x 0 + t 1 (x 1 x 0 ) ) ( x 0 + t 0 (x 1 x 0 ) ) = (t 1 t 0 )(x 1 x 0 ), podemos escrever (t 1 t 0 ) ( ϕ (t 1 ) ϕ (t 0 ) ) = f (x t1 ) f (x t0 ); x t1 x t0, onde estamos denotando x t = x 0 + t(x 1 x 0 ). Como por hipótese f é monótona positiva, concluímos que ϕ é crescente. Logo ϕ é convexa e ϕ(t) ϕ(0) + t(ϕ(1) ϕ(0)) para todo t ]0, 1[. Portanto, f ( x 0 + t(x 1 x 0 ) ) f(x 0 ) + t ( f(x 1 ) f(x 0 ) ) para todo t ]0, 1[. Prova do Teorema 1: Sejam x 0 e h em R n. Então podemos escrever J(x 0 + h) = J(x 0 ) + P C (x 0 ); h + ε(h), 3

4 onde ε(h) := 1 2 P C(x 0 ) P C(x 0 + h) 2 + x 0 + h; P C (x 0 + h) P C (x 0 ). Como P C (x 0 ) 2 P C (x 0 + h) 2 = P C (x 0 ) + P C (x 0 + h); P C (x 0 ) P C (x 0 + h), podemos escrever ε(h) = x 0 P C (x 0 ); P C (x 0 + h) P C (x 0 ) 1 2 P C(x 0 + h) P C (x 0 ) 2 + h; P C (x 0 + h) P C (x 0 ). (7) Considerando x 1 = x 0 e x 2 = x 0 + h na primeira desigualdade de (6), obtemos x0 P C (x 0 ); P C (x 0 + h) P C (x 0 ) 0. Logo ε(h) h; P C (x 0 + h) P C (x 0 ). Aplicando a desigualdade de Cauchy-Schwarz e o item (c) da Proposição 1, obtemos ε(h) h 2. Por outro lado, podemos escrever também que ε(h) = x 0 + h P C (x 0 + h); P C (x 0 + h) P C (x 0 ) P C(x 0 ) P C (x 0 + h) 2. Usando a segunda desigualdade de (6) (com os mesmos x 1 e x 2 definidos acima), obtemos ε(h) 0. Portanto, 0 ε(h) h 2, h R n e concluímos que J (x 0 ) = P C (x 0 ). (8) A prova de que J é de classe C 1 decorre diretamente de (8) e do item (c) da Proposição 1. A prova de que J é convexa decorre diretamente da Proposição 2 e do item (c) da Proposição 1. Corolário 1: Seja C um conjunto convexo, fechado e não vazio de R n e considere a função G: R n R definida por G(x) := 1 2 x P C(x) 2. Então G é função convexa de classe C 1 em R n e G (x) = x P C (x). Prova: Como G(x) = 1 2 x 2 J(x) e a função f(x) := 1 2 x 2 é de classe C 1 com f (x) = x para todo x R n, segue do Teorema 1 que G é de classe C 1 e G (x) = x P C (x). Além disso, segue de (4) que G (x 1 ) G (x 2 ); x 1 x

5 Portanto, G é monótona positiva e concluímos que G é convexa. Observação 1: Como P C (x) é o ponto de C mais próximo de x, a função D(x) := x P C (x) = 2G(x) mede a distância de x a C. Segue da regra da cadeia e do Corolário 1 que a função D é diferenciável no complementar de C e, para todo todo x R n \ C, D (x) = x P C(x) x P C (x) é o vetor unitário na direção de maior crescimento dessa distância. Exemplo 1: Seja C = [0, 1]. Então P C (x) = { 0 se x < 0 x se 0 x 1 1 se x > 0 e J(x) = { 0 se x < 0 x 2 /2 se 0 x 1 x 1/2 se x > 0 Exemplo 2: Seja C = B 1 (0) a bola fechada de raio 1 de R n. Então P C (x) = { x se x 1 x/ x se x > 1 e J(x) = { x 2 /2 se x 1 x 1/2 se x > 1 Observação 2: Embora estejamos nos restringindo a R n munido do produto escalar usual, podemos constatar que os resultados valem com provas idênticas para qualquer espaço de Hilbert H, exceto a prova da existência de y no item (a) da Proposição 1, onde usamos argumentos de compacidade que não valem se H é de dimensão infinita. Nesse caso, a prova da existência de y satisfazendo (2) pode ser obtida usando-se resultados básicos da Análise Funcional (veja [1], Teorema V.2, p. 79). Bibliografia: [1] H. Brezis, Analyse Fonctionnelle, Théorie et Applications, Collection Mathématiques Appliquées pour la Maîtrise, Masson, [2] R. Cipolatti, Cálculo Avançado I, Edit. Instituto de Matemática - UFRJ, Rio de Janeiro, [3] M. Spivak, Calculus, W. A. Benjamin, Inc., New York,