Notas de Aula. Análise Funcional

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1 Notas de Aula Análise Funcional Rodney Josué Biezuner 1 Departamento de Matemática Instituto de Ciências Exatas (ICEx) Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG) Notas de aula do curso Análise Funcional do Programa de Pós-Graduação em Matemática, ministrado no primeiro semestre de de julho de homepage: rodney.

2 Sumário 1 Espaços Vetoriais Normados e Espaços de Banach Definição Exemplo 1: Os espaços l p (n) Exemplo 2: Os espaços das sequências l p Exemplo 3: Os espaços L p () Exemplo 4: Os espaços C k ( ) e os espaços de Hölder C k,α ( ) Exercícios Aplicações Lineares Aplicações Lineares Limitadas Exercícios O Teorema de Hahn-Banach Formas Geométricas do Teorema de Hahn-Banach: Conjuntos Convexos Exercícios Os Teoremas da Limitação Uniforme, da Aplicação Aberta e do Gráfico Fechado O Teorema da Limitação Uniforme Os Teoremas da Aplicação Aberta e do Gráfico Fechado Operadores Adjuntos Exercícios Espaços Reflexivos Espaços Reflexivos Espaços Separáveis Exemplo 1: Espaços l p Espaços Uniformemente Convexos Exemplo 2: Espaços L p () Exercícios Topologia Fraca e Topologia Fraca* Topologia Fraca Sequências Fracamente Convergentes Topologia Fraca* Convexidade Uniforme e Topologia Fraca Reflexividade, Separabilidade e Topologias Fracas Metrizabilidade e Topologia Fraca Exercícios

3 Rodney Josué Biezuner 2 6 Espaços de Hilbert Produto Interno Espaços de Hilbert Teorema de Representação de Riesz Bases de Schauder e Bases de Hilbert Exercícios Operadores Compactos Operadores Completamente Contínuos e Operadores Compactos Teoria de Riesz-Fredholm para Operadores Compactos O Espectro de Operadores Compactos Teoria Espectral para Operadores Autoadjuntos Compactos Aplicação: Problemas de Sturm-Liouville e Operadores Integrais Exercícios Espaços de Sobolev e Equação de Laplace O Princípio de Dirichlet A Derivada Fraca Definição Um Teorema de Aproximação para Funções Fracamente Diferenciáveis Caracterização das Funções Fracamente Diferenciáveis Regra do Produto e Regra da Cadeia Espaços de Sobolev Caracterização dos Espaços W 1,p 0 () Imersão Contínua de Espaços de Sobolev Imersão Compacta de Espaços de Sobolev Resolução do Problema de Dirichlet O Problema de Autovalor para o Laplaciano

4 Capítulo 1 Espaços Vetoriais Normados e Espaços de Banach 1.1 Definição 1.1 Definição. Seja E um espaço vetorial real. Uma norma em E é uma função : E R que satisfaz as seguintes propriedades: (i) x 0 para todo x E e x = 0 se e somente se x = 0; (ii) (Homogeneidade) para todo α R e para todo x E vale αx = α x ; (iii) (Desigualdade Triangular) para todos x, y E vale x + y x + y. Um espaço vetorial E munido de uma norma é chamado um espaço vetorial normado e denotado (E, ). 1.2 Definição. Seja M um conjunto. Uma métrica em M é uma função d : M M R que satisfaz as seguintes propriedades: (i) d (x, y) 0 para todos x, y M e d (x, y) = 0 se e somente se x = y; (ii) (Desigualdade Triangular) para todos x, y, z M vale d (x, z) d (x, y) + d (y, z). Um espaço vetorial normado torna-se naturalmente um espaço métrico com a métrica derivada da norma: d (x, y) = x y. Desta forma, um espaço vetorial normado torna-se um espaço topológico com a topologia induzida pela métrica. 1.3 Proposição. Seja (E, ) um espaço vetorial normado. Então as funções soma de vetores E E E, (x, y) x + y, multiplicação de vetores por escalares R E E, (α, x) αx, e norma : E R, x x são contínuas. 3

5 Rodney Josué Biezuner Corolário. Fixado x 0 E, a aplicação x x + x 0 (translação) é um homeomorfismo. Fixado α R não nulo, a aplicação x αx (homotetia) é um homeomorfismo. Lembramos que um espaço métrico completo é um espaço métrico em que todas as sequências de Cauchy são convergentes, isto é, convergem para um elemento do próprio espaço. 1.5 Definição. Um espaço vetorial normado completo é chamado um espaço de Banach. 1.2 Exemplo 1: Os espaços l p (n) 1.6 Definição. Seja 1 p. Definimos o espaço l p (n) como sendo o espaço R n dotado da norma se 1 p <, e ( n ) 1/p x p = x i p (1.1) x = max 1 i n x i. (1.2) 1.7 Proposição. l p (n) é um espaço vetorial normado. Prova. As propriedades (i) e (ii) de uma norma na Definição 1.1 são claramente verificadas. Para provar a desigualdade triangular (que neste caso especial também recebe o nome de desigualdade de Minkowski) ( n ) 1/p ( n ) 1/p ( n ) 1/p x i + y i p x i p + y i p, (1.3) recorremos à desigualdade de Hölder (que será demonstrada no final): n x i y i x p y p onde 1 p + 1 = 1. (1.4) p O número p é chamado o expoente conjugado de p; observe que p = p/ (p 1). De fato, escrevemos n x i + y i p Logo, n ( x i + y i ) x i + y i p 1 n x i x i + y i p 1 + n y i x i + y i p 1 x p ( x 1 + y 1 p 1,..., x n + y n p 1) p + y p ( x 1 + y 1 p 1,..., x n + y n p 1) p p 1 p 1 ( n ) p 1 p ) = x i + y i ( x p p + y p. x + y p = ( n ) 1 p 1 p x i + y i p x p + y p. A desigualdade de Hölder, por sua vez, segue da desigualdade mais geral a λ b 1 λ λa + (1 λ) b (1.5) sempre que a, b 0 e 0 < λ < 1. Esta desigualdade pode ser provada da seguinte forma: se b = 0, ela é óbvia; se b 0, divida a desigualdade por b e tome t = a/b 0, de modo que provar a desigualdade torna-se

6 Rodney Josué Biezuner 5 equivalente a mostrar que a função f (t) = t λ λt é menor que ou igual a 1 λ para todo t 0. E, de fato, como f (t) = λ ( t λ 1 1 ), f é estritamente crescente para 0 t < 1 e estritamente decrescente para t > 1, logo f atinge o seu máximo em t = 1, onde f vale exatamente 1 λ. Tomando para cada índice i, segue que x i a = x p x i y i p x p y p Daí, somando desde i = 1 até i = n, obtemos 1 x p y p p y i, b = e λ = 1 y p p, 1 x i p p x p p n n x i y i 1 x i p p x p + 1 p p 1.8 Proposição. l p (n) é um espaço de Banach. + 1 y i p p. y p p n y i p y p p = 1 p + 1 p = 1. Prova. Para ver que l p (n) é completo, basta observar que uma sequência em l p (n) é de Cauchy se e somente se cada uma das sequências de coordenadas é de Cauchy e que, além disso, uma sequência em l p (n) é convergente se e somente se cada uma das sequências de coordenadas é de Cauchy. Outra maneira de ver que l p (n) é um espaço de Banach é lembrar que todas as normas em R n são equivalentes e usar o fato bem conhecido que R n com a norma usual é completo. Observe que l 2 (n) é o espaço R n munido da norma euclidiana, a qual é derivada de um produto interno. 1.3 Exemplo 2: Os espaços das sequências l p 1.9 Definição. Seja 1 p <. Definimos o espaço l p como sendo o espaço das sequências reais p-somáveis, isto é, { } l p = x : N R : x i p <, dotado da norma ( ) 1/p x p = x i p, (1.6) e o espaço l como sendo o espaço das sequências reais limitadas, isto é, { } l = x : N R : sup x i < i N, dotado da norma x = sup x i. (1.7) i N 1.10 Proposição. l p é um espaço vetorial normado. Prova. Basta passar o limite na desigualdade de Minkowski fazendo n Proposição. l p é um espaço de Banach.

7 Rodney Josué Biezuner 6 Prova. Seja {x n } n N uma sequência de Cauchy em l p ({x n } é uma sequência de sequências reais). Denote os termos de cada sequência x n por x n,m. Para cada m fixado, {x n,m } n N é também uma sequência de Cauchy, logo converge para um certo número a m ; em outras palavras, a sequência de sequências {x n } converge termo a termo para a sequencia real a = {a m }. Afirmamos que esta sequência está em l p e que x n a em l p. De fato, como {x n } n N é de Cauchy em l p, dado ε > 0, existe N N tal que x k x l p < ε sempre que k, l N; em particular, para todo m N, vale m x k,i x l,i p < ε p sempre que k, l N. Fixando k e fazendo l, obtemos m x k,i a i p < ε p para todo m N, sempre que k N. Daí, fazendo m, temos que x k,i a i p < ε p sempre que k N,o que implica que x k a l p sempre que k N, e portanto a l p. desigualdade também implica que x k a em l p. Esta mesma 1.12 Exemplo. Subespaços de l que são também espaços de Banach são l c = {x l : x é uma sequência convergente}, l 0 = {x l : lim x n = 0}. A demonstração deste fatos é deixada como exercício. 1.4 Exemplo 3: Os espaços L p () 1.13 Definição. Seja R n um conjunto mensurável. Seja 1 p <. Definimos o espaço L p () como sendo o espaço das (classes de equivalência de) funções reais p-integráveis no sentido de Lebesgue, isto é, { } L p () = f : R : f p <, dotado da norma ( ) 1/p f p = f p, (1.8) e o espaço L () como sendo o espaço das (classes de equivalência de) funções reais mensuráveis limitadas, isto é, { } L () = f : R : sup f <, dotado da norma f = sup f. (1.9)

8 Rodney Josué Biezuner 7 Observe que nesta definição, sup f = inf {c R : f (x) c q.t.p.} Proposição. L p () é um espaço vetorial normado. Prova. L p () é um espaço vetorial porque se f, g L p () e λ R, então f + g L p () e λf L p (). De fato, f (x) + g (x) f (x) + g (x) 2 max { f (x), g (x) }, de modo que f (x) + g (x) p 2 p max { f (x) p, g (x) p } 2 p ( f (x) p + g (x) p ), donde ( ) 1/p f + g p 2 p f p + g p. Além disso, λf p = λ f p e f p = 0 se e somente se f = 0 q.t.p. Como nos espaços l p, para provar a desigualdade triangular ou desigualdade de Minkowski, ( ( ( ) 1/p f + g p ) 1/p f p + ) 1/p g p, (1.10) recorremos à desigualdade de Hölder fg f p g p onde 1 p + 1 = 1. (1.11) p Escrevemos Logo, f + g p ( f + g ) f + g p 1 f f + g p 1 + f g p 1 f p 1 f p 1 f p + g p + g p + g p p 1 p 1 ( ) p 1 = f + g p p ) ( f p + g p. f + g p = ( n ) 1 p 1 p f + g p f p + g p. A desigualdade de Hölder segue, como na demonstração da Proposição 1.7, da desigualdade mais geral a λ b 1 λ λa + (1 λ) b sempre que a, b 0 e 0 < λ < 1. Desta vez tomamos, para cada x, p p f (x) g (x) a =, b = e λ = 1 f p g p p, segue que Daí, integrando sobre, obtemos 1 f p g p f (x) g (x) f p g p fg 1 p 1 f (x) p p f p p f p f p p + 1 g (x) p p. g p p + 1 p g p g p p = 1 p + 1 p = 1.

9 Rodney Josué Biezuner Proposição. L p () é um espaço de Banach. Prova. Consideraremos primeiro o caso L (). Seja {f n } L () uma sequência de Cauchy. Então, dado k N, existe N k N tal que sempre que n, m > N k. Em particular, f n f m < 1 k f n (x) f m (x) < 1 k q.t.p. em, sempre que n, m > N k. Isso implica que {f n (x)} é uma sequência de Cauchy para quase todo ponto x e podemos definir f (x) = lim f n (x) q.t.p. Resta mostrar que f L () e que f n f em L (). Isso decorre da última desigualdade, fazendo m : f n (x) f (x) < 1 k. Segue que f n f na norma de L (); além disso, como para qualquer n, k fixados temos f (x) f n (x) + 1/k, logo f L (). Examinaremos agora o caso 1 p <. Seja {f n } L p () uma sequência de Cauchy. Em particular, podemos extrair uma subsequência {f nk } tal que Considere a sequência f nk+1 f nk p < 1 2 k. g n = n f nk+1 f nk. k=1 Então existe g = lim g n. Pelo Teorema da Convergência Monótona, g p = lim g n p. Mas, usando a desigualdade de Jensen, ( n ) p g n p n f nk+1 f nk f nk+1 f nk p = n k=1 k=1 ( ) p 1 2 k = n k=1 1 2 p p = 1 2 p 1 < 1, ( ) k 1 2 p logo concluímos que g p 1 e, em particular, g assume valores reais em quase todo ponto. Usaremos a sequência {g n } e seu limite g para verificar que a subsequência {f nk (x)} é de Cauchy em quase todo ponto x. Com efeito, sejam k > l > 1 e escreva f nk (x) f nl (x) fnk (x) f nk 1 (x) fnl+1 (x) f nl (x) = gk 1 (x) g l 1 (x) g (x) g l 1 (x). Como g l (x) g (x) q.t.p., para quase todo x fixado, existe N N tal que g (x) g l 1 (x) < ε sempre que l > N; já que k > l, segue que f nk (x) f nl (x) < ε sempre que k, l > N. Portanto, podemos definir, em quase todo ponto, f (x) = lim f nk (x). Falta provar que f L p () e que f n f em L p (). Fazendo k na desigualdade f nk (x) f nl (x) g (x) g l 1 (x), obtemos f (x) f nl (x) g (x) g l 1 (x). k=1 k=1 ( 1 2 p ) k

10 Rodney Josué Biezuner 9 Como g g l 1 L p (), segue em particular que f f nl L p () e, portanto, f L p () já que f nl L p (). Além disso, integrando esta desigualdade sobre, temos f f nl p g g l 1 p 0 quando l pelo Teorema da Convergência Dominada ( g g l 1 é dominada por 2 g ). Provamos, então, que uma subsequência da sequência de Cauchy {f n } converge para f em L p (); portanto, toda a sequência converge para f Exemplo. O espaço das funções contínuas C ( ) com a norma L 1 é um espaço vetorial normado mas não é um espaço de Banach. Por exemplo, tome = [0, 1] e considere a sequência de funções 0 se 0 t 1 2, ( f n (t) = n t 1 ) se t n, 1 se t 1. n Assumindo n > m para fixar idéias, temos que f n f m 1 = 1 0 f n (t) f m (t) dt é a área do triângulo de altura 1 e comprimento da base 1 m 1, de modo que n f n f m 1 < ε sempre que n, m > ε, ou seja {f n } n N é uma sequência de Cauchy em C ([0, 1]) na norma L 1. Mas ela não converge para nenhuma função contínua na norma L 1. De fato, convergência L 1 implica em convergência q.t.p., a menos de uma subsequência, e f n (t) 0 se 0 t 1 2, enquanto que f n (t) 1 se 1 t 1. Para uma demonstração mais direta, suponha por absurdo que existe f C ([0, 1]) tal 2 que f n f 1 0. Como f n f 1 = 1 0 f n (t) f (t) dt = n 1 f (t) dt + f n (t) f (t) dt + 1 f (t) dt n e as três integrais são não-negativas, cada uma delas deve ser igual a 0 ou convergir para 0 quando n. Concluímos que 0 se 0 t 1 f (t) = 2, 1 se 1 t 1, 2 e portanto f não é contínua. 1.5 Exemplo 4: Os espaços C k ( ) e os espaços de Hölder C k,α ( ) Usaremos a notação de multi-índice para denotar a derivada parcial onde γ = (γ 1,..., γ n ) e γ = γ γ n. D γ γ f f (x) = x γ (x) xγn n

11 Rodney Josué Biezuner Definição. Seja R n um conjunto aberto. Definimos o espaço C k () como o espaço das funções reais definidas em cujas derivadas parciais até a ordem k (inclusive) são limitadas e uniformemente contínuas (isso garante que elas possuem uma única extensão contínua para ), isto é, C k () = { f C k () : D γ f é limitada e uniformemente contínua em para todo γ k }. dotado da norma f C k () = max γ k Dγ f L (). (1.12) Freqüentemente denotamos o espaço das funções contínuas C 0 () simplesmente por C(), e definimos C () = C k (). k N Relembramos o conceito de continuidade de Hölder: 1.18 Definição. Seja R n. Dizemos que uma função f : R é contínua de Hölder com expoente α, se f(x) f(y) sup x,y x y α < x y para algum 0 < α 1. Neste caso, denotaremos f C α (), se α < 1, e f C 0,1 () se α = 1. Além disso, denotamos também [f] C α () = sup f(x) f(y) x,y x y α. (1.13) x y Em particular, note que se f é contínua de Hölder com expoente α em, então f(x) f(y) [f] C α () x y α para todos x, y. Claramente, se uma função é contínua de Hölder em, então ela é contínua em ; na verdade, ela é uniformemente contínua em, o que motiva o nome de função uniformemente contínua de Hölder em, às vezes usado na literatura. Uma função contínua de Hölder com expoente α = 1 é uma função contínua de Lipschitz Definição. Seja R n um conjunto aberto. Os espaços de Hölder C k,α ( ) são definidos como os subespaços de C k ( ) consistindo das funções cujas derivadas parciais até a ordem k (inclusive) são todas contínuas de Hölder com expoente α em : C k,α ( ) = { f C k ( ) : D γ f C α () para todo γ k } com norma f C k,α () = f C k () + max γ k [Dγ f] C α (). (1.14) Permitindo α = 0, podemos incluir os espaços C ( k ) entre os espaços de Hölder: C k ( ) = C k,0 ( ) Proposição. C ( k,α ) é um espaço vetorial normado. Prova. Provemos a validade da desigualdade triangular. Para isso, já que f C k () nada mais é que a soma de normas do máximo, portanto claramente uma norma, basta provar que a desigualdade triangular vale

12 Rodney Josué Biezuner 11 para a seminorma [D γ f] Cα () (uma seminorma é uma função que satisfaz todas as propriedades que uma norma satisfaz, exceto a condição (i) da Definição 1.1). Isso significa provar que (f + g) (x) (f + g) f(y) f(x) f(y) g(x) g(y) sup x,y x y α sup x,y x y α + sup x,y x y α. x y x y x y Mas isso segue diretamente da desigualdade triangular (f + g) (x) (f + g) f(y) f(x) f(y) + g(x) g(y) e do fato que sup (A + B) sup A + sup B Proposição. C k,α ( ) é um espaço de Banach. Prova. Exercício. 1.6 Exercícios 1.1 Mostre que x = lim p x p. 1.2 C 1 () com a métrica L é um espaço vetorial normado? É um espaço de Banach? 1.3 Seja E um espaço vetorial normado em relação a duas normas, 1 e 2. Dizemos que estas duas normas são equivalentes se existirem constantes C, D > 0 tais que x 1 C x 2, x 2 D x 1, para todo x E. Suponha que 1 e 2 são normas equivalentes. Prove que (E, 1 ) é de Banach se e somente se (E, 2 ) é de Banach. 1.4 Mostre que C k,α ( ) com a norma f C k,α () = k f C i () + [D γ f] C α () i=0 é um espaço vetorial normado. Mostre que esta norma é equivalente à norma definida no texto. 1.5 Demonstre a Proposição γ k

13 Capítulo 2 Aplicações Lineares 2.1 Aplicações Lineares Limitadas Em espaços vetoriais normados, um critério simples para a continuidade de aplicações lineares é encapsulado na seguinte definição, como veremos a seguir: 2.1 Definição. Sejam (E, E ) e (F, F ) espaços vetoriais normados. Dizemos que uma aplicação linear T : E F é limitada se existe uma constante M 0 tal que para todo x E. T x F M x E Em geral, omitiremos os subscritos das normas quando for claro do contexto a quais espaços elas se referem. 2.2 Proposição. Sejam E, F espaços vetoriais normados e T : E F uma aplicação linear. As seguintes afirmações são equivalentes: (i) T é contínua. (ii) T é contínua na origem. (iii) T é limitada. Prova. (i) (ii) Óbvio. (ii) (iii) Tomando ε = 1 na definição (ε, δ) de continuidade em espaços métricos, existe δ > 0 tal que x δ implica T x 1. Portanto, se y E é um vetor não nulo qualquer, temos ( ) δy T 1. y Por linearidade concluímos que T y 1 δ y. (iii) (i) Seja M tal que T x M x para todo x E. Então T x T y = T (x y) M x y e portanto T é uma aplicação de Lipschitz, em particular (uniformemente) contínua. 12

14 Rodney Josué Biezuner Exemplo. Embora aplicações lineares em espaços vetoriais normados de dimensão finita sejam sempre contínuas, o mesmo não vale para espaços vetoriais normados de dimensão infinita. De fato, se E é um espaço vetorial normado de dimensão infinita e F é um espaço vetorial normado de dimensão maior ou igual a 1, podemos sempre construir uma aplicação linear T : E F que não é limitada. Para isso, seja B uma base para E, B B um subconjunto enumerável de vetores e y F um vetor não nulo qualquer. Definimos uma aplicação linear T : E F definindo T em B por e T não é limitada, pois logo não existe uma constante M > 0 tal que T x n = n x n y se x n B T x = 0 se x B\B. T x n = n y x n, T x n M x n. Em particular, vemos que se E é um espaço vetorial normado de dimensão infinita, sempre existem funcionais lineares que não são contínuos, pois podemos tomar F = R. 2.4 Definição. Se E, F são espaços vetoriais normados, denotaremos o espaço vetorial das aplicações lineares limitadas por L (E, F ). Definimos a norma de uma aplicação linear limitada por T = inf {M R : T x M x para todo x E}. 2.5 Proposição. Sejam E, F espaços vetoriais normados e T : E F uma aplicação linear limitada. Então T x T = sup x E\{0} x = sup T x = sup T x. x E x E x 1 x =1 Prova. Seja T x M = sup x E x. x 0 Então T x M x para todo x E, logo M T. Reciprocamente, como por definição T x T x para todo x E, segue que T x x T para todo x E\ {0}, logo T M. Isso prova a primeira identidade. Para provar que T x sup x E\{0} x = sup T x = sup T x, x E x E x =1 x 1 basta notar que T x x = ( ) x T. x Apesar de uma aplicação linear limitada ser contínua, não podemos trocar o sup na bola unitária ou na esfera unitária pelo máximo, pois em espaços vetoriais normados de dimensão infinita a bola e a esfera unitária nunca são compactas (veja o Corolário 1.39).

15 Rodney Josué Biezuner Proposição. Se E, F são espaços vetoriais normados, então L (E, F ) é um espaço vetorial normado. Prova. Sejam T, S L (E, F ). Temos (T + S) x = T x + Sx T x + Sx T x + S x = ( T + S ) x para todo x E, de modo que obtemos simultaneamente que T + S L (E, F ) e a validade da desigualdade triangular para a norma de aplicações lineares. 2.7 Proposição. Se E é um espaço vetorial normado e F é um espaço de Banach, então L (E, F ) é um espaço de Banach. Prova. Seja {T n } uma sequência de Cauchy em L (E, F ). Como T n x T m x = (T n T m ) x T n T m x, segue que {T n x} é uma sequência de Cauchy em F para todo x E. Defina T x := lim T n x. Afirmamos que T = lim T n em L (E, F ). De fato, em primeiro lugar, T é uma transformação linear, pois T (αx + βy) = lim T n (αx + βy) = lim (αt n x + βt n y) = α lim T n x + β lim T n y = αt x + βt y. Além disso, dado ε > 0, existe N N tal que T n T m < ε sempre que n, m > N. Então para todo x E e fazendo n obtemos T n x T m x ε x (T T m ) x = T x T m x ε x para todo x E, sempre que m > N. Em particular, T T m L (E, F ), portanto T = (T T m ) + T m L (E, F ) e T T m < ε sempre que m > N, isto é, T m T em L (E, F ). Reciprocamente, com a ajuda do teorema de Hahn-Banach (veja a próxima seção), pode-se provar que (se E 0) se F não é um espaço de Banach, então L (E, F ) não é um espaço de Banach (Proposição 2.26). 2.8 Definição. Se E é um espaço vetorial normado, denotaremos o espaço vetorial dos funcionais lineares limitadas por E. Ele é chamado o espaço dual de E. 2.9 Corolário. Se E é um espaço vetorial normado, então E é um espaço de Banach Proposição. Sejam E, F, G espaços vetoriais normados. Se T L (E, F ) e S L (F, G), então ST L (E, G) e ST S T. Prova. Temos para todo x E. (ST ) x S T x S T x

16 Rodney Josué Biezuner Definição. Sejam E, F espaços vetoriais normados. Dizemos que uma aplicação T : E F é limitada inferiormente se existe uma constante m > 0 tal que para todo x E. T x m x 2.12 Proposição. Seja T L (E, F ). Então a inversa T 1 : Im T E existe e é linear e limitada se e somente se T é limitada inferiormente. Prova. Suponha que T é limitada inferiormente. Então, se x y segue que T x T y = T (x y) m x y > 0, logo T é injetiva e portanto a inversa T 1 : Im T E está bem definida. Como T (αx + βy) = αt x+βt y, tomando T 1 em ambos os lados desta equação, segue também que T 1 (αt x + βt y) = αx + βy = αt 1 (T x) + βt 1 (T y), logo T 1 é linear. Finalmente, T 1 (T x) = x m 1 T x para todo y = T x Im T, e portanto T 1 é limitada. Reciprocamente, suponha que T 1 : Im T E existe e é linear e limitada. Então x = T 1 (T x) T 1 T x para todo x E, ou seja, T x T 1 1 x Definição. Sejam E, F espaços vetoriais normados. Dizemos que E e F são topologicamente isomorfos quando existe uma aplicação linear bijetiva T : E F tal que T e T 1 são limitadas Corolário. T : E F é um isomorfismo topológico entre os espaços vetoriais normados E e F se e somente se existem constantes m, M > 0 tais que m x T x M x. Em particular, isomorfismos topológicos preservam sequências de Cauchy e sequências convergentes; daí, se E e F são topologicamente isomorfos, então E é um espaço de Banach se e somente se F é Proposição. Sejam E, F espaços vetoriais normados de dimensão finita com a mesma dimensão. Então E e F são topologicamente isomorfos. Prova. Como a relação de isomorfismo topológico entre espaços vetorias normados é uma relação de equivalência, basta mostrar que se dim E = n então E é topologicamente isomorfo a l 1 (n). Seja B = {e 1,..., e n } uma base para E. Considere o isomorfismo T : l 1 (n) E definido por T (x 1,..., x n ) = n x i e i.

17 Rodney Josué Biezuner 16 Afirmamos que T é um isomorfismo topológico. De fato, T é limitada porque T x E n x i e i E = n x i e i E ( ) max e n i,...,n E x i = M x l 1 (n) onde denotamos M = max e i,...,n E. Como T é contínua, a função x T x também é e assume um valor mínimo m na esfera unitária B = { x l 1 (n) : x = 1 }. Necessariamente m > 0, pois {e 1,..., e n } é um conjunto linearmente independente. Portanto, T x x m para todo x E, x 0, o que mostra que m x T x M x para todo x E Corolário. Todo espaço vetorial normado de dimensão finita é de Banach. Todo subespaço vetorial de dimensão finita de um espaço vetorial normado é fechado Corolário. Se E é um espaço vetorial normado de dimensão finita e T : E F é linear, então T é contínua Corolário. Se E é um espaço vetorial normado de dimensão finita, então um subconjunto de E é compacto se e somente se ele for fechado e limitado. Além disso, se E é um espaço vetorial normado tal que a bola unitária B = {x E : x 1} é compacta, então E possui dimensão finita. Prova. Vamos provar a última afirmação. Para isso, provaremos antes o seguinte resultado: Seja E um espaço vetorial normado e F E um subespaço vetorial fechado próprio de E. Então para todo 0 < ε < 1 existe y E tal que y = 1 e dist (y, F ) ε. Seja z E\F e d = dist (z, F ). Como F é fechado, d 0 e pela definição de distância existe x 0 F tal que Tome d z x 0 d ε. y = z x 0 z x 0, de modo que y = 1. Além disso, para todo x F temos y x = z x 0 z x 0 x = 1 z x 0 z x 0 z x 0 x ε d z x 1,

18 Rodney Josué Biezuner 17 onde x 1 = x 0 z x 0 x F, logo y x ε d d = ε. Agora, suponha por absurdo que E é um espaço de dimensão infinita. Vamos construir uma sequência {x n } n N B que não possui subsequência convergente, mostrando que B não pode ser compacta. Tome x 1 B qualquer. Como x 1 é um subespaço fechado de E e, por hipótese, E x 1, existe x 2 B tal que x 1 x 2 1/2. O subespaço x 1, x 2 também é um subespaço fechado próprio de E, logo existe x 3 B tal que x 1 x 3 1/2 e x 2 x 3 1/2. Continuando desta maneira, obtemos uma sequência {x n } B tal que x n x m 1/2 para todos n, m N. Como nenhuma subsequência desta sequência pode ser de Cauchy, ela não possui nenhuma subsequência convergente. 2.2 Exercícios 2.1 Verifique nos casos abaixo que o funcional linear está bem definido e é limitado e calcule sua norma. a) f : l 2 R; f (x) = n=1 b) f : l 0 R; f (x) = n=1 x n n. x n 2 n+1. c) f : L 1 ( 1, 1) R; f (x) = 1 tx (t) dt Considere o operador linear M λ : l p l p definido por M λ (x) = (λ 1 x 1, λ 2 x 2,...) onde λ = (λ n ) l. M λ é chamado multiplicação por λ. Verifique que M λ é um operador linear bem definido e limitado e calcule sua norma. Para que sequências λ existe o operador inverso M 1 λ? Para que sequências λ o operador inverso M 1 λ existe e é limitado? 2.3 Considere o operador shift S : l p l p definido por Sx = (0, x 1, x 2,...). S 1 existe e é limitado? Considere agora o operador truncamento T : l p l p definido por T 1 existe e é limitado? 2.4 Seja T : C ([0, 1]) C ([0, 1]) definida por Mostre que T é um isomorfismo topológico. T x = (x 2, x 3,...). (T f) (t) = f (t) + t 0 f (s) ds.

19 Rodney Josué Biezuner Seja E um espaço de Banach e T L (E) um operador tal que T < 1. Mostre que I T é um operador bijetivo, (I T ) 1 = T n, (I T ) 1 é limitado e que n=1 (I T ) T. 2.6 Seja E um espaço de Banach e T L (E) um operador tal que I T < 1. Mostre que T 1 existe e está em L (E). 2.7 Seja E = { f C 1 ([0, 1]) : f (0) = 0 }. Dada g C ([0, 1]), considere a aplicação linear T g : E C ([0, 1]) definida por (T g f) (t) = f (t) + g (t) f (t). Mostre que T 1 existe e é limitada. 2.8 A aplicação linear D : C 1 ([0, 1]) C ([0, 1]) definida por é limitada? Se for, calcule D. Df = f 2.9 Seja E = { f C ([0, 1]) : f é de classe C 1}. Considere a aplicação linear T : E C ([0, 1]) definida por Df = f. D é limitada? Se for, calcule D A aplicação linear I : C ([0, 1]) C ([0, 1]) definida por é limitada? Se for, calcule I. (If) (t) = t 0 f (s) ds Prove que não existe norma em C ([0, 1]) que torne o operador derivada Df = f limitado. [Sugestão: considere as funções f λ (x) = e λx.] 2.3 O Teorema de Hahn-Banach O teorema de Hahn-Banach garante que todo espaço vetorial normado é ricamente suprido de funcionais lineares, de modo que pode-se obter uma teoria satisfatória de espaços duais e de operadores adjuntos Definição. Seja E um espaço vetorial normado. Dizemos que um funcional p : E R é semilinear se ele for subaditivo, isto é, e positivo-homogêneo, ou seja, p (x + y) p (x) + p (y) para todos x, y E, p (αx) = αp (x) para todos x E, α > 0. Um exemplo de funcional semilinear em um espaço vetorial normado é a própria norma deste espaço. Para demonstrarmos o lema principal desta seção, que também é conhecido como o teorema de Hahn- Banach para espaços vetoriais (embora nestas notas não nos referiremos a ele deste modo em geral, preferindo reservar o nome teorema de Hahn-Banach para o teorema de Hahn-Banach para espaços vetoriais normados), relembramos o lema de Zorn:

20 Rodney Josué Biezuner Lema. (Lema de Zorn) Seja A um conjunto parcialmente ordenado. Se todo subconjunto totalmente ordenado de A possui um limitante superior, então A tem pelo menos um elemento maximal Lema. Sejam E um espaço vetorial e p : E R um funcional semilinear. Seja F um subespaço vetorial de E e f 0 : F R um funcional linear tal que f 0 (x) p (x) para todo x F. Então f 0 se estende a um funcional linear f : E R satisfazendo f (x) p (x) para todo x E. Prova. Este resultado é uma consequência do Lema de Zorn. Seja A o conjunto de todas as extensões lineares g : L (g) R de f 0 a um subespaço vetorial L (g) F de E tais que g (x) p (x) para todo x L (g). Note que A = porque f 0 A. Definimos uma ordem parcial em A declarando g h se L (g) L (h), isto é, g h se h é uma extensão de g. Para ver que A satisfaz a hipótese do lema de Zorn, seja A A um subconjunto totalmente ordenado. Então um limitante superior para A é o funcional g : L (g) R onde L (g) = L (h) e g é definido por h A g (x) = h (x) se x L (h) para qualquer h A. Observe que g está bem definido porque A é totalmente ordenado. Pelo lema de Zorn, existe um elemento maximal f A. Para provar o resultado, basta mostrar que L (f) = E. Suponha por absurdo que existe x 0 E\L (f). Considere o subespaço L = L (f) + x 0. Defina uma extensão linear g : L R de f por h (x + tx 0 ) = f (x) + tα, onde α R é uma constante a ser definida apropriadamente para que tenhamos h (y) p (y) para todo y L, e portanto g contradizerá a maximalidade de f. De fato, dados x 1, x 2 L (f), temos f (x 1 ) + f (x 2 ) = f (x 1 + x 2 ) p (x 1 + x 2 ) p (x 1 + x 0 ) + p (x 2 x 0 ), donde Escolha α tal que Isso implica que f (x 2 ) p (x 2 x 0 ) p (x 1 + x 0 ) f (x 1 ). sup [f (x) p (x x 0 )] α inf [p (x + x 0) f (x)]. x L(f) x L(f) h (x x 0 ) = f (x) α p (x x 0 ), h (x + x 0 ) = f (x) + α p (x + x 0 ), para todo x L (f). Se t > 0, multiplicando ( x ) ( x ) f + α p t t + x 0 por t obtemos Se t < 0, multiplicando por t obtemos Se t = 0, o resultado é óbvio. h (x + tx 0 ) = f (x) + tα p (x + tx 0 ). f ( ) ( ) x x α p t t x 0 h (x + tx 0 ) = f (x) + tα p (x + tx 0 ).

21 Rodney Josué Biezuner Teorema. (Teorema de Hahn-Banach) Sejam E um espaço vetorial normado e f 0 : F R um funcional linear limitado definido em um subespaço vetorial F E. Então f 0 se estende a um funcional linear f : E R tal que f E = f 0 F. Prova. Basta aplicar o teorema anterior ao funcional semilinear p (x) = f 0 F x Corolário. Sejam E um espaço vetorial normado e F um subespaço vetorial de E. Suponha que exista x 0 E tal que dist (x 0, F ) = inf x F x x 0 > 0. Então existe f E tal que f (x 0 ) = 1, f E = 1/ dist (x 0, F ) e f 0 sobre F. Em particular, se F é um subespaço vetorial de E que não é denso em E, então existe f E não-nulo que se anula em F. Prova. Considere o subespaço vetorial F 1 = F + x 0. Defina um funcional linear f 0 : F 1 R por f 0 (x + tx 0 ) = t. Note que f 0 0 sobre F e que f 0 (x 0 ) = 1. Escrevendo y = x + tx 0, se t 0 temos que y = x + tx 0 = t x t + x 0 t dist (x 0, F ) = f 0 (y) dist (x 0, F ), ou seja, f 0 (y) y 1 dist (x 0, F ) para todo y F 1, donde f 0 F 1 1 dist (x 0, F ). (2.1) Seja {y n } F uma sequência tal que x 0 y n dist (x 0, F ). Temos 1 = f 0 (x 0 y n ) f 0 F 1 x 0 y n, de modo que ao passarmos o limite quando n segue que f 0 F 1 1 dist (x 0, F ). (2.2) Portanto, f 0 F 1 = 1 dist (x 0, F ). Usando o teorema de Hahn-Banach, estendemos f linearmente a todo o espaço E. Este resultado é frequentemente usado para verificar se um subespaço vetorial de um espaço vetorial normado é denso Corolário. Seja E um espaço vetorial normado. Para todo vetor não-nulo x 0 E existe f E tal que f E = 1 e f (x 0 ) = x 0.

22 Rodney Josué Biezuner 21 Prova. Aplique o teorema de Hahn-Banach ao subespaço F = x 0 e ao funcional linear limitado f 0 : F R definido por f 0 (tx 0 ) = t x Corolário. Seja E um espaço vetorial normado. Para todo vetor x E vale x = f (x) sup f E \{0} f = sup f (x) = max f (x). f E f E f 1 f 1 Prova. Pelo corolário anterior existe g E tal que g E = 1 e g (x) = x 0. Logo, Como g (x) g x, segue o resultado. f (x) g (x) sup f E \{0} f g = x Proposição. Sejam E, F espaços vetoriais normados. Se L (E, F ) é um espaço de Banach, então F é um espaço de Banach. Prova. Em primeiro lugar, observamos que se f é funcional linear sobre E e y F é um vetor qualquer, então podemos definir uma aplicação linear T : E F por T x = f (x) y. Além disso, se f for um funcional linear limitado, então T também é uma aplicação linear limitada. De fato, T = sup T x x f (x) = y sup = y f. x Seja {y n } n N uma sequência de Cauchy em F. Pelo Corolário 2.24, existe um funcional linear f E tal que f = 1. Para cada n N, defina uma aplicação linear T n L (E, F ) por T n x = f (x) y n. Então T n = y n e {T n } n N é uma sequência de Cauchy em L (E, F ). Como L (E, F ) é um espaço de Banach, T n T em L (E, F ). Em particular, T n x T x em F para todo x E. Escolhendo x E tal que f (x) = 1, segue que T n x = y n e portanto y n T x. Assim, juntamente com a Proposição 2.7, este resultado implica que L (E, F ) é um espaço de Banach se e somente se F é um espaço de Banach. 2.4 Formas Geométricas do Teorema de Hahn-Banach: Conjuntos Convexos 2.27 Definição. Seja E um espaço vetorial. Um hiperplano afim é um conjunto da forma H = f 1 (α) = {x E : f (x) = α}, onde f : E R é um funcional linear não-nulo e α R Proposição. Seja E um espaço vetorial normado. O hiperplano H = f 1 (α) é fechado se e somente se f é limitada.

23 Rodney Josué Biezuner 22 Prova. Suponha que H é fechado. Então E\H é aberto e não-vazio (porque f é não-nulo). Escolha x 0 E\H tal que f (x 0 ) < α, para fixar idéias, e uma bola B r (x 0 ) E\H. Afirmamos que f (x) < α para todo x B r (x 0 ). Com efeito, se f (x 1 ) α para algum x 1 B r (x 0 ), considere o segmento L = {(1 t) x 0 + tx 1 : 0 t 1} que está inteiramente contido em B r (x 0 ). Tomando t = f ((1 t) x 1 + tx 0 ) = (1 t) f (x 1 ) + tf (x 0 ) ( = 1 f (x 1) α f (x 1 ) f (x 0 ) f (x 1) α f (x 1 ) f (x 0 ) temos ) f (x 1 ) + = [α f (x 0)] f (x 1 ) + [f (x 1 ) α] f (x 0 ) f (x 1 ) f (x 0 ) = α, contradizendo B r (x 0 ) E\H. Portanto, concluímos que f (x 0 + rz) < α para todo z B 1 (0), donde (usando o fato que f (z) = f ( z)) f (z) 1 r (α f (x 0)) para todo z B 1 (0), o que implica que f é limitada e A recíproca é óbvia. f 1 r (α f (x 0)). f (x 1) α f (x 1 ) f (x 0 ) f (x 0) 2.29 Definição. Seja E um espaço vetorial e A, B E subconjuntos quaisquer. Dizemos que o hiperplano H = f 1 (α) separa A e B no sentido amplo se f (x) α para todo x A e f (x) α para todo x B. Dizemos que o hiperplano H = f 1 (α) separa A e B no sentido estrito se existe ε > 0 tal que f (x) α ε para todo x A e f (x) α + ε para todo x B Lema. (Funcional de Minkowski) Seja E um espaço vetorial normado e C E um conjunto aberto convexo contendo a origem. Defina o funcional p C : E R por p C (x) = inf {α > 0 : x } α C. Então p C é um funcional semilinear que satisfaz (i) existe M > 0 tal que 0 p C (x) M x para todo x E; (ii) C = {x E : p C (x) < 1}. Prova. Para simplificar a notação, denotaremos p C por p. Prova de (i): Seja r > 0 tal que B r [0] C. Então, para todo x E, r x x p (x) r x. C, logo por definição

24 Rodney Josué Biezuner 23 Prova de (ii): Seja x C. Como C é aberto, existe ε > 0 tal que (1 + ε) x C, logo por definição p (x) ε < 1 Reciprocamente, se p (x) < 1, então existe 0 < α < 1 tal que x α C, donde x = α x + (1 α) 0 C, já que α C é convexo e contém a origem. Por fim, vamos verificar que p é semilinear. É fácil ver que p é positivo-homogêneo. Para verificar a subaditividade de p, sejam x, y E e ε > 0. De (ii) e do fato de p ser positivo-homogêneo segue que Daí, Em particular, escolhendo t = x p (x) + ε, y p (y) + ε C. x y t + (1 t) C para todo 0 t 1. p (x) + ε p (y) + ε p (x) + ε, temos que p (x) + p (y) + 2ε x + y p (x) + p (y) + 2ε C. Pela positivo-homogeneidade de p e por (ii), concluímos que p (x + y) < p (x) + p (y) + 2ε. Como ε > 0 é arbitrário, segue a subaditividade de p Lema. Seja E um espaço vetorial normado e C E um conjunto aberto convexo não-vazio. Seja x 0 E\C. Então existe f E tal que f (x) < f (x 0 ) para todo x C. Em particular, o hiperplano H = f 1 (f (x 0 )) separa x 0 e C no sentido amplo. Prova. Fazendo uma translação, podemos assumir que 0 C e definir o funcional de Minkowski p de C. Considere F = x 0 e o funcional linear sobre F dado por f 0 (tx 0 ) = t. Como p (x 0 ) 1 (por (ii) do lema anterior), temos p (tx 0 ) = tp (x 0 ) t se t 0; se t < 0, p (tx 0 ) > t trivialmente, porque o funcional de Minkowski p é não-negativo. Segue que f 0 (x) p (x) para todo x F. Podemos portanto usar o teorema de Hahn-Banach (Lema 2.21) para concluir que f 0 possui uma extensão linear f : E R tal que f (x) p (x) para todo x E. De (i) do lema anterior, segue que f é limitada. Finalmente, como p (x) < 1 para todo x C, segue que f (x) p (x) < 1 = f (x 0 ) para todo x C Teorema. (Teorema de Hahn-Banach, primeira forma geométrica) Seja E um espaço vetorial normado. Sejam A, B E conjuntos convexos não-vazios disjuntos, com A aberto. Então existe um hiperplano fechado que separa A e B no sentido amplo. Prova. Seja C é convexo, pois se x 1 y 1, x 2 y 2 C então C = A B = {x y : x A e y B}. t (x 1 y 1 ) + (1 t) (x 2 y 2 ) = tx 1 + (1 t) x 2 [ty 1 + (1 t) y 2 ] C, e C é aberto porque C = y B (A y), união de abertos (translação é um homeomorfismo). Além disso, 0 / C porque A e B são disjuntos. Pelo lema anterior, tomando x 0 = 0, existe f E tal que f (z) < 0 para todo z C, ou seja, f (x) < f (y) para todos x A e y B. Escolhendo α tal que sup f α inf f, A B concluímos que o hiperplano H = f 1 (α) separa A e B no sentido amplo.

25 Rodney Josué Biezuner Teorema. (Teorema de Hahn-Banach, segunda forma geométrica) Seja E um espaço vetorial normado. Sejam A, B E conjuntos convexos não-vazios disjuntos, com A fechado e B compacto. Então existe um hiperplano fechado que separa A e B no sentido estrito. Prova. Dado ε > 0, sejam A ε = A + B ε (0) e B ε = B + B ε (0), de modo que A e B são abertos, convexos e não-vazios. Além disso, tomando ε < dist (A, B), segue que A ε e B ε são disjuntos. Pelo teorema anterior, existe um hiperplano fechado H = f 1 (α) que separa A ε e B ε no sentido amplo, logo f (x + εz) α f (y + εz) para todos x A, y B e z B 1 (0). Daí, 2.5 Exercícios f (x) + ε f α f (y) + ε f Sejam E um espaço vetorial e f : E R um funcional linear. Mostre que a codimensão do núcleo de f é 1, ou seja, podemos escrever E = ker f x 0 onde x 0 é qualquer vetor de E tal que f (x 0 ) Seja E um espaço vetorial normado. Se f : E R é um funcional linear tal que para toda sequência {x n } n N convergente para 0 a sequência {f (x n )} n N é limitada, mostre que f é limitado Seja E um espaço vetorial normado. Prove que um funcional linear f : E R é limitado se e somente se ker f é fechado Sejam E um espaço vetorial normado e L = x 1, x 2,... um subespaço vetorial gerado por um conjunto enumerável de vetores. Mostre que x L se e somente se para todo f E tal que f (x n ) = 0 para todo n tem-se f (x) = Sejam E um espaço vetorial normado e f : E R um funcional linear limitado não-nulo. Considere o hiperplano H = f 1 (1). Mostre que 1 f = inf x. x H 2.17 Sejam E um espaço vetorial normado e F um subespaço vetorial próprio de E. Mostre que se T 0 : F R N é uma aplicação linear limitada, então T se estende a uma aplicação linear limitada T : E R N com T = T 0.

26 Capítulo 3 Os Teoremas da Limitação Uniforme, da Aplicação Aberta e do Gráfico Fechado 3.1 O Teorema da Limitação Uniforme 3.1 Lema. (O Teorema da Categoria de Baire) Seja X um espaço métrico completo. Seja ( {F n } n N ) uma coleção enumerável de conjuntos fechados de X. Se int F n = para todo n, então int F n =. n N Alternativamente, seja X um espaço métrico completo não-vazio. Seja {F n } n N uma coleção enumerável de conjuntos fechados de X tal que X = F n. Então existe n 0 N tal que int F n Teorema. (Teorema da Limitação Uniforme) Sejam E, F espaços vetoriais normados, sendo E um espaço de Banach. Seja {T λ } λ Λ uma coleção de operadores lineares limitados de E em F puntualmente limitados, isto é, para todo x E existe C x > 0 tal que n N T λ x C x para todo λ Λ. Então {T λ } λ Λ é uniformemente limitada, ou seja, existe C > 0 tal que Prova. Para cada n N, considere o conjunto T λ C para todo λ Λ. F n = {x E : T λ x n para todo λ Λ}. Então F n é fechado, porque F n = G 1 λ [0, n] onde G λ é a função contínua G λ = T λ. Por hipótese, λ Λ X = F n, logo pelo Teorema da Categoria de Baire existe n 0 N tal que int F n0. Seja B r (x 0 ) F n0. Temos n N para todo z B 1 (0) e para todo λ Λ. Logo, T λ (x 0 + rz) n 0 T λ (z) n 0 + T λ x 0 r 25

27 Rodney Josué Biezuner 26 para todo z B 1 (0) e para todo λ Λ, ou seja, para todo λ Λ. T λ n 0 + C x r 3.3 Corolário. Sejam E, F espaços vetoriais normados, sendo E um espaço de Banach. Seja {T n } n N uma sequência de operadores lineares limitados de E em F tais que para todo x E a sequência {T n x} n N converge para um elemento de F que denotaremos T x. Então {T n } n N é uniformemente limitada, T é um operador linear limitado e T lim inf T n. Prova. A limitação uniforme da sequência decorre do teorema anterior. O fato de T ser linear decorre das propriedades de limites de somas e multiplicação por escalar de sequências e da linearidades dos operadores da sequência, como na Proposição 2.7. Como, pelo teorema anterior, existe uma constante C > 0 independente de x tal que T n x C x para todo x X, tomando o limite quando n obtemos que T é limitado. Finalmente, como T n x T n x, da definição de norma de um operador segue o último resultado. 3.4 Corolário. Sejam E um espaço vetorial normado e B E um subconjunto. Se para todo f E o conjunto f (B) é limitado, então B é limitado. Prova. Aplicamos o Teorema da Limitação Uniforme substituindo E = E (que é um espaço de Banach, como vimos no Corolário 2.9), F = R e Λ = B. Para todo b B definimos um operador linear limitado T b : E R por T b f = f (b). De fato, T b f = f (b) f b = b f A coleção {T b f} b B é limitada para cada f E por hipótese. Portanto, do Teorema 3.2 segue que existe uma constante C > 0 independente de f tal que f (b) C f para todo f E. Usando o Corolário 2.25 concluímos que para todo b B. b C 3.5 Corolário. Sejam E um espaço de Banach e B E um subconjunto. Se para todo x E o conjunto B, x = f B f (x) é limitado, então B é limitado. Prova. Aplicamos o Teorema da Limitação Uniforme substituindo F = R e Λ = B. Para todo b B considere o funcional linear limitado T b = b. A coleção {T b x} b B é limitada para cada x E por hipótese. Portanto, do Teorema 3.2 segue que existe uma constante C > 0 tal que b C para todo b B.

28 Rodney Josué Biezuner Os Teoremas da Aplicação Aberta e do Gráfico Fechado 3.6 Teorema. (Teorema da Aplicação Aberta) Sejam E, F espaços de Banach e T : E F uma aplicação linear limitada e sobrejetiva. Então existe r > 0 tal que Em particular, T é uma aplicação aberta. T (B 1 (0)) B r (0) Prova. Passo 1. Seja T : E F uma aplicação linear sobrejetiva. Então existe r > 0 tal que Seja Então F n é fechado e F = n N T (B 1 (0)) B 2r (0). F n = nt (B 1 (0)). F n, logo pelo Teorema da Categoria de Baire (F é de Banach) existe n 0 N tal que int F n0. Em particular, int T (B 1 (0)). Sejam y F e r > 0 tais que B 4r (y) T (B 1 (0)). Em particular, y, y T (B 1 (0)). Obtemos B 4r (0) = y + B 4r (y) T (B 1 (0)) + T (B 1 (0)) = 2T (B 1 (0)) a última igualdade valendo porque T (B 1 (0)) é convexo (pois aplicações lineares são aplicações convexas, isto é, levam conjuntos convexos em conjuntos convexos, o fecho de um conjunto convexo é convexo e podemos sempre escrever x + y = 2 ( 1 2 x y) ). Como B 4r (y) 2T (B 1 (0)), segue o resultado. Passo 2. Seja T : E F uma aplicação linear limitada. Se existe r > 0 tal que então T (B 1 (0)) B 2r (0), T (B 1 (0)) B r (0). Dado y B r (0) F, queremos encontrar x B 1 (0) E tal que T x = y. Sabemos que, dado ε > 0, existe z B 1/2 (0) E tal que T z B ε (y). De fato, como 2y B 2r (0), existe z B 1 (0) tal que T z 2y < ε; daí, T z 2 y < ε 2 e podemos tomar z = z /2. Escolhendo ε = r/2 obtemos z 1 E tal que z 1 < 1 2 e y T z 1 < r 2. Aplicando o mesmo argumento a y T z 1 e escolhendo ε = r/4, encontramos z 2 E tal que z 2 < 1 4 e (y T z 1 ) T z 2 < r 2. Procedendo desta forma, obtemos uma sequência {z n } n N tal que z n < 1 2 n e y T (z z n ) < r 2 n para todo n. Em particular, a sequência {x n } n N definida por x n = z z n é de Cauchy. Como E é de Banach, podemos tomar x = lim x n e x satisfaz x < n=1 1 2 n = 1

29 Rodney Josué Biezuner 28 e y = lim T x n = T (lim x n ) = T x. Juntando os dois passos, o teorema fica provado. Para ver que T é aberta, seja U E um aberto e mostremos que T (U) é aberto. Dado y T (U), seja x E tal que y = T x. Seja ε > 0 tal que B ε (x) U, ou seja, x + B ε (0) U. Então y + T (B ε (0)) T (U). Pelo teorema T (B ε (0)) B εr (0), logo B εr (y) T (U). 3.7 Corolário. Sejam E, F espaços de Banach. Se T : E F é uma aplicação linear limitada bijetiva, então a aplicação linear T 1 : F E é contínua. Prova. Pois a inversa de uma aplicação aberta é contínua. Em outras palavras, um operador linear limitado bijetivo entre espaços de Banach é automaticamente um isomorfismo topológico. 3.8 Corolário. Seja E um espaço de Banach. Se 1, 2 são duas normas tais que existe uma constante C > 0 tal que x 1 C x 2 para todo x E, então elas são normas equivalentes. 3.9 Definição. Sejam E, F espaços vetoriais normados. Dizemos que uma aplicação linear T : E F é fechada se seu gráfico G (T ) = {(x, T x) : x E} é fechado em E F. Observe que o gráfico de uma aplicação linear é um subespaço vetorial de E F. É claro que toda aplicação linear contínua é fechada, entretanto existem muitos exemplos de operadores lineares importantes na prática que não são contínuos mas pelo menos são fechados. Se E e F são espaços de Banach, os dois conceitos são equivalentes: 3.10 Teorema. (Teorema do Gráfico Fechado) Sejam E, F espaços de Banach e T : E F uma aplicação linear fechada. Então T é limitada. Prova. Consideremos duas normas em E: x 1 = x E e x 2 = x E + T x F. (A segunda norma é às vezes chamada norma do gráfico.) Como G (T ) é fechado, E sob a norma do gráfico ainda é um espaço de Banach. De fato, se {x n } é uma sequência de Cauchy em (E, 2 ), então em particular {x n } é uma sequência de Cauchy em (E, 1 ) pois x 1 x 2 e {T x n } é uma sequência de Cauchy em (F, F ) pois T x F x 2. Se x = lim x n e y = lim T x n, segue que (x n, T x n ) (x, y) em E F. Como G é fechado, temos que (x, y) G, logo y = T x. Podemos então usar o Corolário 3.8 para concluir que existe uma constante C > 0 tal que x 2 C x 1 para todo x E. Em particular, segue que T x F C x 1. A hipótese dos espaços E, F serem de Banach é necessária (veja os Exercícios 3.7 e 3.14).

30 Rodney Josué Biezuner Operadores Adjuntos O teorema de Hahn-Banach também é crucial para estabelecer uma teoria satisfatória de operadores adjuntos. A partir desta seção, frequentemente usaremos a notação se x E e f : E R é um funcional linear. f, x = f (x) 3.11 Definição. Sejam E, F espaços vetoriais normados e A : E F um operador linear limitado. O operador adjunto A : F E é o único operador linear limitado que satisfaz para todos x E e g F. g, Ax = A g, x 3.12 Proposição. O operador adjunto está bem definido. Além disso, A = A. Prova. De fato, se A : E F é um operador linear limitado e g F, então o funcional f : E R definido por f (x) = g (Ax) é um funcional linear limitado, pois Logo, podemos definir A : F E por f (x) = g (Ax) g Ax g A x. A g = f. A desigualdade que provamos acima implica que A g = f A g, portanto Por outro lado, A = A A. A g sup g F \{0} g. Pelo teorema de Hahn-Banach (Corolário 2.24), se x 0 E é tal que x 0 = 1 e Ax 0 0, então existe g F tal que g = 1 e g (Ax 0 ) = Ax 0. Logo Assim, A g g para todo x 0 E tal que x 0 = 1, donde = A g A g, x 0 x 0 A A Ax 0 sup Ax 0 = A. x 0 =1 = g, Ax 0 = Ax 0. Usaremos a seguinte noção padrão no que se segue.

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