Operadores em espaços normados
|
|
- Kátia Back
- 5 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Capítulo 7 Operadores em espaços normados Neste capítulo vamos introduzir uma série de operadores em espaços normados os quais são muito úteis, nomeadamente, na resolução de equações envolvendo operadores. Vamos dar especial atenção aos operadores (auto)-adjuntos definidos num espaço de Hilbert. 7.1 Operadores adjuntos. Definição e propriedades Nesta secção vamos considerar X, Y espaços normados quaisquer, T : X Y um operador linear limitado e g Y um funcional. É claro que g está definido sobre todo Y. Definimos a aplicação f em X por f : X R, x f (x) := g(t x). A aplicação f possui as seguintes propriedades: X T f Y g R 1. f é linear, visto que, g e T o são. 2. f é limitada, pois f (x) = g(t x) g T x g T x, assim, tomando o supremo sobre todos os x com norma 1, obtemos f g T <. (7.1) 155
2 Portanto, f X, isto é, f é um funcional em X. Deste modo, a cada funcional g Y corresponde um funcional f X o qual é chamado operador adjunto de T e denotado por T. Definição 7.1 (Operador adjunto) Sejam X, Y dois espaços normados e T : X Y um operador linear limitado dado. Então o operador adjunto T : Y X é definido por f (x) = (T g)(x) := g(t x). (7.2) O operador adjunto está bem definido, isto é, a correspondência Y g T g X é uma aplicação. De facto, já vimos que f = T g X. Assim, só falta verificar que, para cada g Y existe uma única imagem T g. Suponhamos que g Y está associado a dois funcionais distintos f 1 e f 2 em X. Como f 1 f 2, então existe x X tal que f 1 (x) f 2 (x). Mas, ao mesmo tempo, por (7.2) temos f 1 (x) = f 2 (x) = g(t x), x X. Assim, f 1 = f 2. Proposição 7.2 (Norma do operador adjunto) O operador adjunto T do operador T definido em (7.2) é linear, limitado e T = T. (7.3) Prova. Vamos verificar a linearidade de T. Para quaisquer g 1, g 2 Y, α, β K e x X temos (T (αg 1 + βg 2 ))(x) := (αg 1 + βg 2 )(T x) Da arbitrariedade de x X resulta = αg 1 (T x) + βg 2 (T x) = α(t g 1 )(x) + β(t g 2 )(x). T (αg 1 + βg 2 ) = αt g 1 + βt g 2, ou seja, T é linear. Para mostrar que T é limitado procedemos do seguinte modo. De (7.2) e (7.1) resulta T g = f g T e, tomando o supremo sobre todos g Y com norma 1, obtemos a desigualdade T T. 156
3 Para provar a desigualdade contrária consideramos x X\ {} um elemento arbitrário dado e denotamos y = T x. Usamos o seguinte resultado: existe um elemento g Y tal que g = 1 e g(t x) = T x. Portanto, temos T x = g(t x) = (T g)(x) T g x T g x = T x, pelo que T x T x, para qualquer x X\ {}. Como temos sempre T x T x, sendo T a menor constante tal que T x T x, então terá de ser T T. Em resumo X T Y X Y, T T = T Exemplo 7.3 Sejam X = Y = R n e T o operador associado à matriz a 11 a a 1n a 21 a a 2n T : A = a n1 a n2... a nn relativamente à base canónica (e i ) n i=1 em Rn. A forma geral de um funcional em R n é n f (x) = x i f i, f i := f (e i ), f (R n ). i=1 Para cada x R n y = T x é dado por y 1 = a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n y 2 = a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n... y n = a n1 x 1 + a n2 x a nn x n. 157
4 Seja (e i ) n i=1 a base dual de (e i) n i=1, assim, se g (Rn ), então n g = g i e i. Portanto, temos i=1 f (x) = g(t x) = g(y) n n = g i y i = = i=1 j=1 i=1 g i n n a i j g i x j. i=1 n a i j x j Deste modo, f é um funcional em X dado em termos de g. Tendo em conta que f = T g, então n n (T g)(x) = b j x j, b j = a i j g i, ou seja j=1 j=1 i=1 b 1 = a 11 g 1 + a 21 g a n1 g n b 2 = a 12 g 1 + a 22 g a n2 g n... b n = a 1n g 1 + a 2n g a nn g n. Assim, a matriz associada a T é da forma a 11 a a n1 a T 12 a a n2 :..... = A.. a 1n a 2n... a nn Vemos, pois, que a matriz associada a T não é mais do que a matriz transposta A da matriz A associada a T. Exemplo 7.4 Seja K : [, 1] [, 1] R uma aplicação contínua dada e consideremos o espaço de Hilbert real X = Y = L 2 ([, 1], ds) =: L 2 (ds). Seja T o operador integral, com núcleo K, definido em L 2 (ds) por T : L 2 (ds) L 2 (ds), x (T x)(t) := K(t, s)x(s)ds. (7.4)
5 A forma geral de um funcional linear contínuo f em L 2 (ds) é dada em termos do produto interno em L 2 (ds), isto é, (x, h) = 1 x(s)h(s)ds, x, h L 2 (ds). Assim, se x L 2 (ds) é tal que y = T x, então para todo g L 2 (ds), temos onde f (x) = g(t x) = = = (T x)(s)g(s)ds K(s, t)x(t)dtg(s)ds ( 1 ) K(s, t)g(s)ds x(t)dt = (x, T g), (T g)(t) := 1 K(s, t)g(s)ds. Assim, vemos que T é um operador integral definido em L 2 (ds) com núcleo K (t, s) = K(s, t). Note a troca das variáveis s e t. Observação 7.5 No exemplo anterior, se o espaço de Hilbert considerado L 2 (ds) for sobre o corpo dos complexos C, então todo o funcional linear contínuo em L 2 (ds) é da forma h(x) = (x, h) = 1 x(s)h(s)ds, x, h L 2 (ds). Neste caso o adjunto do operador T definido em (7.4) é dado por (T g)(t) := 1 K(s, t)g(s)ds, ou seja, T é um operador integral, com núcleo K, onde K (t, s) = K(s, t). Vamos de seguida apresentar algumas propriedades dos operadores adjuntos sobre espaços normados. Proposição 7.6 Sejam X, Y espaços normados e S, T B(X, Y) dados. Então 159
6 1. (S + T) = S + T. 2. (αt) = αt. Prova. 1. Seja g Y um funcional arbitrário com vista a mostrar que (S +T) g = (S + T )g. De acordo com a definição, para todo x X, usando a linearidade de g, obtemos ((S + T) g)(x) := g((s + T)x) = g(s x) + g(t x) = (S g)(x) + (T g)(x). Isto implica que (S + T) g = S g + T g, g Y, pelo que (S + T) = S + T. 2. Do mesmo modo, se g Y, então ((αt) g)(x) := g((αt)x) = g(αt x) = αg(t x) = α(t g)(x), x X. De onde resulta que (αt) g = αt g, para todo g Y, assim temos (αt) = αt. Proposição 7.7 Sejam X, Y, Z espaços normados, T B(X, Y) e S B(Y, Z) dados. Então 1. o adjunto do produto S T é dado por (S T) = T S. (7.5) 2. Se T 1 existe e T 1 B(Y, X), então (T ) 1 também existe, (T ) 1 B(X, Y ) e (T ) 1 = (T 1 ). Prova. 1. Seja g Z um elemento dado com vista a mostrar que (S T) g = (T S )g. Então para todo x X, temos ((S T) g)(x) = g((s T)x) = g(s (T x)) = (S g)(t x), como S g X, então o último termo é igual a T (S g)(x). Assim, mostramos que (S T) g = T (S g), g Z. Da arbitrariedade de g resulta a igualdade (7.5). 2. Queremos mostrar que (T ) 1 = (T 1 ), ou seja que T (T 1 ) = (T 1 ) T = I, pois temos a seguinte composição de aplicações: 16
7 X (T 1 ) Y T X Assim, sejam h X e x X dados. Então temos (T (T 1 ) h)(x) := ((T 1 ) h)(t x) := h(t 1 T x) = h(x) = (Ih)(x). Inversamente ((T 1 ) T h)(x) := (T h)(t 1 x) := h(tt 1 x) = h(x) = (Ih)(x). Proposição 7.8 Sejam X, Y espaços normados reflexivos e T B(X, Y) dados. Então (T ) = T. Prova. Sendo T : X Y, então o seu adjunto T é um operador de Y em X, isto é, T : Y X. Deste modo, concluímos que (T ) será um operador linear limitado de X em Y : T : X Y. Pela reflexividade dos espaços X e Y, temos T B(X, Y). Assim, resta mostrar que os operadores T e T coincidem. Recordemos o operador canónico de X em X : C : X X, x C(x) = F x, onde F x é definido por F x (l) := l(x), para qualquer l X. Assim, para qualquer g Y e x X, temos ((T ) F x )(g) = F x (T g) = (T g)(x) = g(t x), e, por outro lado C T C 1 (F x )(g) = (C(T x))(g) = F T x (g) = g(t x). X T Y C C X T Y Exemplo 7.9 Consideremos o espaço de Hilbert complexo X = Y = L 2 ([, 1]) e α : [, 1] C uma função mensurável limitada. Definimos T B(X, Y) por (T x)(t) := α(t)x(t). Mostre que o operador adjunto T de T é definido por (T g)(t) = α(t)g(t). 161
8 Prova. Sabemos, pelo teorema de Riesz, que o dual de qualquer espaço de Hilbert é isomorfo a si próprio, assim T B(X, Y). Temos ainda que, qualquer funcional linear limitado é representável pelo produto interno, isto é, (x, h) = 1 x(t)h(t)dt, h, x L 2 ([, 1]). Assim, para quaisquer g, x L 2 ([, 1]) obtemos f (x) = (T x, g) = = 1 = (x, T g). 1 (T x)(t)g(t)dt = x(t)α(t)g(t)dt = (x, ᾱg) 1 α(t)x(t)g(t)dt Portanto, o operador adjunto é dado por (T g)(t) = α(t)g(t). No caso de α ser real, isto é α(t) = α(t), então teríamos (T g)(t) = α(t)g(t) = (Tg)(t), ou seja, T = T. Na próxima secção vamos estudar este tipo particular de operadores, chamados auto-adjuntos. Exemplo 7.1 Seja X = Y = l 2 (R) o espaço de Hilbert real das sucessões cujo quadrado do módulo é somável. Em l 2 (R) definimos o operador de deslocamento direito U da forma usual, isto é, para cada x = (x 1, x 2,...) l 2 (R) Ux = (, x 1, x 2,...). Prove que o operador adjunto U de U é o operador de deslocamento esquerdo V. Qual será o adjunto do operador V? Prova. Os funcionais lineares limitados em l 2 (R) são da forma (x, y) = x i y i, x, y l 2 (R). i=1 Portanto, se g l 2 (R), então para qualquer x l 2 (R) temos f (x) = (Ux, g) = (Ux) i g i = g i+1 x i = (x, U g), i=1 onde U g = (g 2, g 3, ), ou seja, o adjunto do operador de deslocamento direito é o operador de deslocamento esquerdo V. Usando o Proposição 7.8 temos U = V = U, ou seja, o operador dual de V é U. i=1 162
9 Exercícios Exercício 7.1 Calcule o adjunto de cada um dos seguintes operadores definidos sobre l p (R), p 1: 1. T x := (x 1, x 2,..., x j,,...), j T x := (,...,, x 1,...), onde x 1 está na posição j. 3. T x := (α 1 x 1, α 2 x 2,...), onde (α i ) i=1 l (R) é uma sucessão fixa. 4. T x := (,, α 1 x 1, α 2 x 2,...). 5. T x := (α j x j, α j+1 x j+1,...), j 1. Exercício 7.2 Seja T B(X), onde X é um espaço normado. Mostre que para qualquer n N temos (T ) n = (T n ). 7.2 Operador adjunto num espaço de Hilbert Nesta secção vamos analisar o caso particular em que os espaços normados X e Y são espaços de Hilbert. Assim, sejam H 1, H 2 espaços de Hilbert e T : H 1 H 2 um operador linear limitado. O operador adjunto T de T é, depois dos resultados da secção anterior, tal que T : H 2 H 1, g (T g)(x) := g(t x) = f (x). (7.6) Mas como sabemos, pelo teorema de Riesz, os funcionais g H 2, f H 2 admitem representantes, digamos x, y, isto é, f (x) = (x, x ) 1, (7.7) g(y) = (y, y ) 2. (7.8) Vamos denotar por R 1, R 2 os operadores que realizam estes operadores R 1 : H 1 H 1, f R 1 ( f ) = x, R 2 : H 2 H 2, g R 2 (g) = y. Os operadores R 1, R 2 possuem as seguintes propriedades: 163
10 1. bijectivos, 2. preservam a norma, isto é, R 1 ( f ) 1 = x 1 = f, 3. são lineares conjugados, isto é, se f (x) = (x, x ) 1 e h(x) = (x, ˆx ) 1, então para qualquer x H 1, α, β K temos (α f + βg)(x) = α f (x) + βg(x) = α(x, x ) 1 + β(x, ˆx ) 1 = (x, ᾱh + β ˆx ) 1, pelo que ᾱx + β ˆx é o representante de α f + βg, de onde resulta que O mesmo raciocínio para R 2. Consideremos o operador T definido por R 1 (α f + βg) = ᾱx + β ˆx. Temos T : H 2 H 1, T := R 1 T R 1 2. T y = R 1 (T g) = R 1 ( f ) = x. T é linear, pois envolve dois operadores lineares conjugados e o operador linear T. T H 1 H 2 T R 1 H 1 T R 2 H 2 Por outro lado, de (7.6)-(7.8) resulta (T x, y ) 2 = g(t x) = f (x) = (x, x ) 1 = (x, T y ) 1, ou seja (T x, y) 2 = (x, T y) 1. Definição 7.11 Seja T : H 1 H 2 um operador linear limitado. Então o adjunto T de T é um operador T : H 2 H 1 definido por (T x, y) 2 = (x, T y) 1, x H 1, y H 2. Os exemplos apresentados até agora, foram todos sobre espaços de Hilbert. Vamos em seguida coleccionar algumas das propriedades e relações típicas do operador adjunto de um operador linear limitado definido num espaço de Hilbert. 164
11 Proposição 7.12 Sejam T, U B(H 1, H 2 ) operadores lineares limitados. Mostre que 1. (T + U) = T + U. 2. T = T, H 1 T H 2 3. (αt) = ᾱt, α K. N (T ) N(T ) R(T ) R(T ) 4. N(T) = R(T ). 5. N(T ) = R(T). 6. R(T) = N(T ). H 1 T H 2 R(T ) R(T ) N(T ) N(T ) 7. R(T ) = N(T). Prova. Ver Exercício 7.7. Exercícios Exercício 7.3 Seja X = Y = L 2 (R, dt) o espaço de Hilbert das funções complexas mensuráveis de quadrado integrável. Para cada constante k R definimos o operador T B(X, Y) por (T x)(t) := x(t k) o qual é chamado operador de deslocamento ou operador de translação. Calcule o operador adjunto T do operador T. Exercício 7.4 Calcule o adjunto de cada um dos seguintes operadores definidos sobre L 2 (R): 1. (T x)(t) := α(t)x(t + k), onde α é uma função limitada e k R está fixo. 2. (T x)(t) := 1 (x(t) + x( t)). 2 Exercício 7.5 Seja H um espaço de Hilbert e y, z H fixos. Definimos T B(H) por T x := (x, y)z. Calcule o adjunto de T. 165
12 Exercício 7.6 Seja H um espaço de Hilbert e (e n ) n=1 uma base ortonormada em H. Definimos o operador T por T : H H, e n Te n := e n Calcule o núcleo, a imagem e a norma de T. 2. Encontre o operador adjunto T de T. Exercício 7.7 Prove a Proposição Exercício 7.8 Prove que se (T n ) n=1 é uma sucessão de operadores lineares limitados num espaço de Hilbert tais que T n T, então Tn T. 7.3 Operadores auto-adjuntos De entre os operadores definidos num espaço de Hilbert H existem algumas classes de especial interesse, uma delas vamos estudar nesta secção. Assim, nesta secção vamos supor que H 1 = H 2 = H e o espaço linear dos operadores lineares limitados sobre H B(H). Definição 7.13 Seja operador T B(H) um operador dado. Então T chama-se 1. auto-adjunto se e só se T = T, isto é, (T x, y) = (x, Ty), x, y H, 2. unitário se e só se T é bijectivo e T = T 1, isto é, 3. normal se e só se TT = T T. (T x, y) = (x, T 1 y), x, y H, Observação Se T B(H) é um operador unitário, então T preserva o produto interno, pois (T x, Ty) = (x, T Ty) = (x, T 1 Ty) = (x, y), x, y H. 166
13 2. Por seu lado, se T é auto-adjunto ou unitário, então T é normal. De facto, suponhamos que T é auto-adjunto, então temos T = T e evidentemente que TT = T T = T 2. Se T é unitário, então T = T 1, pelo que TT = T T = I. 3. Do Exemplo 7.3 resulta que T é auto-adjunto se e só se a i j = a ji, i, j = 1,..., n, ou seja a matriz é simétrica. Se a matriz (a i j ) n i, j=1 for complexa, então o operador é auto-adjunto se e só se a matriz for Hermiteana, isto é, a i, j = ā j,i, i, j = 1,..., n. Já no Exemplo 7.4 o operador T será autoadjunto se e só se a função K for simétrica, isto é, K(s, t) = K(t, s), s, t [, 1]. No caso complexo teríamos K(s, t) = K(t, s). 4. Se T B(H) é um operador auto-adjunto, então H = N(T) R(T ). De facto, como N(T) é fechado, então pelo teorema sobre a decomposição de um espaço de Hilbert na soma directa de espaços mutuamente ortogonais, temos H = N(T) (N(T)). Mas pela Proposição , temos (N(T)) = R(T ), de onde o resultado. Teorema 7.15 (critério T = T) Seja T : H H um operador linear limitado no espaço de Hilbert H. Então 1. se T é auto-adjunto, (T x, x) é real para todos x H, 2. se H é complexo e (T x, x) é real para todos x H, o operador T é autoadjunto. Prova. 1. Por hipótese T = T e (T x, x) = (x, T x) = (T x, x), ou seja, (T x, x) é igual ao seu conjugado, pelo que (T x, x) R, x H. 2. Como (T x, x) R x H, então (T x, x) = (T x, x) = (x, T x) = (T x, x). Deste modo temos ((T T )x, x) =, x H. Em particular para x = αy + z, obtemos ((T T )(αy + z), αy + z) = α 2 ((T T )y, y) + α((t T )y, z) +ᾱ((t T )z, y) + ((T T )z, z), 167
14 tendo em atenção que ((T T )y, y) = ((T T )z, z) =, obtemos ((T T )(αy + z), αy + z) = α((t T )y, z) + ᾱ((t T )z, y) =. Escolhendo α = 1 e α = i obtemos { ((T T )y, z) + ((T T )z, y) = ((T T )y, z) ((T T )z, y) = ((T T )y, z) =, y, z H, fazendo z = (T T )y resulta (T T )y =, y H, ou seja T T =. Isto prova que T é auto-adjunto. Exemplo 7.16 Sejam (α n ) n=1, (β n) n=1, (δ n) n=1 l (R) sucessões fixas e T B(l 2 (R)) um operador definido de seguinte modo: para cada x l 2 (R) T x = ((T x) 1, (T x) 2,...), onde (T x) 1 = α 1 x 1 + β 1 x 2, (T x) n = δ n 1 x n 1 + α n x n + β n x n+1, n 2. Que condições devem verificar os números α n, β n e δ n, n 1 para que T = T. Prova. Temos de ver em que condições sobre os coeficientes das sucessões dadas temos (T x, y) l 2 (R) = (x, Ty) l 2 (R). Assim, temos (T x, y) l 2 (R) = (T x) n y n = (α 1 x 1 + β 1 x 2 )y 1 + n=1 = (α 1 y 1 + δ 1 y 2 )x 1 + = (x, T y) l 2 (R). Assim, T y é dado por (δ n 1 x n 1 + α n x n + β n x n+1 )y n n=2 (δ n y n+1 + α n y n + β n 1 y n 1 )x n n=n (T y) 1 = α 1 y 1 + δ 1 y 2, (T y) n = δ n y n+1 + α n y n + β n 1 y n 1, n 2. Portanto, para que T = T, isto é T x = T x, x H terá de ser α 1 x 1 + δ 1 x 2 = α 1 x 1 + β 1 x 2 δ 1 = β 1, δ n x n+1 + α n x n + β n 1 x n 1 = δ n 1 x n 1 + α n x n + β n x n+1, δ n = β n, n 2. Assim, concluímos que a sucessão (α n ) n=1 l (R) é qualquer e (β n ) n=1 = (δ n) n=1. 168
15 Exercícios Exercício 7.9 Sejam T, U B(H) dois operadores dados. Mostre que 1. se T, U são auto-adjuntos e α, β K, então αt + βu é auto-adjunto, 2. se T, U são auto-adjuntos, então o operador TU é auto-adjunto se e só se T e U comutam, isto é, [T, S ] = TU UT =, 3. os operadores R = 1 2 (T +T ) e C = 1 2i (T T ) são auto-adjuntos. T = R+iC e T = R ic, o operador R chama-se a parte real do operador T e C a parte imaginária de T, 4. se T é um operador normal, então RC = CR, onde R, C são os operadores definidos em 3. Exercício 7.1 Seja (T n ) n=1 uma sucessão de operadores lineares limitados autoadjuntos definidos T n : H H sobre um espaço de Hilbert H. Suponhamos que (T n ) n=1 converge uniformemente para o operador T, isto é, T n T, n. Prove que o operador limite T é linear limitado e auto-adjunto. Exercício 7.11 Seja T n : H H, n N uma sucessão de operadores normais (T n T n = T n T n) tais que T n T. Mostre que T é um operador linear normal. Exercício 7.12 Mostre que se T : H H é um operador isométrico, isto é, T x = x, x H, então T T = I. 7.4 Operadores de projecção Recordemos que, dado um espaço de Hilbert H e um subespaço L de H, então H pode representar-se como soma directa de L e o seu ortogonal L, isto é, H = L L. Assim, dado x H existem y L e z L tais que x = y + z. 169
16 Dado que a soma é directa, y é único para qualquer x H. Portanto, a cada x H associamos um único elemento y L, isto é, definimos um operador linear P : H H, x Px = y, o qual é chamado projecção ortogonal ou projecção em H. Mais precisamente, P é chamado projecção de H sobre L. É claro que P está definido sobre todo H e a sua imagem é exactamente o subespaço L. Por outro lado, se x H é da forma x = y + z, com y L e z L, então Px = P(y + z) = Py + Pz = y, isto é, Py = y, y L e Pz =, z L. Concluímos, pois, que N(P) = L. Temos a seguinte definição. Definição 7.17 Um operador linear P : H H é uma projecção em H se existe um subespaço L de H tal que R(P) = L, N(P) = L e P L é o operador identidade em L. O próximo teorema dá um critério para caracterizar os operadores de projecção em H o qual pode ser usado como definição. Teorema 7.18 Um operador linear limitado P : H H num espaço de Hilbert H {} é uma projecção se e só se P é auto-adjunto e idempotente, isto é, P 2 = P. Temos ainda que P = 1. Prova. Suponhamos que P é uma projecção em H e denotemos P(H) = L com vista a mostrar que P é auto-adjunto, idempotente com norma 1. Para qualquer x H com Px = y L temos P 2 x = P(Px) = Py = y = Px, logo P é idempotente. Sejam x 1, x 2 H tais que x 1 = y 1 + z 1, y 1 L, z 1 L, x 2 = y 2 + z 2, y 2 L, z 2 L. É claro que (y 1, z 2 ) = (y 2, z 1 ) =. Por outro lado (Px 1, x 2 ) = (y 1, y 2 + z 2 ) = (y 1, y 2 ) + (y 1, z 2 ) = (y 1 + z 1, y 2 ) = (x 1, Px 2 ), e, portanto, P é auto-adjunto. 17
17 A norma de P pode calcular-se do seguinte modo: para todo x H com x = y + z, Px = y e de acordo com o teorema de Pitágoras, temos x 2 = y 2 + z 2 y x Px x. Tomando o supremo sobre todos os x com norma 1, obtemos P 1. Para mostrar a desigualdade contrária notemos que se x L e x, então Px = x, pelo que x = Px P x de onde resulta que P 1. Das duas desigualdades obtemos P = 1. Inversamente, suponhamos que P 2 = P = P e denotamos P(H) = L com vista a mostrar que P é uma projecção. Cada x H pode escrever-se como x = Px + (I P)x. Vamos mostrar que L = P(H) (I P)(H). De facto, temos (Px, (I P)y) = (x, P(I P)y) = (x, Py P 2 y) = (x, Py Py) = (x, ) =. Com vista a mostrar que L = P(H) é um subespaço de H vamos provar que L = N(I P) e usar o resultado que diz: o núcleo de um operador linear limitado é fechado. Assim, seja x L, então (I P)x = x Px = x x =, logo x N(I P), logo L N(I P). Por outro lado, se y N(I P), então Py = y, pelo que y P(H) = L. Deste modo obtemos L = N(I P). Portanto, L é um subespaço de H. Notemos que L = N(P), pois, se z L, então para qualquer y L temos (z, y) =, mas como L = P(H), então y = Px, x H. Assim, (z, y) = (z, Px) = (Pz, x) = Pz = z N(P). Finalmente P L é o operador identidade em L, pois se x L = P(H), então x = Py, y H. Pelo que Px = P 2 y = Py = x, ou seja P L = I. 171
18 Exemplo 7.19 Sejam P 1 e P 2 projecções em H sobre L 1 e L 2, respectivamente, tais que P 1 P 2 = P 2 P 1. Mostre que P = P 1 + P 2 P 1 P 2 é uma projecção de H sobre L 1 + L 2. Prova. Temos de mostrar que P é auto-adjunto e idempotente. De facto, atendendo a que P 1 e P 2 são projecções e P 1 P 2 = P 2 P 1, então P = P 1 + P 2 P 2 P 1 = P 1 + P 2 P 2 P 1 = P 1 + P 2 P 1 P 2 = P. logo P é auto-adjunto. Falta mostrar que P 2 = P. Mas, para qualquer x H, temos P 2 x = (P 1 + P 2 P 1 P 2 ) 2 x = (P P 1P 2 P 2 1 P 2 + P 2 P 1 + P 2 2 P 2P 1 P 2 P 1 P 2 P 1 P 1 P 2 2 +P 1 P 2 P 1 P 2 )x. Usando o facto de P 2 1 = P 1, P 2 2 = P 2 e P 1 P 2 = P 2 P 1 a última igualdade dá lugar a (P 1 + P 2 2 P 1P 2 )x = Px, logo P é idempotente. É fácil ver que P é uma projecção de H sobre L 1 + L 2, pois, se x H, então Px = (P 1 + P 2 P 1 P 2 )x = P 1 (x P 2 x) + P 2 x L 1 + L 2. Exercícos Exercício 7.13 Seja T = S 1 PS : H H, onde S, T B(H) tais que P é uma projecção e S unitário. Prove que T é uma projecção. Exercício 7.14 Sejam P 1, P 2 B(H) projecções em H. Mostre que P = P 1 + P 2 é uma projecção se e só se P 2 P 1 =. 172
19 7.5 Operadores compactos O estudo dos operadores compactos foi motivado pelo uso das equações integrais como tentativa para resolver os problema com valores de fronteira da Física- Matemática, também chamado problema de Dirichlet. Este problema consiste no seguinte. Consideremos uma região D aberta de R 3 com uma fronteira D diferenciável. O problema de Dirichlet para a equação de Laplace é: dada uma função contínua f sobre D, encontrar uma função u C 2 (D) e contínua em D tal que u(x) =, x D, u(x) = f (x), x D. Recordemos que um conjunto M diz-se compacto se qualquer sucessão (x n ) n=1 M tem uma subsucessão (x nk ) k=1 convergente em M, isto é, x n k x M, k. Definição 7.2 (Operador compacto) Sejam X, Y espaços normados e T : X Y um operador linear. Então T chama-se compacto (ou completamente contínuo) se e só se para qualquer sucessão limitada (x n ) n=1 X a sucessão (T x n) n=1 Y possui uma subsucessão convergente em Y. Proposição 7.21 Sejam X, Y espaços normados. Então 1. todo o operador linear compacto T : X Y é limitado, logo contínuo. 2. Se dim X =, então nem todo o operador limitado é compacto. Prova. 1. Seja (x n ) n=1 X uma sucessão limitada tal que x n = 1 e (x nk ) k=1 uma subsucessão qualquer da sucessão (x n ) n=1. Suponhamos por absurdo que T não é limitado, isto é, T x nk, k. Mas isto implica que (T x nk ) k=1 não é convergente em Y, pelo que T não é compacto, absurdo. Assim, T é limitado. Como T é linear limitado T é contínuo. 2. Consideremos X = Y = l 2 (R), (e n ) n=1 a base canónica em l2 (R) e o operador identidade I. É claro que a sucessão (e n ) n=1 é limitado, pois, e n = 1, n N e I = 1. Temos Ie n Ie m = 2, pelo que (Ie n ) n=1 não é uma sucessão de Cauchy, logo (Ie n) n=1 não possui uma subsucessão convergente. 173
20 Observação 7.22 A última proposição diz que a compactidade (continuidade completa) de um operador é uma propriedade mais forte do que a continuidade habitual, a limitação. A próxima proposição dá a relação entre operadores compactos e a dimensão do domínio e imagem. Proposição 7.23 Sejam X, Y espaços normados e T : X Y um operador linear dado. Então 1. se T é limitado e dim T(X) <, o operador T é compacto, 2. Se dim X <, o operador é compacto. Prova. 1. Seja (x n ) n=1 uma sucessão limitada qualquer em X com vista a mostrar que (T x n ) n=1 possui uma subsucessão convergente. Como T é limitado assim como (x n ) n=1, então a desigualdade T x n T x n mostra que a sucessão (T x n ) n=1 é limitada. Atendendo a que dim T(X) <, então, digamos T(X) é isomorfo a C k, k N. Assim, de acordo com o teorema de Bolzano a sucessão limitada (T x n ) n=1 possui uma subsucessão convergente. Portanto T é compacto por definição. 2. Como dim X <, então todo o operador linear é limitado e temos sempre dim T(X) < dim X <, pelo Teorema O resultado é uma consequência de 1. Teorema 7.24 (Sucessão de operadores compactos) Seja X um espaço normado, Y um espaço de Banach e (T n ) n=1 B(X, Y) uma sucessão de operadores lineares compactos. Se T n converge uniformemente para o operador T (isto é, T n T, n ), então o operador T é compacto. Prova. Seja (x n ) n=1 uma sucessão qualquer limitada em X com vista a mostrar que (T x n ) n=1 possui uma subsucessão convergente. Como T 1 é compacto, existe uma subsucessão (x 1 k ) k=1 de (x n) n=1 tal que (T 1x 1 k ) k=1 é convergente, em particular de Cauchy. Do mesmo modo, existe uma subsucessão (x 2 j ) j=1 de (x1 k ) k=1 tal que 174
21 (T 2 x 2 j ) j=1 é convergente, logo de Cauchy. Continuando este processo obtemos o seguinte diagrama T 1 x 1 T 1 x 2,..., T 1 x n,... T 1 x 1 1 T 1 x 1 2,..., T 1x 1 n,... x1 T 2 x 2 1 T 2 x 2 2,..., T 2x 2 n,... x2 T m x m 1 T m x m 2,..., T mx m m,... x m Consideremos a sucessão diagonal (y m ) m=1, y m = x m m, m N e vamos mostrar que a sucessão (Ty m ) m=1 é de Cauchy e, portanto, convergente, pois Y é completo. Notemos que a sucessão (y m ) m=k é uma subsucessão da sucessão (xk m ) m=1 e que (T k x k n ) n=1 é convergente, pelo que (T ky m ) m=1 é convergente para qualquer k N. Por outro lado, como a sucessão inicial (x n ) n N é limitado, digamos x n C para todos n N, então também y m C, para todos m N. Seja ε > dado. Então como T n T existe uma ordem n = p tal que T p T < ε 3C. Por outro lado, como (T p y m ) m N é de Cauchy, logo existe N tal que Assim, para m, m > N obtemos T p y m T p y m < ε 3, m, m > N. Ty m Ty m T p y m Ty m + T p y m T p y m + T p y m Ty m T p T ym + ε 3 + T p T ym < ε 3C C + ε 3 + ε 3C C = ε. Isto mostra que (Ty m ) m N é uma sucessão de Cauchy a qual é convergente, pois Y é um espaço de Banach. Da arbitrariedade da sucessão (x n ) n N e visto que (Ty m ) m N é uma subsucessão de (T x n ) n N, resulta a compactidade de T
22 Exemplo 7.25 Seja X = Y = l 2 (R) e T B(l 2 (R)) definido por ( x1 T x = 1, x 2 2, x 3 3,..., x ) n n,.... Então T é compacto. Prova. É fácil verificar que T está bem definido, pois T x 2 = x i i i=1 2 x i 2 = x 2 <. Para cada n N definimos a sucessão (T n ) n N por ( T n : l 2 (R) l 2 x 2 (R), x T n x := x 1 2, x 3 3,..., x ) n n,,.... É claro que os operadores T n são lineares e limitados. Como dim T n (l 2 (R)) <, então pelo Proposição , T n é compacto. Temos ainda que (T n T)x 2 = x i i i=n+1 2 i=1 1 n + 1 i=n+1 x i 2 1 n + 1 x 2. Tomando o supremo sobre todos os x com norma 1, obtemos T n T 1 n + 1, portanto T n T e T é compacto pelo Teorema 7.24 dado que l 2 (R) é um espaço de Hilbert, logo de Banach. O próximo teorema é muito importante em aplicações da análise funcional. Teorema 7.26 Seja X um espaço normado e T, S : X X dois operadores lineares tais que T é compacto e S é limitado. Então TS e S T são compactos. Prova. Seja (x n ) n=1 X uma sucessão limitada qualquer com vista a mostrar que a sucessão (TS x n ) n=1 possui uma subsucessão convergente. De facto, como S é limitado, então a sucessão (S x n ) n=1 é limitada. Assim, dado que T é compacto, a sucessão (TS x n ) n=1 possui uma subsucessão convergente. Isto mostra que TS é compacto. 176
23 Inversamente, a sucessão (T x n ) n=1 possui uma subsucessão (T x n k ) k=1 convergente, digamos lim n T x n = y X por T ser compacto. Da continuidade de S vem que a sucessão (S T x nk ) k=1 é convergente lim S T x n k = S lim T x nk = S y X. k k Portanto, o operador S T é compacto. Na Proposição vimos que o operador identidade num espaço de dimensão infinita não é compacto. Usando este resultado e o teorema anterior obtemos o seguinte corolário. Corolário 7.27 Seja X um espaço normado com dimensão infinita. Então se T B(X) é um operador compacto o seu inverso T 1 não pode ser limitado. Teorema 7.28 Seja H um espaço de Hilbert e A B(H). Então A é compacto se e só se o seu adjunto A é compacto. Prova. Seja A um operador compacto com vista a mostrar que A é compacto. Pelo Teorema 7.26 o operador AA é compacto. Então se (x n ) n=1 H é uma sucessão limitada qualquer, a sucessão (AA x n ) n=1 possui uma subsucessão (AA x nk ) k=1 convergente. Vamos mostrar que a sucessão (A x nk ) k=1 é de Cauchy e, portanto, converge em H. De facto, temos A x nk A x nl 2 = (AA (x nk x nl ), x nk x nl ) AA (x nk x nl ) x nk x nl 2C AA (x nk x nl ), pois x nk x nl x nk + x nl 2C, por (x n ) n=1 ser limitada. Como a sucessão (AA x nk ) k=1 é convergente ela é de Cauchy em H, portanto, (A x nk ) k=1 é de Cauchy. Como H é completo (A x nk ) k=1 converge em H. De acordo com a definição de operador compacto (ver Definição 7.2) A é compacto. Inversamente, suponhamos que A é compacto com vista a mostrar que A é compacto. De acordo com a prova anterior (A ) = A é compacto. Mas pela Proposição temos A = A, logo A é compacto. 177
24 Exercícios Exercício 7.15 Seja H um espaço de Hilbert separável e (e n ) n=1 uma base ortonormada de H. Um operador T : H H diz-se de Hilbert-Schmidt se e só se T HS <, onde T 2 HS := Te n 2 = n=1 n=1 (Te n, e k ) 2. Prove que se T B(H) é de Hilbert-Schmidt, então T é compacto. Sugestão: prove que T é o limite de uma sucessão (T n ) n=1 de operadores compactos e use o facto de T n T T n T HS. Exercício 7.16 Mostre que o operador T : l 2 (R) l 2 (R) definido por ( x1 T x := 2, x 2 2,..., x ) n 2 2,... n é compacto. Sugestão: use um processo análogo ao Exemplo Exercício 7.17 Mostre que o operador T : l p (R) l p (R), 1 p definido por ( x1 T x := 1, x 2 2,..., x ) n n,... é compacto. Exercício 7.18 Sejam X, Y espaços de Banach e (B(X, Y), ) o espaço de Banach dos operadores lineares limitados de X em Y. Denotamos por C(X, Y) o conjunto dos operadores compactos de X em Y. Mostre que C(X, Y) é um subespaço fechado de B(X, Y). Exercício 7.19 Seja H um espaço de Hilbert e y, z H fixos. Mostre que o operador T : H H, x T x := (x, y)z é compacto. k=1 178
d(t x, Ty) = d(x, y), x, y X.
Capítulo 6 Espaços duais 6.1 Preliminares A análise funcional foi nos seus primórdios o estudo de funcionais. Assim, nos dias de hoje um princípio fundamental da análise funcional é a investigação de espaços
Leia maisParte II. Análise funcional II
Parte II Análise funcional II 12 Capítulo 5 Produto de Operadores. Operadores inversos Neste capítulo vamos introduzir a noção de produto de operadores assim como a de operador invertível. Para tal precisamos
Leia maisConvergência em espaços normados
Chapter 1 Convergência em espaços normados Neste capítulo vamos abordar diferentes tipos de convergência em espaços normados. Já sabemos da análise matemática e não só, de diferentes tipos de convergência
Leia maisTeoria espectral de operadores lineares limitados
Capítulo 8 Teoria espectral de operadores lineares limitados A teoria espectral é um dos ramos principais da análise funcional moderna e suas aplicações. Essencialmente consiste no inverso de certos operadores,
Leia maisTeoremas fundamentais dos espaços normados
Capítulo 9 Teoremas fundamentais dos espaços normados 9.1 Teorema de Hahn-Banach O próximo teorema, conhecido como teorema de Hahn-Banach, é uma generalização do Teorema 4.12, o qual, recordamos para conveniência
Leia maisALGA I. Operadores auto-adjuntos (simétricos e hermitianos). Teorema espectral
Módulo 9 ALGA I. Operadores auto-adjuntos (simétricos e hermitianos). Teorema espectral Contents 9.1 Operadores auto-adjuntos (simétricos e hermitianos) 136 9. Teorema espectral para operadores auto-adjuntos...........
Leia maisNotas de Aula. Análise Funcional
Notas de Aula Análise Funcional Rodney Josué Biezuner 1 Departamento de Matemática Instituto de Ciências Exatas (ICEx) Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG) Notas de aula do curso Análise Funcional
Leia maisQuinta lista de Exercícios - Análise Funcional, período Professor: João Marcos do Ó. { 0 se j = 1 y j = (j 1) 1 x j 1 se j 2.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA NATUREZA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA Quinta lista de Exercícios - Análise Funcional, período 2009.2. Professor:
Leia mais) a sucessão definida por y n
aula 05 Sucessões 5.1 Sucessões Uma sucessão de números reais é simplesmente uma função x N R. É conveniente visualizar uma sucessão como uma sequência infinita: (x(), x(), x(), ). Neste contexto é usual
Leia maisTeoria Espectral em Espaços de Hilbert
Teoria Espectral em Espaços de Hilbert Departamento de Análise Instituto de Matemática e Estatística Universidade Federal Fluminense 22 de setembro de 2016 Espaços Vetoriais de Dimensão Finita Sejam V
Leia maisÁLGEBRA LINEAR I - MAT0032
UNIVERSIDADE FEDERAL DA INTEGRAÇÃO LATINO-AMERICANA Instituto Latino-Americano de Ciências da Vida e Da Natureza Centro Interdisciplinar de Ciências da Natureza ÁLGEBRA LINEAR I - MAT32 12 a Lista de exercícios
Leia maisAnálise Matemática III - Turma especial
Análise Matemática III - Turma especial Fichas 1 a 5 - Solução parcial 1.3 Seja D E k um conjunto fechado. Uma transformação T : D D diz-se uma contracção se existe c < 1 tal que para todos os x, y D se
Leia maisLista 8 de Análise Funcional - Doutorado 2018
Lista 8 de Análise Funcional - Doutorado 2018 Professor Marcos Leandro 17 de Junho de 2018 1. Sejam M um subespaço de um espaço de Hilbert H e f M. Mostre que f admite uma única extensão para H preservando
Leia maist X s db s, I t (X) :=
Chapter 3 Integrais estocásticos Neste capítulo vamos definir integrais estocásticos relativamente ao movimento Browniano e estudar algumas das suas propriedades. Estes integrais também são chamados integrais
Leia maisg(s, X n s )ds + t f (s, X s ) 2 ds <, P-q.s. t f (s, X s )db s, t 0.
CHAPTER 3. INTEGRAIS ESTOCÁSTICOS 88 2. Quais são as propriedades destas soluções? 3. Como podemos resolver uma dada equação? O método usual para provar a existência de uma solução da equação diferencial
Leia maisEspaços Euclidianos. Espaços R n. O conjunto R n é definido como o conjunto de todas as n-uplas ordenadas de números reais:
Espaços Euclidianos Espaços R n O conjunto R n é definido como o conjunto de todas as n-uplas ordenadas de números reais: R n = {(x 1,..., x n ) : x 1,..., x n R}. R 1 é simplesmente o conjunto R dos números
Leia maisFaremos aqui uma introdução aos espaços de Banach e as diferentes topologías que se podem definir nelas.
Capítulo 2 Espaços de Banach Faremos aqui uma introdução aos espaços de Banach e as diferentes topologías que se podem definir nelas. 2.1 Espaços métricos O conceito de espaço métrico é um dos conceitos
Leia maisComeçamos relembrando o conceito de base de um espaço vetorial. x = λ 1 x λ r x r. (1.1)
CAPÍTULO 1 Espaços Normados Em princípio, os espaços que consideraremos neste texto são espaços de funções. Isso significa que quase todos os nossos exemplos serão espaços vetoriais de dimensão infinita.
Leia mais= f(0) D2 f 0 (x, x) + o( x 2 )
6 a aula, 26-04-2007 Formas Quadráticas Suponhamos que 0 é um ponto crítico duma função suave f : U R definida sobre um aberto U R n. O desenvolvimento de Taylor de segunda ordem da função f em 0 permite-nos
Leia maisInstituto Superior Técnico Departamento de Matemática Última actualização: 18/Nov/2003 ÁLGEBRA LINEAR A
Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Última actualização: 18/Nov/2003 ÁLGEBRA LINEAR A REVISÃO DA PARTE III Parte III - (a) Ortogonalidade Conceitos: produto
Leia maisO Teorema de Peano. f : D R n. uma função contínua. Vamos considerar o seguinte problema: Encontrar um intervalo I R e uma função ϕ : I R n tais que
O Teorema de Peano Equações de primeira ordem Seja D um conjunto aberto de R R n, e seja f : D R n (t, x) f(t, x) uma função contínua. Vamos considerar o seguinte problema: Encontrar um intervalo I R e
Leia maisTopologia. Fernando Silva. (Licenciatura em Matemática, 2007/2008) 13-agosto-2018
Topologia (Licenciatura em Matemática, 2007/2008) Fernando Silva 13-agosto-2018 A última revisão deste texto está disponível em http://webpages.fc.ul.pt/~fasilva/top/ Este texto é uma revisão do texto
Leia mais1 Álgebra linear matricial
MTM510019 Métodos Computacionais de Otimização 2018.2 1 Álgebra linear matricial Revisão Um vetor x R n será representado por um vetor coluna x 1 x 2 x =., x n enquanto o transposto de x corresponde a
Leia maisCapítulo 2. Ortogonalidade e Processo de Gram-Schmidt. Curso: Licenciatura em Matemática
Capítulo 2 Ortogonalidade e Processo de Gram-Schmidt Curso: Licenciatura em Matemática Professor-autor: Danilo Felizardo Barboza Wilberclay Gonçalves de Melo Disciplina: Álgebra Linear II Unidade II Aula
Leia maisALGA I. Representação matricial das aplicações lineares
Módulo 6 ALGA I Representação matricial das aplicações lineares Contents 61 Matriz de uma aplicação linear 76 62 Cálculo do núcleo e imagem 77 63 Matriz da composta 78 64 GL(n Pontos de vista passivo e
Leia maisCapítulo 1 Como motivação para a construção dos números complexos aconselha-se o visionamento do quinto do capítulo do documentário Dimensions, disponível em http://www.dimensions-math.org/ Slides de apoio
Leia maisExercicios Resolvidos - Transformada de Fourier. Prof. Paulo Cupertino de Lima Departamento de Matemática - UFMG
Exercicios Resolvidos - Transformada de Fourier Prof. Paulo Cupertino de Lima Departamento de Matemática - UFMG Transformada de Fourier Exercício. Neste exercício mostraremos a propriedade da tabela de
Leia maisUniversidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas Departamento de Matemática
1 Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas Departamento de Matemática Lista 4 - MAT 137 -Introdução à Álgebra Linear 2017/II 1. Entre as funções dadas abaixo, verifique quais
Leia maisProdutos de potências racionais. números primos.
MATEMÁTICA UNIVERSITÁRIA n o 4 Dezembro/2006 pp. 23 3 Produtos de potências racionais de números primos Mário B. Matos e Mário C. Matos INTRODUÇÃO Um dos conceitos mais simples é o de número natural e
Leia maisCurso: MAT 221- CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IV Professor Oswaldo Rio Branco de Oliveira Período: Segundo Semestre de 2008
Curso: MAT 221- CÁLCULO DIERENCIAL E INTEGRAL IV Professor Oswaldo Rio Branco de Oliveira Período: Segundo Semestre de 2008 SÉRIES E SOMAS EM ÁLGEBRAS: C([a, b]), M n n (R), M n n (C), etc. O PRODUTO DE
Leia maisNoções de Álgebra Linear
Noções de Álgebra Linear 1. Espaços vetoriais lineares 1.1. Coordenadas 2. Operadores lineares 3. Subespaços fundamentais 4. Espaços normados 5. Espaços métricos 6. Espaços de Banach 7. Espaços de Hilbert
Leia maisA Projeção e seu Potencial
A Projeção e seu Potencial Rolci Cipolatti Departamento de Métodos Matemáticos Instituto de Matemática, Universidade Federal do Rio de Janeiro C.P. 68530, Rio de Janeiro, Brasil e-mail: cipolatti@im.ufrj.br
Leia maisEscola de Inverno de Matemática Fevereiro. Matrizes. Relações entre o Finito e o Infinito. Pedro A. Santos
Escola de Inverno de Matemática 2010 4-9 Fevereiro Matrizes Relações entre o Finito e o Infinito Pedro A. Santos CEAF / Instituto Superior Técnico Universidade Técnica de Lisboa Portugal Dentro da Matemática...
Leia maisCapítulo 6. Operadores Ortogonais. Curso: Licenciatura em Matemática. Professor-autor: Danilo Felizardo Barboza Wilberclay Gonçalves Melo
Capítulo 6 Operadores Ortogonais Curso: Licenciatura em Matemática Professor-autor: Danilo Felizardo Barboza Wilberclay Gonçalves Melo Disciplina: Álgebra Linear II Unidade II Aula 6: Operadores Ortogonais
Leia maisCompacidade de conjuntos e operadores lineares
Compacidade de conjuntos e operadores lineares Roberto Imbuzeiro Oliveira 13 de Janeiro de 2010 No que segue, F = R ou C e (X, X ), (Y, Y ) são Banach sobre F. Recordamos que um operador linear T : X Y
Leia maisUm curso de Análise Funcional para a graduação. Ricardo P. da Silva
Um curso de Análise Funcional para a graduação Ricardo P. da Silva Sumário 1 Espaços Normados 3 1.1 Definições básicas...................................... 3 1.2 Espaços de Banach.....................................
Leia mais1 a Lista de Exercícios de MAT3458 Escola Politécnica 2 o semestre de 2016
1 a Lista de Exercícios de MAT3458 Escola Politécnica o semestre de 16 1 Para que valores de t R a função definida por (x 1, x ), (y 1, y ) = x 1 y 1 + tx y é um produto interno em R? Para cada par de
Leia maisALGA I. Bases, coordenadas e dimensão
Módulo 5 ALGA I. Bases, coordenadas e dimensão Contents 5.1 Bases, coordenadas e dimensão............. 58 5.2 Cálculos com coordenadas. Problemas......... 65 5.3 Mudanças de base e de coordenadas..........
Leia maisde Operadores Lineares
Universidade Federal de Itajubá Programa de PósGraduação em Matemática Majoração, Inclusão de Imagens e Fatoração de Operadores Lineares Raquel Maria Nogueira Wood Noronha Orientador: Prof. Dr a. Márcia
Leia maisProvas de Análise Real - Noturno - 3MAT003
Provas de 2006 - Análise Real - Noturno - 3MAT003 Matemática - Prof. Ulysses Sodré - Londrina-PR - provas2006.tex 1. Definir a operação ϕ entre os conjuntos A e B por ϕ(a, B) = (A B) (A B). (a) Demonstrar
Leia maisApontamentos III. Espaços euclidianos. Álgebra Linear aulas teóricas. Lina Oliveira Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico
Apontamentos III Espaços euclidianos Álgebra Linear aulas teóricas 1 o semestre 2017/18 Lina Oliveira Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico Índice Índice i 1 Espaços euclidianos 1 1.1
Leia mais1. Não temos um espaço vetorial, pois a seguinte propriedade (a + b) v = a v + b v não vale. De fato:
Sumário No que se segue, C, R, Q, Z, N denotam respectivamente, o conjunto dos números complexos, reais, racionais, inteiros e naturais. Denotaremos por I (ou id) End(V ) a função identidade do espaço
Leia maisÁLGEBRA LINEAR I - MAT0032
UNIVERSIDADE FEDERAL DA INTEGRAÇÃO LATINO-AMERICANA Instituto Latino-Americano de Ciências da Vida e Da Natureza Centro Interdisciplinar de Ciências da Natureza ÁLGEBRA LINEAR I - MAT0032 11 a Lista de
Leia maisConceitos Básicos sobre Representações e Caracteres de Grupos Finitos. Ana Cristina Vieira. Departamento de Matemática - ICEx - UFMG
1 Conceitos Básicos sobre Representações e Caracteres de Grupos Finitos Ana Cristina Vieira Departamento de Matemática - ICEx - UFMG - 2011 1. Representações de Grupos Finitos 1.1. Fatos iniciais Consideremos
Leia maisANÁLISE COMPLEXA E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS AULA TEÓRICA DE MAIO DE 2017
ANÁLISE COMPLEXA E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS AULA TEÓRICA 3 7 DE MAIO DE 27 A = 2 2 2 A matriz tem como valor próprio λ = 2 (triplo. Para os vectores próprios: { z = y + z = v = A matriz não é diagonalizável,
Leia mais1 Vetores no Plano e no Espaço
1 Vetores no Plano e no Espaço Definimos as componentes de um vetor no espaço de forma análoga a que fizemos com vetores no plano. Vamos inicialmente introduzir um sistema de coordenadas retangulares no
Leia maisAula 7 Os teoremas de Weierstrass e do valor intermediário.
Os teoremas de Weierstrass e do valor intermediário. MÓDULO - AULA 7 Aula 7 Os teoremas de Weierstrass e do valor intermediário. Objetivo Compreender o significado de dois resultados centrais a respeito
Leia maisNotas Sobre Sequências e Séries Alexandre Fernandes
Notas Sobre Sequências e Séries 2015 Alexandre Fernandes Limite de seqüências Definição. Uma seq. (s n ) converge para a R, ou a R é limite de (s n ), se para cada ɛ > 0 existe n 0 N tal que s n a < ɛ
Leia maisTeorema da Triangularização de Schur e Diagonalização de Matrizes Normais
Teorema da Triangularização de Schur e Diagonalização de Matrizes Normais Reginaldo J Santos Departamento de Matemática-ICEx Universidade Federal de Minas Gerais http://wwwmatufmgbr/~regi 16 de novembro
Leia mais{ 1 se x é racional, 0 se x é irracional. cos(k!πx) = cos(mπ) = ±1. { 1 se x Ak
Solução dos Exercícios Capítulo 0 Exercício 0.: Seja f k : [0, ] R a função definida por Mostre que f k (x) = lim j (cos k!πx)2j. { f k (x) = se x {/k!, 2/k!,..., }, 0 senão e que f k converge pontualmente
Leia maisAnálise Matemática II - 1 o Semestre 2001/ o Exame - 25 de Janeiro de h
Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Análise Matemática II - 1 o Semestre 2001/2002 2 o Exame - 25 de Janeiro de 2001-9 h Todos os cursos excepto Eng. Civil,
Leia maisMatemática I. 1 Propriedades dos números reais
Matemática I 1 Propriedades dos números reais O conjunto R dos números reais satisfaz algumas propriedades fundamentais: dados quaisquer x, y R, estão definidos a soma x + y e produto xy e tem-se 1 x +
Leia maisTopologia do espaço Euclidiano
Capítulo 1 Topologia do espaço Euclidiano 1 O espaço vetorial R n iguais a R: Seja n N. O espaço euclidiano n dimensional é o produto cartesiano de n fatores R n = R R R }{{} n cópias Os pontos de R n
Leia maisTopologia e Análise Linear. Maria Manuel Clementino, 2013/14
Maria Manuel Clementino, 2013/14 2013/14 1 ESPAÇOS MÉTRICOS Espaço Métrico Um par (X, d) diz-se um espaço métrico se X for um conjunto e d : X X R + for uma aplicação que verifica as seguintes condições,
Leia maisDefinição (6.1): Definimos equação diferencial como uma qualquer relação entre uma função e as suas derivadas.
Capítulo 6 Definição (6.1): Definimos equação diferencial como uma qualquer relação entre uma função e as suas derivadas. Definição (6.2): Seja e uma função real incógnita definida num intervalo aberto.
Leia mais. (1) Se S é o espaço vetorial gerado pelos vetores 1 e,0,1
QUESTÕES ANPEC ÁLGEBRA LINEAR QUESTÃO 0 Assinale V (verdadeiro) ou F (falso): (0) Os vetores (,, ) (,,) e (, 0,) formam uma base de,, o espaço vetorial gerado por,, e,, passa pela origem na direção de,,
Leia maisUm espaço métrico incompleto 1
Universidade Estadual de Maringá - Departamento de Matemática Cálculo Diferencial e Integral: um KIT de Sobrevivência anos c Publicação Eletrônica do KIT http://www.dma.uem.br/kit Um espaço métrico incompleto
Leia maisORDINÁRIAS. Víctor Arturo Martínez León
INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS Víctor Arturo Martínez León September 3, 2017 Súmario 1 Equações diferenciais lineares de primeira ordem 2 2 Equações diferenciais lineares de segundo ordem
Leia maisNotas de Aulas 3(Segunda Avaliação)-Produto Interno II Prof. Carlos Alberto S Soares
Notas de Aulas 3(Segunda Avaliação)-Produto Interno II Prof. Carlos Alberto S Soares Neste capítulo, estaremos generalizando a noção de projeção ortogonal já desenvolvida em cursos anteriores. Definição
Leia maisCurso de Mestrado em Matemática Aplicada Tópicos de Topologia - Monopólos e Curvas Algébricas 2 a Série de Problemas - Dezembro 1999
Secção de Álgebra e Análise - Departamento de Matemática - IST Curso de Mestrado em Matemática Aplicada Tópicos de Topologia - Monopólos e Curvas Algébricas 2 a Série de Problemas - Dezembro 1999 Nesta
Leia maisGEOMETRIA II EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - ABRIL, 2018
GEOMETRIA II EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - ABRIL, 08 ( Seja a R e f(x, y ax + ( ay. Designe por C a a cónica dada por f(x, y 0. (a Mostre que os quatro pontos (±, ± R pertencem a todas as cónicas C a (independentemente
Leia maisAnálise Complexa e Equações Diferenciais 1 ō Semestre 2016/2017
Análise Complexa e Equações Diferenciais 1 ō Semestre 016/017 ō Teste Versão A (Cursos: MEBiol, MEQ 17 de Dezembro de 016, 10h [,0 val 1 Considere a equação diferencial e t + y e t + ( 1 + ye t dy dt 0
Leia maisÁlgebra Linear e suas Aplicações Notas de Aula. Petronio Pulino = Q
Álgebra Linear e suas Aplicações Notas de Aula Petronio Pulino 1 3 4 3 1 0 4 0 1 = Q 4 1 6 Qt Q t Q = 1 1 1 PULINUS Álgebra Linear e suas Aplicações Notas de Aula Petronio Pulino Departamento de Matemática
Leia maisÁlgebra Linear. Curso: Engenharia Electrotécnica e de Computadores 1 ō ano/1 ō S 2006/07
Álgebra Linear Curso: Engenharia Electrotécnica e de Computadores 1 ō ano/1 ō S 006/07 5 a Lista: Ortogonalidade Nos exercícios em que n~ao é especificado o produto interno, considere o produto interno
Leia maisMAT Cálculo Avançado - Notas de Aula
bola fechada de centro a e raio r: B r [a] = {p X d(p, a) r} MAT5711 - Cálculo Avançado - Notas de Aula 2 de março de 2010 1 ESPAÇOS MÉTRICOS Definição 11 Um espaço métrico é um par (X, d), onde X é um
Leia maisIntroduzir os conceitos de base e dimensão de um espaço vetorial. distinguir entre espaços vetoriais de dimensão fnita e infinita;
META Introduzir os conceitos de base e dimensão de um espaço vetorial. OBJETIVOS Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: distinguir entre espaços vetoriais de dimensão fnita e infinita; determinar
Leia mais10 a Lista de Exercícios
Álgebra Linear Licenciaturas: Eng. Biológica, Eng. Ambiente, Eng. Química, Química 1 ō ano 2004/05 10 a Lista de Exercícios Problema 1. Decida quais das expressões seguintes definem um produto interno.
Leia maisFísica Matemática II: Notas de aula
Física Matemática II: Notas de aula Rafael Sussumu Y. Miada Nessas notas, faremos uma introdução à teoria dos espaços métricos e normados, e aos operadores lineares em espaços normados. Os resultados obtidos
Leia maisAula 05 Transformadas de Laplace
Aula 05 Transformadas de Laplace Pierre Simon Laplace (1749-1827) As Transformadas de Laplace apresentam uma representação de sinais no domínio da frequência em função de uma variável s que é um número
Leia maisAula 05 Transformadas de Laplace
Aula 05 Transformadas de Laplace Pierre Simon Laplace (1749-1827) As Transformadas de Laplace apresentam uma representação de sinais no domínio da frequência em função de uma variável s que é um número
Leia maisDERIVADAS PARCIAIS. y = lim
DERIVADAS PARCIAIS Definição: Seja f uma função de duas variáveis, x e y (f: D R onde D R 2 ) e (x 0, y 0 ) é um ponto no domínio de f ((x 0, y 0 ) D). A derivada parcial de f em relação a x no ponto (x
Leia maisAnálise Complexa e Equações Diferenciais Guia 6 João Pedro Boavida. 19 a 28 de Outubro
19 a 28 de Outubro Nestas teóricas, estamos a falar das últimas ideias de análise complexa. Veremos algumas aplicações do teorema dos resíduos e algumas propriedades das funções holomorfas. No livro, falta-vos
Leia maisAdo Raimundo Dalla Costa. Teorema de Hahn-Banach
Ado Raimundo Dalla Costa Teorema de Hahn-Banach Florianópolis 2014 Ado Raimundo Dalla Costa Teorema de Hahn-Banach Trabalho de conclusão de curso apresentado na Universidade Federal de Santa Catarina para
Leia maisCurvas e superfícies
Análise Matemática III Curvas e superfícies Manuel Guerra Conteúdo 1 Curvas 2 2 Curvas definidas implicitamente 11 3 Superfícies 17 4 Superfícies definidas implicitamente 20 5 Anexo: A curva de Peano 21
Leia maisDízimas e intervalos encaixados.
Dízimas e intervalos encaixados. Recorde que uma dízima com n casas decimais é um número racional da forma a 0.a a 2...a n = a 0 + a 0 + a 2 0 2 + + a n n 0 n = a j 0 j em que a 0,a,...,a n são inteiros
Leia mais[À funç~ao d chama-se métrica e aos elementos de X pontos do espaço métrico; a condiç~ao (3) designa-se por desigualdade triangular.
Aula I - Topologia e Análise Linear 1 Espaços Métricos ESPAÇO MÉTRICO Um par (X, d) diz-se um espaço métrico se X for um conjunto e d : X X R + for uma aplicação que verifica as seguintes condições, quaisquer
Leia maisPolinômios de Legendre
Seção 5: continuação do método de resolução por séries de potências Na Seção foi exposto informalmente, através de exemplos, o método de resolução de equações diferenciais ordinárias por séries de potências.
Leia maisT. Rolle, Lagrange e Cauchy
T. Rolle, Lagrange e Cauchy EXERCÍCIOS RESOLVIDOS. Mostre que a equação 5 + 5 = 5 tem uma única solução em R. Seja f = 5 +5 5. Então f é contínua e diferenciável em R. Temos f = 5 4 + > 0, em R, logo f
Leia maisPropriedades das Funções Contínuas
Propriedades das Funções Contínuas Prof. Doherty Andrade 2005- UEM Sumário 1 Seqüências 2 1.1 O Corpo dos Números Reais.......................... 2 1.2 Seqüências.................................... 5
Leia maisOPERADORES LINEARES ESPECIAIS: CARACTERIZAÇÃO EM ESPAÇOS DE DIMENSÃO DOIS*
OPERADORES LINEARES ESPECIAIS: CARACTERIZAÇÃO EM ESPAÇOS DE DIMENSÃO DOIS* FABIANA BARBOSA DA SILVA, ALINE MOTA DE MESQUITA ASSIS, JOSÉ EDER SALVADOR DE VASCONCELOS Resumo: o objetivo deste artigo é apresentar
Leia maisRepresentações de Schur e de Schmidt de um Operador Bilinear Compacto
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA Doutorado) MARCUS VINÍCIUS DE ANDRADE NEVES Representações de Schur e de Schmidt
Leia maisProva de seleção ao Mestrado e/ou Programa de Verão. Programas: ICMC-USP, UFAL, UFRJ
Prova de seleção ao Mestrado e/ou Programa de Verão Programas: ICMC-USP, UFAL, UFRJ Nome: Identidade (Passaporte): Assinatura: Instruções (i) O tempo destinado a esta prova é de 5 horas. (ii) 25 porcento
Leia maisUniversidade Estadual Paulista Campus de Rio Claro Instituto de Geociências e Ciências Exatas
Universidade Estadual Paulista Campus de Rio Claro Instituto de Geociências e Ciências Exatas Análise Funcional: um texto para iniciação científica Liliane Martinez Antonow Orientadora: Prof a. Dr a. Simone
Leia maisProva: Usando as definições e propriedades de números reais, temos λz = λx + iλy e
Lista Especial de Exercícios de Física Matemática I Soluções (Número complexo, sequência de Cauchy, função exponencial e movimento hamônico simples) IFUSP - 8 de Agosto de 08 Exercício Se z x + iy, x,
Leia maisexercícios de álgebra linear 2016
exercícios de álgebra linear 206 maria irene falcão :: maria joana soares Conteúdo Matrizes 2 Sistemas de equações lineares 7 3 Determinantes 3 4 Espaços vetoriais 9 5 Transformações lineares 27 6 Valores
Leia maisUniversidade de Aveiro Departamento de Matemática. Ana Rute Cerveira Esteves. Teoria de Fredholm em Espaços de Hilbert
Universidade de Aveiro Departamento de Matemática 2007 Ana Rute Cerveira Esteves Teoria de Fredholm em Espaços de Hilbert Universidade de Aveiro Departamento de Matemática 2007 Ana Rute Cerveira Esteves
Leia maisUFRGS INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada Prova Escrita - Processo Seletivo 2017/2 - Mestrado
UFRGS INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada Prova Escrita - Processo Seletivo 27/2 - Mestrado A prova é composta de 6 (seis) questões, das quais o candidato
Leia mais3 Estabilidade dos Difeomorfismos Morse-Smale
3 Estabilidade dos Difeomorfismos Morse-Smale No último capítulo foi apresentado o nosso objeto de estudo (os difeomorfismos Morse-Smale) e a propriedade que estamos interessados em observar (Estabilidade
Leia maisCapítulo 5. Operadores Auto-adjuntos. Curso: Licenciatura em Matemática. Professor-autor: Danilo Felizardo Barboza Wilberclay Gonçalves Melo
Capítulo 5 Operadores Auto-adjuntos Curso: Licenciatura em Matemática Professor-autor: Danilo Felizardo Barboza Wilberclay Gonçalves Melo Disciplina: Álgebra Linear II Unidade II Aula 5: Operadores Auto-adjuntos
Leia maisSobre Desenvolvimentos em Séries de Potências, Séries de Taylor e Fórmula de Taylor
Sobre Desenvolvimentos em Séries de Potências, Séries de Taylor e Fórmula de Taylor Pedro Lopes Departamento de Matemática Instituto Superior Técnico o. Semestre 004/005 Estas notas constituem um material
Leia maisCálculo Infinitesimal II / Cálculo II - Apontamentos de Apoio Capítulo 3 - Funções de n Variáveis
Cálculo Infinitesimal II / Cálculo II - Apontamentos de Apoio Capítulo 3 - Funções de n Variáveis Neste capítulo vamos estender as noções do cálculo diferencial a funções que dependem de mais de uma variável
Leia maisSistemas de Equações Diferenciais Lineares
Capítulo 9 Sistemas de Equações Diferenciais Lineares Agora, estamos interessados em estudar sistemas de equações diferenciais lineares de primeira ordem: Definição 36. Um sistema da linear da forma x
Leia maisficha 1 matrizes e sistemas de equações lineares
Exercícios de Álgebra Linear ficha matrizes e sistemas de equações lineares Exercícios coligidos por Jorge Almeida e Lina Oliveira Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico 2 o semestre 2/2
Leia maisANÁLISE MATEMÁTICA II
ANÁLISE MATEMÁTICA II Acetatos de Ana Matos Séries Numéricas DMAT Séries Numéricas Definições básicas Chama-se série numérica a uma expressão do tipo a a 2, em geral representada por, ou, onde é uma sucessão
Leia maisEspaços vectoriais com produto interno. ALGA 2008/2009 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Espaços vectoriais com produto interno 1 / 19
Capítulo 6 Espaços vectoriais com produto interno ALGA 2008/2009 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Espaços vectoriais com produto interno 1 / 19 Definição e propriedades ALGA 2008/2009 Mest.
Leia maisProfessor: Carlos Eugênio da Costa Teoria Microeconômica II Monitor: Diego Santiago
Professor: Carlos Eugênio da Costa Teoria Microeconômica II - 2012 Monitor: Diego Santiago EPGE/FGV Introdução matemática 1 Introdução Esta introdução visa familiarizar o aluno com ferramentas matemáticas
Leia mais1.3 Comprimento de arco
0 CAPÍTULO. CURVAS NO E ENOE 3.3 Comprimento de arco Seja γ :[a, b] V uma curva não necessariamente regular. Consideremos P ([a, b]) o conjunto de todas as partições de [a, b]. Uma partição P = a = t 0
Leia maisDepartamento de Matemática da Universidade de Aveiro
Departamento de Matemática da Universidade de Aveiro ANÁLISE MATEMÁTICA II 7/8 Folha 4 - soluções: Séries de Fourier; notação complexa. Vamos mostrar que se f e g são funções periódicas de período T, fg
Leia maisexercícios de análise numérica II
exercícios de análise numérica II lic. matemática aplicada e computação (4/5) aulas práticas - capítulo Exercício. Mostre que a soma dos polinómios base de Lagrange é a função constante. Exercício. Usando
Leia maisTeoria da Medida e Integração (MAT505)
Modos de convergência Teoria da Medida e Integração (MAT505) Modos de convergência. V. Araújo Instituto de Matemática, Universidade Federal da Bahia Mestrado em Matemática, UFBA, 2014 Modos de convergência
Leia mais