t X s db s, I t (X) :=

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1 Chapter 3 Integrais estocásticos Neste capítulo vamos definir integrais estocásticos relativamente ao movimento Browniano e estudar algumas das suas propriedades. Estes integrais também são chamados integrais de Itô. O obectivo é definir integrais do tipo I t (X) := t 0 X s db s, do processo estocástico X = (X t ) t 0 relativamente ao movimento Browniano B = (B t ) t 0. Este integral não pode ser definido como t X 0 sḃsds (onde Ḃ s = db s ) ds porque, pela Proposição 3.23, as traectórias do movimento Browniano não são Kiyosi Itô diferenciáveis em qualquer dos seus pontos. Por outro lado, o movimento Browniano não tem variação limitada, cf. Corolário 3.20, então este integral também não pode ser definido no sentido de Lebesgue-Stieltes. No entanto, é possível dar um sentido rigoroso a este integral usando o facto do movimento Browniano ter variação quadrática finita, cf. Observação A classe de processos integrantes X é dada na Definição A definição destes integrais será feita em duas etapas: na primeira etapa definimos o integral de Wiener isto é, o integrante X é determinístico, não depende da variávvel aleatória, e na segunda então o integral de Itô. Finalmente vamos dar algumas aplicações às equações diferenciais estocásticas. Antes disso, vamos recordar a definição do movimento Browniano e algumas das suas propriedades. 37

2 CHAPTER 3. INTEGRAIS ESTOCÁSTICOS Movimento Browniano e martingalas Um exemplo muito importante de um processo estocástico é o movimento Browniano (abreviado por MB) o qual será usado frequentemente no resto deste curso. O MB parece ter tido origem no botânico inglês Robert Brown, o qual, em 1828, observou que pequenas partículas de pólen imersas num líquido apresentavam um movimento permanente e errático. Em 1905, Einstein forneceu uma explicação para este fenómeno, esclarecendo que o referido movimento deve-se às constantes colisões das partículas com as moléculas do meio ambiente em que se encontram inseridas. Contudo, apenas em 1918, Wiener deu uma definição matemática precisa do MB, o qual, por isso, também é conhecido por processo de Wiener. Esta secção é dedicado a este processo no que concerne à sua definição e propriedades mais comuns. Definição 3.1 (Movimento Browniano) O movimento Browniano é um processo estocástico real B = (B t ) t 0 definido num espaço de probabilidade (Ω, F, P) com as seguintes propriedades (MB1) B 0 = 0, P-q.c. isto é, as traectórias de B começam em zero P-q.c., ou ainda P({w Ω B 0 (w) = 0}) = 1. (MB2) As traectórias de B são contínuas P-q.c., isto é, P({w Ω B (w) é contínua}) = 1. (MB3) Se 0 s < t, então a variável aleatória B t B s tem distribuição normal, com média zero e variância t s, isto é, B t B s tem distribuição N(0, t s). (MB4) Se 0 t 1 < t 2 <... < t n <, então os incrementos B t1, B t2 B t1,..., B tn B tn 1 são variáveis aleatórias independentes. Proposição 3.2 O movimento Browniano B = (B t ) t 0 possui as seguintes propriedades. 1. E P (B t ) = 0, ou sea, a esperança da variável aleatória B t é nula.

3 CHAPTER 3. INTEGRAIS ESTOCÁSTICOS E P (B 2 t ) = t, isto é, a variância de B t é t. 3. E P [B t B s ] = t s := min{t, s}, isto é, a covariância de B t e B s é t s. 4. E P ((B t B s ) 4 ) = 3 t s 2, t, s 0. Em particular E P (B 4 t ) = 3t2. Prova. 1. Como B t = B t B 0 P-q.c., então pela propriedade 3. da Definição 3.1, temos E P (B t ) = E P (B t B 0 ) = Ainda pela propriedade 3. da Definição 3.1 B t = B t B 0 P-q.c. tem variância t 0 = t daí o resultado. 3. Suponhamos, sem perda de generalidade que s < t e notemos que B t B s = (B t B s + B s )B s = (B s B 0 )(B t B s ) + B 2 s, P-q.c. Então, usando a linearidade da esperança e o facto de B s B 0 ser independente de B t B s, temos E P (B t B s ) = E P (B s B 0 )E P (B t B s ) + E P (B 2 s) = s = t s. Na última igualdade usamos o facto de E P (B s B 0 ) = E P (B t B s ) = 0 pela propriedade 3. da Definição 3.1 e a alínea 2. anterior. O caso t < s é análogo e se t = s o resultado é uma consequência da alínea Podemos, sem perda de generalidade, supor que 0 s < t <. Então B t B s tem distribuição N(0, t s). Assim, pelo Exercício temos E P ((B t B s ) 4 ) = 4! 2 2 2! (t s)2 = 3(t s) 2. É claro que B t = B t B 0 P-q.c. e a variância de B t B 0 é t, logo E P (B 4 t ) = 3t2. O MB definido anteriormente é conhecido como MB usual canónico, porque B 0 = 0, P-q.c., E P (B t ) = 0, E P (B 2 t ) = t, sendo a sua função densidade dada por f Bt (x) = 1 ) exp ( x2. 2πt 2t

4 CHAPTER 3. INTEGRAIS ESTOCÁSTICOS 40 Observação 3.3 A proposição anterior mostra que o MB é um processo estocástico em L 2 (P), isto é, para cada t 0 B t L 2 (P). O espaço L 2 (P) := L 2 (Ω, F, P) é constituído das funções F : Ω R F -mensuráveis tais que F L 2 (P) <, a norma L 2 (P) é definida por F 2 := F(w) 2 dp(w) <. L 2 (P) Ω No caso do MB temos (cf. Proposição ) B t L 2 (P) = t < para qualquer t 0. A desvantagem de trabalhar com o espaço normado (L 2 (P), L 2 (P)) tem a ver com o facto deste espaço não ser completo para a norma L 2 (P). Este problema pode ser ultrapassado completando o espaço L 2 (P) obtendo-se, assim, o espaço de Hilbert L 2 (P). Por definição, L 2 (P) é denso em L 2 (P), pelo que, tomando B t como um representante da sua classe podemos concluir que B t L 2 (P). Observação 3.4 Sea B = (B t ) t 0 um movimento Browniano. 1. A função característica do movimento Browniano é dada por C Bt (λ) = E P (e iλb t ) = e λ2 t 2, λ R. 2. A função geradora de momentos do movimento Browniano é L Bt (λ) = E P (e λb t ) = e λ2 t 2, λ R. Estes resultados são uma consequência do facto da função característica de uma variável aleatória Gaussiana real X com média m e variância σ > 0 ser ( ) C X (λ) = exp imλ λ2 σ. 2 Definição 3.5 Sea X = (X t ) t 0 um processo estocástico. Então, X chama-se Gaussiano se e só se qualquer combinação linear real finita de elementos X t, t 0 é uma variável aleatória Gaussiana, isto é, se para quaisquer α 1,..., α n R, n N e quaisquer 0 t 1 <... < t n < a variável aleatória é Gaussiana. Y = α 1 X t α n X tn

5 CHAPTER 3. INTEGRAIS ESTOCÁSTICOS 41 A seguinte proposição dá-nos um critério para determinar se um processo estocástico X é ou não Gaussiana. Proposição 3.6 Sea X = (X t ) t 0 um processo estocástico dado. Então X é Gaussiana se e só se para todos 0 t 1 < t 2 <... < t n <, n N a variável aleatória vectorial Z = (X t1,..., X tn ) tem distribuição normal multidimensional. Prova. Suponhamos que X é um processo estocástico Gaussiano com vista a mostrar que Z = (X t1,..., X tn ) tem distribuição normal multidimensional para todos 0 t 1 < t 2 <... < t n <, n N, isto é, existe m = (m 1,..., m n ) R n e uma matriz não negativa definida C = (c i ) n i, =1 tal que ( C Z ( λ) = exp i( m, λ) R n 1 ) 2 (C λ, λ) R n. Por hipótese X é Gaussiano, então para todos 0 t 1 < t 2 <... < t n <, n N e quaisquer α 1,..., α n R a variável aleatória Y = α 1 X t α n X tn é Gaussiana. Assim, existem m R e σ > 0 tal que ( ) C Y (λ) = exp imλ λ2 σ. 2 É claro que m = E P (Y) e σ = E P [(Y m) 2 ], ou sea m = α i E P (X ti ) = α i m i, m i := E P (X ti ), σ = E P [(Y m) 2 ] = E P (Y 2 ) m 2 = α i α (E P (X ti X t ) m i m ) = i, =1 α i α c i, c i := E P (X ti X t ) m i m. i, =1 A função característica de Y pode reescrever-se como C Y (λ) = exp iλ α i m i 1 2 λ2 α i α c i. i, =1

6 CHAPTER 3. INTEGRAIS ESTOCÁSTICOS 42 Por seu lado, a função característica de Z é dada por C Z ( λ) = E P (e i( λ,z) ) = E P exp i λ i X ti a qual corresponde à função característica de uma combinação linear real de variáveis aleatórias X t, t 0; de acordo com o resultado anterior temos C Z ( λ) = exp i λ i m i 1 λ i λ c i 2 i, =1 ( = exp i( m, λ) R n 1 ) 2 (C λ, λ) R n. Inversamente, suponhamos que para todos 0 t 1 < t 2 <... < t n <, n N a variável aleatória vectorial Z = (X t1,..., X tn ) tem distribuição normal multidimensional com vista a provar que Y = α 1 X t α n X tn tem distribuição normal. Por um lado, temos C Z ( λ) = E P exp i λ i X ti (i( m, = exp λ) R n 1 ) 2 (C λ, λ) R n, (3.1) onde m = (m 1,..., m n ) R n, m i := E P (X ti ) e C = (c i ) n i, =1 é a matriz de covariância, isto é, para cada i, {1,..., n}, c i := E P [(X ti m i )(X t m )]. Então a função característica de Y pode ser calculada como C Y (λ) = E P exp iλ α i X ti = E P exp i λα i X ti. Usando (3.1) com λ i = λα i obtemos C Y (λ) = exp iλ α i m i 1 2 λ2 α i α c i. i, =1 a expressão de C Y mostra que Y é uma variável aleatória Gaussiana. Como exemplo fundamental de um processo estocástico Gaussiano vamos considerar o MB. Proposição 3.7 O movimento Browniano B = (B t ) t 0 é um sistema Gaussiano.

7 CHAPTER 3. INTEGRAIS ESTOCÁSTICOS 43 Prova. Seam α 1,..., α n R, n N e 0 t 1 <... < t n < dados com vista a mostrar que a variável aleatória Y = α 1 B t α n B tn tem distribuição Gaussiana. Y pode escrever-se na forma Y = α i B t 1 + α i (B t 2 B t1 ) +... i=2 +(α n 1 + α n )(B tn 1 B tn 2 ) + α n (B tn B tn 1 ). Como os incrementos do MB B t1, B t2 B t1,..., B tn B tn 1 são variáveis aleatórias Gaussianas independentes, então reescrevendo Y = α 1 B t α n (B tn B tn 1 ), onde α = n i= α i, então n C Y (λ) = E P (e iλy ) = E P e iλ α (B t B t 1 ) = = =1 n E P (e iλ α (B t B t ) 1 ) =1 n =1 = exp ( exp 1 ) 2 λ2 α 2 (t t 1 ) ( 1 ) 2 λ2 σ, onde σ = n =1 α 2 (t t 1 ). Isto mostra que B é Gaussiano. Martingalas O termo martingala deriva do francês martingale e designa, em particular, a estratégia de ogo em que o montante apostado é duplicado até ganhar uma aposta. Na equitação é usado para designar as correias assinaladas na foto. As martingalas surgiram como modelos de ogos ustos; na sua formulação mais simples e em tempo discreto, uma sucessão de variáveis aleatórias (X n ) n 0 com

8 CHAPTER 3. INTEGRAIS ESTOCÁSTICOS 44 esperança finita é uma martingala se E P (X n+1 X 0, X 1,..., X n ) = X n, n 0. (3.2) Se pensarmos que X n representa a fortuna de um ogador ao fim de n ogadas, então (3.2) significa que a fortuna do ogador ao fim da próxima ogada é, em média, igual à sua fortuna actual. Definição 3.8 Sea (Ω, F, P) um espaço de probabilidade e A = (A t ) t 0 uma filtração dada, isto é, uma família crescente de σ-álgebras: t > s A s A t. Um processo estocástico M = (M t ) t 0 chama-se uma A-martingala se verifca as condições: (M1) M é A-adaptado, isto é, M t é A t -mensurável para qualquer t 0. (M2) E P ( M t ) < para qualquer t 0 (M3) E(M t A s ) = M s para qualqur s t. 1 O processo estocástico M chama-se uma A-supermartingala se verifica (M1), (M2) e (Sup) E(M t A s ) M s para qualquer s t. O processo estocástico M chama-se uma A-submartingala se verifica (M1), (M2) e (Sub) E(M t A s ) M s para qualquer s t. Observação 3.9 Se M = (M t ) t 0 é uma martingala relativamente à filtração (F t ) t 0. 1 A esperança condicionada de uma variável aleatória M t relativamente à σ-álgebra A s é definida como uma variável aleatória, representada por E(M t A s ) a qual é A s -mensurável tal que E(M t A s )(w)dp(w) = M t (w)dp(w), A A s. A A

9 CHAPTER 3. INTEGRAIS ESTOCÁSTICOS Então E P (M t ) = E P (M 0 ) para qualquer t 0. De facto, por um lado, temos E(M t F s ) = M s, s t e por outro lado, da definição de esperança condicionada com A = Ω temos E P (E(M t F s )) = E P (M t ), s t. Assim, das duas igualdades resulta que E P (M t ) = E P (M s ), s t, em particular para s = F t representa a informação disponível para um observador no instante t. Um acontecimento F F t se e só se observando o processo até ao instante t podemos decidir se F ocorreu ou não. Em geral F t = σ(x s 0 s t) denota a σ-álgebra gerada pelos valores do processo X até ao instante t. Exemplo 3.10 O MB B = (B t ) t 0 é uma martingala relativamente è filtração natural de (B t ) t 0 gerada por B. Prova. É claro que B t é B t -mensurável para qualquer t 0 e pela desigualdade de Cauchy-Schwarz E P ( B t ) 2 E P (1)E P ( B t 2 ) = t <, t 0. Assim, falta verificar que E(B t B s ) = B s, para qualquer s t. Mas, atendendo às propriedades da esperança condicionada, temos E(B t B s ) = E(B t B s + B s B s ) = E(B t B s B s ) + E(B s B s ). Como B s é B s mensurável, então E(B s B s ) = B s e dado que B t B s é independente de B s, então a esperança condicionada coincide com a esperança usual, isto é, E(B t B s B s ) = E P (B t B s ) = 0. Portanto, E(B t B s ) = B s para qualquer s t e, assim, B é uma martingala.

10 CHAPTER 3. INTEGRAIS ESTOCÁSTICOS 46 Variação e variação quadrática Sea f : [0, t] R uma função dada. A variação da função f no intervalo [0, t] é definida por V f ([0, t]) = V f (t) := sup onde o supremo é tomado sobre todas as partições 0 = t n 0 < tn 1 <... < tn n = t. f (t n ) f (tn ), (3.3) É claro que (pela desigualdade triangular) as somas em (3.3) crescem à medida que novos pontos são introduzidos na partição. Assim, a variação de f é dada por V f (t) = lim f (t n ) f δn 0 (tn ), (3.4) onde δ n = max 0 n 1 t n tn. Se V f (t) é finito, então f diz-se uma função de variação finita em [0, t]. Definição 3.11 Sea f : R + R uma função dada. Então 1. f diz-se de variação finita se V f (t) < para qualquer t f diz-se de variação limitada se sup t R+ V f (t) <, por outras palavras, se para qualquer t 0, V f (t) < C, onde C é independente de t. Exemplo 3.12 Sea f : R + R uma função dada. Então 1. se f é crescente V f (t) = f (t) f (0). De facto, como f (t n ) f (tn ) 0, então a soma em (3.4) é telescópica e o seu valor é precisamente f (t) f (0), pelo que V f (t) = f (t) f (0); 2. se f é decrescente V f (t) = f (0) f (t). Resulta do caso anterior com f crescente. 3. se f C 1 ([0, 1]) então f (t) = f (0) + t f (s)ds e t f (s) ds <. Neste 0 0 caso temos V f (t) = t 0 f (s) ds.

11 CHAPTER 3. INTEGRAIS ESTOCÁSTICOS 47 De facto, pelo teorema do valor médio temos t n t n f (s)ds = f (τ n )(tn tn ), τn ]tn, tn [. Assim, t n t n f (s)ds = f (τ n ) (tn tn ) e ainda V f (t) = lim f (t n ) f δn 0 (tn ) = lim δ n 0 t n t = lim f (τ n δn 0 ) (tn tn ) = f (s) ds. 0 t n f (s)ds Teorema 3.13 (Decomposição de Jordan) Qualquer função f : R + R de variação finita pode ser escrita como a diferença de duas funções crescentes f (t) = α(t) β(t), t R +. Se f é contínua à direita, então pode ser escrita como diferença de duas funções crescentes contínuas à direita. onde O integral de Riemann de f : [0, t] R + é definido como t 0 f (s)ds = lim f (τ n δn 0 )(tn tn ), 0 = t n 0 < tn 1 <... < tn n = t, δ n = max 0 n 1 (tn tn ), τn [tn, tn ]. O integral de Riemann está definido para funções f contínuas, mas pode ser prolongado a funções f com um número contável de descontinuidades. Uma generalização do integral de Riemann é dada pelo integral de Riemann-Stieltes. A sua definição é a seguinte. Definição 3.14 O integral de Riemann-Stieltes de f relativamente à função monótona α no intervalo [0, t] é definido por t 0 f (t)dα(t) := lim f (τ n δn 0 )(α(tn ) α(tn )), onde τ n e tn são os mesmos da definição do integral de Riemann.

12 CHAPTER 3. INTEGRAIS ESTOCÁSTICOS 48 Observação O integral de Riemann-Stieltes é de facto uma generalização do integral de Riemann, de facto para α(t) = t este integral coincide com o integral de Riemann. 2. Por outro lado, o integral de Riemann-Stieltes não é adequado na teoria das probabilidades pois, não preserva as propriedades de convergência. Mais precisamente, f n f não implica necessariamente a convergência do integral de Riemann-Stieltes. Este problema é ultrapassado usando o integral de Lebesgue-Stieltes o qual preserva as propriedades de convergência. Exemplo 3.16 Se α(t) = t 2, então t f (s)dα(s) = 2 t s f (s)ds. 0 0 Se α é dada por 0 t < t < 1 α(t) = 3 1 t < t, então t 0 f (s)dα(s) = 2 f (0) + f (1) + 2 f (2). Em cálculo estocástico consideramos integrais relativamente a funções com variação infinita (como por exemplo o MB). Integrais deste tipo (integrais estocásticos) não podem ser definidos no sentido de Riemann-Stieltes por causa da seguinte proposição. Proposição 3.17 Sea δ n = max 0 n 1 (t n tn ) o maior intervalo da partição 0 = t n 0 < tn 1 <... < tn n = t do intervalo [0, t]. Se lim f (τ n δ n 0 )(α(tn ) α(tn )) existe para qualquer função contínua f, então α tem variação finita em [0, t]. Assim, integrais relativamente a funções com variação infinita têm de ser definidas de outra forma. Os próximos dois resultados serão muito úteis na definição dos integrais estocásticos do próximo capítulo. Lema 3.18 Consideremos a seguinte partição 0 = t n 0 < tn 1 <... < tn 2 n = t do intervalo [0, t] em 2 n partes iguais, por exemplo t n := 2 n t, = 0,..., 2 n 1.

13 CHAPTER 3. INTEGRAIS ESTOCÁSTICOS 49 Sea B = (B t ) t 0 um MB e denotamos B t Proposição e 4. temos := B t n B t n. Então, de acordo com a E P [( B t ) 2 ] = 2 n t, E P [( B t ) 4 ] = 32 2n t 2. Proposição 3.19 Sea B = (B t ) t 0 um MB e 0 = t n 0 < tn 1 <... < tn 2 n do intervalo [0, t] em 2 n partes iguais. Então = t a partição 2 n 1 L 2 (P) lim ( B t ) 2 = t. n Prova. O limite corresponde à convergência forte no espaço de Banach L 2 (P). Assim, vamos mostrar que 2 n 1 ( B t ) 2 t 2 L 2 (P) 2 = E P n 1 ( B t ) 2 t 2 0, n. Como 2 n 1 ( B t ) 2 t 2 = = 2 n 1 [( B t ) 2 2 n t] 2 n 1 [( B t ) 2 2 n t] 2 [( B t ) 2 2 n t][( B ti ) 2 2 n t]. 2 n i, i

14 CHAPTER 3. INTEGRAIS ESTOCÁSTICOS 50 Aplicando a esperança e usando o facto das variáveis aleatórias [( B t ) 2 2 n t] e [( B ti ) 2 2 n t] serem independentes, i, obtemos = Isto prova o resultado. 2 n 1 E P [( B t ) 4 22 n t( B t ) n t 2 ] E P [( B t ) 2 2 n t]e P [( B ti ) 2 2 n t] 2 n 1 + i, i 2 n 1 (32 2n t n t n t 2 ) (2 n t 2 n t)(2 n t 2 n t) 2 n 1 + i, i = 22 2n t 2 2 n = 22 n t 2 0, n. Corolário 3.20 As traectórias do MB B = (B t ) t 0 têm variação infinita P-q.c. Prova. Temos de mostrar que V B (t) =, para qualquer t > 0 P-q.c. Por definição temos V B (t) = lim B t n δn 0 B t n, onde 0 = t n 0 < tn 1 <... < tn n = t é uma partição de [0, t] e δ n = max 0 n (t n tn ). Tendo em atenção que o MB tem traectórias contínuas P-q.c., então B (w) atinge um máximo em [0, t]. Assim e ainda (B t n B t n ) 2 max B t n B 0 n t n B t n B t n (3.5) max B t n B 0 n t n 0, δ n 0, por B ter traectórias contínuas. Pelo Lema 3.18 e Proposição 3.19 existe uma subsucessão de partições 0 = t n k 0 < tn k 1 <... < tn k n k = t de [0, t] em 2 n partes iguais

15 CHAPTER 3. INTEGRAIS ESTOCÁSTICOS 51 tal que k 1 lim B n n k t k B n t k 2 = t, P-q.c. Passando ao limite em ambos os lados na desigualdade (3.5) (limite nas partições de [0, t] em 2 n partes iguais), obtemos t 0 lim nk 0 n k B t n k B t n k. Assim, se o limite lim nk nk 0 B t n k B n t k for finito vem t 0, para qualquer t > 0 o que é absurdo. Logo só podemos ter lim k 0 n k Como a seguinte desigualdade é verdadeira B n t k B n t k =, P-q.c. sup B t n B t n sup B t n B t n, onde sup é tomado sobre todas as partições de [0, t] e sup é tomado sobre as partições de [0, t] em 2 n partes iguais, então V B (t) =, P-q.c. Definição 3.21 Sea X = (X t ) t 0 um processo estocástico em (Ω, F, P) e p > 0 dado. Definimos o processo estocástico variação de ordem p de X, denotado X, X p = ( X, X p t ) t 0, por X, X p t : Ω R, w X, X p t (w) := lim δn 0 X t n (w) X t n (w) p, onde 0 = t n 0 < tn 1 <... < tn n = t é uma partição de [0, t] e δ n = max 0 n (t n tn ). Observação 3.22 Nas condições da definição anterior temos 1. se p = 1, então X, X 1 t = X, X t é chamado processo de variação total associado a X,

16 CHAPTER 3. INTEGRAIS ESTOCÁSTICOS se p = 2, então X, X 2 t é chamado processo de variação quadrática de X. É possível mostrar que o processo de variação quadrática B, B 2 do MB B existe e é igual a B, B 2 t = t, t 0. A Proposição 3.19 dá uma indicação nesse sentido visto que, para a sucessão de partições de [0, t] em 2 n partes iguais, temos B, B 2 t = t. Proposição 3.23 As traectórias do MB B = (B t ) t 0 não são diferenciáveis, em qualquer dos seus pontos. Prova. Em primeiro lugar vamos provar que as traectórias de B não são diferenciáveis na origem. Para tal vamos mostrar que, com probabilidade 1, para qualquer natural n existe t [0, 1 ] tal que 1 B n 4 t t = 1( B t t+0 B 0 ) > n, o que implica a não diferenciabilidade em t = 0. Para cada n N definimos { B n := w Ω 1 t B t(w) > n para algum t [ 0, n 4]}. É claro que B 1 B 2... B n... forma uma sucessão decrescente de subconuntos em Ω e, portanto P B n = lim P(B n). n n 1 Por outro lado, atendendo ao Exercício 3.3 o processo B (n) = (B (n) t ) t 0 definido por B (n) t := 1 n 2 B n 4 t é uma MB com distribuição N(0, t). Assim, como B n w Ω 1 B 1 (w) > n 1 n 4 n, 4 então P(B n ) P{w Ω n 4 B n 4(w) > n} = P{w Ω n 2 B 1 (w) > n} = P{w Ω B 1 (w) > n 1 }. Como B 1 0 P-q.c., então P(B n ) 1, n. Isto mostra que B não é diferenciável na origem.

17 CHAPTER 3. INTEGRAIS ESTOCÁSTICOS 53 Para provar que B não é diferenciável em qualquer ponto t ]0, [, procedemos do seguinte modo. Para cada t > 0 definimos o processo estocástico B s (t) = B t+s B t, s 0. Então pelo Exercício 3.2 B(t) = ( B s (t)) s 0 é um MB com distribuição N(0, s). Assim, B(t) não é diferenciável em s = 0, logo B não é diferenciável em t. Exercícios Exercício 3.1 Sea X uma variável aleatória com distribuição N(m, σ 2 ). 1. Calcule a função geradora de momentos de X, L X. Sugestão: Use o seguinte resultado dos integrais Gaussianos ( ) 1 e iλx 1 2σ 2 (x m)2 = exp imλ λ2 σ, λ R. 2πσ 2 R 2 2. Mostre que os momentos de ordem ímpar de X - MX 2n 1 e o de ordem par - MX 2n são dados por MX 2n 1 = 0, MX 2n = (2n)! 2 n n! σ2n := (2n 1)!!σ 2n. Exercício 3.2 (Invariância por translação) Seam (B t ) t 0 um movimento Browniano e t 0 > 0 fixo. Então, o processo estocástico ( B t ) t 0 definido por é um movimento Browniano. B t = B t+t0 B t0, t 0 Exercício 3.3 (Invariância por dilatação) Seam λ > 0 e (B t (.)) t 0 um movimento Browniano. Então, B (λ) = (B (λ) t ) t 0, definido por B (λ) t = B λt λ é um movimento Browniano.

18 CHAPTER 3. INTEGRAIS ESTOCÁSTICOS 54 Exercício 3.4 (Martingala exponencial) Mostre que M t := exp(σb t tσ 2 /2), t 0 é uma martingala relativamente à filtração de σ-álgebras (B t ) t 0 geradas pelo movimento Browniano (B t ) t 0. Exercício 3.5 Sea B = (B t ) t 0 o movimento Browniano e (B t ) t 0 a filtração natural associada a B. 1. Verifique se o processo estocástico (M t ) t 0 é ou não uma martingala relativamente a (B t ) t 0, onde M t := t 2 B t 2 t 0 sb s ds, t Mostre que o processo estocástico M t := B 3 t 3tB t, t 0 é uma martingala relativamente a (B t ) t Mostre que M t := B 2 t t, t 0 é uma martingala relativamente a (B t ) t Construção do integral de Wiener Sea (Ω, F, P) um espaço de probabilidade dado. Numa primeira fase vamos definir os integrais estocásticos para funções f determinísticas, isto é, f não depende do parâmetro aleatório w Ω. Neste caso os integrais obtidos são chamados integrais de Wiener. Definição 3.24 Uma função f : [0, t] R chama-se uma função em escada (ou função simples) sobre [0, t], denotada f E([0, t]), se existem uma partição 0 = t 0 < t 1 <... < t n = t e constantes f R tais que Norbert Wiener f (s) = f 1 [t,t )(s), s [0, t]. (3.6) Combinações lineares e produtos de funções simples ainda são funções simples, pelo que E([0, t]) é um espaço vectorial. O integral de Wiener para funções em escada é definido do seguinte modo.