FORMULÁRIO PROCESSOS ESTOCÁSTICOS E APLICAÇÕES MAEG-ISEG exp(x) = j=0. j+1 xj ( 1) j=1. ( 1) j x j for 1 < x < 1

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1 FORMULÁRIO PROCESSOS ESTOCÁSTICOS E APLICAÇÕES MAEG-ISEG 008 Desenvolvimentos em série log( + x) = ( + x) = exp(x) = X ( ) = Cadeias de Markov + x X x! for < x X ( ) x for < x < Equações de Chapman-Kolmogorov em forma matricial: P (m+n) = P (m) P (n) e portanto P (n) = P n Análise baseada no primeiro passo: Considere-se uma cadeia de Markov fx n g nita com estados n = 0; ; : : : ; N, numerados de tal modo que os primeiros r estados seam transientes, sendo os restantes r; : : : ; N estados absorventes. Sea U ik a probabilidade de absorção no estado k quando o processo se inicia no estado i (r k N; 0 i < r). Xr U ik = P ik + P i U k ; para i = 0; ; : : : ; r : Suponha-se que a cada estado transiente está associada uma taxa g(i), i = 0; : : : ; r. Sea w i a taxa média até à absorção quando o processo se inicia no estado i, Xr w i = g(i) + P i w ; para i = 0; ; : : : r : Sea P uma matriz de probabilidades de transição regular com espaço dos estados 0; ; : : : ; N. A distribuição limite = ( 0 ; ; : : : ; N ) é a única solução não negativa do sistema de equações = P NP k = : k=0

2 3 Processos de Poisson Num processo de Poisson não homogéneo, a distribuição do número de acontecimentos ocorridos entre s e s+t tem distribuição de Poisson com média dada por R s+t (u)du, s onde (u) designa a função de intensidade do processo. Sea fn(t); t 0g um processo de Poisson homogéneo. Se, X(t) = com Y 0 0 e fy g =;;:::;N(t) uma sucessão de v.a. i.i.d. e independentes de N(t) diz-se que fx(t); t 0g é um Processo de Poisson Composto. A função característica de X(t) é N(t) X Y ' X(t) (s) = expft[' Y (s) ]g onde ' Y (s) é a função característica comum das v.a. Y e é a intensidade do processo de Poisson. Tem-se que 4 Processo de nascimento Equações diferenciais, quando N(0) = 0: P 0 (t) = e 0t P n (t) = n E[X(t)] = te[y ]; V ar[x(t)] = te[y ]; 3 [X(t)] = te[y 3 ]: Z t e nt e nx P n (x)dx n = ; ; : : : 0 Quando os parâmetros 0 ; ; : : : são todos diferentes as equações anteriores podem ser resolvidas explicitamente, obtendo-se P (t) = 0 P 0 (t) = e 0t ; 0 e 0t + 0 e t ; P n (t) = 0 : : : n [B 0;n e 0t + : : : B n;n e nt ]; para n > ; onde e B 0;n = ( 0):::( n 0) ; B k;n = ( 0 k ):::( k k )( k+ k ):::( n k ); para k < n; B n;n = ( 0 n ) : : : ( n n ) :

3 Quando num processo de nascimento k = + k, para k = 0; ; : : :, obtem-se o processo de Yule com imigração. Neste caso as equações anteriores podem ser simpli- cadas, obtendo-se n + = P n (t) = e t e t n n = 0; ; : : : : n que corresponde à binomial negativa com parâmetros = e exp( t): Quando supomos que N(0) = n 0 as equações diferenciais são 0 0 (t) = n0 P n0 (t) Pn(t) 0 = n P n (t) + n P n (t) n > n 0 Quando num processo de nascimento k = k, para k = n 0 ; n 0 + ; : : :, em que n 0 representa o tamanho da população no instante 0, obtem-se o processo de Furry-Yule. Neste caso as equações diferenciais podem ser resolvidas explicitamente, obtendo-se n P n (t) = e n0t e t n n 0 n = n0 ; n n n 0 + ; : : : : 0 5 Processo de nascimento e morte Equações diferenciais progressivas: P 0 i (t) = P i; (t) ( + )P i (t) + + P i;+ (t) P 0 i0 (t) = 0P i0 (t) + P i (t) sueitas às condições iniciais P i (0) = i. Equações diferenciais regressivas: P 0 i (t) = ip i ; (t) ( i + i )P i (t) + i P i+; (t) i P 0 0 (t) = 0P 0 (t) + 0 P (t) sueitas às condições iniciais P i (0) = i. Distribuição limite ; = 0; ; :::: Se P 0 k < com 0 = ; = 0 : : : : : : ; ; tem-se que com = 0 ; = 0; ; ; : : : ; " # X 0 = k : k=0 3

4 Crescimento linear com imigração Um processo de nascimento e morte é designado por processo linear de crescimento com imigração quando n = n + a e n = n, com ; > 0. e a > 0. Neste caso 0 = ( =) a= e a= + = a= : Modelos de Reparação N máquinas, M em funcionamento (com M N), R capacidade de reparação. Cada máquina, quando em funcionamento, funciona durante um período aleatório exponencialmente distribuído com parâmetro, até avariar. O tempo de reparação de cada máquina é exponencialmente distribuído com parâmetro. X(t) - número de máquinas em boas condições em t. fx(t)g é um processo de nascimento e morte com número nito de estados com parâmetros n = minfn n; Rg e n = minfn; Mg: A distribuição estacionária toma formas simples nalguns casos particulares. Por exemplo quando M = N = R, tem-se que N = que corresponde à distribuição binomial. Filas de espera N ; + + Modelo (MM) = L = L q = = ( ) ; = =: Designando por T o tempo de espera no sistema, no caso estacionário, com < ; tem-se que T tem distribuição exponencial com parâmetro : Designando por T q o tempo de espera na la, no caso estacionário, com < ; tem-se que T q tem função de distribuição exp( ( )t); t 0 : 4

5 Modelo (MMs) ( =!) = 0 < s (s s =s!)(=s) 0 s 3 Xs 0 = 4! + s 5 : s!( ) L q = s ( ) ; com = = e = =s: Designando por T q o tempo de espera na la, no caso estacionário, com < ; tem-se que T q tem função de distribuição s exp( (s )t); t 0 : Caso de processos de nascimento e morte com o estado 0 absorvente ( 0 = 0) Sea u i a probabilidade de absorção no estado 0 quando o processso se inicia em i e então se P i= i < + tem-se e i = ::: i ::: i u = u m = P i= i + P i= i P i=m i + P i= : i Sea w i o tempo médio até à absorção partindo de i: Quando P i= i = + e P i= =( i i ) < + tem-se que w m = X i= m X + i i 6 Martingalas a tempo discreto X k k= =k+ : Desigualdade de Kolmogorov para supermartingalas não negativas: Sea fx n g uma supermartingala não negativa (X n 0, 8n). Então para qualquer m positivo, Prf max 0n< X n > mg E[X 0] m : 5

6 7 Movimento Browniano Sea fb(t)g t0 a ser um movimento Browniano standard. PrfT x tg = x= p t ; com T x = minf 0 : B() = xg: Com M(t) = max 0ut B(u); tem-se PrfM(t) xg = PrfT x tg: Sea #(t; t+s) a probabilidade de que B(t) tome o valor zero pelo menos uma vez no intervalo (t; t + s): Então #(t; t + s) = r t arccos t + s = r s arctan t : O movimento Browniano com parâmetro de deriva e coe ciente de difusão é o processo fw (t)g ; com W (t) = t + B(t). Sendo T ab = minft 0; W (t) = a ou W (t) = bg; tem-se: PrfW (T ab ) = bw (0) = xg = exp( x= ) exp( a= ) exp( b= ) exp( a= ) fx(t)g t0 é um movimento Browniano geométrico, começando em X(0), se X(t) = X(0) exp No movimento Browniano geométrico: t + B(t) : Fórmula de Black-Scholes: E[X(t)] = X(0) exp(t) V ar[x(t)] = X(0) exp(t) exp( t ) E[e rt (X t K) + ] = X 0 ( p t ) e rt K( ) com = (log(k=x 0 ) t)=( p t) e = r =; sendo r a taxa de uro, t a maturidade e K o preço de exercício. 6

7 8 Distribuições Nome da Família Função de Probabilidade Valor Função Geradora Paramétrica de ou Função de Densidade Espaço dos Esperado Variância Momentos α r = E(X r ) de Momementos Distribuições de Probabilidade Parâmetros µ = E(X) σ = E[(X µ) ] ou µ r = E[(X µ) r ] M(r) =E[e rx ] Binomial Poisson Binomial Negativa Uniforme Normal Lognormal Gama Pareto N x p x q N x x =0,,...,N e λ λ x x! x =0,,... α + x x x =0,,... b a a<x<b p α q x (x µ) σ π e σ <x<+ (ln x µ) xσ π e σ x>0 βα Γ(α) e βx x α x>0 αβ α (β + x) α+ x>0 0 p (q = p) N =,,... Np Npq µ 3 = Npq(q p) (q + pe r ) N λ>0 λ λ µ 3 = λ e λ(er ) 0 p (q = p) α>0 <a<b<+ <µ<+ σ>0 <µ<+ σ>0 α>0 β>0 α>0 β>0 αq αq µ p p 3 = α(q + q ) p 3 0 r ímpar a + b (b a) µ r = (b a) r r par r (r +) 0 r ímpar µ σ µ r = r!σ r r par (r/)! r/ p α ( qe r ) α e br e ar (b a)r e µr+ σ r e µ+ σ e µ+σ e µ+σ α r = e rµ+ r σ Não existe α β β α para α> α Γ(α + r) β α r = β r Γ(α) αβ (α )(α ) para α> α r = para Γ(α r) β r r! Γ(α) α>r α r β r<β Não existe