Modelagem de um sistema por cadeias de Markov

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1 Modelagem de um sistema por cadeias de Markov Sistemas sem memória : somente o estado imediatamente anterior influencia o estado futuro. rocesso estacionário: probabilidades de transição de um estado para outro são as mesmas em qualquer instante de tempo. roblema: Encontrar as probabilidades de transição a partir de dados históricos ou experimentais; Encontrar as probabilidades limites do sistema estar em cada um dos seus estados.

2 Matriz de transição Matriz de transição estocástica ( estados): Soma de cada linha = ij = probabilidade da transição do estado i para o estado j, depois de intervalo de tempo, dado que o sistema estava no estado i no início do intervalo.

3 robabilidades de Estados As probabilidades do sistema estar nos estados e após n períodos de tempo: n n n e são as condições iniciais do sistema: se o sistema partir do estado, = e =, e vice-versa caso partir do estado. 3

4 robabilidades limite Sob certas condições, as probabilidades de estado estabilizamse após vários períodos de tempo em determinados valores, denominadas probabilidades limite (ou de regime permanente) da cadeia de Markov. As probabilidades serão denominadas e para o caso de dois estados, e satisfazem à equação: Sabendo-se que + = 4

5 Exemplo rocesso com dois estados possíveis: tempo bom e tempo ruim / / Tempo bom () /4 Tempo ruim () 3/4 5

6 robabilidades de transição Como estará o tempo após transições ( dias), supondo que a condição inicial seja tempo bom estado : árvore de probabilidades. / / / / /4 3/4 t (CI) / / 3/8 5/8 CI: t = t = t = 6

7 Exemplo Continuação Matriz de transição: / / 4 / 3/ 4 Após intervalos de tempo: / / 4 / 3/ 4 3/8 5/6 5/8 /6 Após n intervalos de tempo: n / / 4 / 3/ 4 n 7

8 Exemplo robabilidades Limite Após estados quais são as probabilidades do sistema estar nos estados e? Supondo = e = : 3/8 5/6 3/8 5/8 Supondo = e = : 5/8 /6 3/8 5/6 5/8 /6 5/6 /6 8

9 Exemplo robabilidades Limite / / 4 / 3/ 4 (/ ) (/ ) (/ 4) (3/ 4) Eqs. Linearment e Dependentes Mas, sabe-se que + = (/ ) (/ 4) robabilidades limite (/ 4) (/ ),3333, 6667 (3/ 4) (3/ 4) 9

10 Exemplo - robabilidades Limite robabilidades de estado em função das condições iniciais: estado ou,9,8,7,6,5,4,3,, Tempo () () () () A condição inicial modifica as probabilidades transitórias, mas não as probabilidades limite, que permanecem as mesmas.

11 Aplicação de Cadeias de Markov: um componente sujeito a renovação rocessos a arâmetros Contínuos e Estados Discretos, com restauração (possibilidade de reparo taxa de reparo ). Seja um sistema com um único componente sujeito à renovação com taxas de falha e reparo caracterizadas por distribuições exponenciais: - Operando () Falhado () -

12 robabilidades limite ( ) ( ) ( ) ( ) Eqs. L.D. Lembrando: TM TM Mas, sabe-se que + = TMF TMR TMF TMF TMR TMR TMF TMR

13 Exemplo - Continuação Sabendo que taxa de falha igual a / (probabilidade de tempo mudar de bom para ruim) e que taxa de reparo igual a /4 (probabilidade de tempo mudar de ruim para bom, as probabilidades limites de cada estado (- tempo bom e tempo ruim) serão: / 4 / / 3 / / / 4 / / 4 3 3

14 Disponibilidade e Indisponibilidade Disponibilidade A(t) (Availability): probabilidade do elemento estar disponível em qualquer tempo, em um processo sujeito a reparo. Indisponibilidade U(t) (Unavailability): A(t) + U(t) = A(t) U(t) 4

15 Aplicação de Cadeias de Markov: componentes sujeitos a renovação Seja um sistema com dois componentes sujeitos à renovação com taxas de falha e reparo caracterizadas por distribuições exponenciais: O em operação; NO Fora de operação. 3 O O O NO NO NO 5

16 Matriz de transição Cadeia de Markov: apenas transição entre estados adjacentes. ij = ij t

17 Exemplo 3 Suponha um gerador elétrico que tenha taxas de falha e de reparo constante: =, falhas/hora; =,49 ocorrências/hora Calcule as probabilidades limite do gerador estar nos estados de operação e não operação.,49 operar,99796,,49 não operar,,,49,4 7

18 Exemplo 4 Sejam agora dois geradores elétricos idênticos, que tenham taxas de falha e de reparo constante: =, falhas/hora; =,49 ocorrências/hora Calcule as probabilidades limite do sistema formado pelos dois geradores estar nos estados: ambos operando, apenas um operando, nenhum operando.,49 (,,49),,49 (,,49),9959,4, (,,49) 3 8

19 rocessos Estocásticos Normais ou Gaussianos X t é normal/gaussiano se X t (t ),..., X t (t n ) forem normais conjuntas para qualquer n componentes de um vetor aleatório gaussiano X de dimensão n. Completamente caracterizados por média e autocorrelação (autocovariância). X t gaussiano na entrada de um filtro linear Y t na saída será também gaussiano => teorema de combinações lineares. X t gaussiano estacionário no sentido amplo será também no estrito. 9

20 rocesso de Wiener (movimento Browniano) rocesso estocástico Xt será de Wiener se: For um processo normal. Tiver incrementos independentes estacionários. μ t = E[X t ] = para todos os t. Autocorrelação: R(t,t ) = a min(t, t ).

21 rocesso Ruído Branco Gaussiano Modelo para o ruído térmico em condutores: contamina sinal que chega a um receptor. Ruído observado em um osciloscópio. Ruído em uma TV sem canal sintonizado. ara um processo ruído branco gaussiano X t com t [-, ] E[X t ] = C(t,t ) = E[X t X t ]