Capítulo 3 Processos de Poisson

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1 Capítulo 3 Processos de Poisson Exercício 31 Este exercício decorre de desenvolvimentos efectuados nas aulas teóricas e do Exercício (6) Exercício 32 Procedendo como no Exercício 4, conclui-se que a distribuição de X(t) condicional a N(t) n é Binomial(n,p), n IN, e X(t) Poisson (λtp) Exercício 33 Seja, para n IN, S n o instante (h) de ocorrência da n-ésima comunicação de nascimento Com S, decorre do enunciado do exercício que: {S n S n 1, n 1} iid Exponencial(1/2) e logo a função densidade de probabilidade de S n, n 1, é dado por: f Sn (s) e s/2 1 2 e S n Erlang (n,1/2), n IN (s/2) n 1 (n 1)! I (, )(s) Seja ainda, para t, N(t) o número de notificações de nascimentos efectuadas no intervalo de tempo (em horas) (,t] Da falta de memória da distribuição exponencial pode concluir-se que o processo de contagem {N(t), t } possui incrementos independentes e estacionários A distribuição de N(t) pode ser calculada do seguinte modo Para t, P(N(t) ) P(S 1 > t) e t/2 e, para k IN, P(N(t) k) E [P(N(t) k) S k ] e s/2 1 2 pelo que X(t) Poisson (t/2), para t f Sk (s)p(x k+1 > t s)ds (s/2) k 1 (k 1)! e (t s)/2 t/2 (t/2)k e (a) Uma vez que um ano tem horas, o número esperado de registo anuais é E[N(876)] 876/2 438 Uma alternativa directa para o cálculo de E[N(t)] é: E[N(t)] P(N(t) k) P(S k t) f Sk (s)ds k1 k1 e s/2 1 2 k1 (s/2) k 1 (k 1)! ds 1 2 k1 [ k s/2 (s/2)k e ] ds t 2 (b) Uma vez que {N(t), t } possui incrementos estacionários e um dia tem 24 horas, a probabilidade do funcionário responsável pela introdução dos registos ficar desocupado durante um dia inteiro é P(N(24) ) e 12 (c) A probabilidade pedida é P(N(3 24) 1 N(2 24) 8) Atendendo em sequência ao facto de {N(t), t } possuir incrementos independente e incrementos estacionários, a probabilidade pedida é: P(N(72) 1 N(48) 8) P(N(72) N(48) 2 N(48) 8) P(N(72) N(48) 2) P(N(24) 2) e 2!

2 Exercício 34 Sejam S A, S B e S C a duração (m) do atendimento dos clientes A, B e C, respectivamente, e sejam T A, T B e T C os instantes (m) em que os clientes A, B e C acabam de ser atendidos Pretende calcular-se nas três alíneas do exercício P(T A > max(t B,T C )) Como, das condições do enunciado resulta que T A S A, T B S B e T C min(s A,S B ) + S C, a probablidade pedida é igual a P(S A > S B + S C ) (a) Aqui S A S B S C 1, pelo que P(S A > S B + S C ) (b) Como {S A,S B,S C } iid Uniforme Discreta({1, 2, 3}), P(S A > S B + S C ) P(S A 3,S B 1,S C 1) 1/3 3 1/27 37 (c) Como {S A,S B,S C } iid Exponencial(µ), tem-se (S B +S C ) Erlang(2,µ) e S A (S B +S C ), de modo que: P(S A > S B + S C ) E [P(S A > S B + S C S B + S C )] µ 2 s e µs e µs ds µ 2 f SB +S C (s)p(s A > s)ds s 2µ e 2µs ds µ 2 1 2µ 1 4 Exercício 35 Designando por N o número de experiências efectuadas e por Z k, k IN, o resultado da k-ésima experiência, tem-se: N Poisson (λ), {Z k, k 1} iid Z, com Z com função massa de probabilidade {p i, 1 i n} e N é independente da sucessão {Z k, k 1} Daqui resulta que se designarmos por W i o número de experiências efectuadas cujo resultado é i, 1 i n; ie W i N k1 1({Z k i}), [(W 1,W 2,,W n ) N m] Multinomial (m,p 1,p 2,,p n ), m IN e logo (verifique!) W 1, W 2,, W n são variáveis aleatórias independentes, W i Poisson (λp i ) e, para j IN, X j 1({W i j}) i1 Y ij com Y ij 1({W i j}), 1 i n i1 Considere-se j IN fixo Uma vez que as variáveis aleatórias W i são independentes, as variáveis aleatórias Y ij, 1 i n, são também independentes e, como W i Poisson (λp i ) e Y ij Bernoulli(P(W i j)), tem-se: E[Y ij ] e λp i (λp i) j e Var[Y ij ] e λp i (λp i) j e 2λp i (λp i) 2j () 2 Usando a relação anterior e a independência das variáveis aleatórias Y ij, 1 i n, tem-se: E[X j ] Var[X j ] E [Y ij ] i1 Var [Y ij ] i1 i1 e λp i (λp i) j i1 e λp i (λp i) j i1 e 2λp i (λp i) 2j () 2 Exercício 36 Como N(t) Poisson (λt), E[N(t)] Var[N(t)] λt, e, atendendo a que o processo {N(t), t } possui incrementos independentes, Cov(N(t),N(t + s) N(t)), para todo o s, t Em consequência: 36

3 (a) Cov(N(t),N(t + s)) Cov(N(t),N(t) + [N(t + s) N(t)]) Var[N(t)] λt (b) E[N(t)N(t + s)] Cov(N(t),N(t + s)) + E[N(t)]E[N(t + s)] λ 2 t(t + s) + λt (c) Para s,t, n IN e k {,1,,n}, em virtude de {N(t), t } possuir incrementos independentes e estacionários, P(N(s) k N(s + t) n) é igual a: P(N(s) k,n(s + t) N(s) n k) P(N(s + t) n) P(N(s) k)p(n(s + t) N(s) n k) P(N(s + t) n) P(N(s) k)p(n(t) n k) P(N(s + t) n) ( ) ( ) n s k ( ) t n k k s + t s + t Exercício 37 Para r > e z (z 1,z 2 ) IR 2 defina-se B r (z) por B r (z) { y (y 1,y 2 ) IR 2 : (y 1 z 1 ) 2 + (y 2 z 2 ) 2 r 2} Assumindo, sem perda de generalidade, que o ponto arbitrário escolhido é a origem do plano, (,), seja N i (r) o número de eventos do processo de Poisson bidimensional i em B r (), para i 1,2; uma vez que a área de B r () é igual a πr 2, conclui-se que N i (r) Poisson (λ i πr 2 ) Deste modo, para i 1,2 e x >, P(X i > x) P(N i (x) ) exp{ λ i πx 2 }, pelo que P(X i x) [ 1 e λ iπx 2] I (, ) (x), i 1,2 (a) Para i 1,2, f Xi (x) d dx P(X i x) 2λ i πxe λ iπx 2 I (, ) (x) (b) Para i 1,2, como X i é uma variável aleatória não negativa, E[X i ] P(X i > x)dx e λ iπx 2 dx 1 1 e y2 1 2 dy [1 Φ()] 1 λi 2π λi 2 λ i (c) Uma vez que P(X 1 < X 2 ) E[P(X 1 < X 2 X 2 )], tem-se: P(X 1 < X 2 ) 1 λ 2 λ 1 + λ 2 f X2 (x)p(x 1 < x)dx 2λ 2 πxe λ 2πx 2 ( 1 e λ 1πx 2) dx 2(λ 1 + λ 2 )πxe (λ 1+λ 2 )πx 2 dx 1 λ 2 λ 1 + λ 2 λ 1 λ 1 + λ 2 (d) O resultado é consequência de, pelo facto de X 1 e X 2 serem independentes, para x > : P(min(X 1,X 2 ) x) 1 P(X 1 > x)p(x 2 > x) 1 e (λ 1+λ 2 )πx 2 Pode concluir-se (verificando a validade das condições (i) e (ii) da definição do processo de Poisson bidimensional) que a adição de processos de Poisson bidimensionais independentes é um processo de Poisson bidimensional com intensidade igual à soma das intensidades dos processos individuais 37

4 Exercício 38 A função densidade de probabilidade conjunta de Y (S 1,S 2,S 3 ) é: f Y (s 1,s 2,s 3 ) λ 3 e λs 3 1({ < s 1 < s 2 < s 3 }) Exercício 39 A probabilidade de se registar a entrada de pelo menos n homens antes do registo da entrada de m mulheres é: m 1 k ( k + n 1 k )( ) µ k ( ) λ n λ + µ λ + µ Exercício 31 A probabilidade do João se despachar antes do Evaristo é 3/7 Exercício 311 Exercício resolvido nas aulas de problemas Exercício 312 Exercício essencialmente resolvido nas aulas teóricas Exercício 313 Apenas {Z 1 (t), t } é um processo de Poisson, sendo a respectiva taxa λ 1 +λ 2 Exercício 314 A probabilidade de não chegar nenhuma mensagem no período da manhã (8h às 12h) é e Seja T a hora a que chega a primeira mensagem da tarde, tem-se: P(T t) [ 1 e 3(t 12)] I [12,+ ) (t) Exercício 315 Seja N(t) o número de automóveis que passam no referido troço de auto-estrada nos t segundos iniciais, de modo que {N(t), t } PP(1/2) (a) A probabilidade de o Evaristo conseguir escapar ileso se a referida travessia demorar s segundos é P(N(s) ) e s/2, a qual é aproximadamente igual a 95, 779, 67, 368 para s 2, 5, 1, 2, respectivamente (b) Agora a probabilidade de o Evaristo conseguir escapar ileso se a referida travessia demorar s segundos é P(N(s) 1) (1 + s/2)e s/2, a qual é aproximadamente igual a 995, 974, 91, 736 para s 2, 5, 1, 2, respectivamente Exercício 316 Seja N(t) o número de encomendas do produto nos primeiros t dias, de modo que {N(t), t } PP(3) (a) A probabilidade de não haver unidades para venda a partir das horas de terça-feira é P(N(1) 15) 1 14 k e 3 3 k / (b) A probabilidade de terem sido vendidas todas as unidades em stock até às 24 horas de sábado é P(N(6) 15) 1 14 k e k / 7919 (c) O número esperado de unidades destruídas em cada semana é 14 E[(15 N(6)) + ] (15 k)e k 18 18k 5544 Exercício 317 O tempo máximo que o semáforo pode estar fechado (x) de modo a garantir que a probabilidade de haver um engarrafamento na via principal provocado por veículos que pretendem virar para a via 2 seja de (na alínea (b) aproximadamente) 5 é solução de: (a) k n e λpx (λpx) n / 95 (b) L/b n e λpx (λpx) n + L/a n L/b +1 e λpx (λpx) n Φ ( L n a+b 2 n(b a) 2 /12 ) 95 38

5 Exercício 318 (a) N Geométrica Modificada(e 5/3 ) e o terceiro quartil de N é 6 (c) E[Y N ] E[E[Y N N]] 6e 5/ (d) P(N n) ( 1 e λy/6) n e λy/6, n IN (e) E[Y N ] E[E[Y N N]] 6 λ (eλy/6 1) y Exercício 319 E[N(Y )] λe[y ] e Var[N(Y )] λe[y ] + λ 2 Var[Y ] Exercício 32 (a) O número esperado de clientes não servidos diariamente devido ao produto não ter sido ainda distribuído é 8 (b) A distribuição do intervalo de tempo entre chegadas de clientes premiados é Erlang(2, λ) (c) A probabilidade de ter-se que atribuir exactamente 1 prémios é 219 2n n2 e 2 (d) {Y (t), t } não é um processo de Poisson porque, pela alínea (b), a distribuição do intervalo de tempo entre chegadas sucessivas de clientes premiados não é exponencial ( ) n Exercício 321 P(N n) µ λ λ+µ λ+µ I IN (n) Exercício 322 X 1 Exponencial(λ 1 + λ 3 ) e X 2 Exponencial(λ 2 + λ 3 ) Exercício 323 (a) P (X 1 > n i2 X i) 2 (n 1) (c) O tempo esperado que decorre até observar eventos em todos os processos de um conjunto de três processos de Poisson independentes de taxa 1 por hora é 11/6 Exercício 324 (b) X(t) Poisson (t), t (d) E[N(1) X(1) 16] 36 (e) P(X(2/6) 2 X(1) 2) 1/9 Exercício 325 Exercício essencialmente resolvido nas aulas teóricas Exercício 326 (a) A probabilidade de passar pelo menos um Porsche no período de 1h é 1 e (b) O número esperado de automóveis que passaram no período de 1h, sabendo que 1 deles eram da marca Porsche, é 67 (c) A probabilidade de terem passado 5 Porsches ao fim de 1h, sabendo que nesse mesmo período passaram 5 carros pelo referido ponto da estrada, é ( 5 5 ) Exercício 327 Note-se que, para u t, N(u) Poisson (λu) e (N(t) N(u)) Poisson (λ(t u)) são variáveis aleatórias independentes 39

6 (a) O resultado é consequência de P(S r u,n(t) n) P(N(u) r,n(t) n) P(N(u) k)p(n(t) N(u) n k) kr (b) O resultado decorre da alínea (a) e do facto de P(S r u) nr P(S r u,n(t) n) Exercício( 328 A distribuição do número de autocarros com depósito por encher no instante t é Poisson λ ) [1 G(s)]ds Exercício 329 Seja N(t) o número de clientes que chegam ao estabelecimento comercial no intervalo de tempo [8h,(8 + t)h], para t 9 {N(t), t 9} PPNH(λ()) (a) A função de intensidade do processo de chegadas de clientes e o número esperado de clientes que visitam o estabelecimento num dia são, respectivamente: 4 t < t < 4 λ(t) e E[N(9)] 4 + t 4 t < t 6 t 9 9 λ(t)dt 63 (b) A probabilidade do número de chegadas entre as 13h e as 15h ser superior a 5 é: P(N(7) N(5 ) > 5) 1 5 k e k 9998 e e a probabilidade de não ocorrerem chegadas nesse intervalo de tempo é: P(N(7) N(5 ) ) e Exercício 33 (a) Não, a menos que a função intensidade seja constante (b) Para t 1,t 2 e com Λ(s) s λ(u)du, tem-se: P(T 1 > t 1,T 2 > t 2 ) + t 1 λ(s)e Λ(s+t 2) ds Exercício 331 Seja {N(t), t } PPNH({Λ(t) t 2 + 2t, t }) (a) A probabilidade de ocorrerem exactamente n eventos entre os instantes 4 e 5 é: P(N(5) N( n ) n) e I IN (n) (b) A função de intensidade do processo é λ(t) 2(t + 1), t Exercício 332 {N(t), t } PPNH({Λ(t) t(t + 1), t }) (a) P(N(3) N(1 ) 2) e ! 5e

7 (b) P(N(3) N(2) 2 N(3) N(1 ) 2) 9/25 36 (c) P(S N(2)+1 2 x) [ 1 e x(x+5)] I [,+ ) (x) (d) P(3 S N(3) x) [ 1 e x(7 x)] I [,3) (x) + I [3,+ ) (x) (e) O valor esperado dos dividendos recebidos até ao instante 1 é 21 41/e 5917 (f) {N (t), t } PP(1) (g) {N + (t) N ( t), t } não é um processo de renovamento, possui incrementos independentes e não possui incrementos estacionários Exercício 333 (a) E[X(4)] $4 e Var[X(4)] ($ ) 2 (b) Cov(X(s),X(t)) Var[X(s)] ($ ) 2, com s t (c) Cov(Y (s),y (t)) Var[Y (s)] λs E[Z 2 ], para s t, sendo λ a taxa de chegadas do processo de Poisson subjacente e Z a distribuição dos incrementos do processo {Y (t), t } nos instantes de ocorrência de chegadas no processo de Poisson Exercício 334 A intensidade Λ do processo de Poisson condicional {N(t), t } descrito possui distribuição Gama(m, α), E[Λ] m/α e: P(N(t + h) N(t) 1 N(t) n) lim m + n E[Λ N(t) n] h + h α + t Exercício 335 A probabilidade de não chegarem clientes ao centro de reservas num período de t horas de um dia é (1 + t/4) 1 41