Licenciatura em Matemática Aplicada e Computação PROCESSOS ESTOCÁSTICOS 2008/09 LMAC

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1 Licenciatura em Matemática Aplicada e Computação INTRODUÇÃO AOS PROCESSOS ESTOCÁSTICOS 2008/09 LMAC Colectânea e Enunciados de Exames de 2007/2008 1

2 Capítulo 0 Revisões Exercício 0.1 Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes. Mostre que: (a) Se X Poisson(λ) e Y Poisson(µ), então X + Y Poisson(λ + µ). (b) Se X Binomial(n,p) e Y Binomial(m,p), então (X + Y ) Binomial(n + m,p). (c) Se X Geométrica(p) e Y Geométrica(p), então (X + Y ) Binomial Negativa(2, p). Exercício 0.2 Sejam X, Y e Z variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com distribuição geométrica de parâmetro p, 0 < p < 1. (a) Determine P(X = Y ). (b) Calcule a função de probabilidade condicional de X dado X + Y = n. Identifique a distribuição em causa. (c) Calcule P(X + Y = Z). Exercício 0.3 (Falta de memória e seu uso na caracterização das distribuições geométrica e exponencial). Diz-se que uma variável positiva X, com valores em S, S = IN ou S = IR +, não tem memória se para x,y S: P(X > x + y X > x) = P(X > y). (a) Mostre que se X tem distribuição geométrica, então X não tem memória. (b) Mostre que se X é uma variável aleatória discreta com valores em IN e sem memória, então X tem distribuição geométrica. (c) Mostre que se X tem distribuição exponencial, então X não tem memória. (d) Mostre que se X é uma variável aleatória positiva (absolutamente) contínua e sem memória, então X tem distribuição exponencial. Exercício 0.4 O número de frutos produzidos por uma árvore é uma varável aleatória X. Alguns destes frutos, em número de Y, são atacados por uma larva, o que os torna impróprios para consumo. Supondo que X possui distribuição de Poisson de parâmetro λ e ainda que cada fruto é atacado pela larva com probabilidade p, independentemente dos outros frutos, determine: 2

3 (a) A função de probabilidade de Y condicional a X = n, com n IN. (b) A função de probabilidade de Y. (c) Conclua que o número de frutos da árvore que são atacados por larvas (Y ) é independente do número de frutos que não são atacados por larvas (X Y ) e que estas variáveis aleatórias possuem distribuições de Poisson de parâmetros λp e λ(1 p), respectivamente. (d) Suponha que Z e W são variáveis aleatórias independentes com distribuições de Poisson de parâmetros α e β, respectivamente. Com base nos resultados das alíneas anteriores, adivinhe a distribuição de Z condicional a Z + W = n, n IN, e averigue da validade da proposta de distribuição que tenha sugerido. Exercício 0.5 Suponha que X Exponencial(λ), Y Exponencial(µ) e X e Y são independentes. Devido a censura, é impossível observar X e Y directamente; em sua substituição observam-se Z e W, Z = min(x,y ) e W = (a) Caracterize a distribuição conjunta de Z e W. (b) Prove que Z e W são independentes. { 1 Z = X 0 Z = Y. Exercício 0.6 Mostre que se (X 1,X 2,...,X n ) é uma amostra aleatória de X Exponencial(λ), então (com X 0:n = 0): (a) X 1:n X 0:n,X 2:n X 1:n,...,X n:n X n 1:n são variáveis aleatórias independentes e (X i:n X i 1:n ) Exponencial((n i + 1)λ). (b) Calcule, para 0 a b, P(X 1:n a,x n:n b). Exercício 0.7 O número de entrevistas marcadas por um vendedor em qualquer dia é uma variável aleatória com distribuição de Poisson de parâmetro µ. A probabilidade de uma entrevista resultar numa venda é de 0.5. Determine (se os seus cálculos levarem a uma série, ela deve ser somada): (a) A probabilidade de o vendedor conseguir exactamente uma venda num dia arbitrário. (b) O valor esperado do número de entrevistas efectuadas em dias em que o vendedor consegue apenas uma venda. Exercício 0.8 Um homem tem n chaves e quer abrir uma porta. O homem experimenta as chaves duma forma aleatória. Seja N o número de tentativas necessárias para abrir a porta. (a) Calcule E(N) e Var(N), se as chaves anteriormente experimentadas e que não abrem a porta: (i) forem eliminadas; e (ii) não forem eliminadas. (b) Comente os resultados obtidos na alínea anterior. Exercício 0.9 Sabendo que Λ Exponencial(µ) e (X Λ = λ) Poisson(λ), para λ > 0, determine a distribuição de X. 3

4 Exercício 0.10 Seja N a variável aleatória que representa o número de clientes diários numa loja. Suponha que as quantias gastas pelos clientes são independentes e têm valor médio µ e variância σ 2. Determine o valor médio e a variância da quantia total gasta diariamente na loja. Exercício 0.11 Suponha que N pessoas vão a uma festa e colocam os seu chapéus no centro de uma sala onde se misturam completamente; no final da festa, cada pessoa retira ao acaso um chapéu. Calcule o valor esperado e a variância do número de pessoas que, no final da festa, retiram o seu chapéu. Exercício 0.12 Uma urna contém n bolas vermelhas e m azuis, com n > m, as quais são removidas uma de cada vez. Mostre que a probabilidade de que haja sempre mais bolas vermelhas na urna que bolas azuis (até a última ser removida) é (n m)/(n + m). Exercício 0.13 A polícia sabe que um perigoso criminoso se encontra na cidade A com probabilidade 0.3, na cidade B com probabilidade 0.6 ou então fugiu do país. Se ele estiver na cidade i e N i (i = A,B) polícias forem destacados para o capturar ele é apanhado com probabilidade 1 p N i (0 < p < 1), se tiver saído do país não é apanhado. Admita que as variáveis aleatórias N i são independentes e com funções de probabilidade: P(N A = n) = 2n e 2, n IN 0 e P(N B = n) = 2 n,n IN. n! (a) Qual é a probabilidade de um total de 3 polícias serem envolvidos na captura? (b) Qual é a probabilidade do criminoso ser capturado? (c) Sabendo que o criminoso foi capturado numa cidade em que k polícias o procuraram, qual é a probabilidade de ele ter sido capturado em B? Exercício 0.14 Componentes electrónicas para exportação são embaladas em caixas que por sua vez são metidas em contentores. O peso, em gramas, de cada componente é uma variável aleatória X com distribuição exponencial de parâmetro λ, o número de componentes por caixa é uma variável aleatória N com distribuição de Poisson de parâmetro µ e o número de caixas por contentor é uma variável aleatória K com distribuição geométrica de parâmetro p. Supondo que X, N e K são mutuamente independentes, determine: (a) A probabilidade de um contentor seleccionado ao acaso conter apenas uma componente. (b) O valor esperado do peso total das componentes contidas num contentor. Exercício 0.15 Sejam X 1,X 2,... variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com distribuição uniforme em (0,1) e definam-se: N x = [min {n IN : X n < X n 1 } X 0 = x] e h(x) = E (N x ), com 0 x 1. (a) Obtenha uma equação integral para h(x) por condicionamento em X 1 e conclua dessa equação que h(x) é decrescente em [0,1]. (b) Diferencie ambos os membros da equação obtida em (a). (c) Resolva a equação obtida em (b). 4

5 (d) Para uma segunda abordagem de cálculo de h(x) argumente que P(N x k) = (1 x)k 1, 0 x 1. (k 1)! (e) Indique o intervalo em que h(x), 0 x 1, assume valores. Exercício 0.16 Um grande número de pessoas, N = mk, são submetidas a um teste de sangue. O teste pode ser administrado de dois modos: (i) Cada pessoa é testada individualmente. (ii) As amostras de sangue de k pessoas são juntas e testadas simultaneamente. Se o resultado do teste for negativo, não é necessário fazer mais testes para este grupo de pessoas. Se o resultado for positivo, cada uma dessas k pessoas é testada individualmente, em seguida. Assuma que a probabilidade, p, de que o resultado de um teste individual seja positivo é a mesma para todas as pessoas e que os resultados para pessoas diferentes são independentes. (a) Calcule a probabilidade de que o teste para k pessoas em simultâneo dê resultado positivo. (b) Calcule E(X j ), onde X j é o número de testes efectuados segundo o plano (j), para j = i,ii. (c) Se p fôr próximo de zero e se pretender escolher o plano de teste com menor número esperado de testes, que plano que deve ser escolhido? Justifique. Exercício 0.17 Sejam Z 1,Z 2,...,Z N variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com valores em {1, 2,..., k} e seja X N = número de valores distintos em Z 1,Z 2,...,Z N. (a) Calcule E(X N ), com N IN. (b) Calcule E(X N ) no caso em que N Poisson(λ) e Z i Uniforme({1,2,...,k}). Exercício 0.18 Sejam {X k,k 1} variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com distribuição Bernoulli(p) e defina-se n S n = X i, n 1. Mostre que S n tem distribuição binomial usando o seguinte método: (a) Prove que para n 1 e 1 k n + 1, P(S n+1 = k) = p P(S n = k 1) + (1 p)p(s n = k). i=1 (b) Resolva a equação recursiva anterior usando funções geradoras de probabilidades. Exercício 0.19 Sejam {X k,k 1} e N variáveis aleatórias com variância finita e assumindo valores em IN 0, tais que {X k,k 1} são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas e são independentes de N. Use funções geradoras de probabilidades para mostrar que: ( N Var i=1 X i ) = E(N)Var (X 1 ) + E 2 (X 1 ) Var(N). 5

6 Exercício 0.20 Suponha que X é uma variável aleatória inteira e não negativa com função massa de probabilidade {p k }. (a) Admita que se observam X componentes e cada uma delas é, independentemente das restantes, defeituosa com probabilidade s (0 < s < 1). Qual é a probabilidade de todas as componentes observadas serem defeituosas? (b) Suponha que T é uma variável aleatória geométrica, independente de X, tal que para n IN 0 : P(T n) = s n, 0 < s < 1. Calcule P(T X) e compare esse valor com o valor obtido em (a). Exercício 0.21 Um mineiro está preso numa mina com três portas. A primeira porta dá acesso a um túnel que o conduz à liberdade ao fim de duas horas. A segunda porta dá acesso a um túnel que o conduz ao mesmo local ao fim de três horas. E a terceira dá acesso a um túnel que o conduz ao mesmo local ao fim de cinco horas. Supondo que o mineiro tem sempre a mesma probabilidade de escolher qualquer uma das portas, calcule a função geradora de momentos da variável aleatória X que representa o tempo necessário para alcançar a liberdade. Qual é o número esperado de horas que o mineiro leva até alcançar a liberdade? Exercício 0.22 Seja X 1,X 2,... uma sucessão de variáveis aleatórias tais que X n possui função de distribuição F n (x) = 0 x < n x+n 2n n x < n 1 x n Será que F n converge para uma função de distribuição? Exercício 0.23 Seja X 1,X 2,... uma sucessão de variáveis aleatórias independentes tais que para k = 1,2,... P (X k = 1) = 1 P ( X k = k 2) = 1 1 k 2.. Verifique que: [ n ] E X k k=1 k=1 1 k 2 = π2 6 mas n k=1 X k q.c.. Exercício 0.24 Admita que para n = 1,2,..., X n tem distribuição uniforme em {0,1,...,n}. Mostre que X n n d Uniforme[0, 1]. Nota: Este resultado é muito importante para a geração de números pseudo-aleatórios da distribuição uniforme em computador, uma vez que estes utilizam matemática discreta. Exercício 0.25 Mostre que se X n Bernoulli(p n ), n = 1,2,... e X Bernoulli(p), então: X n d X p n p. 6

7 Exercício 0.26 Seja X 1,X 2,... e Y 1,Y 2,... sucessões independentes de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas tais que E(X 1 ) = α, Var(X 1 ) = σ 2, E(Y 1 ) = β( 0) e Var(Y 1 ) = τ 2. Designando, para n IN, determine a distribuição limite de X n = n i=1 X i n n i=1 e Ȳ n = Y i, n Z n = n X n α Ȳ n. Exercício 0.27 Seja X 1,X 2,... uma sucessão de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas não-negativas, com função densidade f satisfazendo λ def = lim x 0 f(x) > 0. Mostre que n min(x 1,X 2,...,X n ) d Exponencial (λ). 7

8 Capítulo 1 Introdução aos Processos Estocásticos Exercício 1.1 O número de sinais emitidos por uma fonte no intervalo (0,t], N(t), tem distribuição Poisson (λt). Cada sinal emitido é registado por um receptor com probabilidade p, independentemente dos restantes sinais emitidos. Seja X(t) o número de sinais registados pelo receptor no intervalo (0,t]. (a) Calcule a função de probabilidade de X(t) condicional a N(t) = n. (b) Determine a distribuição de X(t). Exercício 1.2 O ministério da saúde de um pequeno país é responsável pelo registo, numa base de dados, de todos os nascimentos que ocorrem nesse país. Suponha que os intervalos entre duas notificações consecutivas de nascimentos são independentes e distribuem-se exponencialmente com valor esperado de 2 horas. (a) Com o objectivo de gerir o espaço de memória, o responsável pela base de dados pretende saber qual o número esperado de registos anuais. Calcule-o. (b) Determine a probabilidade do funcionário responsável pela introdução dos registos ficar desocupado durante um dia inteiro. (c) Obtenha a probabilidade de serem notificados 100 nascimentos ao fim de 3 dias, sabendo que ao fim dos 2 primeiros desses 3 dias foram notificados 80. Exercício 1.3 Três clientes A, B e C entram simultaneamente numa estação de correios com dois guichets de atendimento. A e B dirigem-se para os guichets, onde são imediatamente atendidos por dois funcionários, ao passo que C só será atendido quando A ou B abandonarem os respectivos guichets. Qual é a probabilidade de A ser o último cliente a abandonar a estação de correios, sabendo que a duração do serviço prestado por qualquer dos funcionários é: (a) Exactamente 10 minutos? (b) Uma variável aleatória uniforme discreta em {1,2,3}? (c) Uma variável aleatória exponencial com parâmetro µ? 8

9 Exercício 1.4 É efectuado um número de experiências (idênticas) com distribuição Poisson de valor esperado λ. Admita que o conjunto de resultados possíveis das experiências é {1,2,...,n}, que as experiências são independentes e que o resultado de cada experiência é igual a i, 1 i n, com probabilidade p i. Para j = 0,1,..., calcule E(X j ) e Var(X j ), onde X j representa o número de resultados possíveis que ocorreram exactamente j vezes no total de experiências efectuadas. Exercício 1.5 Seja {N(t), t 0} um processo com incrementos independentes e estacionários e tal que N(t) tem distribuição de Poisson (λt), designado por Processo de Poisson de taxa λ. Determine, para s, t 0: (a) Cov[N(t),N(t + s)]. (b) E[N(t)N(t + s)]. (c) Mostre que, para n 1, P (N(s) = k N(s + t) = n) = ( ) ( ) n s k ( ) t n k, k = 0,1,...,n. k s + t s + t Exercício 1.6 Um Processo de Poisson Bidimensional (homogéneo) com intensidade λ(> 0) é um processo de ocorrências de eventos no plano real tal que: (i) Para qualquer região do plano de área A, o número de eventos nessa região tem distribuição Poisson (λa); e (ii) Os números de eventos em regiões disjuntas do plano são independentes. Suponha que há dois processos de Poisson bidimensionais independentes: 1 e 2, com intensidades λ i (i = 1,2) e denote-se por X i (i = 1,2) a distância de um ponto arbitrário do plano ao evento mais próximo do processo i. Mostre que: (a) Para i = 1,2, X i tem função densidade: f Xi (x) = 2λ i πxe λ iπx 2 I (0, ) (x). (b) E[X i ] = (2 λ i ) 1. (c) P(X 1 < X 2 ) = λ 1 /(λ 1 + λ 2 ). (d) A variável aleatória min(x 1,X 2 ) tem função densidade de probabilidade f(x) = 2(λ 1 + λ 2 )πxe (λ 1+λ 2 )πx 2 I (0, ) (x). Que pode concluir com respeito à adição de processos de Poisson bidimensionais independentes? Exercício 1.7 Mostre que se {A n, n 1} for uma sucessão crescente (ou decrescente) de acontecimentos, então ( ) lim P(A n) = P lim A n. n n Nota: lim n A n = k=1 A k se A 1 A 2...; e lim n A n = k=1 A k se A 1 A

10 Exercício 1.8 (Processos de Ramificação). Num processo de ramificação cada indivíduo duma determinada geração tem, independentemente dos outros indivíduos, k filhos, k = 0, 1, 2,... com probabilidade p k. Suponha que na geração 0 (população inicial) há um único indivíduo e defina-se para n = 0,1,2,3,... e P n (s) = E [ s Zn], 0 s 1. Z n = número de indivíduos na n-ésima geração da população; (a) Mostre que para n = 1,2,... e 0 s 1, P n (s) = P n 1 (P 1 (s)) = P 1 (P n 1 (s)). (b) Seja µ (σ 2 ) o valor médio (variância) do número de filhos por indivíduo da população. Mostre que para n = 1,2,... E[Z n ] = µ n e Var[Z n ] = (c) Use o resultado provado no Exercício 1.7 para concluir que { σ 2 µ n 1 µn 1 µ 1 µ 1 nσ 2 µ = 1. P({extinção da população}) = lim n P(Z n = 0) = lim n P n(0). (d) Mostre que se o número médio de filhos por indivíduo for menor que um (µ < 1), então o valor esperado do número total de indivíduos (em todas as gerações) de uma população iniciada por um único indivíduo é (1 µ) 1. Que consequência tem o resultado descrito em relação à probabilidade de extinção de uma população iniciada por um único indivíduo? (e) Considerando µ < 1, calcule o valor esperado do número total de indivíduos (em todas as gerações) de uma população iniciada por um número de indivíduos Z 0 com função massa de probabilidade: P(Z 0 = n) = 1 { n IN } ( 1 2) n. Exercício 1.9 Considere o modelo de urnas de Ehrenfest em que M moléculas são distribuídas por 2 urnas. Em cada instante de tempo uma molécula, escolhida ao acaso, é trocada de urna. Seja X n o número de moléculas na urna 1 após n trocas e seja µ n = E[X n ]. (a) Será que {X n, n 0} é uma cadeia de Markov? (b) Mostre que, para n IN 0, (c) Será que X n µ n+1 = 1 + M 2 M µ n e µ n = M 2 + p M 2? ( M 2 M ) n ( E[X 0 ] M ) M 2 n 2. Exercício 1.10 Sejam X 1, X 2,... variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas tais que, para i = 1,2,..., P(X i = j) = α j, j 0. Considere que é efectuado um registo no instante n se X n > max i=0,1,...,n 1 X i (assuma-se que X 0 = 0), sendo nesse caso o valor registado igual a X n. Considere ainda que R i representa o i-ésimo valor registado. 10

11 (a) Justifique que {R i, i 1} é uma cadeia de Markov e determine a respectiva matriz de probabilidades de transição (a um passo). (b) Seja, para i IN, T i o tempo que decorre entre o (i 1)-ésimo e i-ésimo registos, com o 0-ésimo registo a ocorrer no instante zero. Será que {T i, i 1} é uma cadeia de Markov? E {(R i,t i ), i 1}? Em caso afirmativo, calcule as respectivas probabilidades de transição. Exercício 1.11 Considere um processo de renovamento {N(t), t 0} e a correspondente sucessão de renovamento {S n, n 0}, i.e. S n = inf {t 0 : N(t) n}, n = 0,1,... Diga, justificando, se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações: (a) N(t) < n S n > t, (b) N(t) n S n t e (c) N(t) > n S n < t. Exercício 1.12 Suponha que a distribuição do tempo entre eventos de um processo de renovamento, {N(t), t 0}, é Poisson (λ). (a) Determine a função de distribuição de S n (o instante de observação do n-ésimo renovamento. (b) Calcule P(N(t) = n), para n IN 0. Exercício 1.13 Repita o Exercício 1.12 na situação em que o tempo entre renovamentos sucessivos pode ser interpretado como o número de provas, independentes e com distribuição Bernoulli(p), realizadas para obter um sucesso. Exercício 1.14 Admita que um mineiro se encontra fechado numa sala com três portas. Se ele optar pela porta 1 encontrar-se-á em liberdade após 2 dias de viagem. Caso escolha a porta 2(3), ele voltará à mesma sala após 4(8) dias de viagem. Suponha que, em cada instante, o mineiro escolhe uma das três portas de modo aleatório, e que T representa o tempo que o mineiro leva a sair da mina. (a) Defina uma sequência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas {X n, n 1} e um tempo de paragem, N, tais que T = N i=1 X i. (b) Utilize a equação de Wald para determinar o valor esperado de T. [ N ] (c) Calcule E i=1 X i N = n e verifique que não é igual a E [ n i=1 X i]. Nota: uma variável aleatória T com valores naturais é um tempo de paragem para a sucessão {X k, k 1} de variáveis aleatórias com valores inteiros se o acontecimento {T = n} for independente de {X k, k n + 1}. Exercício 1.15 Considere um processo {X(t), t 0} com incrementos independentes e estacionários e tal que X(t) Normal(0,t), o qual é chamado Movimento Browniano Padrão. (a) Determine a distribuição de X(s) + X(t), com 0 s t. (b) Determine a distribuição de X(s) condicional a {X(t 1 ) = A, X(t 2 ) = B}, com t 1 < s < t 2. 11

12 (c) Calcule E[X(t 1 )X(t 2 )X(t 3 )], com 0 < t 1 < t 2 < t 3. (d) Calcule a função densidade de probabilidade conjunta de Y (s) e Y (t), s < t, sendo {Y (t) = µt + σx(t), t 0} com µ IR, σ IR + ; {Y (t), t 0} é chamado Movimento Browniano com tendência µ e coeficiente de difusão σ 2. (e) Nas condições da alínea anterior e assumindo µ = 0, calcule o valor esperado e a variância de Y (t) e diga, justificando, se { Y (t), t 0} possui incrementos independentes. Exercício 1.16 Seja {X(t), t 0} um Processo Gaussiano; i.e. um processo cujas distribuições multidimensionais finitas são (sempre) gaussianas. (a) Mostre que {X(t), t 0} é estacionário se e só se {X(t), t 0} for estacionário em covariância. (b) Suponha agora que {X(t), t 0} é um movimento browniano (padrão) e considere o Processo de Ornstein-Uhlenbeck: V (t) = e αt 2 X ( e αt), t 0. Mostre que {V t), t 0} é um processo gaussiano. Exercício 1.17 Considere um movimento browniano padrão {X(t), t 0} e defina-se ( ) 1 Y (0) = 0 e Y (t) = t X, t > 0. t (a) Determine a distribuição de Y (t), t > 0. (b) A que é igual Cov[Y (s),y (t)], para 0 < s < t? (c) Prove que {Y (t), t 0} é um movimento browniano padrão. (d) Seja T = inf{t > 0 : X(t) = 0}. Use (c) para argumentar que P(T = 0) = 1. Nota: para um movimento browninano padrão, a probabilidade de retorno à origem após qualquer instante fixo é 1. Exercício 1.18 O Evaristo, como jovem yuppie muito empreendedor, decidiu fazer-se sócio de uma empresa portuense ligada à indústria têxtil a partir do dia 1 de Janeiro de Numa reunião com os restantes sócios da empresa o nosso amigo colheu informações preciosas. Ficou a saber que era muito provável que os seus lucros na empresa (em milhares de euros) se comportassem como um movimento browniano padrão, sendo a unidade de tempo o ano. E para além disso um dos sócios da empresa, Hans Hotter, adiantou que os lucros do Evaristo - ao fim da primeira quinzena de Junho de 1987 e exactamente cinco anos depois desta data - ainda eram correlacionados entre si. (a) O Evaristo ficou muito surpreendido com a observação do Sr. Hotter. Demonstre que não há razões para qualquer surpresa. 12

13 Devido a um incêndio no gabinete do contabilista do Evaristo, foram perdidos os registos dos lucros respeitantes aos anos No entanto aquele adiantou que sabia de cor os lucros no final de 1987 e de 1990: foram de 12 e 9 milhares de euros, respectivamente. Face a esta informação: (b) Esboce a dedução da função densidade de probabilidade do lucro às 24 horas de 31/12/1988. (c) Determine a probabilidade do lucro às 24 horas de 31/12/1988 ter excedido euros. Sugestão: Se {X(t), t 0} é um movimento browniano padrão, então, para 0 < t 1 < s < t 2 e A, B IR: E(X(s) X(t 1 ) = A, X(t 2 ) = B) = A + (B A) s t 1 t 2 t 1 e Var(X(s) X(t 1 ) = A, X(t 2 ) = B) = (s t 1)(t 2 s). t 2 t 1 Exercício 1.19 Na gestão de stocks de um determinada produto, uma loja segue a política de inventário (s,s); se o inventário no final de um dia for x, são encomendadas k x unidades, sendo 0 x s k x =, S x x < s sendo o pedido satisfeito antes do início do dia seguinte. As procuras diárias são independentes e iguais a j, j IN 0, com probabilidade p j ; toda a procura que não puder ser satisfeita imediatamente é perdida. Seja X n o nível de inventário no final do n-ésimo dia e assuma que X 0 {0,1,...,S}. Argumente que {X n, n 0} é uma cadeia de Markov e calcule as respectivas probabilidades de transição (a um passo). Exercício 1.20 Mostre que todo o processo {X(t), t > 0} com incrementos independentes é um processo de Markov. Exercício 1.21 Uma urna contém bolas azuis e/ou bolas brancas, num total de K bolas. Em cada instante, uma bola escolhida ao acaso é retirada da urna. Se a bola retirada for azul, é colocada novamente na urna; se for branca, é substituída por uma bola azul retirada de um saco com bolas azuis. Seja X n o número de bola azuis na urna depois de a operação anterior ter sido efectuada n vezes, n 0, e µ n = E[X n ]. Para 0 i,j K, defina-se: T ij = inf{n 0 : X n = j X 0 = i}. (a) Derive a recursão: e conclua que: µ n+1 = (1 1/K) µ n + 1, n 0, µ n = K (1 1/K) n [K µ 0 ]. (b) Justifique que, para 0 i < K, (c) Calcule, para 0 i < K, E[T i,k ]. E[T i,i+1 ] = (1 i/k) 1. (d) Será que existe uma distribuição limite para X n? Em caso afirmativo, determine-a. 13

14 Capítulo 2 Processos de Poisson Exercício 2.1 Seja {X k, k 1} uma sucessão de variáveis aleatórias independentes tais que: X k Exponencial (λ k ), k 1. Para n 1, considerem-se as variáveis aleatórias Z n e K n tais que: Z n = min(x 1,X 2,...,X n ) e K n = min{1 k n : X k = Z n }. (a) Justifique que, para n 1, as variáveis aleatórias Z n e K n são independentes e: ( n ) λ k Z n Exponencial λ k e P(K n = k) = n j=1 λ I {1,2,...,n} (k). j k=1 Sugestão: comece por mostrar que para k {1, 2,..., n} e x 0, P(K n = k, Z n > x) = λ k n j=1 λ e (λ1+λ2+...+λn) x. j (b) Conclua que, para n 1 e 1 k n: (X k Z n X k > Z n ) d = X k Exponencial(λ k ). Considere agora que λ k λ; i.e que {X k, k 1} é uma sucessão de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com distribuição Exponencial(λ). (c) Conclua que, para n 1: S n = n X k Erlang(n,λ); k=1 i.e., S n possui função densidade de probabilidade dada por: f Sn (x) = λe λx(λx)n 1 (n 1)! I (0,+ )(x). (d) Para n 1, conclua que a variável aleatória S n definida em (c) satisfaz: n 1 P (S n > x) = e λx(λx)k, x > 0; k! k=0 i.e., a distribuição Erlang(n, λ) está relacionada com a distribuição de Poisson pela relação: 1 F Erlang(n,λ) (x) = F Poisson(λx) (n 1), x > 0. 14

15 (e) Para n 1 e 1 k n, seja X k:n a k-ésima estatística ordinal da amostra aleatória (X 1,X 2,...,X n ) ordenada por ordem crescente; i.e., X 1:n = min(x 1,X 2,...,X n ) X k:n = min{x j, 1 j n : X j > X k 1:n }, 2 k n. Conclua, que as variáveis aleatórias X 1:n, X 2:n X 1:n,...,X n:n X n 1:n são independentes e que, para 1 k n, com X 0:n = 0, (X k:n X k 1:n ) Exponencial((n k + 1)λ). (f) Use a alínea anterior para concluir que, para 1 k n: E [X k:n ] = k 1 j=0 1 (n j)λ. Exercício 2.2 O número de sinais emitidos por uma fonte no intervalo (0,t], N(t), tem distribuição Poisson (λt). Cada sinal emitido é registado por um receptor com probabilidade p, independentemente dos restantes sinais emitidos. Seja X(t) o número de sinais registados pelo receptor no intervalo (0,t]. (a) Calcule a função de probabilidade de X(t) condicional a N(t) = n. (b) Determine a distribuição de X(t). Exercício 2.3 O ministério da saúde de um pequeno país é responsável pelo registo, numa base de dados, de todos os nascimentos que ocorrem nesse país. Suponha que os intervalos entre duas notificações consecutivas de nascimentos são independentes e distribuem-se exponencialmente com valor esperado de 2 horas. (a) Com o objectivo de gerir o espaço de memória, o responsável pela base de dados pretende saber qual o número esperado de registos anuais. Calcule-o. (b) Determine a probabilidade do funcionário responsável pela introdução dos registos ficar desocupado durante um dia inteiro. (c) Obtenha a probabilidade de serem notificados 100 nascimentos ao fim de 3 dias, sabendo que ao fim dos 2 primeiros desses 3 dias foram notificados 80. Exercício 2.4 Três clientes A, B e C entram simultaneamente numa estação de correios com dois guichets de atendimento. A e B dirigem-se para os guichets, onde são imediatamente atendidos por dois funcionários, ao passo que C só será atendido quando A ou B abandonarem os respectivos guichets. Qual é a probabilidade de A ser o último cliente a abandonar a estação de correios, sabendo que a duração do serviço prestado por qualquer dos funcionários é: (a) Exactamente 10 minutos? 15

16 (b) Uma variável aleatória uniforme discreta em {1,2,3}? (c) Uma variável aleatória exponencial com parâmetro µ? Exercício 2.5 É efectuado um número de experiências (idênticas) com distribuição Poisson de valor esperado λ. Admita que o conjunto de resultados possíveis das experiências é {1,2,...,n}, que as experiências são independentes e que o resultado de cada experiência é igual a i, 1 i n, com probabilidade p i. Para j = 0,1,..., calcule E(X j ) e Var(X j ), onde X j representa o número de resultados possíveis que ocorreram exactamente j vezes no total de experiências efectuadas. Exercício 2.6 Seja {N(t), t 0} um processo com incrementos independentes e estacionários e tal que N(t) tem distribuição de Poisson (λt), designado por Processo de Poisson de taxa λ. Determine, para s, t 0: (a) Cov[N(t),N(t + s)]. (b) E[N(t)N(t + s)]. (c) Mostre que, para n 1, P (N(s) = k N(s + t) = n) = ( ) ( ) n s k ( ) t n k, k = 0,1,...,n. k s + t s + t Exercício 2.7 Um Processo de Poisson Bidimensional (homogéneo) com intensidade λ(> 0) é um processo de ocorrências de eventos no plano real tal que: (i) Para qualquer região do plano de área A, o número de eventos nessa região tem distribuição Poisson (λa); e (ii) Os números de eventos em regiões disjuntas do plano são independentes. Suponha que há dois processos de Poisson bidimensionais independentes: 1 e 2, com intensidades λ i (i = 1,2) e denote-se por X i (i = 1,2) a distância de um ponto arbitrário do plano ao evento mais próximo do processo i. Mostre que: (a) Para i = 1,2, X i tem função densidade: f Xi (x) = 2λ i πxe λ iπx 2 I (0, ) (x). (b) E[X i ] = (2 λ i ) 1. (c) P(X 1 < X 2 ) = λ 1 /(λ 1 + λ 2 ). (d) A variável aleatória min(x 1,X 2 ) tem função densidade de probabilidade f(x) = 2(λ 1 + λ 2 )πxe (λ 1+λ 2 )πx 2 I (0, ) (x). Que pode concluir com respeito à adição de processos de Poisson bidimensionais independentes? 16

17 Exercício 2.8 Sejam S 1, S 2 e S 3 os instantes de ocorrência do primeiro, segundo e terceiro eventos de um processo de Poisson de taxa λ. Calcule a função densidade de probabilidade conjunta de (S 1,S 2,S 3 ). Exercício 2.9 Homens e mulheres entram num supermercado de acordo com dois processos de Poisson independentes de taxas λ e µ, respectivamente. Começando a contabilização de clientes num instante arbitrário, determine a probabilidade de se registar a entrada de pelo menos n homens antes do registo da entrada de m mulheres, com n,m IN. Exercício 2.10 O Evaristo e o João entram simultaneamente numa barbearia: o Evaristo para lhe fazerem a barba, o João para lhe cortarem o cabelo. Supondo que o Evaristo e o João são imediatamente atendidos e que a duração de um corte de cabelo (barba) tem distribuição exponencial de valor esperado 20 (15) minutos, calcule a probabilidade do João se despachar antes do Evaristo. Exercício 2.11 Sejam X 1 e X 2 variáveis aleatórias independentes contínuas e positivas. Prove que P (X 1 < X 2 min(x 1,X 2 ) = t) = r 1 (t) r 1 (t) + r 2 (t), t > 0, onde r i (t) = f Xi (t)/[1 F Xi (t)] é a função taxa de falha de X i, i = 1,2; em adição, verifique que se X 1 e X 2 têm distribuição exponencial a probabilidade anterior não depende de t. Exercício 2.12 Seja {X(t), t 0} um processo de Poisson de taxa λ. Suponha que cada chegada é registada com probabilidade p, independentemente das outras chegadas. Seja {Y (t), t 0} o processo de contagem das chegadas registadas; i.e., para t 0, Y (t) é igual ao número de chegadas registadas no intervalo (0,t]. (a) Conclua que se M Geométrica(p), 0 < p 1, for uma variável aleatória independente da sucessão {X k, k 1} de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com distribuição Exponencial(α), então: M X k Exponencial (αp). k=1 (b) Use o resultado da alínea (a) para concluir que {Y (t), t 0} é um processos de Poisson de taxa λp. (c) Mostre que se W Poisson(α) e [(Z 1,Z 2,...,Z k ) W = n] Multinomial (n,p 1,p 2,...,p k ), então (Z 1,Z 2,...,Z k ) é uma sequência de variáveis aleatórias independentes e: Z j Poisson (αp j ), 1 j k. (d) Use agora o resultado da alínea (c) para concluir que {Y (t), t 0} e {X(t) Y (t), t 0} são processos de Poisson independentes, com taxas λp e λ(1 p), respectivamente. 17

18 Exercício 2.13 Sejam {X(t), t 0} e {Y (t), t 0} processos de Poisson independentes de parâmetros λ 1 e λ 2, respectivamente. Defina, para t 0, Z 1 (t) = X(t) + Y (t), Z 2 (t) = X(t) Y (t) e Z 3 (t) = X(t) + k, com k IN. Diga quais dos processos anteriores são processos de Poisson e em caso afirmativo determine a respectiva taxa. Exercício 2.14 O número de mensagens que chegam a um telégrafo é um processo de Poisson de taxa igual a 3 mensagens por hora. (a) Qual é a probabilidade de não chegar nenhuma mensagem no período da manhã (8h às 12h)? (b) Qual é a distribuição da hora a que chega a primeira mensagem da tarde? Exercício 2.15 Admita que automóveis passam por determinado troço de uma auto-estrada de acordo com um processo de Poisson com taxa λ = 3 carros por minuto. (a) Suponha que o Evaristo decide atravessar esse mesmo troço com os olhos vendados. Qual é a probabilidade de ele conseguir escapar ileso se a referida travessia demorar s segundos? Responda à questão considerando s = 2, 5, 10, 20. (b) Suponha agora que o Evaristo é suficientemente ágil para conseguir escapar ileso de um automóvel, não acontecendo o mesmo se durante a travessia surgirem dois ou mais automóveis. Calcule a probabilidade de o Evaristo não ser ferido, caso a travessia demore s = 5,10,20,30 segundos. Exercício 2.16 Em cada domingo, 15 unidades de um determinado produto são postas em stock para venda nos restantes dias da semana. As encomendas desse produto são regidas por um processo de Poisson de taxa igual a 3 unidades por dia. Note-se que uma encomenda não resulta numa venda caso não haja unidades em stock. Admita ainda que devido à natureza do produto são destruídas em cada domingo todas as unidades que não tenham sido vendidas na semana anterior. (a) Calcule a probabilidade de não haver unidades para venda a partir das 0 horas de terçafeira. (b) Determine a probabilidade de terem sido vendidas todas as unidades em stock até às 24 horas de sábado. (c) Obtenha a expressão do número esperado de unidades destruídas em cada semana. Exercício 2.17 Considere uma via principal (via 1) com um só sentido de tráfego onde, no seu início, surgem veículos segundo um processo de Poisson de taxa λ por minuto. Cada veículo que circula na via principal efectua, independentemente dos restantes veículos, um desvio para uma via secundária (via 2) com probabilidade p. A via 2 possui um semáforo L metros após o cruzamento da via 1 para essa via. Obtenha a expressão que lhe permita calcular o tempo máximo que o semáforo pode estar fechado (x) de modo a garantir que a probabilidade de haver um engarrafamento na via principal provocado por veículos que pretendem virar para a via 2 seja de aproximadamente

19 (a) Suponha que em L metros cabem exactamente k veículos. (b) Suponha que os veículos têm comprimento (em metros) variável com distribuição uniforme no intervalo (a,b), com b << L. Exercício 2.18 Considere uma via principal com um único sentido que sofre a incorporação (total) de uma via secundária. Carros seguindo na via principal passam no ponto de incorporação da via secundária segundo um processo de Poisson de taxa 10 carros por minuto. O Evaristo circula na via secundária e necessita de 10 segundos para entrar na via principal. Suponha desprezável o tempo que os carros que circulam na via principal demoram a atravessar a secção de incorporação da via secundária na via principal. Sejam: N o número de carros que passam na secção de incorporação da via secundária na via principal enquanto o Evaristo aguarda entrada na via principal; e Y n o instante (em segundos) de passagem do n-ésimo carro que o Evaristo vê passar enquanto espera para entrar na via principal (n = 1, 2,..., N). (a) Determine a distribuição de N e calcule o valor do seu terceiro quartil. (b) Justifique que caso N 1, então, para n = 1,2,...,N, E[Y n ] = 2n 3 8e 5/3 1 e 5/3. (c) Calcule o valor esperado do tempo que o Evaristo aguarda até iniciar a manobra de incorporação na via principal. Considere agora que os carros que seguem na via principal passam no ponto de incorporação da via secundária segundo um processo de Poisson de taxa λ carros por minuto e que o Evaristo necessita de y segundos para entrar na via principal. (d) Qual é a probabilidade de passarem n carros, n IN 0, na secção de incorporação da via secundária na via principal enquanto o Evaristo aguarda entrada na via principal? (e) Calcule o valor esperado do tempo que o Evaristo espera até iniciar a incorporação na via principal. Exercício 2.19 Seja {N(t), t 0} um processo de Poisson de taxa λ e Y uma variável aleatória positiva independente de {N(t), t 0}. Calcule E(N(Y )) e Var(N(Y )). Exercício 2.20 Um certo produto é distribuído diariamente, mas a hora da sua chegada é uma variável aleatória com distribuição uniforme entre -1h e 2h (sendo zero a hora de abertura do supermercado). O processo de chegadas dos clientes ao supermercado é um processo de Poisson de taxa 20 (a unidade de tempo é a hora). (a) Sabendo que em cada 100 clientes 60 pretendem adquirir o referido produto, calcule o número esperado de clientes não servidos diariamente devido ao produto não ter sido ainda distribuído. 19

20 Ainda no mesmo supermercado vai realizar-se, num determinado dia, uma campanha que consiste em atribuir um prémio a cada 20 o cliente que chegar. (b) Qual é a distribuição do intervalo de tempo entre chegadas de clientes premiados? (c) Sabendo que o supermercado está aberto entre as 9h e as 19h indique a expressão que lhe permitiria calcular a probabilidade de ter-se que atribuir exactamente 10 prémios. (d) Considere o processo {Y (t), t 0} em que Y (t) representa o número de clientes premiados no intervalo (0,t]. Será que {Y (t), t 0} é um processo de Poisson? Justifique. Exercício 2.21 Considere dois processos de Poisson independentes, {X(t), t 0} e {Y (t), t 0}, tais que E(X(t)) = λt e E(Y (t)) = µt. Sejam T e T instantes de ocorrência de eventos consecutivos no processo {X(t), t 0}. Seja N = Y (T ) Y (T) a variável aleatória que representa o número de ocorrências de eventos do processo {Y (t), t 0} entre T e T. Determine a função de probabilidade de N. Exercício 2.22 Um sistema tem duas componentes: 1 e 2, as quais podem avariar em instantes de chegadas de três tipos de choques: I, II e III. A componente 1 avaria quando chegam choques dos tipos I e III e a componente 2 avaria quando chegam choques dos tipos II e III. Os choques dos tipos I, II e III chegam segundo processos de Poisson independentes de taxas λ 1, λ 2 e λ 3, respectivamente. Para j = 1,2, seja: X j = tempo que decorre até a componente j avariar. (a) Mostre que (X 1,X 2 ) tem distribuição tal que para s,t 0: P(X 1 > s,x 2 > t) = e [λ 1s+λ 2 t+λ 3 max(s,t)]. (b) Mostre que X 1 e X 2 têm distribuição exponencial e calcule os respectivos parâmetros. Exercício 2.23 Seja (X 1,X 2,...,X n ) uma amostra aleatória de uma população exponencial e (a) Calcule P (X 1 > n i=2 X i). M n = max(x 1,X 2,...,X n ). (b) Use (a) para mostrar que o máximo da amostra é maior que a soma dos resultantes valores com probabilidade n/2 n 1 ; i.e. ( P M n > ) n X i M n i=1 = n 2 n 1. (c) Calcule o tempo esperado que decorre até observar eventos em todos os processos de um conjunto de três processos de Poisson independentes de taxa 1 por hora. Exercício 2.24 Impulsos chegam a um contador Geiger segundo um processo de Poisson de taxa 3/minuto. Cada impulso tem, independentemente dos restantes, probabilidade 1/3 de ser registado. Sejam N(t) e X(t) o número de impulsos que chegam ao contador e o número de impulsos que são registados nos t minutos iniciais, respectivamente. 20

21 (a) Mostre que, para n IN 0 e k = 0,1,...,n: P (X(t) = k N(t) = n) = ( ) n 2 n k k 3 n. (b) Mostre que, para t 0, X(t) tem distribuição de Poisson e indique o respectivo parâmetro. (c) Mostre que para 0 s < t, n IN 0 e k = 0,1,...,n: ( ) n (s ) k ( P (N(s) = k N(t) = n) = 1 s n k. k t t) (d) Dado que em 10 minutos foram registados 16 impulsos, qual é o número esperado de impulsos que chegaram ao contador nesse período? (e) Dado que no minuto inicial foram registados 2 impulsos, qual é a probabilidade de que ambos os impulsos registados tenham chegado nos 20 segundos iniciais? Exercício 2.25 Suponha que {N 1 (t), t 0} e {N 2 (t), t 0} são processos de Poisson independentes com taxas λ 1 e λ 2, respectivamente. (a) Mostre que {N 1 (t) + N 2 (t), t 0} é um processo de Poisson com taxa (λ 1 + λ 2 ). (b) Mostre que a probabilidade do primeiro evento do processo {N 1 (t) + N 2 (t), t 0} provir de {N 1 (t), t 0} é igual a λ 1 /(λ 1 +λ 2 ), independentemente do instante da sua ocorrência. Exercício 2.26 Automóveis passam em determinado ponto de uma estrada de acordo com um processo de Poisson de taxa λ = 1 automóvel por minuto. Considerando que a percentagem de Porsches que circulam nessa estrada é de 5%, calcule: (a) A probabilidade de passar pelo menos um Porsche no período de uma hora. (b) O número esperado de automóveis que passaram no período de uma hora, sabendo que 10 deles eram da marca Porsche. (c) A probabilidade de terem passado 5 Porsches ao fim de uma hora, sabendo que nesse mesmo período passaram 50 carros pelo referido ponto da estrada. Exercício 2.27 Seja S r o instante de ocorrência da r-ésima chegada no processo de Poisson {N(t), t 0} de taxa λ. (a) Mostre que, para 1 r n e 0 < u < t: P(S r u,n(t) = n) = n k=r λt (λu)k e k! [λ(t u)] n k. (n k)! (b) Use o resultado anterior para concluir que a função densidade de probabilidade do instante de ocorrência da r-ésima chegada, condicional à ocorrência de n, 1 r n, chegadas até ao instante t é: f(u) = n! u r 1 (1 (r 1)!(n r)! t r u ) n r I[0,t] (u). t 21

22 Exercício 2.28 Autocarros chegam a uma estação de serviço de acordo com um processo de Poisson de taxa λ. Após a chegada de qualquer autocarro o respectivo depósito começa a ser imediatamente enchido, operação esta que demora um tempo aleatório S com função de distribuição G. Uma vez enchido o depósito o autocarro abandona de imediato a referida estação. Determine a distribuição do número de autocarros com depósito por encher no instante t. Exercício 2.29 Admita que clientes chegam a um estabelecimento comercial de acordo com um processo de Poisson não homogéneo. Entre as 8h e as 17h (período de funcionamento do estabelecimento) os clientes chegam de acordo com as seguintes taxas: Das 8h às 10h à taxa de 4 clientes por hora; Das 10h às 12h à taxa de 8 clientes por hora; Do meio-dia às 14h a taxa aumenta linearmente de 8 clientes para 10 clientes por hora; e Das 14h até ao fecho do estabelecimento a taxa diminui linearmente de 10 para 4 clientes por hora. (a) Identifique a função de intensidade do processo e obtenha o número esperado de clientes que visitam o estabelecimento num dia. (b) Qual é a probabilidade do número de chegadas entre as 13h e as 15h ser superior a 5? E a de não ocorrerem chegadas nesse mesmo intervalo de tempo? Exercício 2.30 Sejam T 1,T 2,... os tempos entre chegadas consecutivas de um processo de Poisson não homogéneo com função de intensidade {λ(t), t 0}. (a) Serão as variáveis aleatórias T 1 e T 2 identicamente distribuídas? (b) Determine a distribuição de T 1 e T 2. Exercício 2.31 Considere um processo de Poisson não homogéneo caracterizado pela função valor médio Λ(t) = t 2 + 2t, t 0. (a) Qual é a probabilidade de ocorrerem exactamente n eventos entre os instantes 4 e 5? (b) Obtenha a função de intensidade do processo. Exercício 2.32 Considere um processo de Poisson não-homogéneo {N(t), t 0} com (função) valor médio {Λ(t) = t(t + 1), t 0}. (a) Calcule a probabilidade de ocorrerem exactamente 2 eventos entre os instantes 1 e 3. (b) Sabendo que ocorrerem exactamente 2 eventos entre os instantes 1 e 3, calcule a probabilidade de ambos os eventos terem ocorrido após o instante 2. (c) Determine a distribuição do tempo de vida residual no instante 2: S N(2)+1 2, com S n sendo o instante do n-ésimo evento do processo de contagem {N(t), t 0}. (d) Determine a distribuição da idade do processo no instante 3: 3 S N(3). 22

23 (e) Se um evento que ocorre no instante t, t 0, gera dividendos com valor esperado (em euros) de e 0.1t, calcule o valor esperado dos dividendos recebidos até ao instante 10. Sugestão: considere o valor esperado da variável aleatória D que representa os dividendos gerados por um evento escolhido ao acaso de entre os eventos que ocorrem até ao instante 10. (f) Justifique, recorrendo à definição, que {N (t), t 0} dado por: ([ ]) 1 + 4t 1 N (t) = N, t 0, 2 é um processo de Poisson e calcule a respectiva taxa. (g) Com as definições da alínea anterior, diga se o processo {N + (t) = N ( t), t 0} é um processo de renovamento, se possui incrementos independentes e se possui incrementos estacionários. Exercício 2.33 Seja, para t 0, X(t) o valor total dos prémios pagos por uma companhia de seguros de vida no intervalo (0,t]. Pagamentos de prémios de seguros de vida são reclamados à companhia segundo um processo de Poisson de taxa 5 pagamentos por semana. Se os prémios forem independentes e possuírem distribuição exponencial com valor esperado dólares, determine: (a) O valor esperado e a variância do valor total de prémios pagos pela companhia num período de 4 semanas. (b) Cov(X(s),X(t)), com 0 s t. (c) Cov(Y (s),y (t)), com 0 s t, sendo {Y (t), t 0} um processo de Poisson composto geral. Exercício 2.34 Considere um processo de Poisson condicional em que a intensidade é uma variável aleatória Λ com função densidade de probabilidade f Λ (λ) = αm λ m 1 e αλ (m 1)! isto é, Λ Erlang (m,α), com m IN e α > 0. (a) Mostre que, para n IN 0, I (0,+ ) (λ); e ( m + n 1 P(N(t) = n) = m 1 )( t α + t ) n ( ) α m α + t (Λ N(t) = n) Erlang(m + n,α + t). (b) Calcule P(N(t + h) N(t) = 1 N(t) = n) lim. h 0 + h Exercício 2.35 O aeroporto da cidade natal do Evaristo dispõe de um centro de reservas que funciona 24 horas por dia. Após um estudo minucioso do processo de chegadas ao referido centro, considerou-se razoável que: 23

24 Condicionalmente ao conhecimento da taxa de chegadas, as chegadas se regiam por um processo de Poisson; e Em cada dia, a taxa de chegadas de clientes por hora é uma variável aleatória com distribuição exponencial de taxa 4. (a) Qual é a probabilidade de não chegarem clientes ao centro de reservas num período de t horas de um dia? (b) Prove que a probabilidade da referida taxa não exceder os 6 clientes por hora num dia em que no período entre as 0 e as 12 horas chegaram 49 clientes, é igual a F χ 2 (192). (100) Sugestão: use o facto de X Gama (α, δ) 2δX χ 2 (2α). 24

25 Capítulo 3 Processos de Renovamento Exercício 3.1 Seja {X i, i IN} uma sucessão de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com distribuição Bernoulli(p), 0 < p < 1, e defina-se: { } n 3 X 1 = 0 3 X 4 = 0 N 1 = inf n IN : X i = 5, N 2 = e N 3 =. 5 X 1 = 1 2 X 4 = 1 i=1 Quais destas três variáveis aleatórias (N 1, N 2 e N 3 ) são tempos de paragem para a sucessão {X i, i IN}? Justifique. Exercício 3.2 Considere um processo de renovamento não degenerado, {N(t), t 0}, com função de distribuição do tempo entre renovamentos sucessivos F e seja m(t) = E(N(t)), para t 0. (a) Prove a equação de renovamento: m(t) = F(t) + t 0 m(t x)df(x). (b) Calcule, usando a equação de renovamento, m(t), t (0, 1), na situação em que o tempo entre renovamentos sucessivos tem distribuição Uniforme(0,1). (c) Se m(t) = t/2, t 0, qual é o valor de P(N(5) = 0)? Exercício 3.3 Considere um processo de renovamento {N(t), t 0} cujos tempos entre renovamentos sucessivos têm distribuição Erlang(r,λ) cuja função densidade de probabilidade é: (a) Mostre que, para t 0 e n IN 0, f(x) = λe λx (λx) r 1 (r 1)! P(N(t) n) = (b) Utilize (a) para demonstrar que, para t 0, m(t) = + i=r 25 + i=nr I (0,+ ) (x). e λt(λt)i. i! i e λt(λt)i. r i!

26 com x representando a parte inteira do número real x. Sugestão: Use a relação entre a distribuição Erlang(r, λ) e a soma de r variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com distribuição Exponencial(λ) para definir N(t) em termos de um processo de Poisson de taxa λ. Exercício 3.4 O Evaristo tem um rádio que para trabalhar precisa de uma pilha. (a) Supondo que a duração das pilhas utilizadas (em horas) é uma variável aleatória com distribuição Uniforme(30, 60) e que assim que uma pilha se gasta o Evaristo a substitui de imediato, obtenha a taxa a longo-prazo de substituição de pilhas. (b) Responda à questão colocada em (a), admitindo agora que antes de efectuar a referida substituição o Evaristo tem que se deslocar à drogaria mais próxima para comprar uma pilha, operação esta que demora um tempo com distribuição Uniforme(1/3,1). Exercício 3.5 Considere um banco, com um único servidor, ao qual chegam clientes de acordo com um processo de Poisson de taxa λ. Note-se, no entanto, que um cliente entra no banco se e só se o servidor estiver livre e, nesse caso, é-lhe prestado um serviço com duração possuindo distribuição G, com valor esperado µ 1 (finito). A longo prazo: (a) A que taxa entram clientes no banco? (b) Qual é a fracção de potenciais clientes que entram no banco? (c) Qual é a fracção de tempo que o servidor está ocupado? (d) Se as quantias que os clientes depositam no banco são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com função de distribuição H, qual é a taxa a que são efectuados depósitos efectivos no banco? (e) Se a distribuição H possui valor esperado α (finito), qual é a taxa de depósitos no banco (em unidades monetárias/unidade de tempo)? Exercício 3.6 O gestor de uma fábrica decidiu implementar o seguinte tipo de política de uso permanente de uma (única) máquina: trocar de máquina quando a máquina em uso atinge a idade T ou quando esta avaria (o valor de T deve ser escolhido de modo a minimizar o custo de operação). As máquinas têm durações independentes e identicamente distribuídas com função de distribuição F (função densidade de probabilidade f). Suponha que V (x) é o valor de uma máquina com idade x; V (x) é uma função estritamente decrescente, e o custo de uma máquina nova é V (0) = 1. A empresa recebe o valor V (T) por cada máquina não avariada que é substituída, e não recebe qualquer montante pelas máquinas avariadas; o tempo necessário para a disponibilização de uma máquina nova é negligível. (a) Mostre que a taxa de substituição das máquinas a longo-prazo é: { T 1 xf(x)dx + T [1 F(T)]}. (b) Conclua que a taxa de falha das máquinas a longo-prazo é: /{ T } F(T) xf(x)dx + T [1 F(T)]