1. Num universo S os acontecimentos A e B são incompatíveis.

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1 12ºANO ESCOLA SECUNDÁRIA DE ALBERTO SAMPAIO Matemática B Probabilidades 2007/08 1. Num universo S os acontecimentos A e B são incompatíveis. Sabe-se que: P( B ) = 0,1 e que P( A B ) = 0,6. Determina P( A ). 2. Sabendo que : P( A ) = 0, 4 ; P( A B ) = 0,7 e P( A B ) = 0,3, Calcula : 2.1. P( B ) 2.2. P( A B) 2.3. P( A B) 3. Uma urna contém 10 bolas, sendo 4 azuis e 6 vermelhas. Tiram-se sucessivamente duas bolas (sem reposição). Qual é a probabilidade de : 3.1. Serem ambas azuis? 3.2. A primeira ser azul e a segunda vermelha? 3.3. Serem da mesma cor? 4. Interrogaram-se os funcionários de uma firma e concluiu-se que: 85% têm telefone de rede fixa; 70% têm telemóvel; 10% não têm qualquer tipo de telefone. Seleccionou-se, ao acaso, um trabalhador de firma. Qual é a probabilidade de ele ter: 4.1. telefone de rede fixa e não ter telemóvel? 4.2. ter telefone de rede fixa e telemóvel? 4.3. ter telemóvel e não ter telefone de rede fixa? 5. O código de um cartão Multibanco é uma sequência de quatro algarismos, como por exemplo Quantos códigos diferentes existem com um e só um algarismo zero? 5.2. Imagina que um amigo teu vai adquirir um cartão Multibanco. Admitindo que o código de qualquer cartão é atribuído ao acaso, qual é a probabilidade de o código desse cartão ter quatro algarismos diferentes? 6. Considera os algarismos 0, 1, 3, 4 e 6. Quantos números de quatro algarismos diferentes se podem escrever, nas seguintes condições : 6.1 os números são pares 6.2 contendo o algarismo 1 7. Seja X uma variável definida pela seguinte função massa de probabilidade : x i P ( X = x i ) 0,25 0,12 0,33 0,3 7.1 Determina o valor médio e o desvio padrão 7.2 Determina a probabilidade de o valor da variável pertencer ao intervalo : µ σ µ + σ µ σ, µ + 2σ a ) ], [ b ) ] [ 12 MAT B FT1 PROB.doc ESAS 2007/2008 Manuel Oliveira 1

2 8. Com os algarismos 0, 1, 2, 5 e 8 : 8.1. Quantos números de quatro algarismos se podem escrever? 8.2. Quantos números de quatro algarismos diferentes se podem escrever? 8.3. Quantos números de quatro algarismos diferentes contém o algarismo 2? 9. Dos ouvintes de uma estação radiofónica, 37% ouvem o programa X, 53 % ouvem o programa Y e 15 % ouvem os dois programas. Ao escolher aleatoriamente um ouvinte desta estação qual é a probabilidade de que : 9.1 Escute apenas um dos referidos programas? 9.2 Não escute nenhum destes dois programas? 10. Seja S o conjunto de resultados associado a uma experiência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos (A e B são, portanto, subconjuntos de S). Prova que: p( A) + p( B) + p( A B) = 1 + p( A B) 11. As idades dos 500 alunos de uma escola seguem uma distribuição normal, sendo a média das idades igual a 15 anos e o desvio padrão 2 anos Escolhe-se um aluno ao acaso. Qual é a probabilidade de ter mais de 17 anos? 11.2 Quantos alunos têm menos de 11 anos? 11.3 Escolhido um aluno ao acaso, a probabilidade de ele ser mais novo do que o Manuel é, aproximadamente, 16%. Que idade tem o Manuel? 12. Foi feito um estudo e concluiu-se que o peso médio de um jogador de futebol profissional é 74 kg e o desvio padrão 4 kg Calcula a percentagem de jogadores com um peso entre 70 kg e 82 kg Se existirem1200 jogadores, quantos jogadores têm menos de 66 kg? 13. Numa caixa estão três cartões, numerados de 1 a 3. Extraem-se ao acaso, e em simultâneo, dois cartões da caixa. Seja X o maior dos números saídos. Define a tabela de distribuição de probabilidade da variável X. 14. Uma variável aleatória discreta X admite a seguinte função probabilidade : x i P ( X = x i ) Calcula o valor médio µ e o desvio padrão σ Determina a probabilidade de o valor da variável pertencer ao intervalo : µ σ, µ + σ ] [ 15. Sejam A e B dois acontecimentos de uma mesma experiência aleatória. Prova que: P A B = P A + P B P A B 16. Um estojo tem cinco marcadores, cinco canetas e três lapiseiras, indistinguíveis ao tacto. Retiram-se dois objectos do estojo, ao acaso, sucessivamente e com reposição Qual a probabilidade de retirar: 16.1 um marcador seguido de uma caneta? 16.2 duas lapiseiras? 16.3 pelo menos uma caneta? MAT B FT1 PROB.doc ESAS 2007/2008 Manuel Oliveira 2

3 17. Realizou-se um inquérito a 500 alunos de uma escola sobre a ocupação dos tempos livres. Os dados obtidos foram os seguintes: 10% ocupam o tempo na Internet e a praticarem desporto ; 50% praticam desporto ; 30% não praticam desporto nem utilizam a Internet Escolhido um aluno ao acaso, qual a probabilidade de responder que ocupa os tempos livres exclusivamente na Internet? 17.2 Escolhido um aluno ao acaso, qual a probabilidade de responder que ocupa os tempos livres praticar desporto ou na Internet? 17.3 De entre os alunos que praticam desporto, quantos utilizam a Internet? 18. Sejam A e B dois acontecimentos de uma mesma experiência aleatória. Sabe-se que P A = 0, 25, P ( B ) = 0, 15 e P ( A B) = 0, 8. Os acontecimentos A e B são incompatíveis? Justifica a resposta. 19. Num saco estão 12 bolas, indistinguíveis ao tacto, numeradas do seguinte modo: Seis com o número 1, quatro com o número 2 e duas com o número 3. Extrai-se, ao acaso, uma bola e anota-se o valor x i do número da bola extraída Indica a distribuição de probabilidades da variável X Constrói o gráfico de barras da distribuição Determina o valor médio, µ, e o seu desvio padrão σ. 20. Considera a seguinte distribuição de probabilidades : 20.1 Calcula o valor de a Calcula o valor médio e o desvio padrão (arredondados às décimas). µ σ, µ + σ Calcula a probabilidade de a variável pertencer ao intervalo ] [ 21. A concentração de um poluente na água libertada diariamente por uma fábrica segue uma distribuição normal N ( 8;1,5 ). Qual a probabilidade de que num dia, escolhido ao acaso, a concentração de poluição: 21.1 exceda o limite regulamentado de 9,5 ppm ( partes por milhão )? 21.2 se encontre entre os valores 5 ppm e 6,5 ppm? 22. Numa certa experiência estão definidos dois acontecimentos A e B tais que : P( A) = 0,5; P( B) = 0,3 E P( A B) = 0,1 Calcula as seguintes probabilidades : P A B P A B 22.1 ( ) x i P i 0,15 0,2 a 0,2 0,15 2a P A 22.2 ( ) 22.3 ( ) 23. Um dado tem em três faces o número 1, em duas faces o número 2 e numa face o número Determina a probabilidade de ao lançar o dado sair 1.e 2? e 3? 23.2 Determina a probabilidade de em dois lançamentos seguidos sair soma MAT B FT1 PROB.doc ESAS 2007/2008 Manuel Oliveira 3

4 24. Num dado não equilibrado a probabilidade de "sair 6" é 0,4, tendo as restantes faces igual probabilidade de ocorrer Mostre que, efectuando apenas um lançamento deste dado, a probabilidade de "sair 1" é 0, Lançando cinco vezes consecutivas o dado referido qual é a probabilidade de se obter duas e só duas vezes "um número ímpar"? 25. Lança-se três vezes um dado equilibrado com as faces numeradas de 1 a 6. Indique, justificando, qual dos acontecimentos seguintes é mais provável: - nunca sair o número «6»; - saírem todos os números diferentes. 26. O João frequenta a Escola Secundária da cidade mais próxima do local onde vive. Diariamente, só tem duas possibilidades para se deslocar até à escola: de comboio ou de autocarro. Como prefere o autocarro, 60% das vezes escolhe esse meio de transporte. Sabendo que a probabilidade de chegar atrasado às aulas é 22% e que a probabilidade de ir de autocarro e chegar atrasado é 12%, calcule a probabilidade de o João: 26.1 Não chegar atrasado e não ir de autocarro. 26.2Chegar atrasado ou ir de autocarro. 26.3Ir de autocarro dado que chegou atrasado. 27.Consideremos a experiência aleatória que consiste em observar se, após a refeição, os clientes de um determinado restaurante pedem ou não sobremesa e se pedem ou não café. Os dados registados revelam que 57% dos clientes pedem sobremesa, 65% pedem café e 25% pedem sobremesa e café. Determine a probabilidade de um cliente desse restaurante, escolhido ao acaso: 27.1 Pedir café ou sobremesa Pedir café sabendo que pediu sobremesa Pedir sobremesa sabendo que pediu café Não pedir café nem sobremesa. 28. Seja X a variável aleatória que representa o número de vezes que determinado indivíduo vai ao cinema (por semana). A distribuição de probabilidades de X é a seguinte: X = x i P(X=x i ) 0,20 0,45 0,20 0,10 0, Determine a média e o desvio padrão desta distribuição Qual é a probabilidade de o número de idas ao cinema pertencer ao intervalo µ σ, µ + 2σ ] [ 12 MAT B FT1 PROB.doc ESAS 2007/2008 Manuel Oliveira 4

5 Soluções: , , , , % % 4.2 5% , µ = 5,36 δ = 2, % 75% % % % % µ = 0,83; σ = 1, , , , µ = 1,67 ; σ = 0, , µ = 3,6; σ = 1, , , , , , , ; 1 ; , ,58; 0, , , , , , , , µ =1,35; σ = 1, ,75 12 MAT B FT1 PROB.doc ESAS 2007/2008 Manuel Oliveira 5