UNIVERSIDADE DOS AÇORES Curso Serviço Social Estatística I 1º Ano 1º Semestre 2005/2006

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1 UNIVERSIDADE DOS AÇORES Curso Serviço Social Estatística I 1º Ano 1º Semestre 2005/2006 Ficha de trabalho nº 1 Estatística Descritiva 1. Num conjunto de jovens estudantes pretende-se estudar; 1.1 A profissão que desejam ter; 1.2 As distâncias a que se encontram na escola; 1.3 O número de divisões da casa que habitam; 1.4 O tempo que demoram a percorrer a distância entre a casa e a escola. Indique em cada caso se a característica é: a) quantitativa ou qualitativa; b) contínua ou discreta. 2. Conte o número de vogais de cada uma das palavras que António Gedeão utilizou quando escreveu: " Eles não sabem, nem sonham, que o sonho comanda a vida que sempre que um homem sonha o mundo pula e avança como bola colorida entre as mãos de uma criança". 2.1 Elabore um quadro de distribuição e frequências absolutas, de frequências absolutas acumuladas, de frequências relativas e frequências relativas acumuladas. 3. A distribuição do número de faltas dos alunos de uma turma do 9º Ano na disciplina é dada pela tabela seguinte: 3.1 Determine a amplitude da distribuição. 3.2 Calcule a média e o desvio padrão. Número de faltas Número de alunos Setenta alunos de uma escola foram pesados e obtiveram-se os resultados da tabela:

2 Peso (Kg) Frequência Determine o peso médio dos alunos. 4.2 Construa o histograma da distribuição e localize graficamente a moda. 4.3 Localize graficamente os quartis no polígono de frequências acumuladas. 5. As notas de 32 alunos de uma turma estão descritas a seguir: Determine o rol e elabore as tabelas de frequências absolutas e relativas. 5.2 Calcule a média, a mediana, a amplitude e o desvio padrão. 6. Turmas que possuem determinada disciplina em comum apresentam, nessa disciplina: Turma A (40 alunos) - média 13.0 Turma B (35 alunos) - média 12.0 Turma C (35 alunos) - média 8.0 Turma D (20 alunos) - média 15.0 Determine a média geral. 7. Interrogamos 26 pessoas sobre o número de filhos que consideravam ser o ideal. Obtivemos as seguintes informações: Nº ideal de filhos F i Calcule a média, a mediana e a moda. 7.2 Comente os resultados obtidos. 8. Num inquérito efectuado a 1000 alunos, referente à distância do domicilio à escola, obteve-se a seguinte distribuição de frequências: Distância (Km) Alunos

3 8.1 Calcule a amplitude, o desvio médio, o desvio padrão e o coeficiente de variação. 9. Lançaram-se 7 moedas iguais sobre uma mesa 100 vezes. Em cada lançamento contou-se o número de caras voltadas para cima e obteve-se o seguinte quadro: X i F i Elabore um quadro de distribuição de frequências absolutas acumuladas, frequências relativas e frequências relativas acumuladas. 9.2 Construa o diagrama de barras e o polígono de frequências para as distribuições de frequências absolutas e acumuladas. 9.3 Indique a moda e a mediana. 9.4 Calcule a média, desvio médio e o desvio padrão e a variância. 10. A distribuição de frequências que se apresenta em seguida refere-se ao "tempo de internamento" dos doentes numa unidade hospitalar de cuidados intensivos: Dias de Internamento Nº de doentes [0, 5[ 48 [5, 10[ 33 [10, 15[ 27 [15, 20[ 18 [20, 25[ 15 [25, 30] Calcule o tempo médio de internamento dos doentes nesta unidade e o respectivo desvio padrão. Que pode dizer sobre a variabilidade presente nestes dados? 10.2 Utilizando um diagrama de extremos e quartis (caixa de bigodes), represente graficamente a distribuição da variável "Dias de Internamento". Que conclusões podem retirar a partir deste gráfico? 10.3 Que pode dizer quanto à simetria e ao achatamento da distribuição da variável "Dias de Internamento"?

4 UNIVERSIDADE DOS AÇORES Curso Serviço Social Estatística I 1º Ano 1º Semestre 2005/2006 Ficha de trabalho nº 2 Teoria Elementar da Probabilidade 1. Um grupo de pessoas encontra-se numa sala em que: 5 são homens com idade igual ou superior a 21 anos 6 são mulheres com idade igual ou superior a 21 anos 4 são homens com idade inferior a 21 anos 3 são mulheres com idade inferior a 21 anos Determine a probabilidade de uma pessoa, escolhida ao acaso, ser mulher ou ter menos de 21 anos Determine a probabilidade de uma pessoa, escolhida ao acaso, ser homem ou ter uma idade igual ou superior a 21 anos. 2. Uma gaveta contém 50 parafusos e 150 pregos; metade dos parafusos e metade dos pregos encontram-se com ferrugem. Se escolher uma peça ao acaso, qual a probabilidade da peça ser parafuso ou estar com ferrugem? 3. Num certo colégio, 25% dos alunos reprovam na disciplina de Matemática, 15% em Química e 10% em ambas as disciplinas Qual a probabilidade de um estudante reprovar em Matemática dado que reprovou em Química? Qual a probabilidade de um estudante reprovar em, pelo menos, uma disciplina? 4. Um lote de 30 peças contém 10 defeituosas. Tiram-se ao acaso, sucessivamente, sem reposição, três peças. Qual a probabilidade de que sejam todas não defeituosas? 5. Admitamos que existem 3 (três) revistas A, B e C com as seguintes percentagens de leituras: Revista: (A) 9,8 % (B) 22,9 % (C) 12,1 % Revistas: (A e B) 5,1 % (A e C) 3,7 % (B e C) 6,0 % Revistas: (A e B e C) 2,4 %

5 5.1 - Determine a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso, ser leitor de, pelo menos, uma revista Determine a probabilidade de uma pessoa, escolhida ao acaso, ser leitor das revistas (A e B) e não leitor da revista (C). 6. Segundo certa empresa de estudos de mercado, a preferência da população de uma dada cidade pelas 3 marcas existentes (A, B e C) de um produto de grande consumo, é dada pelos seguintes valores (percentagens sobre o total da população): Consumidores de A: 51% Consumidores de B: 62% Consumidores de C: 40% Consumidores de A ou B: 85% Consumidores de A ou C: 70% Consumidores de B ou C: 78% Consumidores de A ou B ou C: 90% Qual a probabilidade de uma pessoa, escolhida ao acaso nessa cidade, ser consumidora somente da marca A? Qual a probabilidade de uma pessoa, escolhida ao acaso nessa cidade, ser consumidora das marcas B ou C, dado que é consumidora da marca A? 7. Numa determinada cidade foi efectuado um levantamento de dados sobre certos acontecimentos. A probabilidade de ocorrência de cada um deles é dada no quadro seguinte: Cancro Indivíduo Têm Não Têm Fumador Não Fumador Considere os acontecimentos: A= "o indivíduo é fumador" B= "o indivíduo tem cancro" Verifique se A e B são acontecimentos independentes. 8. Em certa Faculdade, 4% dos alunos e 1% das alunas têm mais de 1.75m de altura; por outro lado, 60% dos estudantes são alunas.

6 Admitamos que se escolhe ao acaso um estudante e verifica-se que tem mais de 1.75m de altura; qual a probabilidade desse estudante ser do sexo feminino? 9. A máquina I produz por dia o dobro das peças produzidas pela máquina II. Todavia, 6% das peças produzidas pela máquina I são defeituosas enquanto 5%das produzidas pela máquina II o são. Qual a probabilidade de uma peça, escolhida ao acaso do conjunto de todas as peças produzidas num dia, ser defeituosa? 10. Em certa fábrica existem 3 máquinas A, B e C as quais fabricam respectivamente 50%, 30% e 20% do total dos produtos da fábrica; a produção da máquina A apresenta 3% de produtos defeituosos, a máquina B 4% e a máquina C 5% de produtos defeituosos Determine a probabilidade de um produto, escolhido ao acaso da produção, ser defeituoso Admitamos que se escolhe ao acaso um produto e verifica-se que o produto tem defeito; determine a probabilidade de esse produto ter sido fabricado pela máquina A. 11. O Ronaldo entrou agora na universidade e foi informado de que há 30% de possibilidade de vir a receber uma bolsa de estudo. No caso de a receber, a probabilidade de se licenciar é de 0,85 enquanto que no caso de não a obter, a probabilidade de se licenciar é de apenas 0, Qual a probabilidade do Ronaldo se licenciar? Se, daqui a anos, encontrar o Ronaldo já licenciado, qual a probabilidade de que tenha recebido a bolsa de estudo? 12. Estudos efectuados por uma empresa mostram que as razões dos atrasos ao trabalho, apresentadas pelos seus empregados, se classificam numa das seguintes categorias: A - problemas de trânsito B - problemas pessoais graves C - outros problemas Admitindo que: - Em 50% dos dias há problemas de trânsito, em 2% dos dias se verificam problemas pessoais graves e em 10% dos dias ocorrem outros problemas. - Verifica-se atraso: - Sempre que se verificam problemas pessoais graves. - Em 20% das vezes que há problemas de trânsito. - Em 30% das vezes quando ocorrem outros problemas Calcule a probabilidade dum empregado, escolhido ao acaso, chegar atrasado Se um empregado chegar atrasado, qual a probabilidade de ter sido devido a problemas de trânsito?

7 UNIVERSIDADE DOS AÇORES Curso Serviço Social Estatística I 1º Ano 1º Semestre 2005/2006 Ficha de trabalho nº 3 Variáveis Aleatórias 1. Consideremos o lançamento simultâneo de 3 moedas. Seja X o número de caras possíveis de saírem no lançamento de 3 moedas. Defina as funções massa de probabilidade e de distribuição. Esboce os seus gráficos. 2. Uma caixa contém três bolas vermelhas e duas pretas. Duas bolas são tiradas ao acaso e sem reposição. Seja X o número de bolas vermelhas na extracção referida; determine p X (x), E(X) e Var(X). 3. Seja X uma variável aleatória que representa o número de filhos do sexo masculino numa família de 4 crianças. 3.1 Defina a função probabilidade de X e represente graficamente. 3.2 Defina a função de distribuição de X. 3.3 Defina a função de distribuição de X. 3.4 Calcule E(X) e Var(X). 3.5 Suponha que os pais recebem 6 euros por cada filho homem e 5 euros por cada menina. Qual o lucro médio esperado pela família quando nascem? 4. Um par de dados, não viciado é lançado uma vez. Seja X o maior número saído, X=max(i,j). Defina a função massa de probabilidade e o valor médio. 5. Seja X uma variável aleatória com função massa de probabilidade k, x = 0 2k, x = 1 3k, x = 2 k, x = 3 0, x 0,1,2,3 5.1 P(X 2) 5.2 P(X<3 X>1)

8 6. Seja (X,Y) uma variável aleatória bidimensional com a seguinte função de probabilidade conjunta: Y X P X (x) P Y (y) 6.1 Defina as funções de probabilidade marginais. 6.2 Defina a função de distribuição conjunta F X,Y (x,y). 6.3 Determine P (X=2 Y 3). 6.4 Determine Cov (X,Y) 7. Sejam X e Y duas variáveis aleatórias com a seguinte função de probabilidade conjunta: 1 ( x + y ), X ( x, y ) = 30 0, P, Y (x, y) AxB (x, y) AxB com A={0, 1, 2, 3} e B={0, 1, 2}. 7.1 Defina as funções de probabilidade marginais. 7.2 Defina a função de distribuição F X,Y (x,y). 8. Considere a experiência aleatória lançamento de dois dados em que um dos dados é de cor azul e o outro de cor vermelho. Seja X o número de pontos saídos no dado azul e Y o número de pontos saídos no dado vermelho. 8.1 Defina, justificando a função de probabilidade conjunta. 8.2 Determine a probabilidade de sair mais do que 7 pontos no lançamento de dois dados. 8.3 Considere a variável aleatória Z=5X+10. Determine E(Z) e Var(Z). 8.4 Determine P(Z 40).

9 UNIVERSIDADE DOS AÇORES Curso Serviço Social Estatística I 1º Ano 1º Semestre 2005/2006 Ficha de trabalho nº 4 Distribuições Importantes 1. A probabilidade de um possível cliente realizar uma compra é Determine a probabilidade de um vendedor ao visitar 15 clientes presumíveis, realizar menos de 5 vendas Idem, considerando a aproximação de Poisson Determine a probabilidade de um vendedor ao visitar 25 clientes presumíveis, realizar menos de 5 vendas. 2. Um distribuidor de batatas de semente chegou à conclusão, após numerosos ensaios, que 5% das batatas não germina; as batatas são vendidas em sacos, contendo 200 batatas, garantindo a germinação de 90% das batatas. Qual a probabilidade de um determinado saco não cumprir o garantido? 3. São escolhidas 20 pessoas em que: 8 são homens de raça branca, 4 são mulheres de raça branca, 5 são homens de raça não branca, 3 são mulheres de raça não branca. Destas 20 pessoas, escolhe-se aleatoriamente 6 pessoas para constituir um júri; qual a probabilidade de o júri ser constituído por: homens, 2 mulheres homens de raça branca, 1 mulheres de raça branca, 1 homens de raça não branca, 1 mulheres de raça não branca. 4. A procura diária para certo tipo de artigo numa determinada loja obedece a uma distribuição de Poisson. Sabendo que a procura média diária é de 3 artigos e que o stock diário é mantido em 6 unidades, calcule: O número esperado de clientes que ficam por satisfazer (num determinado dia) A probabilidade de numa semana (6 dias) se terem verificado no máximo 3 dias com vendas inferiores a 2 produtos. 5. A uma prova de admissão a uma escola universitária, apresentaram-se 3500 candidatos. As pontuações obtidas por aqueles seguem uma distribuição

10 aproximadamente normal (gaussiana) com valor médio 55 pontos e desvio padrão 5 pontos. Uma vez que a referida escola apenas admite 700 candidatos, indique a nota do último candidato admitido. 6. Supondo que as classificações dos alunos de duas Universidades, seguem a Lei Normal e que na Universidade A um aluno foi classificado com 62 pontos, sendo a média 58 e o desvio padrão 10, na Universidade B, um aluno foi classificado com 81 pontos, sendo a média 78 e o desvio padrão 12. Qual dos alunos obteve melhor classificação? 7. Foram medidos os coeficientes intelectuais (Q.I.) de uma população escolar de 2000 alunos e verificou-se que seguem a Lei Normal de distribuição cuja média é 85 e o desvio padrão 30. Determine: 7.1 o número de alunos cujo Q.I. é inferior a o número de alunos cujo Q.I. é menor do que o número de alunos cujo Q.I. está entre 70 e o número de alunos cujo Q.I. é superior a Admita que um avião apenas consegue descolar se a sua carga não exceder 9000 Kgs. O avião transporta 20 pessoas, podendo levar cada uma delas a sua bagagem; é transportada outra espécie de carga. Admitindo que: - O peso de uma pessoa é uma variável aleatória (X 1 ), com distribuição gaussiana ou normal com valor médio µ 1 = 75 e desvio padrão σ 1 = 5, - O peso da bagagem por pessoa é uma variável aleatória (X 2 ) com distribuição gaussiana ou normal com valor médio µ 2 = 20 e desvio padrão σ 2 = 2, - O peso de "outra espécie de carga" é uma variável aleatória (X 3 ) com distribuição gaussiana ou normal com valor médio µ 3 = 6000 e desvio padrão σ 3 =1000 Determine a probabilidade de o avião não levantar voo, não tendo havido qualquer espécie de controlo! 9. Admitamos que o número de chamadas recebidas diariamente num certo telefone particular, obedece a uma distribuição de Poisson, de valor médio µ = 2. Determine a probabilidade de, em 50 dias escolhidos ao acaso durante o ano, a média dos telefonemas diários exceder 3 telefonemas. 10. Determine a probabilidade de em 1000 lançamentos de uma moeda, obter-se um número de caras compreendido entre 480 e 520.

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