Distribuições de Probabilidades

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1 Distribuições de Probabilidades 1 Distribuições Contínuas 1.1 Distribuição Uniforme - U(a,b) Uso mais comum: Primeira tentativa em casos em que apenas os limites dos dados são conhecidos. f() 1/(b-a) a b f() = 1/(b-a) se a b 0 se < a F() = ( a ) / ( b a ) se a b 1 se b < E() = ( a + b ) / Var() = ( b a ) / 1 LARC-PCS/EPUSP 00 1

2 1. Distribuição Eponencial - EXPO(β) Intervalos de tempo de chegada de clientes a um sistema, cuja chegada ocorre com uma determinada taa constante. Intervalo de tempo até a falha de uma peça de um equipamento. f() = 1 / β e se 0 β f() 1/ β F() = 1 / β e se 0 E() = β Var() = β Observar que β representa o intervalo médio de chegada. Também poderia ser indicado, em lugar de β, o parâmetro λ=1/ β que representa a freqüência de chegada. LARC-PCS/EPUSP 00

3 1.3 Distribuição Gama - Gama(α,β) Tempo para realizar alguma tarefa. f() = β α α 1 e Γ( α) / β se > 0 sendo Γ(α) a função Gama definida como z 1 t Γ( z) = t e dt para z > 0 0 f() 1 α=1/ α=1 α= α=3 Se α é um inteiro positivo então Gráficos da Distribuição Gama(α,1) F() = α β 1 j / ( / β) 1 e se 0 j! j= 1 E() = αβ LARC-PCS/EPUSP 00 3

4 Var() = αβ 1.4 Distribuição Weibull - Weibull(α,β) Tempo para realizar alguma tarefa tal como o tempo de reparo de uma máquina. Intervalo de tempo até a falha de uma peça de um equipamento. f() = α α α ( / β) αβ 1 e se > 0 f() 1 α=1/ α=3 α=1 α= Gráficos de Distribuição Weibull(α,1) F() = 1 α ( / β) e se > 0 β 1 E[]= ) α Γ( α LARC-PCS/EPUSP 00 4

5 β 1 Var[] = {Γ( ) [ Γ( )] } α α α α 1.5 Distribuição Normal - Normal(µ,σ ) Erros de tipos diversos Valores que são a soma de grande número de outros valores. f() = 1 ( µ ) /(σ πσ e ) f() Gráfico da Distribuição Normal(0,1) Não tem forma fechada E[] =µ Var[] =σ 1.6 Distribuição Lognormal - Lognormal(µ,σ ) Tempo para realizar alguma tarefa. LARC-PCS/EPUSP 00 5

6 Valores que são o produto de grande número de outros valores. Tem formato semelhante à Gama e à Weibull. f() f() = 1 (ln µ ) /(σ πσ e ) se > 0 Não tem forma fechada E[] = e µ+σ / µ+σ σ Var[] = e ( e 1) 1.7 Distribuição Beta Beta(β,α) Aproimação na ausência de dados que permitam obter uma distribuição mais adequada. Distribuição de proporções aleatórias tais como a proporção de peças defeituosas em uma partida de peças. LARC-PCS/EPUSP 00 6

7 f() = β 1 (1 ) Β( β, α) α 1 se 0 < < 1 sendo Β(β,α) a função Beta definida como 1 Β( β, α) = t 0 β 1 (1 t) α 1 dt f() 0,5 1 Gráficos da Distribuição Beta(β,α) Em geral não tem forma fechada. β E[] = β + α βα Var[] = ( β + α) ( β + α + 1) LARC-PCS/EPUSP 00 7

8 1.8 Distribuição Triangular Triang(Ma, Moda, Min) Aproimação na ausência de dados que permitam obter uma distribuição mais adequada. f() = ( a) ( m a)( b a) ( b ) ( b m)( b a) se a m se m < b f() /(b-a) a m b 0 se < a f() = ( a) ( m a)( b a) se a m ( b ) 1 ( b m)( b a) se m < b 1 se b LARC-PCS/EPUSP 00 8

9 E() = ( a + m + b ) / 3 Var() = ( a + m + b -ma ab -mb) / 18 Distribuições Discretas.1 Distribuição de Bernoulli Bernoulli(p) Ocorrência aleatória onde são possíveis apenas dois resultados. Função densidade: p() = 1 - p se = 0 p se = 1 p() p 1 - p Função densidade: se < 0 p() = 1 - p se 0 < 1 1 se 1 p p(1 p) LARC-PCS/EPUSP 00 9

10 . Distribuição Binomial - Bin(p) Número de sucessos em t tentativas independentes. Número de itens defeituosos em um lote de tamanho t. Função densidade: p() = t p t ( 1 p) se {0,1,,...,t} onde t = t!!( t )! p() 0,6 0,4 t = 5 p = 0,1 e 0, p() = 0 t i t i p (1 p) i= 0 i se 0 t 1 se t < LARC-PCS/EPUSP 00 10

11 E() = t p Var() = t p (1 - p).3 Distribuição Poisson - Poisson(λ) Modelar eventos aleatórios que ocorrem com uma freqüência média λ conhecida. O intervalo entre os eventos possuirá distribuição eponencial com média 1/λ. Função densidade: p() = λ e! λ se {0,1,,...} p() F() = E() = λ e i λ i= 0 i! 0 se <0 λ se 0 LARC-PCS/EPUSP 00 11

12 Var() = λ 3 Bibliografia [1] Law, A. M., Kelton, W. D., "Simulation Modeling and Analysis", 3rd ed., McGraw-Hill Companies Inc, 000,ISBN , 760p. [] Jain, R., The Art of Computer Systems Performance Analysis, John Wiley & Sons Inc, ISBN: , 1991, 685 p. [3] Magalhães, M. N., Lima, A. C. P., Noções de Probabilidade e Estatística, 3 ed,. IME-USP, São Paulo, 001, 375p. [4] Soares, L.F.G., Modelagem e Simulação Discreta de Sistemas, Editora Campus, 199, ISBN , 50p. [5] Kelton, W. D., Sadowski, R. P., Sadowski, D. A., "Simulation with Arena", McGraw-Hill Companies Inc, [Prad 99] LARC-PCS/EPUSP 00 1