ROTEIRO DA APRESENTAÇÃO PROCESSOS ESTOCÁSTICOS

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1 ROTEIRO DA APRESENTAÇÃO MODELOS ESTOCÁSTICOS APLICADOS À INDÚSTRIA Prof. Lupércio França Bessegato Departamento de Estatística Universidade Federal de Juiz de Fora 1 INTRODUÇÃO 2 CADEIAS DE MARKOV 3 MODELOS MARKOVIANOS DE DECISÃO Setembro/ REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 1 / 97 V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 2 / 97 PROCESSOS ESTOCÁSTICOS Sequência de eventos governados por leis probabilísticas 1 INTRODUÇÃO OBJETIVO Investigar estrutura de variáveis aleatórias X t t é um parâmetro em um conjunto de ínidices T ALGUNS TIPOS DE PROCESSOS ESTOCÁSTICOS Passeio aleatório, processo de renovação, processo de ramificação, filas, movimento Browniano, etc. Amplas possibilidade de aplicações V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 3 / 97 V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 4 / 97

2 DEFINIÇÕES FUNDAMENTAIS TIPOS DE PROCESSOS (PROCESSO ESTOCÁSTICO) Sequência de variáveis aleatórias {X t : t T}, todas definidas em um mesmo espaço de probabilidades e indexadas por um conjunto T Atendendo a natureza de T e E E DISCRETO, T DISCRETO Geralmente: E = Z e T = N ESPAÇO DE ESTADOS (E) X t : Ω E R E DISCRETO, T CONTÍNUO Geralmente: E = Z e T = {t : t 0} Conjunto ao qual pertencem todos os possíveis valores de X t ESPAÇO PARAMÉTRICO DE TEMPO (T) Se T = 0, 1,..., {X t} é um processo estocástico em tempo discreto Se T = [0, ), {X t} é um processo estocástico em tempo contínuo T pode não ser unidimensional (Processo de Poisson espacial) E CONTÍNUO, T DISCRETO Geralmente: E = R e T = N E CONTÍNUO, T CONTÍNUO Geralmente: E = R e T = R + {0} V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 5 / 97 V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 6 / 97 DISTRIBUIÇÃO FINITO DIMENSIONAL ESTATÍSTICAS DE UM PROCESSO Para qualquer conjunto finito {t 1, t 2,..., t k } T, a distribuição do vetor X t1, X t2,..., X tk é denominada distribuição finito dimensional do processo. A totalidade das distribuições finito dimensionais de um processo determinam, sob condições gerais, a distribuição do processo. Um processo estocástico é denominado Gaussiano se todos os vetores finito dimensionais possuem distribuição normal multivariada Para um valor de t fixo, tem-se a distribuição unidimensional de X t. Sejam µ t = E [X t ] e σ 2 t = Var {X t }, respectivamente, a média e a variância associadas à X t. Função média do processo: µ = {µ t : t T} Função variância do processo: σ 2 = { σ 2 t : t T } Função covariância do processo: σ s,t = {Cov {X t, X s } : s, t T} V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 7 / 97 V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 8 / 97

3 PROCESSOS COM INCREMENTOS INDEPENDENTES PROCESSO COM INCREMENTOS ESTACIONÁRIOS Considerando T = [0, ), a menos que explicitado em contrário Se X t2 X t1, X t3 X t2,... X tn X tn 1 são independentes para todas as escolhas de 0 t 1 < t 2 < t n 1 < t n, dizemos que o processo {X t } possui incrementos indepedentes. CONSEQUÊNCIA Seja um processo {X t } a tempo discreto (T = {0, 1,... }) com incrementos independentes. {Z i }, Z i = X i X i 1 é uma sequência de variáveis aleatórias independentes, com X i = Z 0 + Z Z i Diz-se que o processo tem incrementos estacionários se a distribuição dos incrementos X t1 +h X t1 depende somente do comprimento h e não do tempo t 1. CONSEQUÊNCIA Para um processo com incrementos estacionários, X t1 +h X t1 d = Xt2 +h X t2 para qualquer valor de t 1, t 2, e h. V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 9 / 97 V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 10 / 97 PROPRIEDADE DE MARKOV DEFINIÇÕES Um processo estocástico possui a propriedade de Markov se P {X t A X t1 = x 1, X t2 = x 2,..., X tn = x n } = P {X t A X tn = x n }, para 0 t 1 < t 2 < t n < t. CONSEQUÊNCIA O futuro não depende do passado quando se conhece o presente (DISTRIBUIÇÃO INICIAL DO PROCESSO) É a distribuição de X 0. (FUNÇÃO DE PROBABILIDADE DE TRANSIÇÃO) P(x, s, t, A) = P {X t A X s = x}, T > s CONSEQUÊNCIA Conhecidas a distribuição inicial e a função de probabilidade de transição de um processo Markoviano, pode-se calcular todas suas distribuições finito dimensionais. V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 11 / 97 V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 12 / 97

4 DISTRIBUIÇÕES UNIDIMENSIONAIS Processo Markoviano com espaço de estados finito E = {0, 1,..., M} DISTRIBUIÇÕES FINITO DIMENSIONAI Processo Markoviano com espaço de estados finito E = {0, 1,..., M} P {X t = j} = = = M P {X 0 = i, X t = j} i=0 M P {X t = j X 0 = i} P {X 0 = i} i=0 M P(i, 0, t, j)p {X 0 = 1} i=0 P {X t1 = i 1, X t2 = i 2,..., X tk = i k } = M = P {X 0 = i, X t1 = i 1, X t2 = i 2,..., X tk = i k } i=0 M = P {X 0 = i} P {X t1 = i 1 X 0 = i} P {X t2 = i 2 X t1 = i 1 }... i=0 P { } X tk = i k X tk 1 = i k 1 M = P {X 0 = i} P(i, 0, t 1, i 1 )P(i 1, t 1, t 2, i 2 )... P(i tk 1, t k 1, t k, i k ) i=0 V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 13 / 97 V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 14 / 97 INTRODUÇÃO 2 CADEIAS DE MARKOV Em geral, os modelos simples são os mais úteis na análise de problemas práticos PROCESSOS MARKOVIANOS Permite modelar a incerteza em muitos sistemas reais que evoluem dinamicamente no tempo Ampla variedade de campos de aplicação Conceitos básicos: estado e transição de estado PROPRIEDADE MARKOVIANA O conhecimento do estado atual do processo é suficiente para predizer o comportamento estocástico futuro do processo V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 15 / 97 V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 16 / 97

5 INTRODUÇÃO II OBJETIVO Encontrar descrição adequada de estados de maneira que o processo estocástico associado tenha a propriedade Markoviana DESENVOLVIMENTO TEÓRICO Processo de Markov a tempo discreto Transições de estado ocorrem apenas em tempos fixos CADEIA DE MARKOV Espaço de estados discreto e parâmetro de tempo discreto. Diz-se que um processo estocástico {X t : t T}, com espaço de estados E = {0, 1, 2,... } e T = {0, 1, 2,... }, é uma cadeia de Markov (de primeira ordem) se para i, j, n tem-se que: P {X n+1 = j X 0 = i 0, X 1 = i 1,..., X n = i} = P {X n+1 = j X n = i} NOTAÇÃO = P {X n+1 = j X n = i} é a probabilidade de transição de i para j no tempo n. P (n,n+1) ij V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 17 / 97 V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 18 / 97 CADEIA HOMOGÊNEA PASSEIO ALEATÓRIO A cadeia é homogênea no tempo quando as probabilidades de transição não dependem de t. X i = X i 1 + Z i, com CONSEQUÊNCIA P ij = P {X t+1 = j X t = i}, t E X 0 = 0 P {Z i = 1} = P {Z i = 1} = 1/2, i EXEMPLO (1) P {X 1 = 1 X 0 = 0} = P {X 1 = 1 X 0 = 0} = 1 2 V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 19 / 97 V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 20 / 97

6 EXEMPLO (2) TRAJETÓRIAS DE PASSEIOS ALEATÓRIOS P {X 2 = 0 X 0 = 0} = passos com p = 0, passos com p = 0, 48 P {X 2 = 0 X 0 = 0, X 1 = 1} = P {X 2 = 0 X 1 = 1} = 1 2 P {X 2 = 0 X 0 = 0, X 1 = 1} = P {X 2 = 0 X 1 = 1} = 1 2 P {X 2 = 0 X 0 = 0} = P {X 2 = 0 X 1 = 1} P {X 1 = 1 X 0 = 0} + P {X 2 = 0 X 1 = 1} P {X 1 = 1 X 0 = 0} P {X t = 0 X 0 = 0} = 1 2, t E result result Index Index V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 21 / 97 V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 22 / 97 MATRIZ DE PROBABILIDADES DE TRANSIÇÃO DISTRIBUIÇÃO MARGINAL DE X 0 Se a cadeia é homogênea no tempo, a matriz de probabilidade de transição (em um passo) é: PROPRIEDADES DE P P = (P ij ), i, j E 1 P ij 0, i, j 2 j E P ij = 1, i E, ou seja, para i fixo, {P ij : j E} define uma função de probabilidade. FUNÇÃO DE PROBABILIDADE DE X 0 α 0 = [α 0 (i); i E], com α 0 (i) = P {X 0 = i}, em que α é o vetor que define a função de probabilidade de X 0. A função de probabilidade de X 0 é chamada função de probabilidade inicial da cadeia Toda matriz que satifaz (1) e (2) é chamada matriz estocástica V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 23 / 97 V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 24 / 97

7 DISTRIBUIÇÃO MARGINAL DE X 1 EXEMPLO FUNÇÃO DE PROBABILIDADE DE X 1 α 1 (j) = P {X 1 = j} = P {X 0 = i, X 1 = j} i E = P {X 0 = i} P {X 1 = j X 0 = i} i E α 1 (j) = α 0 (i)p ij i E DADOS Suponha E = {0, 1, 2, 3}, α 0 = [0, 2; 0, 1; 0, 3; 0, 4] e 0, 1 0, 3 0 0, 6 P = 0 0, 2 0, 4 0, 4 0, 3 0, 1 0, 2 0, 4 0, 6 0 0, 4 0 0, 1 α 1 (0) = P {X 1 = 0} = [0, 2; 0, 1; 0, 3; 0, 4] 0 0, 3 = 0, 35 0, 6 V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 25 / 97 V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 26 / 97 EXEMPLO (CONT.) DISTRIBUIÇÃO MARGINAL DE X 2 DISTRIBUIÇÃO MARGINAL DE X 1 0, 1 0, 3 0 0, 6 α 1 = [0, 2; 0, 1; 0, 3; 0, 4] 0 0, 2 0, 4 0, 4 0, 3 0, 1 0, 2 0, 4 0, 6 0 0, 4 0 α 1 = [0, 35; 0, 11; 0, 26; 0, 28] FUNÇÃO DE PROBABILIDADE DE X 2 α 2 (j) = P {X 2 = j} = P {X 1 = i, X 2 = j} i E α 2 (j) = α 1 (i)p ij i E V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 27 / 97 V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 28 / 97

8 EXEMPLO EXEMPLO (CONT.) DADOS Exemplo anterior, com α 1 = [0, 35; 0, 11; 0, 26; 0, 28] e 0, 1 0, 3 0 0, 6 P = 0 0, 2 0, 4 0, 4 0, 3 0, 1 0, 2 0, 4 0, 6 0 0, 4 0 0, 1 α 2 (0) = P {X 2 = 1} = [0, 35; 0, 11; 0, 26; 0, 28] 0 0, 3 = 0, 281 0, 6 DISTRIBUIÇÃO MARGINAL DE X 2 0, 1 0, 3 0 0, 6 α 2 = [0, 35; 0, 11; 0, 26; 0, 28] 0 0, 2 0, 4 0, 4 0, 3 0, 1 0, 2 0, 4 0, 6 0 0, 4 0 α 2 = [0, 281; 0, 153; 0, 208; 0, 358] V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 29 / 97 V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 30 / 97 DISTRIBUIÇÃO MARGINAL E CONJUNTA DISTRIBUIÇÕES MARGINAIS Dadas a distribuição inicial da cadeia e a matriz de probabilidades de transição, pode-se calcular: a distribuição marginal de X k, k 1 a distribuição conjunta de (X 1, X 2,..., X k ) DISTRIBUIÇÕES MARGINAIS DA CADEIA Em notação matricial. α 1 = α 0 P α 2 = α 1 P = ( α 0 P ) P = α 0 P 2. α k = α k 1 P = α k 2 P 2 = = α 0 P k FUNÇÃO DE PROBABILIDADE DE X k α k = α 0 P k V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 31 / 97 V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 32 / 97

9 α 1 É FUNÇÃO DE PROBABILIDADE? DISTRIBUIÇÃO CONJUNTA α 1 = α 0 P ( ) α 0 (i)p ij α 1 (j) = j E j E i E = α 0 (i) i E j E Mas j E P ij = 1. Assim: α 1 (j) = α 0 (i) = 1 j E i E P ij = i E α 0 (i)p ij j E TRAJETÓRIA EM 2 PASSOS P {X 0 = i, X 1 = j, X 2 = k} = P {X 0 = i} P {X 1 = j X 0 = i} P {X 2 = k X 0 = i, X 1 = j} = P {X 0 = i} P {X 1 = j X 0 = i} P {X 2 = k X 1 = j} = α 0(i)P ijp jk TRAJETÓRIA EM r PASSOS P {X 0 = i 0, X 1 = i 1,..., X r = i r} = P {X 0 = i 0} P {X 1 = i 1 X 0 = i 0}... P {X r = i r X r 1 = i r 1} = α 0(i 0)P i0,i 1 P i1,i 2... P ir 1,i r V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 33 / 97 V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 34 / 97 EXEMPLO PROBABILIDADES DE TRANSIÇÃO DE 2 a. ORDEM DADOS Calcular P {X 0 = 1, X 1 = 0, X 2 = 0}, com E = {1, 2, 3, 4}, 0, 1 0, 3 0 0, 6 α 0 = [0, 2; 0, 1; 0, 3; 0, 4] e P = 0 0, 2 0, 4 0, 4 0, 3 0, 1 0, 2 0, 4 0, 6 0 0, 4 0 P {X 2 = j X 0 = i} = k E P {X 1 = k, X 2 = j X 0 = i} = k E P {X 1 = k X 0 = i} P {X 2 = j X 1 = k} = k E P ik P kj SOLUÇÃO P {X 0 = 1, X 1 = 0, X 2 = 0} = P {X 0 = 1} P {X 1 = 0 X 0 = 1} P {X 2 = 0 X 1 = 0} = α 0 (1)P 10 P 00 = 0 P {X 2 = j X 0 = i} é a célula (i, j)da matriz P 2 V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 35 / 97 V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 36 / 97

10 TRANSIÇÃO DE 2 a. ORDEM MATRIZ DE PROBABILIDADES DE TRANSIÇÃO PROBABILIDADE DE TRANSIÇÃO DE 2 a. ORDEM NOTAÇÃO P (2) ij = P {X n+2 = j X n = i} A matriz P 2 é formada pelas probabilidades de transição de 2 a. ordem. DADO 0, 1 0, 3 0 0, 6 P = 0 0, 2 0, 4 0, 4 0, 3 0, 1 0, 2 0, 4 0, 6 0 0, 4 0 MATRIZ DE TRANSIÇÃO DE 2 a. ORDEM 0, 37 0, 09 0, 36 0, 18 P 2 = 0, 36 0, 08 0, 32 0, 24 0, 33 0, 13 0, 24 0, 30 0, 18 0, 22 0, 08 0, 52 P {X 2 = 0 X 0 = 1} = P (2) 10 = 0, 36 V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 37 / 97 V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 38 / 97 PROBABILIDADE DE TRANSIÇÃO DE 3 a. ORDEM PROBABILIDADE DE TRANSIÇÃO DE 3 a. ORDEM NOTAÇÃO P {X 3 = j X 0 = i} = k E P {X 2 = k, X 3 = j X 0 = i} = k E P {X 2 = k X 0 = i} P {X 3 = j X 2 = k} = k E = P (3) ij P (2) ik P kj = (P 3 ) ij P (3) ij = P {X n+3 = j X n = i} DADO 0, 1 0, 3 0 0, 6 P = 0 0, 2 0, 4 0, 4 0, 3 0, 1 0, 2 0, 4 0, 6 0 0, 4 0 MATRIZ DE TRANSIÇÃO DE 3 a. ORDEM 0, 253 0, 165 0, 180 0, 402 P 3 = 0, 276 0, 156 0, 192 0, 376 0, 285 0, 149 0, 220 0, 346 0, 354 0, 106 0, 312 0, 228 P {X 3 = 0 X 0 = 1} = P (3) 10 = 0, 276 V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 39 / 97 V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 40 / 97

11 PROBABILIDADE DE TRANSIÇÃO DE ORDEM r PROBABILIDADE DE TRANSIÇÃO DE 50 a. ORDEM Em geral, CONSEQUÊNCIA 1 P {X 0 = i, X r = j} = α 0 (i)p (r) ij 2 P {X n+r = j X n = i} = P (r) ij P (r) ij = P {X r = j X 0 = i} DADO 0, 1 0, 3 0 0, 6 P = 0 0, 2 0, 4 0, 4 0, 3 0, 1 0, 2 0, 4 0, 6 0 0, 4 0 MATRIZ DE TRANSIÇÃO DE 3 a. ORDEM 0, 297 0, 141 0, 234 0, 328 P 50 = 0, 297 0, 141 0, 234 0, 328 0, 297 0, 141 0, 234 0, 328 0, 297 0, 141 0, 234 0, 328 P {X 50 = 0 X 0 = i} = P (50) i0 = 0, 297, i E V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 41 / 97 V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 42 / 97 EQUAÇÃO DE CHAPMAN-KOLMOGOROV EXEMPLO Estabelece as probabilidades de transição de um estado i para um estado j em n + r passos. EXEMPLO P (n+r) ij = k E P (n) ik P(r) kj P {X 0 = i 0, X 3 = i 3, X 5 = i 5} = P {X 0 = i 0} P {X 3 = i 3 X 0 = i 0} P {X 5 = i 5 X 3 = i 3} = α o(i 0)P (3) i 0 i 3 P (2) i 3 i 5 DADOS Calcular P {X 0 = 1, X 3 = 0, X 6 = 1, X 8 = 3}, com E = {1, 2, 3, 4}, 0, 1 0, 3 0 0, 6 α 0 = [0, 2; 0, 1; 0, 3; 0, 4] e P = 0 0, 2 0, 4 0, 4 0, 3 0, 1 0, 2 0, 4 0, 6 0 0, 4 0 SOLUÇÃO P {X 0 = 1, X 3 = 0, X 6 = 1, X 8 = 3} = P {X 0 = 1} P {X 3 = 0 X 0 = 1} P {X 6 = 1 X 3 = 0} P {X 8 = 3 X 6 = 1} = α 0(1)P (3) 10 P(3) 01 P(2) 13 = (0, 1)(0, 276)(0, 165)(0, 376) = 0, 002 V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 43 / 97 V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 44 / 97

12 EXEMPLO - RATO SOLUÇÃO RATO EM LABIRINTO Um rato é colocado no labirinto abaixo. Ele move-se ao acaso através dos compartimentos. Ele faz uma troca de compartimento em cada instante de tempo. O estado do sistema é o número do compartimento em que o rato está. Determine a matriz de probabilidades de transição deste processo /2 0 1/ /3 0 1/3 0 1/ /2 0 1/ / /3 0 1/3 0 0 P = 5 0 1/4 0 1/4 0 1/4 0 1/ /3 0 1/ / / / /3 0 1/3 0 1/ /2 0 1/ V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 45 / 97 V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 46 / 97 EXEMPLO - CLIMA EXEMPLO - CLIMA II CLIMA EM MONTES CLAROS A probabilidade de não chover amanhã é de 0, 8, caso hoje esteja seco. Porém é de apenas 0, 6, caso hoje seja chuvoso. MATRIZ DE PROBABILIDADES DE TRANSIÇÃO P = 0 [ ] 0, 8 0, 2 1 0, 6 0, 4 ESTADOS X t = { 0, se dia t é seco 1, se dia t é chuvoso Quais serão as probabilidades de transição de 365 a. ordem (daqui um ano)? TOPOLOGIA DA CADEIA 0, 8 0, , 2 0, 4 V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 47 / 97 V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 48 / 97

13 ALGUMAS APLICAÇÕES DE CADEIA DE MARKOV EXEMPLO - OFICINA APLICAÇÕES Modelo de estoque Modelos de manutenção Modelos de evolução de ativos Modelos crédito FALHA DE EQUIPAMENTOS Há 3 máquinas, que podem falhar a cada dia com uma probabilidade de 0.1, independente uma das outras. Oficina de reparo com capacidade de apenas uma máquina por dia. Máquina reparada não falha no próximo dia. Máquina 1 tem prioridade (gargalo na produção). Máquina 3 tem a menor prioridade. ESTADOS 1: máquina 1 falha 2: máquina 2 falha 3: máquina 3 falha 4: máquinas 1 e 2 falham 5: máquinas 1 e 3 falham 6: máquinas 2 e 3 falham 7: todas máquinas falham 8: todas máquinas trabalham V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 49 / 97 V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 50 / 97 EXEMPLO - OFICINA II EXEMPLO - OFICINA III MATRIZ DE PROBABILIDADES DE TRANSIÇÃO 1 0 0, 09 0, , , , , , , , , , 81 4 P = 0 0, , , , , 9 0 0, , 081 0, 081 0, 081 0, 009 0, 009 0, 009 0, 001 0, 729 PROBABILIDADES DE TRANSIÇÃO ATÉ O 50 o. DIA P = V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 51 / 97 V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 52 / 97

14 CLASSIFICAÇÃO DE ESTADOS RELAÇÃO DE COMUNICAÇÃO (ACESSIBILIDADE) O estado j é acessível desde o estado i se existe uma trajetória indo do estado i para o estado j. Existe n ij > 0 tal que P (n ij) ij > 0. Notação: i j. A relação de comunicação define uma relação de equivalênica, isto é: i i Se i j, então j i Se i j e j k, então i k (COMUNICAÇÃO) Os estados i e j comunicam-se entre eles se i j e j i. Existem n ij e n ji tal que P (n ij) ij Notação: i j. > 0 e P (n ji) ji > 0. V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 53 / 97 V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 54 / 97 DECOMPOSIÇÃO DO ESPAÇO DE ESTADOS EXEMPLO A relação de estados comunicantes induz uma partição do espaço de estados: E = C 1 C 2 C r T CLASSES DE EQUIVALÊNCIA (C) Todos os estados em C i comunicam-se entre si, mas nenhum de seus estados é acessível desde qualquer estado pertencente à C j, j i. DADO 0 0, 3 0, 2 0, , 2 0, 4 0, P = 0, 6 0 0, , 1 0, 2 0, 3 0, 1 0 0, 3 ESTADOS TRANSITÓRIOS Conjunto T é formado por estados a partir dos quais há trajetórias para algum estado das classes C i, i = 1, 2,..., r. (Dessas classes não é possível retornar ao conjunto T SOLUÇÃO C 1 = {0, 1, 2} C 2 = {3, 4} T = {5} V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 55 / 97 V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 56 / 97

15 EXEMPLO II Comportamento da cadeia à longo prazo DADO 0 0, 3 0, 2 0, , 2 0, 4 0, P = 2 0, 6 0 0, , 1 0, 2 0, 3 0, 1 0 0, 3 IRREDUTIBILIDADE Uma cadeia de Markov é irredutível se existe uma única classe de equivalência, isto é, E = C 1 A cadeia é irredutível se todos os estados comunicam-se entre si. 0 0, 419 0, 140 0, , 419 0, 140 0, P 50 = 2 0, 419 0, 140 0, , 359 0, 119 0, 379 0, 033 0, V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 57 / 97 V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 58 / 97 PERIODICIDADE EXEMPLO Período do estado i é definido como: { m.d.c. {n} d(i) = onde m.d.c. é o máximo divisor comum., se P (n) ii > 0, 0, se P (n) ii = 0, DADO 0 0 0, 3 0 0, 4 1 P = 0, 6 0 0, , 5 0 0, 5 3 0, , 7 Um estado i E é aperiódico se d(i) = 1. PROPRIEDADE Se i j, então d(i) = d(j). { P00 = 0 P (2) 00 P01P10 > 0 d(0) = m.d.c. {2, 4,... } d(0) = 2 V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 59 / 97 V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 60 / 97

16 CADEIAS APERIÓDICAS RECORRÊNCIA I Diz-se que uma cadeia é aperiódica se ela é irredutível e um de seus estados tem período 1. Suponha que X 0 = i, i E. O tempo de primeiro retorno ao estado i, é definido como τ i = min{n : X n = i}. Nossos estudos estarão concentrados em cadeias aperiódicas. Um estado i é recorrente se, e somente se, equivalentemente, P {τ i < X 0 = i} = 1. n=0 P(n) ii =, ou, Seja i um estado recorrente. Diz-se que i é recorrente positivo se lim n P (n) ii = π(i) > 0. Se lim n P (n) ii = 0, diz-se que o estado i é recorrente nulo. V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 61 / 97 V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 62 / 97 RECORRÊNCIA II RECORRÊNCIA DE CADEIAS FINITAS PROPRIEDADE Recorrência é uma propriedade de classe, isto é, se i j e i é recorrente, então j também é recorrente. Se i é recorrente positivo (nulo) e i j, então j também é recorrente positivo (nulo). Se um estado não é recorrente, ele é transitório. Em uma cadeia de Markov com espaço de estados finito, existe pelo menos um estado recorrente. COROLÁRIO Se uma cadeia finita é irredutível, então todos os estados são recorrentes positivos. V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 63 / 97 V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 64 / 97

17 CADEIAS ERGÓDICAS EXEMPLO (CADEIA ERGÓDICA) Uma cadeia, não necessariamente finita, é ergódica se ela é irredutível, aperiódica e recorrente (CADEIA FORTEMENTE ERGÓDICA) Diz-se que uma cadeia é fortemente ergódica, se ela é ergódica e se pelo menos um de seus estados (e portanto todos) é recorrente positivo. DADO 0, 3 0, 2 0, 5 P = 0, 2 0, 4 0, 4 0, 6 0 0, 4 0, 419 0, 140 0, 442 P 50 = 0, 419 0, 140 0, 442 0, 419 0, 140 0, 442 Cadeia é finita irredutível, logo todos os estados são recorrentes positivos (nenhum é transitório). P n ii > 0, n V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 65 / 97 V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 66 / 97 DISTRIBUIÇÃO INVARIANTE I DISTRIBUIÇÃO INVARIANTE II Se uma cadeia é fortemente ergódica, então, para cada estado i existe lim n P (n) ii = π(i) > 0. Esse limite não depende do estado inicial da cadeia, ou seja, lim n P (n) ji = π(i). (DISTRIBUIÇÃO INVARIANTE) Dessa maneira, define-se a distribuição invariante da cadeia, que é representada por: TEOREMA Se a cadeia for fortemente ergódica, então, para i, j E: 1 π(i) = 1 E i (τ i ), com E i (τ i ) = E [τ i X 0 = i] e τ i = min{n : X n = i} 2 lim n P (n) ji = π(i), ou seja, esse limite não depende do estado inicial da cadeia π = [π(0), π(1),..., π(i),... ], i E. V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 67 / 97 V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 68 / 97

18 DISTRIBUIÇÃO INVARIANTE III EXEMPLO Se a cadeia é finita, aperiódica e irredutível, existe a distribuição invariante, que pode ser obtida das seguintes maneiras: 1 Calcula-se lim n P n. Essa matriz existe e tem a forma 1π, onde 1 é um vetor de uns. O vetor π é qualquer das linhas dessa matriz-limite. 2 O vetor π é a solução dos sistema de equações lineares π = π P, sujeito à restrição i E π(i) = 1. A condição de ergodicidade forte garante que a solução existe e é única. As probabilidades π(i), i E podem ser vistas com a proporção de vezes que a cadeia passa pelo estado i em uma quantidade suficientemente grande de passos. EQUAÇÃO DA INVARIANTE SOLUÇÃO [π(0), π(1), π(2)] = [π(0), π(1), π(2)] [ 0, 3 0, 2 ] 0, 5 0, 2 0, 6 0, 4 0 0, 4 0, 4 0, 3π(0) + 0, 2π(1) + 0, 6π(2) = π(0) 0, 2π(0) + 0, 4π(1) + 0π(2) = π(1) 0, 5π(0) + 0, 4π(1) + 0, 4π(2) = π(2) π(0) + π(1) + π(2) = 1 π = [0, 4186, 0, 1395, 0, 4419] V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 69 / 97 V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 70 / 97 PROCESSOS MARKOVIANOS DE DECISÃO 3 MODELOS MARKOVIANOS DE DECISÃO Em geral, o modelo de Markov é apropriado para sistemas dinâmicos com movimentos regulados por determinada lei probabilística. Mesmo em presença de dinamismo e incerteza, há situações em que as transições dos estados podem ser controladas por uma sequência de ações. MODELO DE DECISÃO DE MARKOV É uma ferramenta poderosa para analisar processos probabilísticos de decisão sequencial com um horizonte infinito de planejamento. V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 71 / 97 V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 72 / 97

19 MODELO DE DECISÃO UM MODELO DE ESTOQUE APLICAÇÕES POTENCIAIS Controle de estoque Manutenção Fabricação Comunicação CRITÉRIO DE OTIMIZAÇÃO Custo (ou recompensa) médio à longo prazo (long-run) por unidade de tempo OUTROS CRITÉRIOS Custo esperado total Custo descontado (fluxo de caixa) esperado total Produto é estocado para satisfazer demanda continuada. DEMANDA D t+1 : demanda agregada entre os instantes t e t + 1 {D t } t 1 são independentes e identicamente distribuídas ESTOQUE Dado X t = i, X t+1 depende apenas da demanda em t + 1, ou seja, não é afetada pelo histórico do estoque anterior ao instante t. REPOSIÇÃO DO ESTOQUE Ocorre no imediatamente após o pedido. V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 73 / 97 V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 74 / 97 POLÍTICA DE ESTOQUE EVOLUÇÃO DO ESTOQUE ESTRATÉGIA (s, S) Se no instante t o estoque (X t ) é menor ou igual a s, então ele é trazido para o nível S no instante t + 0. Caso contrário, não se toma nenhuma ação. EQUAÇÃO DINÂMICA DO MODELO { max{x t D t+1, 0} X t+1 = max{s D t+1, 0}, se s < X t S, se X t s HIPÓTESES O estoque inicial (X 0 ) não é maior que S Não há reposição instantânea, caso a demanda no instante t seja maior que o estoque. CONSEQUÊNCIA Espaço de estado de {X t } t 1 : E = {S, S 1, S 2,..., 0} V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 75 / 97 V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 76 / 97

20 EXEMPLO - ESTOQUE ESTOQUE - MODELO PROBABILÍSTICO O PROBLEMA X t : quantidade itens de produto X em estoque no final da semana t D t : demanda do produto X na semana t, com D t Poisson(1) (0, 3): política (s, S) de estoque Demanda D t = i P {D t = i} 0 0, , , , 080 SITUAÇÕES PARA TRANSIÇÕES 0 D t 3 D t = 2 D t = 1 D t = 0 1 P = D t 1 D t = D t 2 D t = 1 D t = D t 3 D t = 2 D t = 1 D t = 0 MATRIZ DE PROBABILIDADES DE TRANSIÇÃO 0 0, 080 0, 184 0, 368 0, P = 0, 632 0, , 264 0, 368 0, , 080 0, 184 0, 368 0, 368 V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 77 / 97 V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 78 / 97 ESTOQUE - INVARIANTE ESTOQUE - TEMPOS DE RECORRÊNCIA DISTRIBUIÇÃO ESTACIONÁRIA DA CADEIA π = [0, 286; 0, 285; 0, 263; 0, 166] Os valores da invariante podem ser interpretados como a proporção de vezes que o estoque atinge cada um destes estados após um número muito grande de semanas TEMPO ESPERADO DE RECORRÊNCIA µ ii = 1 π(i) ESTOQUE - TEMPOS DE RECORRÊNCIA µ 00 = 1 = 3, 50 sem. 0, 286 µ 11 = 1 = 3, 51 sem. 0, 285 µ 22 = 1 = 3, 80 sem. 0, 263 µ 33 = 1 = 6, 02 sem. 0, 166 V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 79 / 97 V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 80 / 97

21 CUSTO MÉDIO POR UNIDADE DE TEMPO CUSTO ESPERADO EM LONGO PRAZO CUSTOS (OU PENALIDADES) C(X t ): custo (ou função perda) incorrido quando o processo se encontrar no estado X t, no instante t MODELO DE CUSTO C(X t ) é variável aleatória que assume os valores C(0), C(1),..., C(M) A função C(.) é independente de t CUSTO MÉDIO INCORRIDO EM n PERÍODOS [ ] 1 n E C(X t ) n t=1 CUSTO ESPERADO POR UNIDADE DE TEMPO Para um horizonte infinito de planejamento: [ ] lim E 1 n C(X t ) = π(j)c(j) n n j E RESULTADO PRECEDENTE Pode-se provar que: lim n t=1 ( 1 n n k=1 P (k) ij ) = π(j) V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 81 / 97 V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 82 / 97 ESTOQUE - CUSTO SEMANAL ESPERADO FUNÇÕES DE CUSTO COMPLEXAS ESTOQUE - FUNÇÃO DE CUSTO $0, se X t = 0 $2, se X t = 1 C(X t ) = $8, se X t = 2 $18, se X t = 0 CUSTO DE ESTOQUE ESPERADO A LONGO PRAZO 0 [0, 286 0, 285 0, 263 0, 166] 2 8 = 5, SITUAÇÃO Além do estado da cadeia, o custo também pode depender de alguma variável aleatória. EXEMPLO - ESTOQUE Custos as serem considerados: Custo da encomenda Custo de penalidade para demanda não atendida Custo de armazenagem O custo total por semana t é função do estoque na semana anterior (X t 1 ) e da demanda na semana corrente (D t ) V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 83 / 97 V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 84 / 97

22 CUSTO MÉDIO ESPERADO CUSTOS ADICIONAIS - ESTOQUE CUSTO MÉDIO ESPERADO A LONGO PRAZO POR UNIDADE DE TEMPO [ lim E 1 n n ] n C(X t 1, D t ) = k(j)π(j), j E t=1 onde k(j) = E [C(j, D t ] que é a esperança condicional de C(X t 1, D t ) dado X t 1 = j. CUSTOS DO MODELO Custo de encomenda: $25 por unidade encomendada mais um valor fixo de $10 por encomenda Penalidade por demanda não atendida: $50 Custo de armazenamento: considerado desprezível EQUAÇÃO DINÂMICA DO CUSTO SEMANAL C(X t 1, D t ) = { 10 + (25)(3) + 50 max{d t 3, 0}, se s < X t 1 = 0 em qualquer instante de tempo t. 50 max{d t X t 1, 0}, se X t 1, V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 85 / 97 V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 86 / 97 CUSTO DO ESTADO 0 CUSTO DO ESTADO 1 CUSTO DO ESTADO 0 C(0, D t ) = max {D t 3, 0} CUSTO DO ESTADO 1 C(1, D t ) = 50 max {D t 1, 0} CUSTO ESPERADO CONDICIONADO AO ESTADO 0 k(0) = E [C(X t 1, D t ) X t 1 = 0] = E [max {D t 3, 0}] = [P d (4) + 2P D (5) + 3P D (6) + ] = $86, 2 onde P D (i) = P {D t = i}. CUSTO ESPERADO CONDICIONADO AO ESTADO 1 k(1) = E [C(X t 1, D t ) X t 1 = 1] = 50E [max {D t 1, 0}] = 50 [P d (2) + 2P D (3) + 3P D (4) + ] = $18, 4 PROBABILIDADES DEMANDAS P D (2) = 0, 184 P D (3) = 0, 061 P D (4) = 0, 015 P D (5) = 0, 003 P D (6) = 0, 001 P D (7) = 0, 000 V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 87 / 97 V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 88 / 97

23 CUSTO DO ESTADO 2 CUSTO DO ESTADO 3 CUSTO DO ESTADO 2 C(2, D t ) = 50 max {D t 2, 0} CUSTO ESPERADO CONDICIONADO AO ESTADO 2 k(2) = E [C(X t 1, D t ) X t 1 = 2] = 50E [max {D t 1, 0}] = 50 [P d (3) + 2P D (4) + 3P D (5) + ] = $5, 2 CUSTO DO ESTADO 3 C(3, D t ) = 50 max {D t 3, 0} CUSTO ESPERADO CONDICIONADO AO ESTADO 3 k(3) = E [C(X t 1, D t ) X t 1 = 3] = 50E [max {D t 3, 0}] = 50 [P d (4) + 2P D (5) + 3P D (6) + ] = $1, 2 V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 89 / 97 V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 90 / 97 CUSTO SEMANAL ESPERADO (Long-Run) 86, 2 3 k(j)π(j) 18, 4 5, 2 = $31, 46 1, 2 j=0 CONDIÇÕES DE VALIDADE DO MODELO HIPÓTESES DO MODELO {X t } é uma cadeia de Markov irredutível (E finito) Há uma sequência de variáveis aleatórias condicionalmente independentes associadas a essa cadeia Para um m = 0, ±1, ±2,... fixo, um custo C(X t 1, D t+m ) é incorrido no instante t. A sequência X 0, X 1, X 2,... é independente de D t+m V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 91 / 97 V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 92 / 97

24 RESULTADOS FUNDAMENTAIS Atendidas as condições enunciadas RESULTADO 1 [ lim E 1 n n ] n C(X t, D t+m ) = k(j)π(j), j E t=1 em que k(j) = E [C(j, D t+m )] MELHOR POLÍTICA EXEMPLO ESTOQUE Encontrou-se o custo médio semanal (long-run) para a política ((0, 3)) POLÍTICA ÓTIMA Quais os valores de (s, S) que minimizam o custo médio semanal de estoque (long-run)? RESULTADO 2 lim n [ 1 n ] n C(X t, D t+m ) = k(j)π(j), j E t=1 para basicamente todos os caminhos do processo. V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 93 / 97 V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 94 / 97 BIBLIOGRAFIA 4 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS TIJMS, H. C. A First Course in Stochastic Models Wiley, 2003 ROSS, S. M. Introduction to Probability Models Academic Press, 2010 ROSS, S. M. Stochastic Processes Wiley, 1996 KARLIN, S.; TAYLOR, H. M. A First Course in Stochastic Processes Academic Press, 1975 V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 95 / 97 ATUNCAR, G. S. Conceitos Básicos de Processos Estocásticos Dep. Estatística/UFMG, 2011 V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 96 / 97

25 MODELOS ESTOCÁSTICOS APLICADOS À INDÚSTRIA Prof. Lupércio França Bessegato Departamento de Estatística Universidade Federal de Juiz de Fora Setembro/2013 V SEMANA DA MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIMONTES 97 / 97