Modelagem Estocástica e Quantificação de Incertezas

Transcrição

1 Modelagem Estocástica e Quantificação de Incertezas Rubens Sampaio rsampaio@puc-rio.br Roberta de Queiroz Lima robertalima@puc-rio.br Departamento de Engenharia Mecânica DINCON 2015

2 Organização do curso 1 a aula: 1 Probabilidade básica Variáveis aleatórias (discretas e contínuas) Vetores aleatórios Independência Condicionamento 2 Função de variavéis aleatórias: Soma de variáveis aleatórias independentes Soma de variáveis aleatórias dependentes 3 Geração de amostras de variáveis e vetores aleatórios Método da Transformada Inversa Método da Rejeição Condicionamento: regra da cadeia

3 Organização do curso 2 a aula: 1 Método de Monte Carlo Lei dos Grandes Números Teorema do Limite Central Aproximação de integrais 2 Processos estocásticos (discretos e contínuos) Processo de Bernoulli Processo de Poisson Processo uniforme Processo exponencial 3 Modelagem estocástica de sistema dinâmico não linear: stick-slip.

4 Método de Monte Carlo Simulações estocásticas de um sistema: 1 constrói-se um modelo determinístico para o sistema; 2 constrói-se um modelo estocástico para o sistema; histogramas Princípio da Entropia Máxima (PEM) 3 aplica-se o método de Monte Carlo para obter-se inferências estatísticas sobre a resposta do sistema.

5 Método de Monte Carlo

6 Método de Monte Carlo Variável aleatória X = Amostras x (1) x (2). x (n) = Processamento das Amostras y (1) y (2). y (n) = Estatísticas ˆσ 2 = 1 n ˆµ = 1 n n i=1 n y i i=1 (y i ˆµ) 2

7 Método de Monte Carlo Aproximação para o valor π. Etapas: 1 Gerar m amostras distribuídas uniformemente no cubo. se: x 2 1+ x 2 2+ x 2 3 r amostra está dentro da esfera 2 Calcular a razão, R, entre o número de amostras na esfera e o número total de amostras, m. 3 Aproximação: ˆπ = 6R. 4 Verificar se ˆπ está dentro de uma margem de erro prescrita.

8 Método de Monte Carlo Se esse experimento for repetido n vezes, obtém-se uma sequência de aproximações: ˆπ 1,, ˆπ n Como saber se elas aproximam de fato π? O método de Monte Carlo é fundamentado em dois teoremas: Lei dos Grandes Números: garante a convergência das aproximações obtidas através do método; Teorema do Limite Central: especifica como é a convergência.

9 Método de Monte Carlo Se esse experimento for repetido n vezes, obtém-se uma sequência de aproximações: ˆπ 1,, ˆπ n Média do experimento, µ? Variância, σ 2 0? Figura: Histograma normalizado com n=10 3 aproximações de π. Cada aproximação é calculada com m=10 4 amostras no cubo. ˆπ

10 Lei dos grandes números Considere que os experimentos formam uma sequência de variáveis aleatórias Π 1, Π 2, : independentes; identicamente distribuídas, com média µ e variância σ 2. Seja S n = Π 1 + Π 2 + +Π n. Tem-se que S n /n converge em média quadrática para µ: [ S n n µ = (Sn ) ] 2 E n µ 0, quando n +.

11 Lei dos grandes números Pela lei dos grandes números, sendo S n = Π 1 + +Π n : µ Sn n = E [ ] Sn = 1 n n (E[Π 1]+E[Π 2 ]+ +E[Π n ])= µ = π, σ 2 Sn n [ = E ( S n ]= n 1n µ)2 2 (var(π 1)+ +var(π n ))= σ 2 n. Note que: com o aumento de n, σˆ 2 Sn n proporcional a 1/n. decai com uma razão

12 Lei dos grandes números Aproximações para µ e σ 2 podem ser obtidas através dos resultados ˆπ 1,, ˆπ n : ˆµ = 1 n n i=1 ˆπ i, σˆ 2 = 1 n n i=1 ( ˆπ i ˆµ) 2 A média e variância de S n /n podem ser aproximadas por: ˆ σ 2 Sn n = ˆµ Sn n = ˆµ, ˆ σ 2 n = 1 n 2 n i=1 ( ˆπ i ˆµ) 2.

13 Lei dos grandes números 2 x 10 3 σ 2 Sn n ˆσ 2 Sn n = σ2 n 1.5 var(sn/n) n Figura: Variância de S n /n em função do número de repetições n do experimento.

14 Lei dos grandes números Experimento: gerar amostras de X 1 e X 2 com densidades N (0,1) e calcular a média das amostras geradas. Repete-se o experimento n=1,000 vezes. Varia-se o tamanho, m, da amostra: 0.4 m = m = 1, E[X2] 0 E[X2] E[X 1] E[X 1] 0.4 m = 10, m = 100, E[X2] 0 E[X2] E[X 1] E[X 1]

15 Teorema do limite central Seja Π 1,Π 2, uma sequência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas, com média µ e variância σ 2. Seja S n = Π 1 + Π 2 + +Π n e seja: Z n = S n µn σ n Quando n +, Z n converge em probabilidade para uma variável aleatória Z com distribuição cumulativa de probabilidade gaussiana de média nula e variância um. P Zn (Z n x) P Z (Z x) quando n +, x onde P Z é contínua.

16 Teorema do limite central Verifica-se que com probabilidade uma amostra de N (0,1) está no intervalo ( 2,2): Pr( 2<Z n < 2)= ( Pr 2< S ) n µn σ n < 2 = Assim, com probabilidade 0.954, µ estará no intervalo: S n 2σ n n < µ < S n+ 2σ n n.

17 Teorema do limite central Função probabilidade gaussiana de média nula e variância um

18 Aproximação de integrais Suponha que deseja-se calcular a integral: I = g({x}) d{x}. A Se g é uma função simples, o cálculo de I é fácil. Se g é uma função mais complicada = métodos de integração numérica para aproximar I. método do trapézio; método de Simpson; método de Monte Carlo.

19 Aproximação de integrais As vantagens do método de Monte Carlo são: simplicidade de implementação; garantia de convergência da resposta, devido a: Lei dos Grandes Números; teorema do Limite Central; eficiência em problemas multidimensionais.

20 Aproximação de integrais Suponha que deseja-se calcular: I = g({x}) d{x}. A A integral é interpretada como a média de uma função, h, de um vetor aleatório, {X} R d, com densidade p. g({x}) I = p({x}) d{x} A p({x}) I = h({x}) p({x}) d{x} A

21 Aproximação de integrais I é interpretada como o valor esperado de h({x}): I = E[h({X})]. Uma aproximação Î para a integral I é obtida através de amostras {x} (1),{x} (2),,{x} (m) de {X} de acordo com p: Î = m i=1 h({x} (i) ).

22 Aproximação de integrais Exemplo: Aproximar o volume de uma esfera n-dimensional. 1 o Método: Determinístico Malha uniforme no cubo n-dimensional. Dimensões elevadas apresenta um alto custo computacional!

23 Aproximação de integrais Exemplo: 2 o Método: Monte Carlo 1 Gerar amostras distribuídas de uma variável aleatória uniforme no cubo. 2 Calcular a razão R entre o número de amostras dentro da esfera e o número de amostras total m.

24 Aproximação de integrais Exemplo: Para comparar os resultados dos dois métodos, definiu-se uma medida de erro: erro= I (n) Î (n) Î (n).

25 Aproximação de integrais n Malha Uniforme Monte Carlo Erro Tempo [s] Erro Tempo [s] ??

26 Aproximação de integrais

27 Aproximação de integrais

28 Aproximação de integrais n Vol. esfera Vol. cubo R (n)

29 Processos estocásticos Um processo estocástico, X, é uma função: X : Ω T R (w,t) X (t,w) Na maioria dos processos estocásticos, o parâmetro t está associado ao tempo. Ao se fixar w m para w, o processo representa uma única função X (t,w m ) de t. Ao se fixar t j para t, o processo representar uma variável aleatória, X (t j,w).

30 Processo estocástico discreto Sendo T um conjunto discreto, X é um processo estocástico discreto = número infinito de variáveis aleatórias (discretas ou contínuas) indexadas por t: X (t 1 ) X (t 2 ) X (t 3 ) X (t n ) X 1 X 2 X 3 X n Quando o número de valores do parâmetro t é finito: a função densidade de probabilidade do processo é a função densidade conjunta de X 1,X 2,,X n. = vetor aleatório de dimensão n.

31 Processo estocástico discreto Fixado um valor de t=t j, a variável aleatória X (t j,w) tem função distribuição de probabilidade cumulativa: P X (tj,w)(x)=pr(x (t j,w)<x) e função densidade de probabilidade: p X (tj,w).

32 Processo estocásticos discreto Algumas estatísticas de X : média: µ X (t)=e[x (t,w)]= x p X (t,w)(x) dx variância: σ 2 X (t)=e[{x (t,w) µ X(t)} 2 ]

33 Processo estocástico discreto Algumas estatísticas de X : autocorrelação: covariância: R X X (t 1,t 2 )=E[X (t 1,w) X (t 2,w)] C(t 1,t 2 ) = E[{X (t 1,w) µ X (t 1 )} {X (t 2,w) µ X (t 2 )}] = E[X (t 1,w)X (t 2,w)] µ X (t 1 )µ X (t 2 ) = R X X (t 1,t 2 ) µ X (t 1 )µ X (t 2 )

34 Processo de Bernoulli Exemplo: Lançamento de uma moeda: { cara (prob. w) coroa (prob. 1 w) O espaço amostral Ω, contém todas as possibilidades de resultados, é o conjunto de todas as sequências com os resultados dos lançamentos. Podemos definir várias variáveis aleatórias diferentes em Ω:

35 Processo de Bernoulli Lançando n vezes de forma independente: 1 binomial: N número de caras obtidas. Lançando infinitas vezes de forma independente: 1 geometrica: W número de lançamentos até obter-se a primeira cara. 2 binomial negativa: W r número de lançamentos até obter-se r caras.

36 Processo de Bernoulli Exemplo: determine a probabilidade de termos dois lançamentos consecutivos de caras antes de termos dois lançamentos consecutivos de coroas. { Hn sequência de resultados com cara na n-ésima posição T n sequência com coroa na n-ésima posição. Objetivo: calcular a probabilidade do evento A A={(H 1 H 2 ) (T 1 H 2 H 3 ) (H 1 T 2 H 3 H 4 ) (T 1 H 2 T 3 H 4 H 5 ) (H 1 T 2 H 3 T 4 H 5 H 6 ) }

37 Processo de Bernoulli Exemplo: temos que: P(H 1 H 2 )=w 2 P(T 1 H 2 H 3 )=qw 2 P(H 1 T 2 H 3 H 4 )=w 2 (wq) P(T 1 H 2 T 3 H 4 H 5 )=qw 2 (wq) P(H 1 T 2 H 3 T 4 H 5 H 6 )=w 2 (wq) 2. Assim, a probabilidade do evento A pode ser escrita como: P(A)=w 2 (1+wq+(wq) 2 + ) +qw 2 (1+wq+(wq) 2 + ), }{{}}{{} começam com cara começam com coroa

38 Processo de Bernoulli Exemplo: Como w,q 1, cada parcela é a soma de uma sequência convergente. P(A)=w 2 (1+wq+(wq) 2 + ) +qw 2 (1+wq+(wq) 2 + ), }{{}}{{} começam com cara começam com coroa ( ) ( ) 1 1 P(A)=w 2 + qw 2. 1 wq 1 wq Assumindo w=1 w=1/2= Pr(A)=1/2.

39 Processo de Poisson N (t) é um processo de contagem que modela os o número de ocorrências de um determindo evento em um intervalo (0,t] N (t) assume valores discretos n=0,1,2, Para qualquer t, N (t) é uma variável aleatória com função de massa de Poisson: p N (t) (n)= (λ t)n exp( λ t). n!

40 Processo de Poisson É um processo de contagem. Comparação: Bernoulli os eventos (sucessos), só podem ocorrer em multiplos positivos inteiros de um determinado incremento de tempo. Poisson os eventos podem ocorrer em qualquer instante t, porém observe que a probabilidade de ocorrência em qualquer instante em particular é zero. Probabilidade do tempo de espera entre os eventos.

41 Processo de Poisson A partir do processo de Poisson, definimos as variáveis T 1,T 2, T n indica o tempo de espera entre o evento n e n 1. Assim, o tempo de espera para a ocorrência do n-śimo evento será: S n = n i=1 T n,

42 Processo de Poisson Densidade de probabilidade de T n Assume-se que T 1, são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas. Elas tem desidade de probabilidade exponencial: p Tn (x)=1 [0, ) (x)λ exp( λ x).

43 Processo de Poisson Densidade de probabilidade de S n Oberve que: S n é a soma de variáveis independentes T 1,,T n. densidade da soma de duas variáveis independentes: convolução das densidades das variáveis somadas. S 1 = T 1 densidade de probabilidade p T1 S 2 = S 1 + T 2 convolução entre as densidades de S 1 e de T 2 S 3 = S 2 + T 3 convolução entre as densidades de S 2 e de T 3. O resultado será a distribuição Gamma: p Sn (t)=1 [0, ) (t) λ n t n 1 exp( λ t). (n 1)!

44 Processo uniforme Sorteio: n pontos são escolhidos aleatoriamente e de forma independente no intervalo [0, l] (cada ponto é uma amostra de X com densidade uniforme). Ordenação: Seja (x 1,,x n ) uma amostra de X 1 X n. x 1,x 2,,x n = y 1 y 2 y n A ordenação gera novas variáveis aleatórias: Y 1 Y n. Quais são as distribuições de Y 1 Y n e as distribuições conjuntas dos pares, triplas, etc?

45 Processo uniforme Distribuição de Y 1 : Se (Y 1 x) (X i x), i, pois Y 1 = min 1 i n {X 1,,X n }. ( ) l x n Pr(Y 1 > x)=pr(x 1 > x,,x n > x)=. l ( ) l x n P Y1 (x)=pr(y 1 x)=1 Pr(Y 1 > x)=1. l p Y1 (x)= P Y 1 (x) (x)=1 dx [0,l] (x) n(l x)n 1 l n. Observe que embora as distribuições dex 1 X n sejam uniformes, a distribuição de Y 1 não é uniforme! A ordenação feita modificou a distribuição de Y 1 com relação a X 1 X n.

46 Processo uniforme Distribuição de Y k : O evento (Y k x) significa que pelo menos k dos n pontos escolhidos estão no intervalo [0, x]. Esse evento pode ser realizado de várias formas diferentes dependendo do número de pontos que de fato estão em [0,x]. Depois de algumas contas, determina-se a densidade: p Yk (x)=1 [0,l] (x) xk 1 (l x) n k l n.

47 Processo uniforme Implementação em MATLAB: sorteio e ordenação de n=4 pontos no intervalo [0, 5] Histograma py Histograma py y y2 0.4 Histograma 0.8 Histograma 0.3 py3 0.6 py y y4 Figura: Histogramas normalizados contruídos com 10 5 amostras.

48 Processo uniforme Distribuição conjunta de Y j e Y k : Sendo x<y: ( ) n x j 1 (y x) k j 1 (l y) n k p Yj Y k (x,y)= j 1,1,k j 1,1,n k l n Distribuição conjunta de Y 1 Y n : { n! p Y1 Y n (x 1,,x n )= l se 0 x n 1 < x 2 < <x n < l 0, outros casos.

49 Processo uniforme Implementação em MATLAB: sorteio e ordenação de n=4 pontos no intervalo [0, 5]. Y 1,Y 2 Y 1,Y y y y y1 2 0 Y 1,Y 4 Y 2,Y y4 0 0 y1 y y2 4 6 Figura: Histogramas normalizadospuc-rio: contruídos DEM com 10 5 amostras.

50 Espaçamento no processo uniforme Considere as distâncias entre os pontos sucessivos tomados na ordem crescente: L 1 = Y 1 L 2 = Y 2 Y 1 Y 2 = L 1 + L 2 L 3 = Y 3 Y 2 Y 3 = Y 2 + L 3 = L 1 + L 2 + L 3. L n+1 = l Y n Y n = l L n+1.

51 Espaçamento do processo uniforme O espaçamento entre Y k e Y k+1 é notado por L k+1, e o espaçamento entre Y n e l é notado por L n+1, logo: Y k = L 1 + +L k. Observe que os espaçamentos não são independentes: L 1 + +L n+1 = l. Porém são equidistribuidos. Sendo L 1 = Y 1, então a distribuição de L k é a mesma que a de Y 1, k, e a densidade é: p Lk (x)=1 [0,l] (x) n l n(l x)n 1.

52 Espaçamento do processo uniforme O valor esperado do espaçamento: l E[L k ]= x n 0 l n(l x)n 1 dx. Uma maneira mais elegante da fazer essa conta é usando o fato de que E[L 1 ]= =E[L n+1 ] e L 1 + +L n+1 = l. Assim: E[L k ]= l n+1. Fica agora evidente como calcular: E[Y k ]=E[L 1 ]+ +E[L k ]= k l n+1.

53 Processos estocásticos contínuos Um processo estocástico, X, é uma função: X : Ω T R (w,t) X (t,w) Quando T é um conjunto contínuo, por exemplo R, o processo estocástico pode ser interpretado como um número infinito de variáveis aleatórias indexadas pelo parâmetro t. Fixado um valor de t=t j, a variável aleatória X (t j,w) tem a função distribuição de probabilidade cumulativa: P X (tj,w)(x)=pr(x (t j,w)<x) e uma função densidade de probabilidade p X (tj,w).

54 Processos estocásticos contínuos A função densidade do processo estocástico é a função densidade conjunta de todas as variáveis aleatórias indexadas pelo parâmetro t. Especificação completa um processo estoćastico: É necessário conhecer a densidade de probabilidade conjunta de todas as suas variáveis aleatórias. Problema: Como t assume infinitos valores, é impossivel especificar completamente um processo estocástico! Alternativa: Fazer hipóteses adicionais sobre independência das variáveis aleatórias indexadas por t.

55 Propagação de incertezas em um sistema dinâmico

56 Propagação de incertezas em um sistema dinâmico Sistema real = Modelo matemático determinístico Equação da dinâmica: mẍ(t)+kx(t)=f(t), onde f é a fora de atrito (Coulomb) entre o bloco e a esteira f(t)=nµ sgn(v(t) ẋ(t)).

57 Propagação de incertezas em um sistema dinâmico

58 Oscilador harmônico com atrito seco Equação da dinâmica: mẍ(t)+kx(t)=f(t), onde f é a fora de atrito (Coulomb) entre o bloco e a esteira f(t)=nµ sgn(v(t) ẋ(t)). Considerando que v e µ são constantes no tempo, e introduzindo y=ẋ e z=x ω n, onde ω n é a frequencia natural do sistema, ( quando y>v y 2 + z+ nµ ) 2 = c mω n ( quando y<v y 2 + z nµ ) 2 = c. mω n

59 Oscilador harmônico com atrito seco v positivo um ponto de equilíbrio em v negativo um ponto de equilíbrio em ( nµ mω n,0 ), ). ( nµ mω n,0

60 Stick-slip O stick ocorre quando y=v e quando a força de atrito que varia de acordo com f(t)=kx(t), está confinada no intervalo f max < f < f max, onde f max = µn. correspon- Dessa forma, o segmento horizontal y=v e x µn k dem ao stick. O stick só pode ocorrer no regime transiente. No regime estacionário, o diagrma de fase é escrito como um círculo e só terá slip.

61 Stick-slip Vamos observar o que acontece quando a esteira tem velocidade descontínua: Cada mudança do sinal da velocidade pode ser interpretada como uma renicialização do sistema. O parâmetro 2ω b determina a frequência com que o sistema é renicializado.

62 Esteira tem velocidade descontínua Figura: Diagrama de fase em regime permanente com (a) r=0.1 e (b) r=0.4.

63 Esteira tem velocidade descontínua Figura: Diagrama de fase em regime permanente com (a) r=1.0 e (b) r=1.3.

64 Esteira tem velocidade descontínua Figura: Diagrama de fase em regime permanente com (a) r=2.0 e (b) r=2.5.

65 Modelo estocástico da velocidade da esteira Fixado um intervalo de tempo [0,T] para analíse da resposta do sistema, o número de descontinuidades na velocidade da esteira é modelada como um processo de Poisson, N (T). p N (T) (n)= (λ T)n exp( λ T). n!

66 Modelo estocástico da velocidade da esteira Fixado o intervalo [0,T], e sorteado o número de descontinuidades da velocidade da esteira, n, os instantes das descontinuidades são modelados como um processo uniforme. Sorteio: n pontos são escolhidos aleatoriamente e de forma independente no intervalo [0, T]. Ordenação: a 1,a 2,,a n = t 1 t 2 t n

67 Modelo estocástico da velocidade da esteira Implementação em Matlab: histograma do número de mudanças da esteira λ T= numero de mudancas 140 Figura: Histograma do número de mudanças da esteira contruído com 3, 000 amostras.

68 Uma realização do sistema Simulação em Matlab: uma realização das velocidades da esteita e do bloco ẋ [m/s] t [s] Figura: Realização da velocidade da esteira e da velocidade do bloco.

69 Propagação de incertezas Objetivo: calcular estatísticas da resposta do sistema. Número de sticks; S Instantes em que começam os sticks: K 1,K 2,,K s Duração dos sticks: D 1,D 2,,D s Instantes em que começam os slips: L 1,L 2,,L s Para os cálculos das estatísticas, 3,000 simulações de Monte Carlo foram realizadas.

70 Número de sticks Implementação em Matlab: histograma do número de sticks λ T= numero de sticks 50 Figura: Histograma do número de sticks contruído com 3, 000 amostras.

71 Instantes em que começam os sticks Implementação em Matlab: histogramas dos instantes em que começam os sticks. Figura: Histogramas dos instantes em que começam os sticks contruídos com 3, 000 amostras.

72 Duração dos sticks Implementação em Matlab: histograma das durações dos sticks. Figura: Histogramas das durações dos sticks contruídos com 3, 000 amostras.

73 Instantes em que começam os slips Implementação em Matlab: histogramas dos instantes em que começam os slips. Figura: Histogramas dos instantes em que começam os slips contruídos com 3, 000 amostras.

74 Artigo

75 Livros publicados / em preparação

76 Modelagem Estocástica e Quantificação de Incertezas Rubens Sampaio rsampaio@puc-rio.br Roberta de Queiroz Lima robertalima@puc-rio.br Departamento de Engenharia Mecânica DINCON 2015