f(x t =x t )= F(X t =x t )/ x X 1 X 2 X 3 X 4 Representação Gráfica de um Processo Estocástico

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1 CAÍTULO ROCESSOS ESTOCÁSTICOS - Introdução ) A variação de tráfego em um cruzamento que envolve a formação e dissipação de congestionamento de tráfego. ) A variação diária do nível de estoques de um determinado produto. 3) A demanda semanal de um determinado produto. f(x t = t )= F(X t = t )/ X X X 3 X X n n Tempo Representação Gráfica de um rocesso Estocástico - Definição rocessos Estocásticos são fenômenos que variam em algum grau, de forma imprevisível, à medida que o tempo passa. Neste caso, o eperimento aleatório determina o comportamento de algum sistema para uma seqüência de variáveis aleatórias, num determinado intervalo de tempo. Capítulo rocessos Estocásticos

2 3 Fator Tempo Já que um processo estocástico envolve o comportamento de um sistema ao longo do tempo, deve-se especificar o conjunto de tempo T envolvido, durante a definição do processo. O conjunto de tempo T pode ser o intervalo de tempo em uma situação na qual valores de interesse são medidos continuamente. Tipos de Conjuntos de Tempo T arâmetro Discreto arâmetro Contínuo Eemplos: a) Medição do nível mensal de estoques de uma empresa. rocesso estocástico de parâmetro discreto. b) Medição do índice pluviométrico em estação meteorológica rocesso estocástico de parâmetro contínuo. Assim, supõe-se que a cada ponto t do conjunto T pode-se observar uma variável aleatória X t. Se um resultado eperimental for indicado por s, então: X t (s) para t T A função X t (s) p/ t T é chamada de processo estocástico. Capítulo rocessos Estocásticos

3 4 Espaço de Estado de um rocesso Estocástico Uma seqüência de observações X t que corresponde a um único ponto 8 Número de essoas na Fila 6 4 Tempo a. Realizacäo a. Realizacäo amostral s é chamada de realização do processo estocástico. A amplitude de X t (conjunto de valores numéricos que a variável aleatória X t pode assumir) é chamada de espaço de estado do processo estocástico. Os valores de X t são denominados estados. rocessos de Estado Discreto Contínuo Eemplos: a) Medição do nível de estoques de uma empresa. rocesso estocástico com espaço de estado discreto. b) Medição da temperatura em uma sala. rocesso estocástico com espaço de estado contínuo. Capítulo rocessos Estocásticos 3

4 ara um valor fio de t, X t é uma variável aleatória que descreve o estado do processo no tempo t. Dada uma coleção finita de tempos t, t,... t n, então X t, X t,..., X tn é um conjunto de n variáveis aleatórias com distribuição conjunta de probabilidade. O objetivo do estudo de processos estocásticos é determinar a distribuição conjunta de probabilidade afim de utilizá-la para prever o comportamento do processo no futuro, dado que um certo comportamento no passado foi observado. 5 - Tipos Especiais de rocessos Estocásticos a) rocesso Independente (arâmetro Discreto) b) rocesso Markoviano (arâmetro Discreto) c) rocesso de oisson (arâmetro Contínuo) Capítulo rocessos Estocásticos 4

5 5.- rocesso Estocástico Independente É o processo estocástico mais simples possível. Seja a seqüência aleatória { X, X,..., X n }. Então {X, X,..., X n } é dito ser independente se as variáveis aleatórias X, X,,..., X n forem mutuamente independentes. Isto é: r[x n =i n / X =i ; X =i ;...; X n- =i n- ] = r[x n =i n ] para qualquer n. Eemplo: Lançamento de uma moeda com { X, X,,..., X n } sendo a seqüência de variáveis aleatórias X n, que podem assumir, por eemplo, o valor ou - dependendo do resultado do n-ésimo lançamento ser cara ou coroa. Capítulo rocessos Estocásticos 5

6 5. - rocesso Estocástico Markoviano É definido por uma seqüência aleatória { X, X,..., X n } que tenha a seguinte propriedade: condicionado ao conhecimento do valor de X n- (o estado atual), a probabilidade de que X n (o estado futuro), assuma algum dado valor não será afetada pelo conhecimento dos valores de X, X,..., X n- (os estados passados). Em termos de probabilidades: r[x n =i n / X =i ; X =i ;...; X n- =i n- ] = r[x n =i n / X n- =i n- ] para qualquer n. Caso as probabilidades não dependam de n, ou seja, são constantes ao longo do tempo, diz-se que o processo é estacionário. Neste caso, as probabilidades são denominadas de probabilidades de transição de um passo do processo. Assim: com: p ij = r[x n =j / X n- =i ] para qualquer n. j pij = para cada estado i. Capítulo rocessos Estocásticos 6

7 Eemplo: Seja um processo com espaço de estado constituído de apenas dois estados: sucesso fracasso Neste caso haveriam quatro probabilidades de transição de um passo: p, p, p, p com: p + p = p + p = Conceitos Básicos a) Matriz de Transição b) Vetor de robabilidade Inicial a) Matriz de Transição A matriz p p =... pm p p... pm pm p m... pmm é denominada matriz de transição de um processo estocástico markoviano de m estados. Os elementos p ij são as probabilidades de transição do sistema do estado i para o estado j. Como Σ j p ij = para cada i, a soma dos elementos de uma linha deve ser sempre. A matriz de transição também é conhecida como matriz estocástica. Capítulo rocessos Estocásticos 7

8 Eemplo: Se o tempo de uma determinada região pode ser classificado como: Estado úmido Estado seco e os dados históricos dos últimos 8 dias tabelados abaio. Dia Condições do Condições do Condições do Condições do Dia Dia Dia Tempo Tempo Tempo Tempo úmido 8 seco 5 úmido seco úmido 9 seco 6 seco 3 seco 3 seco úmido 7 seco 4 úmido 4 seco úmido 8 úmido 5 seco 5 seco seco 9 seco 6 úmido 6 úmido 3 seco seco 7 seco 7 seco 4 úmido seco 8 seco Supondo que estes dados sejam suficientes para estabelecer as condições do tempo futuras, pode-se construir a seguinte matriz de transição para este modelo de previsão: p = p p p 3 / = 6 / 7 7 / / 7 Ou seja, de uma amostra de 8 dias, dias foram dias úmidos e 8 dias foram dias secos. Dos dias úmidos, 3 foram seguidos de dias úmidos (p =3/), enquanto que 7 dias foram seguidos de dias secos (p = 7/). Dos 8 dias secos, foram seguidos de dias secos (p =/7), enquanto 6 foram seguidos de dias úmidos (p =6/7). Como o último dia da tabela não tem seu subseqüente, este deve ser desconsiderando na amostra para o estabelecimento da probabilidade condicional. b) Vetor de robabilidade Inicial O vetor p () =(p, p,..., p m ) é chamado de vetor de probabilidade inicial. Este vetor indica as probabilidades do sistema se encontrar em cada um dos m estados quando o mesmo está no início do processo. Capítulo rocessos Estocásticos 8

9 Eemplo: Em um determinado processo de fabricação, itens passam por três estágios de fabricação. Ao final de cada estágio, os itens são submetidos a uma inspeção, podendo ou ser postos fora, ou reconduzidos ao estágio atual para reprocessamento ou então, transferidos ao próimo estágio. Supondo que em cada estágio, a probabilidade do item ser dispensado é p, que seja reprocessado q, e que seja liberado para prosseguir r, com p+q+r=. O processo tem 5 estados: item posto fora item concluído item no primeiro estágio de produção 3 item no segundo estágio de produção 4 item no terceiro estágio de produção Supondo que X, X, X,..., X n indicam o estado do item após n pontos de inspeção, a matriz de transição será: = p p p r q r q r q Supondo ainda que o item parta do primeiro estágio de fabricação. Então: p () =(,,,, ) Capítulo rocessos Estocásticos 9

10 5.. - robabilidades de Transição de n assos As probabilidades de transição de n passos são dadas por: p (n) ij = r[x k+n =j / X k =i ] p/ i, j=,,,... e n (n) onde p ij é a probabilidade de que o processo passe do estado i ao estado j em n passos. É claro que: p ij () = p ij p i (n) = r[x n =i ] (probabilidade incondicional de que o processo esteja no estado i após n passos) i p ir p i p i p j r p j p rj j asso k asso k+ asso k+ A probabilidade de ir de i para j em dois passos é: p ir. p rj = r[x k+ =r / X k =i ]. r[x k+ =j / X k+ =r ] = r[x k+ =j ; X k+ =r / X k =i ] no caso de um processo estacionário: p () ij = Σ k p ik. p kj Capítulo rocessos Estocásticos

11 Denota-se a matriz cujos elementos são p () ij por (). Genericamente p (n) ij por (n). ode-se verificar que () =. = or indução (n) = n Das relações matriciais obtém-se a denominada equação de CHAMAN-KOLMOGOROV : (n+m) = (n). (m) com () = I que é equivalente à: p (n+m) ij = Σ k p (n) ik. p (m) kj Capítulo rocessos Estocásticos

12 Eemplo: Acertar um alvo com um projétil disparado por um canhão depende do sucesso da primeira carga disparada. Se o tiro anterior for certeiro, o comandante do tanque tem uma probabilidade relativamente alta de repetir o acerto no próimo tiro. Se o tiro foi infeliz, o alvo deve ser corrigido, e a probabilidade de acertar o próimo tiro será menor. ode-se considerar este eemplo como um processo markoviano estacionário com espaço de estado {, }, onde: sucesso fracasso Supondo, p = 3/4, p = /4, p = / e p = / e que X n seja variável aleatória que assume os valores do espaço de estados no n- ésimo tiro. Então, a matriz de transição será dada por: = ( ) p p = p 3 / 4 = p / / 6 = 5 / 8 / 4 / 5 / 6 3 / 8 ( 3) ( 5 ) ( ) = = 3 5 = 43 / 64 / 64 = / 3 / / 4 3 = = 34 / = = / 4 7 / Assim, a probabilidade do o tiro acertar o alvo será /3. Capítulo rocessos Estocásticos

13 robabilidades de Estado do n-ésimo asso Seja: p (n) = (p (n), p (n),... ) o vetor de probabilidades de estado após n passos (ou transições), onde: p k (n) é a probabilidade do sistema estar no estado k após n passos. Então: p k () = r[ X =k ] = Σ j r[ X =k / X =j ]. r[ X =j ] Em forma vetorial: = Σ j p j (). p jk p/ n = : p () = p (). p/ n = : p () = p (). = ( p (). ). = p () p/ n qualquer: p (n) = p (n-). ou p (n) = p (). n Ou seja, o vetor de probabilidade após n passos é facilmente determinado em função do vetor de probabilidade inicial e a n-ésima potência da matriz de transição. Eemplo: Suponha que, no eemplo anterior, o comandante do tanque dispara seu primeiro tiro para fins de reconhecimento e que a probabilidade deste tiro acertar o alvo seja /4. Qual é a probabilidade dele acertar o alvo no quarto tiro? p () = /4 ; p () = 3/4 p (3) = p (). 3 = [ /4, 3/4 ] 43 / 64 / 64. / 3 / 3 p (3) = [.66,.34 ] Capítulo rocessos Estocásticos 3

14 Cadeias Ergódicas de Markov Uma cadeia ergódica descreve matemáticamente um processo no qual é possível ir de um estado a qualquer outro da cadeia. Não é necessário que isto seja feito em apenas um passo, mas deve ser possível atingir qualquer estado independentemente do estado presente. Eemplo: Seja = p ij > e a matriz de transição: = É uma cadeia ergódica Análise do Estado de Equilíbrio Quando uma cadeia é ergódica (também chamada de irredutível), o sistema pode atingir as condições de regime estacionário (ou de equilíbrio). Este regime pode ser atingido para n relativamente grande: v j = lim n p ( n ) ij onde: v j = probabilidade de estado de equilíbrio (ou estacionário). A influência do estado inicial tende a ser menor com o crescimento de n. Desta forma, v j não dependerá de qual estado i o processo foi Capítulo rocessos Estocásticos 4

15 iniciado. Assim n convergirá para uma matriz V, onde cada linha é idêntica ao vetor v com componentes v j. Ou seja, n V n grande v = v... onde: v = ( v, v,... ). Como V n+ = V n. e V n+ = V n eiste um vetor v tal que: v 3 / 4 = / v = v. Teorema: Em qualquer cadeia ergódica de Markov todos os limites j = lim 3 / 4 v = v. / n / 4 / p / 4 / ( n) eistem e não dependem da situação inicial. Eemplo: Seja a matriz de transição: fazendo v = v = v = v. 3/4 + v. / v = v. /4 + v. / = v + v As cadeias ergódicas podem se diferenciar em: a) cadeias ergódicas regulares e b) cadeias ergódicas não regulares. ij v = /3 ; v = /3 Capítulo rocessos Estocásticos 5

16 Capítulo rocessos Estocásticos 6 = Cadeias Ergódicas Regulares É uma cadeia que tem uma matriz de transição, para determinada potência de, com apenas elementos positivos (ou seja, não-nulos). Eemplos: a) Seja = p ij > e a matriz de transição: Cadeia Ergódica Regular b) Seja = p ij > e a matriz de transição: Cadeia Ergódica Regular c) Seja = p ij > e as matrizes de transição: = = = 4 = = =

17 Cadeias Ergódicas Não Regulares As cadeias ergódicas cuja matriz de transição não têm todos os elementos estritamente positivos para uma potência qualquer de, são denominadas de cadeias ergódicas não regulares. Eemplo: Suponha que se tenha um equipamento que pode estar em uma dentre três condições: (a) funcionamento, (b) em reparo, ou (c) inoperante aguardando por trabalho. Esse equipamento é observado somente quando da mudança de estados. Seja X n = caso a n-ésima mudança de estado o coloque em condições de funcionamento; X n =, caso a n-ésima mudança de estado o coloque em uma condição de reparo; e X n =, caso a n-ésima mudança de estado o coloque inoperante. Uma hipótese possível é que, se o equipamento estiver parado para reparo, a mudança de estado seguinte deve ser no sentido de uma condição de funcionamento. Se o equipamento estiver inoperante, a mudança de estado seguinte o colocará em uma condição de funcionamento. Contudo se estiver funcionando, poderá mudar para uma condição inoperante ou quebrar e ser posto em condições de reparo. Supondo que estas duas possibilidades sejam igualmente prováveis, tem-se a seguinte matriz de transição: = 3 = = 4 = Nota-se que esta cadeia apresenta um comportamento peculiar: se o processo iniciar no estado, só será possível retornar ao estado após um número par de passos. Ou seja, o tempo entre visitas ao estado demonstra uma periodicidade de passos. Qualquer cadeia de Markov que apresenta este comportamento recebe a denominação de Cadeia Markoviana eriódica com eríodo. Esta peculiaridade pode se observada para cadeias com periodicidade qualquer, ou seja, com período 3, 4, 5 etc. Capítulo rocessos Estocásticos 7

18 Cadeias Absorventes de Markov Uma cadeia de Markov é absorvente se:. tem pelo menos um estado absorvente, isto é, se contém pelo menos um estado cuja probabilidade de saída do estado é zero;. e é possível ir de qualquer estado não absorvente para pelo menos um estado absorvente. A análise de cadeias absorventes de Markov permite determinar: ) o número esperado de transições antes do processo ser absorvido; ) o número esperado de vezes que o processo se encontra em qualquer estado não aborvente; 3) a probabilidade de absorção por qualquer estado absorvente. ara estas grandezas poderem ser determinadas é necessário inicialmente reorganizar a matriz de transição em 4 submatrizes: onde: = I A N I matriz identidade indicando as probabilidades de se permanecer num estado absorvente. matriz nula A matriz com as probabilidades de se ir de um estado não absorvente para um estado absorvente. N matriz de probabilidades de transição de estados não absorventes para estados não absorventes (em uma transição). Capítulo rocessos Estocásticos 8

19 Da mesma forma que foi verificado para, tem-se que N (probabilidades de transição em um passo); N (probabilidades de transição em dois passos); N 3 (probabilidades de transição em três passos);... N n (probabilidades de transição em n passos); e N probabilidades de estar-se eatamente agora em um estado (isto é, conhecido). ortanto, N = I Então, o número de transições que o processo se encontra em um estado não absorvente j será a soma dos termos: = a probabilidade de se estar em j no início do processo + a probabilidade de se estar em j após passo + a probabilidade de se estar em j após passos +... = N + N + N + N = N + N + N + N = (I-N) Capítulo rocessos Estocásticos 9

20 ara determinar a probabilidade de absorção de um determinado estado absorvente j, dado que o processo iniciou no estado i (passando por qualquer outro estado não absorvente k), a análise é semelhante à anterior: A probabilidade do processo terminar em j é = a probabilidade de ir de i para j em um passo + a probabilidade de ir de i para j em dois passos + a probabilidade de ir de i para j em três passos +... = A (em um passo i j ) + NA N A N 3 A... N n- A (probabilidade de ir de i k em passo a probabilidade de ir de k j em passo) + (probabilidade de ir de i k em passos a probabilidade de ir de k j em um passo) + (probabilidade de ir de i j em 4 passos (probabilidade de ir de i j em n passos = A + NA + N A + N 3 A N n- A = IA + NA + N A + N 3 A N n- A = (I + N + N + N N n- ) A = (I-N) - A Capítulo rocessos Estocásticos

21 5.3 - rocesso de oisson É um processo de parâmetro contínuo, ou seja o tempo decorrido não é mais medido na formas de passos (ou transições) mas sim diretamente numa escala real. Eemplo: Um engenheiro de telecomunicações faz um levantamento das demandas de serviço nas linhas à longa distância entre duas cidades durante o período das 9: às : horas de cada dia útil. Nestas observações ele verifica que: (a) a distribuição do número de chamadas recebidas durante qualquer intervalo de tempo parece depender somente da duração do intervalo de tempo; quanto maior o intervalo, maior tende a ser o número de chamadas; (b) as chamadas telefônicas parecem chegar independentemente, ou seja, um ecesso ou deficiência acidental em algum intervalo de tempo não eerce nenhum efeito sobre o número de chamadas ocorridas durante qualquer outro intervalo; (c) a probabilidade de duas ou mais chamadas ocorrerem durante um intervalo de tempo pequeno é muito pequena quando comparada à probabilidade de uma única chamada ocorrer neste intervalo. Capítulo rocessos Estocásticos

22 Estas observações levam o engenheiro à formular algumas suposições em torno de sua eperiência aleatória: Em relação à observação (a): A probabilidade de se receber n chamadas durante um intervalo de tempo de duração t depende somente da duração de t, e não dos pontos iniciais e finais do intervalo. t Tempo Seja p n (t) a probabilidade de serem recebidas n chamadas, com n=,,,... num intervalo t qualquer. Então: p ( ) = pn ( t ) com pn( ) = n > pn ( t ) = para cada t > n= Além disso, supõe-se que p n (t) seja contínua e diferenciável para t <. Capítulo rocessos Estocásticos

23 Em relação à observação (b): Sejam dois intervalos de tempo sucessivos sem superposição. Neste caso, supõe-se que os eventos k chamadas no primeiro intervalo e (n-k) chamadas no segundo intervalo sejam independentes, e que, portanto, a probabilidade de que ambos ocorram é de: pk ( t ).pn k ( τ ) t τ Tempo Então a probabilidade de n chamadas chegarem durante o intervalo de tempo de duração (t+τ) é dada pela soma de todos os k n: p n ( t + τ) = p ( t).p ( τ) o n + p( t).pn ( τ) p( t).pn ( τ) pn( t).p ( τ) + + p = n k = k ( t).pn k( τ) Capítulo rocessos Estocásticos 3

24 Em relação à observação (c): n (t) λ -λ n= n= Σ n=.. n (t) n= n=3 tempo Tanto p ( t ) = quanto pn ( t ) = p ( t ) p( t ) = para t= n= orém, em t=, p ( t ) tem derivada positiva: p' ( ) = p( t ) lim t = λ t com λ> pn( t ) n= = lim t pn( t ) = t t n= t = p ( t ) p '( ) lim n n = t = para n > t Capítulo rocessos Estocásticos 4

25 Sabe-se que p = ( t ) p( t ) pn( t ) n= Derivando em relação a t : d p = ' ( t ) p' ( t ) pn( t ) dt n= p ' ( t = ) = λ orém como determinar p n ' ( t )? Usando n pn ( t + τ ) = pk( t ).pn k ( τ ) k= e derivando em relação a τ e fazendo τ =: p p = n n '( t ) k( t ).pn k' ( ) k= porém p n k '( ) =, menos para k=n e k=n- Então: pn' ( t ) = p ( t ).pn' ( ) + p( t ).pn ' ( ) + p( t ).pn ' ( ) + pn ( t ).p' ( ) + pn( t ).p' ( ) = pn ( t ). λ + pn' ( t ) = λ.pn( t ) + λ.pn ( t ) p' ( t ) = λ.p ( t ) pn( t ).( λ ) Capítulo rocessos Estocásticos 5

26 sistema de equações diferenciais para as funções p n (t), que são desconhecidas, mas com condições iniciais: p ( ) = p n ( ) = p/ n para n = : p' ( t ) = λ.p ( t ) λt p( t ) = e t = λ λ p' ( t ) e para n = : λt λt p' ( t ) = λ.p( t ) + λ. e p( t ) = e. λt para n > : substituir p (t) e resolver. A solução geral é: pn( t λt e.( λt ) = n! n ) Distribuição de oisson, que fornece a probabilidade do número de chamadas no tempo t. A média é λ e a variância λ. Todo processo que satistaça as observações (a ), (b ) e (c ) é denominado de rocesso de oisson. Este modelo permite ao engenheiro inferir e calcular probabilidades para o processo, como por eemplo: Qual o número médio de chamadas/minuto? Qual a probabilidade de mais de chamadas serem recebidas ao longo de um período de 3 minutos? Estas respostas podem auiliar a decisão ou não de se aumentar o número de linhas de uma determinada região. Capítulo rocessos Estocásticos 6

27 Observação com Relação ao Tempo entre Ocorrências O evento nenhuma chamada nos primeiros t minutos tem probabilidade: p ( t ) = e λt a qual é igual ao evento a primeira chamada ocorre após o tempo t. n= t t Se T é uma variável aleatória que apresenta o tempo de (zero) à primeira chamada, tem-se que: r[t > t ] = e λt Logo: r[t t ] = e λt é a função de distribuição da variável T, cuja função densidade de probabilidade é dada por: f ( t ) = λe λt Esta função corresponde à função densidade de probabilidade eponencial cuja epectância é /λ. Capítulo rocessos Estocásticos 7