o mesmo jeito, podemos Observação 1.1. (1) As denições acima incluem a possibilidade de I ser
|
|
- Giovana Carreira Cipriano
- 5 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 1. Martingais Considere um espaço de probabilidade (Ω, F, P ). Um processo estocástico X é uma família de variáveis aleatórias = (X t ) t I, I R, denidas em (Ω, F). X é L p -limitado se sup t I E[ X t p ] <, e uniformemente integrável (abreviado UI) se lim sup X t dp = 0. K t I X t K Uma ltração é uma família de sub-σ-álgebras (F t ) t I, I R +, tal que F t F para todo t 0, e F s F t se 0 s t. Um processo estocástico X é dito adaptado a uma ltração se X t F t para todo t I. Denição 1.1. Seja (F t ) t I uma ltração e X = (X t ) t I um processo adaptado tal que X t L 1 para todo t I. X é chamado de (1) supermartingal se para todo s, t I, s t, E[X t F s ] X s. (2) submartingal se para todo s, t I, s t, E[X t F s ] X s. (3) martingal se para todo s, t I, s t, E[X t F s ] = X s. o mesmo jeito, podemos Observação 1.1. (1) s denições acima incluem a possibilidade de I ser discreto, por exemplo I = {..., 2, 1, 0}, I = {0, 1, 2,... }, ou I = {1/n, n 1}. (2) Observe que X é submartingal se e somente se X é supermartingal, e que um martingal é no mesmo tempo sub- e super-martingal. Exemplo 1.1. O movimento browniano B = (B t ) t 0 é martingal com respeito a sua ltração natural F t := σ(b s, s t). De fato, B t L 1 para todo t 0, e pela propriedade de Markov no tempo s, E[B t F s ] = E[B t s θ s F s ] = E Bs [B t s ] = B s. Observe que a propriedade de Markov permite também mostrar que B é martingal com respeito à σ-álgebra aumentada, F t+ := t >t F t. Exemplo 1.2. Se B = (B t ) t 0 é o movimento browniano, então M t := Bt 2 t é martingal (com respeito à ltração natural de B). De fato, M t L 1 e pela propriedade de Markov no tempo s, E[M t F s ] = E[B 2 t F s ] t = E[(B t B s ) 2 F s ] +2B }{{} s E[B t F s ] Bs 2 t }{{} =E[Bt s 2 ]=t s =B s = B 2 s s = M s. Exercício 1.1. Se B = (B t ) t 0 é o movimento browniano, θ R, então X t := exp(θb t θt 2 /2) é martingal (com respeito à ltração natural de B). 1
2 2 Lema 1.1. Seja X = (X t ) t I um submartingal e φ : R R convexa, tal que φ(x t ) L 1 para todo t I. Então φ(x) := (φ(x t )) t I é submartingal também. Demonstração. Segue da desigualdade de Jensen mostragem opcional, caso nito Desigualdades fundamentais Desigualdades para o número de subidas/descidas. Seja X = (X t ) t I um processo. Qualquer subconjunto F I nito pode ser ordenado: F = {t 1, t 2,..., t N }. Sejam a < b. Considere a sequência s k, k 1, denida da seguinte maneira 1 : s 1 := inf{t i : X(t i ) a}, s 2 := inf{t i > s 1 : X(t i ) b}. Se s 2 <, diremos que o par {s 1, s 2 } representa a primeira subida do processo X através do intervalo [a, b]. Em seguida, s 2k+1 := inf{t i > s 2k : X(t i ) a}, s 2k+2 := inf{t i > s 2k+1 : X(t i ) b}, e diremos que o par {s 2k+1, s 2 } representa a k + 1-ésima subida do processo X através do intervalo [a, b]. Denamos então o número de subidas de X ao longo de F por U X F [a, b] := max{k : s 2k < t N }. Para um conjunto qualquer T I, o número total de subidas de X é denido por U X I [a, b] := sup{u X F [a, b] : F I, nito}. De modo análogo, pode-se denir o número total de descidas de X, denotado DT X [a, b]. Proposição 1.1. (1) Seja X = (X t ) t I um supermartingal, T I enumerável. Então para todo a < b, E[U X T [a, b]] sup t T E[(X t a) ] b a. (1) (2) Seja X = (X t ) t I um submartingal, T I enumerável. Então para todo a < b, E[DT X [a, b]] sup t T E[(X t b) + ]. (2) b a Observação 1.2. (1) Observe que o conjunto T I não precisa possuir nenhuma estrutura particular; por exemplo, ele não precisa possuir um menor ou maior elemento. 1 Faremos sempre a seguinte convenção: inf :=.
3 3 (2) Suponha agora que T possua um maior elemento β. Se X for submartingal, então por φ(x) := x + ser convexa e pelo Lema 1.1, para todo t T, E[(X t b) + ] E[(X β b) + ]. Por outro lado, se X for supermartingal, então X é submartingal, logo E[(X t a) ] = E[(a X t ) + ] E[(a X β ) + ] = E[(X β a) ]. Prova da Proposição 1.1: Seja X = (X t ) t I um supermartingal, F = {t 1, t 2,..., t N } I nito, e a < b. Considere os tempos de parada s k denidos acima, e os eventos k := {s k < t N }. Observe que 2k {UF X [a, b] k}, o que implica E[UF X[a, b]] k P ( 2k). Como X(s 2k 1 ) a em 2k 1 e X(s 2k ) b em 2k, e como X é submartingal, 0 (a X(s 2k 1 ))dp 2k 1 (a X(s 2k ))dp 2k 1 = (a X(s 2k ))dp + (a X(s 2k ))dp } 2k {{} 2k 1 \ 2k (a b)p ( 2k ) Portanto, usando de novo o fato de X ser submartingal, (b a)p ( 2k ) (a X(t N )) + dp 2k 1 \ 2k Somando sobre k, e como k k+1, (b a)e[uf X [a, b]] (a X(t N )) + dp E[(X tn a) ] = sup E[(X t a) ]. 1 t F Tomando o sup sobre todos os subconjuntos nitos F I, obtemos (1). s desigualdades fundamentais (1) e (2) serão usadas de várias formas, em particular para obter resultados de convergência para processos X t quando t ± ou quando t t ± 0. De modo geral, enunciaremos os resultados somente para supermartingais, dado que um resultado parecido pode ser deduzido para submartingais, via uma troca de sinal Convergência quando T = N. Um primeiro corolário da Proposição 1.1 é o teorema básico sobre convergência de martingais. Teorema 1.1. Se X = (X n ) n N é um supermartingal L 1 -limitado, sup t I E[ X t ] <, então existe X L 1 tal que X n X quase certamente. Demonstração. Se X = (X n ) n N é um supermartingal L 1 -limitado, então pela desigualdade (1), existe um conjunto Ω 0, P (Ω 0 ) = 1, no qual UN X [a, b] < para qualquer a < b, a, b racionais. Logo, X := lim n X n existe em Ω 0 (possivelmente ± ). Fora de Ω 0, basta denir X := 0. integrabilidade de X segue pelo Lema de Fatou.
4 4 Corolário 1.1. Se X = (X n ) n N é um supermartingal tal que X n 0, então existe X L 1 tal que X n X quase certamente. Demonstração. Como E[ X n ] = E[X n ] E[X 0 ], X é L 1 -limitado Convergência quando T = N. Um processo indexado por T = N := {..., 2, 1, 0} é geralmente chamado de reverso. ssim, um super- sub-martingal X = (X n ) n N (X n ) n N é chamado de super- sub-martingal reverso. particularidade do conjunto N é que ele possui um maior elemento, o que implica convergência sem hipótese suplementar. Teorema 1.2. (a) Se X = (X n ) n N for supermartingal, então existe X tal que X n X quase certamente. Se X é L 1 -limitado, então é UI, X L 1, X n X em L 1, e para todo n, X E[X n F ], (3) onde F := n F n. (b) Se X = (X n ) n N for martingal, existe X L 1 tal que X n X quase certamente e em L 1, e para todo n, X = E[X n F ]. (4) Demonstração. Seja X um supermartingal reverso. Pela Observação 1.2, sup E[(X n a) ] E[(X 0 a) ]. n Usando como foi feito na prova do Teorema 1.1, obtem-se a existência de X = lim n X n. Para todo n, X n dp = X n dp + ( X n )dp. (5) X n K X n K X n K Se X for submartingal, considere a decomposição X n dp + ( X n )dp X n K X n K = E[X n ] + ( X n )dp + X n <K X n K ( X n )dp. (6) Como n E[X n ] decresce e X é L 1 -limitado, então para todo ɛ > 0, existe n 0 tal que E[X n ] E[X n0 ] + ɛ para todo n n 0, e ( X n )dp + ( X n )dp X n <K X n K ( X n0 )dp + ( X n0 )dp. Logo, X n K X n <K X n dp X n K X n K X n0 dp + ɛ.
5 5 Como P ( X n K) sup n E[ X n ] 0 no limite K, isso implica que X K é UI, e que X n X em L 1. integrabilidade de X segue do Lema de Fatou. Se F F m, então X dp = lim X n dp X m dp. n o que prova (3). Quando X é submartingal, a decomposição em (6) é trocada por X n dp + ( X n )dp X n K X n K = E[X n ] + X n dp + X n K X n > K X n dp, e o resto do argumento é o mesmo. Quando X é martingal, a identidade X n = E[X 0 F n ] implica que X é UI (Lema 1.2 abaixo), o que implica a convergência de X n para X em L 1. Lema 1.2. Seja Z L 1. Então (E[Z G]) G F é UI. Demonstração. Observe que E[Z G] dp Mas como E[Z G] K E[Z G] K E[ Z G]dP = E[Z G] K P ( E[Z G] K) E[ E[Z G] ] E[ Z ] K K 0 quando K, uniformemente em G, isso implica o resultado. Z dp. Veremos agora as consequências das desigualdades (1)-(2) e dos teoremas acima para martingais com parâmetro contínuo. idéia principal é que resultados para martingais discretos podem ser usados para estudar um martingal em tempo contínuo, ao longo de conjunto enumerável de pontos. Se (F t ) t 0 é uma ltração, considere a ltração aumentada F t+ := t >t F t Regularização. Nesta seção, I = R + = [0, ). Teorema 1.3. Seja X = (X t ) t 0 um supermartingal e D R + denso, enumerável. (1) Existe Ω 0, P (Ω 0 ) = 1, tal que em Ω 0, os seguintes limites laterais existem: t > 0, X t := lim X s, s t s D t 0, X t+ := lim X s. (7) s t s D (2) Fora de Ω 0, dena X t+ := 0 para todo t 0. Para todo t 0, X t+ L 1, e X t E[X t+ F t ]. Se t E[X t ] for contínua, então X t = E[X t+ F t ].
6 6 (3) (X t+ ) t 0 é supermartingal com respeito à ltração (F t+ ) t 0. Se (X t ) t 0 for martingal, então (X t+ ) t 0 é martingal com respeito a (F t+ ) t 0. Demonstração. Para k 0, considere o intervalo compacto [k, k + 1] R +. Pela Proposição 1.1, e como [k, k + 1] possui um maior elemento, existe para todo a < b (a, b Q) um Ω 0 (k, a, b), P (Ω 0 ) = 1, no qual UD [α,β] X [a, b] <. Portanto, para todo t [k, k + 1], os limites X t e X t+ existem em Ω 0 (k, a, b). (De fato, tomando uma sequência decrescente qualquer s n D, s n t, temos existência do limite lim n X sn, e esse limite não depende da sequência escolhida. O mesmo argumento vale para sequências crescentes.) Se Ω 0 := k 0,a,b Ω 0(k, a, b), a primeira armação está provada. Considere agora t 0, e uma sequência t n t, t n D. Por um lado, em Ω 0, X tn X t+. Por outro lado, Y n := X tn é supermartingal reverso com respeito à ltração G n := F tn, e como t < t n t 1, E[ Y n ] = E[ X tn ] = E[X tn ] + 2E[X t n ] E[X t ] + 2E[X t 1 ] <, (Y n ) é UI. Logo, Y n converge em L 1 para um limite Y L 1, que só pode ser X t+, já que X tn X t+. Como X t E[X tn F t ], a convergência em L 1 implica X t E[X t+ F t ]. Mas também, E[X tn ] E[X t+ ]. Ora, se t E[X t ] for contínua, então E[X t+ ] = E[X t ], o que implica 0 E[X t E[X t+ F t ]] = E[X t ] E[X t+ ] = 0. Logo, X = E[X t+ F t ], o que prova a segunda armação. Para a terceira, observe que se s < t e se s < s n < t é tal que s n s, então X sn X s+. Pela propriedade de supermartingal e pela segunda armação, X sn E[X t F sn ] E[E[X t+ F t ] F sn ] = E[X t+ F sn ]. (8) Mas observe que Z n := E[X t+ F sn ] é martingal reverso, UI (Lema 1.2), e converge q.c. e em L 1 para um limite Z (Teorema 1.1). Para identicar Z, observe que para todo F s+ n F s n, Z dp = lim Z n dp = X t+ dp. n Logo, Z = E[X t+ F s+ ]. Tomando n em (8), obtemos X s+ E[X t+ F s+ ]. Como X t+ é obviamente F t+ -mensurável, isso prova que (X t+ ) t 0 é supermartingal. O resultado acima diz que a um supermartingal (X t ) t 0 pode ser associado um supermartingal (X t+ ) t 0 (com repseito a (F t+ ) t 0 ) cujas trajetórias t X t+ são càdlàg, isto é, contínuas a direita com limites a esquerda 2. (X t+ ) t 0 é chamado o regularizado de (X t ) t 0 : Teorema 1.4. Seja (X t ) t 0 um supermartingal tal que t E[X t ] seja contínua (o que acontece em particular quando X é martingal). Se a ltração (F t ) t 0 for completa (com respeito a P ) e contínua a direita (F t+ = F t ), então o regularizado (X t+ ) t 0 é uma modicação de (X t ) t 0, com trajetórias càdlàg, e é supermartingal com respeito a (F t ) t 0. 2 Em francês: continu à droite, avec limite à gauche.
7 7 Demonstração. Pelo teorema anterior, quase certamente e pela continuidade da ltração, X t = E[X t+ F t ] = E[X t+ F t+ ] = X t+, o que mostra que (X t+ ) t 0 é modicação de (X t ) t 0. Já que a ltração é completa, isso implica também que X t+ F t. Para vericar que as trajetórias t X t+ são contínuas a direita, observe que em Ω 0 (denido na prova anterior), em todo t 0, para qualquer ɛ > 0, inf X s t<s<t+ɛ inf X s+ t s<t+ɛ sup X s+ t s<t+ɛ sup X s. t<s<t+ɛ Mas por denição, os primeiros e últimos termos dessa desigualdade convergem para X t+ quando ɛ 0. Portanto, em Ω 0, lim s t X s+ = X t+ para todo t 0. Do mesmo jeito, pode ser mostrado que os limites a esquerda existem Martingais fechados. Considere o equivalente contínuo do Teorema 1.1: Lema 1.3. Seja X = (X t ) t 0 um supermartingal L 1 -limitado, contínuo a direita. Então existe X L 1 tal que X t X quase certamente. Demonstração. Se D R + for denso, enumerável, procedendo como na prova do Teorema 1.1 leva à existência quase certa do limite X = lim X t. t t D Pela continuidade a direita das trajetórias, esse limite coincide com lim t X t. Podemos aqui fazer a seguinte pergunta: será que X t E[X F t ]? Isto é: será que X pode ser visto como o último elemento do martingal? Diremos que um supermartingal X = (X t ) t I é fechado se existir Z L 1 tal que X t E[Z F t ] para todo t I. Diz-se que Z fecha X. Por exemplo, se I = R +, a variável Z pode ser interpretada como um elemento no tempo t =, Z = X, isto é como o último elemento do processo, e que a propriedade de supermartingal continua valendo para o processo (X t ) 0 t. De modo equivalente, dene-se martingal e submartingal fechado. Exercício 1.2. che um exemplo de supermartingal X (possivelmente discreto) que não seja fechado. (O movimento Browniano!) Proposição 1.2. Seja X = (X t ) t 0 um martingal contínuo a direita. São equivalentes: (1) X é fechado. (2) X t converge quando t, quase certamente e em L 1. (3) X é UI. Esse resultado implica em particular que um martingal contínuo limitado, por ser UI, é fechado também.
8 8 Demonstração. (1) implica (3): Se X é fechado por Z, X t = E[Z F t ], é UI pelo Lema 1.2. (3) implica (2): Se X é uniformemente integrável, então é limitada em L 1. Pelo Lema 1.3, X t X quase certamente, logo em L 1 também. (2) implica (1): Tomando t em X s = E[X t F s ] dá X s = E[X F s ]. Logo, X é fechado por X. Observação 1.3. Qualquer martingal limitado é UI, portanto fechado mostragem opcional, caso geral. Considere uma ltração (F t ) t 0. Lembra que se X for um supermartingal cujo índice é nito, e se S F forem dois tempos de parada limitados, então X S E[X T F S ]. Nessa seção generalizaremos esse resultado a um supermartingal em tempo contínuo. Teorema 1.5. [mostragem Opcional] Seja X = (X t ) t 0 um supermartingal contínuo a direita, fechado por X F (F := σ( t 0 F t)). Sejam S T dois tempos de parada. Então X S L 1, X T L 1 (com a convenção de que X T := X se T = ), e X S E[X T F S ]. (9) Se X for martingal, sob as mesmas hipóteses, X S = E[X T F S ]. (10) Para usar o resultado no caso nito, será necessário aproximar um tempo de parada qualquer por uma sequência de tempos de parada que tomam nitos valores. Lema 1.4. Para n 1, seja D n := {k2 n, k = 0, 1,..., n2 n } { }. Se T é um tempo de parada, dena Então T n é um tempo de parada, e T n T. T n := inf{t D n : t > T }. (11) Demonstração. É claro que se T =, então T n =. Caso contrário, T n T. Já que T n pode ser escrito como T n = n2 n 1 k=0 k n 1 {k/2 n <T (k+1)/2 n } + 1 {T >n2 n }, temos {T n t} = {T k(t)+1 2 n }, em que k(t) := max{0 k n2 n : (k + 1)/2 n t}. ssim, {T n t} F k(t)+1 2 n F t. Logo, T n é tempo de parada. Prova do Teorema 1.5. Começaremos com duas armações a respeito dos tempos de parada T n introduzidos em (11). rmação 1: Y n := X Tn é supermartingal reverso. De fato, considere para cada n 1, o supermartingal discreto (X t ) t Dn+1, isto é X 0, X 1/2 n+1,..., X k/2 n+1,..., X ((n+1)2 n+1 ) 1)/2 n+1, X n+1, X,
9 9 com respeito à ltração (F t ) t Dn+1. Considere os tempos de parada T n e T n+1. Como T n D n D n+1, podemos aplicar o Teorema da mostragem Opcional Discreto para (X t ) t Dn+1, com os tempos de parada T n+1 T n : X Tn+1 E[X Tn F Tn+1 ]. rmação 2: Y n X T em L 1, e X T L 1. Como E[ Y n ] = E[Y n ] + 2E[(Y n ) ], e E[Y n ] = E[X Tn ] E[X 0 ], E[(Y n ) ] = E[X T n ] E[X 0 ], temos que (Y n ) n 0 é L 1 -limitado. Pelo Teorema 1.2, Y n converge para Y L 1 em L 1. Como Y n = X Tn e T n T, e que as trajetórias de X são contínuas a direita, esse limite Y só pode ser X T. Em particular, X T L 1. Construindo do mesmo jeito a sequência S n := inf{t D n : t > S}, S n S, temos X Sn X S L 1 em L 1. plicando o Teorema da mostragem Opcional Discreto ao supermartingal (X t ) t Dn, essa vez com os tempos de parada S n T n, X Sn E[X Tn F Sn ]. (12) Como S n S, temos F S = n F S n (exercício). ssim, para todo F S, X Sn dp X Tn dp. Como X Sn X S e X Tn X T em L 1, a prova de (9) segue após ter tomado o limite n nessa última desigualdade Interromper um martingal com um tempo de parada. Seja X = (X t ) t 0 um supermartingal com respeito a uma ltração (F t ) t 0. É fácil ver que se a for uma constante, então (X t a ) t 0 também é supermartingal, com respeito à mesma ltração. O seguinte resultado é uma combinação desse fato e do Teorema da mostragem Opcional. Teorema 1.6. Se X = (X t ) t 0 é supermartingal contínuo a direita e S T dois tempos de parada limitados, então X S, X T L 1, e Se X for martingal, sob as mesmas hipóteses, X S E[X T F S ]. (13) X S = E[X T F S ]. (14) Demonstração. Seja a > 0 uma constante tal que S T a. Como visto acima, (X t a ) t 0 é supermartingal contínuo a direita. Como s a a para todo s 0, temos X s a E[X a a F s ] = E[X a F s ]. Logo, (X t a ) t 0 é fechado por X a. Pelo Teorema 1.5, X S X S a E[X T a F S ] E[X T F S ]. Corolário 1.2. Um processo càdlàg X = (X t ) t 0 adaptado a uma ltração (F t ) t 0 é martingal se e somente se para todo tempo de parada limitado T, X T L 1 e E[X T ] = E[X 0 ]. Demonstração. O somente se segue do Teorema 1.6. Para provar o se, observe primeiro que qualquer tempo t (constante) é um tempo de parada. Logo, X t L 1 e E[X t ] = E[X 0 ]. Por outro lado, se xarmos s < t e F s, e denirmos o
10 10 tempo de parada (exercício) T := s1 + t1 c, então E[X 0 ] = E[X T ] = E[X s 1 ] + E[X t 1 c]. Portanto, E[X s 1 ] = E[X t 1 ], o que implica X s = E[X t F s ]. Na prática, um tempo de parada é raramente limitado, e essa versão da mostragem não se aplica. Porém, existe um jeito de pedir limitação, mas no proprio martingal, via uma interrupção. Proposição 1.3. Se X é martingal càdlàg com respeito a (F t ) t 0, T um tempo de parada, então X T := (X t T ) t 0 é martingal càdlàg, chamado martingal interrompido no tempo T. Demonstração. É claro que X T é càdlàg e adaptado (exercício). Seja S um tempo de parada limitado. Como S T é tempo de parada (limitado também), pelo Teorema 1.6, E[XS T ] = E[X S T ] = E[X 0 ] = E[X0 T ]. Pelo Corolário 1.2, X T é martingal. 2. Movimento Brownian em Dimensões d 1 Usaremos aqui o Teorema da mostragem Opcional para martingais associados ao movimento Browniano, e deduzir propriedades sobre as propriedades de recorrência do processo em função da dimensão. Começaremos com o caso mais simples da dimensão Caso unidimensional: a ruina do apostador contínuo. Vimos no Exemplo 1.1 que o movimento B = (B t ) t 0 iniciado em x é martingal com respeito a sua ltração natural. Considere um intervalo [a, b] cujo interior contém x. Considere então os tempos de parada (exercício) T a,b := inf{t : B t (a, b)}. T x := inf{t : B t = x}. Observe que T a,b = T a T b. Sabemos que quase certamente, o MB atinge qualquer ponto da reta em um tempo nito. Tentaremos agora determinar qual dos pontos, a ou b, é atingido primeiro (pela continuidade das trajetorias, T a = T b é impossível). Teorema 2.1. P x (T a < T b ) = b x b a, Observe que {T a < T b } = {B Ta,b = a}. P x(t a > T b ) = x a b a. (15) Primeira prova: Como T a,b não é limitado, interrompemos o MB no tempo T a,b. Observe que agora, o martingal (Proposição 1.3) B T a,b é limitado, pois B T a,b {a, b}. Sendo limitado, ele é UI (Observação 1.3), portanto ele é fechado (Proposição 1.2). Logo, o Teorema da mostragem Opcional se aplica (com os tempos T a,b e 0). Obtemos assim E x [B Ta,b ] = E x [B 0 ] = x. Ora, E x [B Ta,b ] = ap x (B Ta,b = a) + bp x (B Ta,b = b), e como P x (B Ta,b = a) + P x (B Ta,b = b) = 1, (15) está provado.
11 11 Prova alternativa: Como T a,b não é limitado, o truncaremos da seguinte maneira: T a,b N, onde N 1. Pelo Teorema 1.6, x = E x [B 0 ] = E x [B Ta,b N] = E x [B Ta,b, T a,b N] + E x [B Ta,b N, T a,b > N]. (16) Para poder tomar o limite N nessa última expressão, precisamos mostrar que P x (T a,b N) 0. Mas P x (T a,b N + 1) P x (T a,b N, B N+1 B N b a) (17) = E x [1 {Ta,b N}E x [1 { B1 B 0 b a} θ N F N ]] = P x (T a,b N)P 0 ( B 1 b a) δp x (T a,b N), (18) onde δ (0, 1), e onde usamos a Propriedade de Markov na segunda igualdade. Isso mostra que T a,b < P x -quase certamente. Podemos então tomar N em (16). Como E x [B Ta,b N, T a,b > N] ( a + b)p x (T a,b > N), isso mostra que x = E x [B Ta,b ]. Observe que essa segunda prova não usa o fato do MB ser recorrente, fato que na verdade decorre do Teorema 2.1: com b > 0, P 0 (T b < ) P 0 (T b < T n ) = n b + n 1 quando n. Outras informações sobre o tempo de saida T a,b podem ser obtidas, via o uso de outros martingais associados ao MB. Teorema 2.2. Em particular, E 0 [T a,a ] = a 2. E x [T a,b ] = (x a)(b x). (19) Demonstração. Considere o martingal M t := B 2 t t (ver Exemplo 1.2). Procedendo como acima, obtemos E x [M Ta,b N] = E x [M 0 ] = x 2, e o limite N pode ser tomado pela mesma razão. ssim, usando as identidades do Teorema 2.1, o que prova (19). x 2 = E x [M Ta,b ] = E x [BT 2 a,b ] E x [T a,b ] { = a 2 b x b a + x a } b2 E x [T a,b ], b a 2.2. Dimensões superiores. Denição 2.1. Um processo B = (B t ) t 0, B t = (Bt 1,..., Bt d ), em que os Bt i são MB unidimensionais independentes, é chamado de movimento Browniano d- dimensional (MB-d).
12 12 É fácil vericar que o MB-d é um processo Gaussiano de média zero e de função de covariância dada por Cov(B s, B t ) = (t s)i (quando s t), onde I é a matriz identidade d d. O MB-d pode ser construido da mesma maneira que o processo unidimensional, denindo as distribuições de dimensão nita por µ (t1,...,t n)(i 1 I n ), com uma densidade com respeito à medida de Lebesgue em (R d ) n dada por ρ t1 (x 1 )ρ t2 t 1 (x 2 x 1 )... ρ tn t n 1 (x n x n 1 ), onde ρ t (y) é o núcleo do calor em dimensão d, dado por 1 ρ t (y) := /2t (2πt) d/2 e y 2. Exercício 2.1. Considere ρ t (y) denido acima. (1) Mostre que ρ t é solução da equação do calor: 1 2 ρ t = ρ t, t > 0. (20) t (2) Mostre que para qualquer função f : R d R, integrável com respeito a ρ t (y)dy, lim ρ ɛ (y x)f(y)dy = f(x). ɛ 0 Para estudar as propriedades de recorrência em dimensões superiores, usaremos martingais formados a partir do MB-d, usando o seguinte lema. Teorema 2.3. Seja B = (B t ) t 0 um MB d-dimensional iniciado em x R d, e (F t ) t 0 a sua ltração natural. Seja f : R d R de classe C 2, com derivadas parciais limitadas, e tal que E x [ f(b t ) ] < para todo x R d, t 0. Então o processo real X = (X t ) t 0, X t := f(b t ) 1 2 é martingal com respeito a (F t ) t 0. t 0 f(b u )du (21) Demonstração. É claro que X t é adaptado e em L 1. Sejam 0 s < t. E[X t X s F s ] = E[f(B t ) F s ] f(b s ) 1 [ t ] 2 E x f(b u )du F s Pela propriedade de Markov no tempo s, e E[f(B t ) F s ] = E[f B t s θ s F s ] = E Bs [f(b t s )], [ t ] [ t s E x f(b u )du F s = E Bs s 0 ] f(b u )du = s t s 0 E Bs [ f(b u )]du, onde a última identidade segue do Teorema de Fubini. Mas por denição, para todo z R d, E z [ f(b u )] = ρ u (y z) f(y)dy,
13 13 e usando a hipótese de que as derivadas parciais de f são limitadas, pode ser mostrado que ρ u (x) f(x)dx = f(x) ρ t (x)dx. (22) Usaremos agora (20): 1 [ t ] 2 E x f(b u )du F s = s t s 0 = lim ɛ 0 { ρ } u u (y B s)f(y)dy du { t s ρ } u f(y) u (y B s)du dy = E Bs [f(b t s )] lim ɛ ɛ 0 = E Bs [f(b t s )] f(b s ), o que implica E[X t X s F s ] = 0. Portanto, X é martingal. Exercício 2.2. Prove (22). f(y)ρ ɛ (y B s )dy Procuraremos agora martingais úteis no estudo da distância do MB-d à origem. Idealmente, gostaríamos de poder achar funções f : R d R com derivadas parciais C 2 e limitadas, tais que f(x) = 0 para todo x R d, e adaptar o método desenvolvido na prova do Teorema 2.1. Já que nos estamos interessados na distância do MB-d à origem, procuraremos funções da forma f(x) = φ( x 2 ), (23) com φ = φ(r). Para ter f = 0, φ deve satisfazer φ (r) φ (r) = d 2r. Logo, podemos escolher φ em função da dimensão, da seguinte forma: Isto é, d = 1 : φ(r) = r, (24) d = 2 : φ(r) = log r, (25) d 3 : φ(r) = r (d 2)/2. (26) d = 1 : f(x) = x, d = 2 : f(x) = log x, (27) d 3 : f(x) = x (d 2). É claro que essas funções satisfazem à condição f = 0 somente fora da origem. Teorema 2.4. Seja B = (B t ) t 0 um MB-d. (1) d = 1: B é recorrente: quase certamente, para qualquer x R, existe uma sequência t 1 < t 2 <..., t n, tal que B tn = 0 para todo n.
14 14 (2) d = 2: B é v-recorrente (v de vizinhança): quase certamente, para qualquer aberto G R 2, existe uma sequência t 1 < t 2 <..., t n, tal que B tn G para todo n. Em outras palavras: quase certamente, a trajetória t B t é densa em R 2. No entanto, B não enxerga os pontos: para todo x R 2, P (B t = x para algum t 0) = 0. (3) d 3: B é transiente: quase certamente, B t quando t. Demonstração. Considere 0 < r < R <, e a região aberta G r,r := {x R d : r < x < R}. Em dimensão d, seja f a função denida em (27). considere a função f obtida da seguinte maneira: se x r/2, então f(x) := f(x). Em seguida, considere qualquer continuação C 2 de f para valores x < r/2. Seja B um MB-d iniciado em x G r,r. Pelo Teorema 2.3, X t := f(b t ) 1 2 t 0 f(b u )du é martingal (obviamente càdlàg). Considere o tempo de parada T r,r := {t : B t G r,r }. Pela Proposição 1.3, X T r,r é martingal. Como f = f fora da bola de raio r/2, X t Tr,R = f(b t Tr,R ). Em particular, X T r,r é limitado. ssim, pelo Teorema da mostragem Opcional (Teorema 1.5), E x [f(b Tr,R )] = E x [f(b 0 )] = f(x). daptando a sequência (17)-(18) da prova alternativa do Teorema 2.1 obtemos que T r,r < quase certamente. Portanto, com um ligeiro abuso de notação, f(b Tr,R ) {f(r), f(r)} quase certamente, o que dá E x [f(b Tr,R )] = f(r)p x (B Tr,R S r ) + f(r)p x (B Tr,R S R ). Como P x (B Tr,R S r ) + P x (B Tr,R S R ) = 1, obtemos P x (B Tr,R S r ) = f(r) f(x) f(r) f(r), P x(b Tr,R S R ) = f(x) f(r) f(r) f(r). (28) Observe que no caso d = 1, essas identidades coincidem com (15) (com 0 < a < x < b). Para d = 2, observe que lim P log R log x x(b Tr,R S r ) = lim R R log R log r Dena T r := inf{t : B t S r }. Como P x (T r < ) = lim R P x (B Tr,R S r ), mostramos que para qualquer x 0, para qualquer r > 0, P x (T r < ) = 1. Isso pode ser reformulado da seguinte maneira: = 1 z R d, ɛ > 0, P 0 (B t tocar a bola B ɛ (z)) = 1. Isso implica que as trajetórias de MB-2 são densas em R 2. Por outro lado, o que implica lim P x(b Tr,R S r ) = 0, r 0 + z R d \ {0}, P 0 (B t tocar z) = 0.
15 15 Para d 3, como x > r, lim P R 2 d x 2 d x(b Tr,R S r ) = lim = ( x /r) 2 d < 1. R R R 2 d r 2 d Considere agora B iniciado na origem. Como T n < quase certamente, n := { B t n para todo t > T n } é não-vazio. Exercício 2.3. Ja pensou em que que signica exatamente f(b t Tr,R ) ser limitada, logo UI, logo possuir limite?
Continuidade de processos gaussianos
Continuidade de processos gaussianos Roberto Imbuzeiro Oliveira April, 008 Abstract 1 Intrudução Suponha que T é um certo conjunto de índices e c : T T R é uma função dada. Pergunta 1. Existe uma coleção
Leia maisLista 8 de Análise Funcional - Doutorado 2018
Lista 8 de Análise Funcional - Doutorado 2018 Professor Marcos Leandro 17 de Junho de 2018 1. Sejam M um subespaço de um espaço de Hilbert H e f M. Mostre que f admite uma única extensão para H preservando
Leia maisTeoremas de uma, duas e três séries de Kolmogorov
Teoremas de uma, duas e três séries de Kolmogorov 13 de Maio de 013 1 Introdução Nestas notas Z 1, Z, Z 3,... é uma sequência de variáveis aleatórias independentes. Buscaremos determinar condições sob
Leia mais1 Construção da medida de Lebesgue
Lista de exercícios - Análise Real - 2013/2 1 Construção da medida de Lebesgue O objetivo desta lista é registrar a sequência de passos que usamos no curso para construir a medida de Lebesgue. Com algumas
Leia maisDANIEL V. TAUSK. se A é um subconjunto de X, denotamos por A c o complementar de
O TEOREMA DE REPRESENTAÇÃO DE RIESZ PARA MEDIDAS DANIEL V. TAUSK Ao longo do texto, denotará sempre um espaço topológico fixado. Além do mais, as seguintes notações serão utilizadas: supp f denota o suporte
Leia mais2 Conceitos de Teoria da Probabilidade
2 Conceitos de Teoria da Probabilidade Neste capítulo, enunciaremos algumas denições e resultados de teoria de probabilidade. justicativa deste capítulo reside no fato que u objetivo nal é estimar momentos
Leia maisUma condição necessária e suciente para integrabilidade de uma função real
Uma condição necessária e suciente para integrabilidade de uma função real Jonas Renan Moreira Gomes 1 e Fernanda S. P. Cardona (orientadora) 1 Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de
Leia maisUma condição necessária e suciente para integrabilidade de uma função real
Uma condição necessária e suciente para integrabilidade de uma função real Jonas Renan Moreira Gomes 1 e Fernanda S. P. Cardona (orientadora) 1 Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de
Leia maisExercícios de Teoria da Probabilidade e Processos Estocásticos Parte I
Exercícios de Teoria da Probabilidade e Processos Estocásticos Parte I 2014/2015 Os exercícios assinalados com (*) têm um nível de dificuldade superior. Exercício 1. Seja (X, F) um espaço mensurável. Mostre
Leia maisNotas Sobre Sequências e Séries Alexandre Fernandes
Notas Sobre Sequências e Séries 2015 Alexandre Fernandes Limite de seqüências Definição. Uma seq. (s n ) converge para a R, ou a R é limite de (s n ), se para cada ɛ > 0 existe n 0 N tal que s n a < ɛ
Leia maisExercícios de Teoria da Probabilidade e Processos Estocásticos Parte II
Exercícios de Teoria da Probabilidade e Processos Estocásticos Parte II 13 de Dezembro de 2013 Exercício 1. Descreva o espaço de probabilidade associado às seguintes experiências aleatórias: 1. Uma moeda
Leia maisProcessos de Markov a Tempo Contínuo e Sistemas de Partículas Parte 2
Processos de Markov a Tempo Contínuo e Sistemas de Partículas Parte 2 Leandro Cioletti Departamento de Matemática - UnB 70910-900, Brasília, Brazil cioletti@mat.unb.br Ricardo Parreira Departamento de
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA. Medida e Probabilidade
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA Medida e Probabilidade Aluno: Daniel Cassimiro Carneiro da Cunha Professor: Andre Toom 1 Resumo Este trabalho contem um resumo dos principais
Leia maisMAT Cálculo Avançado - Notas de Aula
bola fechada de centro a e raio r: B r [a] = {p X d(p, a) r} MAT5711 - Cálculo Avançado - Notas de Aula 2 de março de 2010 1 ESPAÇOS MÉTRICOS Definição 11 Um espaço métrico é um par (X, d), onde X é um
Leia maisProbabilidade de Ruína e Processos de Lévy α-estáveis
Apresentação Probabilidade de Ruína e Processos de Lévy α-estáveis Universidade de São Paulo IME - USP 08 de abril, 2010 Apresentação Distribuições Estáveis e Processos de Lévy α-estáveis Convergência
Leia maisExercícios de Teoria da Probabilidade e Processos Estocásticos Parte I
Exercícios de Teoria da Probabilidade e Processos Estocásticos Parte I 2013/2014 Exercício 1. Seja (, F) um espaço mensurável. Mostre que 1. F. 2. se A i F, i = 1, 2,... então n i=1 A i F. 3. se A i F,
Leia maisCap. 5 Estabilidade de Lyapunov
Cap. 5 Estabilidade de Lyapunov 1 Motivação Considere as equações diferenciais que modelam o oscilador harmônico sem amortecimento e sem força aplicada, dada por: M z + Kz = 0 Escolhendo-se x 1 = z e x
Leia maist X s db s, I t (X) :=
Chapter 3 Integrais estocásticos Neste capítulo vamos definir integrais estocásticos relativamente ao movimento Browniano e estudar algumas das suas propriedades. Estes integrais também são chamados integrais
Leia maisReviso de Teoria da Medida e Elementos Bsicos de Probabilidade
Reviso de Teoria da Medida e Elementos Bsicos de Probabilidade Roberto Imbuzeiro Oliveira 9 de Março de 2009 Resumo Esta lista cobre o básico do básico sobre espaços e distribuições de probabilidade. Pouco
Leia maisMétodos Estatísticos Básicos
Aula 6 - Introdução à probabilidade Departamento de Economia Universidade Federal de Pelotas (UFPel) Maio de 2014 Experimento Experimento aleatório (E ): é um experimento que pode ser repetido indenidamente
Leia maisO Teorema de Peano. f : D R n. uma função contínua. Vamos considerar o seguinte problema: Encontrar um intervalo I R e uma função ϕ : I R n tais que
O Teorema de Peano Equações de primeira ordem Seja D um conjunto aberto de R R n, e seja f : D R n (t, x) f(t, x) uma função contínua. Vamos considerar o seguinte problema: Encontrar um intervalo I R e
Leia mais1.3 Conjuntos de medida nula
1.3 Conjuntos de medida nula Seja (X, F, µ) um espaço de medida. Um subconjunto A X é um conjunto de medida nula se existir B F tal que A B e µ(b) = 0. Do ponto de vista da teoria da medida, os conjuntos
Leia maisExercício 18. Demonstre a proposição anterior. (Dica: use as definições de continuidade e mensurabilidade)
Proposição 2.7. Sejam Y e Z espaços métricos e X um espaço mensurável. Se f : X Y é uma função mensurável e g : Y Z é uma função contínua então g f : X Z é uma função mensurável. Exercício 18. Demonstre
Leia maisTopologia geral Professor: Fernando de Ávila Silva Departamento de Matemática - UFPR
Topologia geral Professor: Fernando de Ávila Silva Departamento de Matemática - UFPR LISTA 1: Métricas, Espaços Topológicos e Funções Contínuas 1 Métricas Exercício 1 Sejam M um espaço métrico e A M um
Leia mais3.1 Limite & Continuidade
3. FUNÇÕES CONTÍNUAS ANÁLISE NO CORPO R - 2018.1 3.1 Limite & Continuidade 1. Mostre que a função valor absoluto f (x) = jxj é contínua em qualquer ponto x 2 R: 2. A função de Dirichlet ' : R! R é de nida
Leia maisTopologia. Fernando Silva. (Licenciatura em Matemática, 2007/2008) 13-agosto-2018
Topologia (Licenciatura em Matemática, 2007/2008) Fernando Silva 13-agosto-2018 A última revisão deste texto está disponível em http://webpages.fc.ul.pt/~fasilva/top/ Este texto é uma revisão do texto
Leia mais4.1. ESPERANÇA x =, x=1
4.1. ESPERANÇA 139 4.1 Esperança Certamente um dos conceitos mais conhecidos na teoria das probabilidade é a esperança de uma variável aleatória, mas não com esse nome e sim com os nomes de média ou valor
Leia mais1 Limites e Conjuntos Abertos
1 Limites e Conjuntos Abertos 1.1 Sequências de números reais Definição. Uma sequência de números reais é uma associação de um número real a cada número natural. Exemplos: 1. {1,2,3,4,...} 2. {1,1/2,1/3,1/4,...}
Leia maisConstrução de espaços de probabilidade. básicos
Capítulo 2 Construção de espaços de probabilidade básicos Nessa seção descreveremos diversas maneiras diferentes de construir um espaço de probabilidade, dando diversos exemplos de como elas podem ser
Leia maisP1 de Análise Real ou Análise I Data: 16 de abril de 2008
P1 de Análise Real ou Análise I 2008.1 Data: 16 de abril de 2008 Serão contadas as quatro melhores questões. 1. Seja (a n ) uma seqüência de números reais. Prove que se (a n ) 2 converge então a nn também
Leia maisMAT 5798 Medida e Integração Exercícios de Revisão de Espaços Métricos
MAT 5798 Medida e Integração Exercícios de Revisão de Espaços Métricos Prof. Edson de Faria 30 de Março de 2014 Observação: O objetivo desta lista é motivar uma revisão dos conceitos e fatos básicos sobre
Leia maisMarina Andretta. 17 de setembro de Baseado no livro Numerical Optimization, de J. Nocedal e S. J. Wright.
Métodos de regiões de confiança Marina Andretta ICMC-USP 17 de setembro de 2014 Baseado no livro Numerical Optimization, de J. Nocedal e S. J. Wright. Marina Andretta (ICMC-USP) sme0212 - Otimização não-linear
Leia maisProcessos de Lévy: Preliminares
Processos de Lévy: Preliminares Pedro A. Morettin Instituto de Matemática e Estatística Universidade de São Paulo pam@ime.usp.br http://www.ime.usp.br/ pam Sumário 1. Introdução 2. Alguns processos em
Leia maisCompacidade de conjuntos e operadores lineares
Compacidade de conjuntos e operadores lineares Roberto Imbuzeiro Oliveira 13 de Janeiro de 2010 No que segue, F = R ou C e (X, X ), (Y, Y ) são Banach sobre F. Recordamos que um operador linear T : X Y
Leia maisda Teoria do conjuntos
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS Centro de Ciências Exatas e Tecnologia - CCET Departamento de Matemática Topologia do ponto de vista da Teoria do conjuntos Aluna: Natalia de Barros Gonçalves Orientador:
Leia maisVariáveis Aleatórias Contínuas e Distribuição de Probabilidad
Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuição de Probabilidades - parte II 26 de Novembro de 2013 Distribuição Contínua Uniforme Média e Variância Objetivos Ao final deste capítulo você deve ser capaz
Leia maisTeoria da Medida e Integração (MAT505)
Teoria da Medida e Integração (MAT505) Teoria de Derivação de Lebesgue. Teorema Fundamental do Cálculo. V. Araújo Mestrado em Matemática, UFBA, 204 Conteúdo Riemann. vs Lebesgue..............................2
Leia maisQuestão 4 (2,0 pontos). Defina função convexa (0,5 pontos). Seja f : I R uma função convexa no intervalo aberto I. Dado c I (qualquer)
DM IMECC UNICAMP, Análise I, Prof. Marcelo M. Santos Exame Final, 15/07/2009 Aluno: RA: Ass.: Observações: Tempo de prova: 100min; Justifique sucintamente todas as suas afirmações; Disponha as suas resoluções
Leia maisUniversidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática. O Teorema de Arzelá. José Renato Fialho Rodrigues
Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática O Teorema de Arzelá José Renato Fialho Rodrigues Belo Horizonte - MG 1994 José Renato Fialho Rodrigues O Teorema
Leia maisMovimento Browniano, Integral de Itô e Estocásticas
Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de Matemática Programa de Pós-Graduação em Matemática Movimento Browniano, Integral de Itô e Introdução às Equações Diferenciais Estocásticas Ricardo
Leia maisO movimento Browniano
O movimento Browniano R. Vilela Mendes http://label2.ist.utl.pt/vilela/ March 2010 () March 2010 1 / 35 Sumário O movimento Browniano Propriedade Markoviana Probabilidade de transição. Medida de Wiener
Leia maisDemonstração. Ver demonstração em [1]. . Para que i j se tem µ i µ j? Determine a derivada no sentido de Radon-Nikodym em cada caso.
Proposição 2.39 (Propriedades de e.). Sejam µ, λ, λ 1, λ 2 medidas no espaço mensurável (X, F). Então 1. se λ 1 µ e λ 2 µ então (λ 1 + λ 2 ) µ. 2. se λ 1 µ e λ 2 µ então (λ 1 + λ 2 ) µ. 3. se λ 1 µ e λ
Leia mais3 Apresentação do processo e resultados preliminares
3 Apresentação do processo e resultados preliminares O Capitulo 1 dá a ferramenta para construir uma cadeia de Markov a tempo contínuo, a partir de uma cadeia de Markov a tempo discreto. Agora, queremos
Leia maisPARTE I EQUAÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
PARTE I EQUAÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL. Introdução Considere f uma função, não constante, de uma variável real ou complexa, a equação f(x) = 0 será denominada equação de uma incógnita. EXEMPLO e x + senx
Leia maisSUMÁRIOS DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTINUAS
4 SUMÁRIOS DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTINUAS Em muitos problemas de probabilidade que requerem o uso de variáveis aleatórias, uma completa especificação da função de densidade de probabilidade ou não está
Leia maisσ-álgebras, geradores e independência
σ-álgebras, geradores e independência Roberto Imbuzeiro M. F. de Oliveira 15 de Março de 2009 Resumo Notas sobre a σ-álgebra gerada por uma variável aleatória X e sobre as condições de independência de
Leia mais1 Álgebra linear matricial
MTM510019 Métodos Computacionais de Otimização 2018.2 1 Álgebra linear matricial Revisão Um vetor x R n será representado por um vetor coluna x 1 x 2 x =., x n enquanto o transposto de x corresponde a
Leia maisCapítulo 1. Fundamentos
Capítulo 1 Fundamentos A probabilidade moderna se baseia fortemente na Teoria da Medida e supomos durante esse curso que o leitor esteja bem familiarizado com conceitos tais como: Medida de Lebesgue, extensões
Leia maisDalang, Morton & Willinger II
Dalang, Morton & Willinger II Walter Mascarenhas Instituto de Matemática e Estatística Universidade de São Paulo www.ime.usp.br/ walterfm 29/05/2012 Walter Mascarenhas (IME-USP) Dalang, Morton & Willinger
Leia maisMétodos Matemáticos na Ciência de Dados: Introdução Relâmpago. II
Métodos Matemáticos na Ciência de Dados: Introdução Relâmpago. II Vladimir Pestov 1 University of Ottawa / Université d Ottawa Ottawa, Ontario, Canadá 2 Universidade Federal de Santa Catarina Florianópolis,
Leia maisLista 1 - Cálculo Numérico - Zeros de funções
Lista 1 - Cálculo Numérico - Zeros de funções 1.) De acordo com o teorema de Bolzano, se uma função contínua f(x) assume valores de sinais opostos nos pontos extremos do intervalo [a, b], isto é se f(a)
Leia maisInferência para CS Modelos univariados contínuos
Inferência para CS Modelos univariados contínuos Renato Martins Assunção DCC - UFMG 2014 Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Inferência para CS Modelos univariados contínuos 2014 1 / 42 V.A. Contínua
Leia maisEspaço Dual, Transposta e Adjunta (nota da álgebra linear 2)
Espaço Dual, Transposta e Adjunta nota da álgebra linear 2) Sadao Massago Outubro de 2009 1 Espaço Dual Dado um espaço vetorial V sobre o corpo F, o espaço dual V é o espaço de todas transformações lineares
Leia maisParte II. Análise funcional II
Parte II Análise funcional II 12 Capítulo 5 Produto de Operadores. Operadores inversos Neste capítulo vamos introduzir a noção de produto de operadores assim como a de operador invertível. Para tal precisamos
Leia maisPropriedades das Funções Contínuas
Propriedades das Funções Contínuas Prof. Doherty Andrade 2005- UEM Sumário 1 Seqüências 2 1.1 O Corpo dos Números Reais.......................... 2 1.2 Seqüências.................................... 5
Leia maisFaremos aqui uma introdução aos espaços de Banach e as diferentes topologías que se podem definir nelas.
Capítulo 2 Espaços de Banach Faremos aqui uma introdução aos espaços de Banach e as diferentes topologías que se podem definir nelas. 2.1 Espaços métricos O conceito de espaço métrico é um dos conceitos
Leia maisSequências. 1 Denição, Intuição e Primeiros Exemplos. Alan Anderson. 5 de dezembro de 2015
Sequências Alan Anderson 5 de dezembro de 2015 1 Denição, Intuição e Primeiros s Se você não estiver familiarizado com funções, apenas leia isso e ignore a primeira denição: Uma sequência pode ser vista
Leia maisCAPÍTULO II NOÇÕES TOPOLÓGICAS EM R
CAPÍTULO II NOÇÕES TOPOLÓGICAS EM R 1. Distância e vizinhanças Ao número real não negativo d(x, y) = x y chama-se distância entre os números reais x e y. São imediatas as seguintes propriedades: P1 : d(x,
Leia maisA derivada da função inversa
A derivada da função inversa Sumário. Derivada da função inversa............... Funções trigonométricas inversas........... 0.3 Exercícios........................ 7.4 Textos Complementares................
Leia maisLista de Exercícios 6: Soluções Funções
UFMG/ICEx/DCC DCC Matemática Discreta Lista de Exercícios 6: Soluções Funções Ciências Exatas & Engenharias o Semestre de 06 Conceitos. Determine e justifique se a seguinte afirmação é verdadeira ou não
Leia maisAs leis dos grandes números
6. Introdução este capítulo estudamos algumas formulações da lei dos grandes números. Uma lei dos grandes números dá o comportamento limite, ou assimptótico, de uma média de observações aleatórias., de
Leia maisNoções (básicas) de Topologia Geral, espaços métricos, espaços normados e espaços com produto interno. André Arbex Hallack
Noções (básicas) de Topologia Geral, espaços métricos, espaços normados e espaços com produto interno André Arbex Hallack Setembro/2011 Introdução O presente texto surgiu para dar suporte a um Seminário
Leia maisConstrução dos Números Reais
1 Universidade de Brasília Departamento de Matemática Construção dos Números Reais Célio W. Manzi Alvarenga Sumário 1 Seqüências de números racionais 1 2 Pares de Cauchy 2 3 Um problema 4 4 Comparação
Leia maisTeoria da Medida e Integração (MAT505)
Riemann Derivadas Variação Limitada Cont. Abs. Teoria da Medida e Integração (MAT505) Teoria de Derivação de Lebesgue. Teorema Fundamental do Cálculo. V. Araújo Instituto de Matemática, Universidade Federal
Leia maisTeoria da Medida e Integração (MAT505)
Teoria da Medida e Integração (MAT505) Modos de convergência V. Araújo Mestrado em Matemática, UFBA, 2014 1 Modos de convergência Modos de convergência Neste ponto já conhecemos quatro modos de convergência
Leia maisProbabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Desigualdades 02/14 1 / 31
Probabilidade II Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Desigualdades 02/14 1 / 31 Um teorema de grande importância e bastante utilidade em probabilidade
Leia maisUniversidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática
Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática Método de Newton Paulo Evandro Viana Belo Horizonte, março de 006 AOS MEUS QUERIDOS E ESTIMADOS FAMILIARES E,
Leia maisUniversidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas - CCE Departamento de Matemática Primeira Lista de MAT641 - Análise no R n
Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas - CCE Departamento de Matemática Primeira Lista de MAT641 - Análise no R n 1. Exercícios do livro Análise Real, volume 2, Elon Lages Lima, páginas
Leia maisTEORIA ERGÓDICA, SISTEMAS DINÂMICOS E MEDIDAS INVARIANTES
TEORIA ERGÓDICA, SISTEMAS DINÂMICOS E MEDIDAS INVARIANTES Aluno: Juliana Arcoverde V. L. Ribeiro Orientador: Lorenzo Justiniano Díaz Casado Introdução A Teoria dos Sistemas Dinâmicos, ou mais exatamente
Leia maisCálculo Diferencial e Integral I
Cálculo Diferencial e Integral I Complementos ao texto de apoio às aulas. Amélia Bastos, António Bravo Julho 24 Introdução O texto apresentado tem por objectivo ser um complemento ao texto de apoio ao
Leia maisTeoria da Probabilidade e Processos Estocásticos Mestrado em Matemática Financeira
Teoria da Probabilidade e Processos Estocásticos Mestrado em Matemática Financeira 15 de Janeiro 013 Época Normal - horas Resolva os seguintes exercícios, justificando cuidadosamente as suas respostas.
Leia maisA estacionariedade prova-se de maneira semel- hante.
Se por outro lado (U 1, U 2,...) é IID então mostremos que X n U 1 + + U n tem incrementos independentes e estacionários. De facto, dados n > m temos que X n X m U m+1 + + U n. Tome-se quaisquer n 1
Leia maisCálculo das Probabilidades I
Cálculo das Probabilidades I Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função Geradora de Momentos 10/13 1 / 19 Calculamos algumas características da
Leia maisNotas Para o Curso de Medida e. Daniel V. Tausk
Notas Para o Curso de Medida e Integração Daniel V. Tausk Sumário Capítulo 1. Medida de Lebesgue e Espaços de Medida... 1 1.1. Aritmética na Reta Estendida... 1 1.2. O Problema da Medida... 6 1.3. Volume
Leia maisProduto interno e produto vetorial no espaço
14 Produto interno e produto vetorial no espaço Sumário 14.1 Produto interno.................... 14. Produto vetorial.................... 5 14..1 Interpretação geométrica da norma do produto vetorial.......................
Leia maisVARIÁVEIS ALEATÓRIAS
UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Joaquim H Vianna Neto Relatório Técnico RTE-03/013 Relatório Técnico Série Ensino Variáveis
Leia maisNo que segue, X sempre denota um espaço topológico localmente compacto
O TEOREMA DE REPRESENTAÇÃO DE RIESZ PARA MEDIDAS DANIEL V. TAUSK No que segue, sempre denota um espaço topológico localmente compacto Hausdorff. Se f : R é uma função, então supp f denota o{ suporte (relativamente
Leia maisTeoria da Medida e Integração (MAT505)
Modos de convergência Teoria da Medida e Integração (MAT505) Modos de convergência. V. Araújo Instituto de Matemática, Universidade Federal da Bahia Mestrado em Matemática, UFBA, 2014 Modos de convergência
Leia maisNotas de Análise Real. Jonas Renan Moreira Gomes
Notas de Análise Real Jonas Renan Moreira Gomes 6 de novembro de 2008 ii Sumário 1 Séries de Fourier 1 1.1 Produto Hermitiano......................... 1 1.1.1 Definições........................... 1 1.1.2
Leia maisTeoria da Probabilidade e Modelos Discretos de Mercados Financeiros Edição de 7 de Fevereiro de 2017
QUESTÕES PARA AS AVALIAÇÕES Teoria da Probabilidade e Modelos Discretos de Mercados Financeiros 2016-2017 Edição de 7 de Fevereiro de 2017 Nota Prévia Todos os exercícios enunciados nas aulas são considerados
Leia maisCÁLCULO I. Apresentar e aplicar a Regra de L'Hospital.
CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o : Limites Innitos e no Innito. Assíntotas. Regra de L'Hospital Objetivos da Aula Denir ite no innito e ites innitos; Apresentar alguns tipos
Leia maisO Plano no Espaço. Sumário
17 Sumário 17.1 Introdução....................... 2 17.2 Equações paramétricas do plano no espaço..... 2 17.3 Equação cartesiana do plano............. 15 17.4 Exercícios........................ 21 1 Unidade
Leia maisLista de Exercícios da Primeira Semana Análise Real
Lista de Exercícios da Primeira Semana Análise Real Nesta lista, a n, b n, c n serão sempre sequências de números reais.. Mostre que todo conjunto ordenado com a propriedade do supremo possui a propriedade
Leia maisFORMULÁRIO PROCESSOS ESTOCÁSTICOS E APLICAÇÕES MAEG-ISEG exp(x) = j=0. j+1 xj ( 1) j=1. ( 1) j x j for 1 < x < 1
FORMULÁRIO PROCESSOS ESTOCÁSTICOS E APLICAÇÕES MAEG-ISEG 008 Desenvolvimentos em série log( + x) = ( + x) = exp(x) = X ( ) = Cadeias de Markov + x X x! for < x X ( ) x for < x < Equações de Chapman-Kolmogorov
Leia maisConvergência em espaços normados
Chapter 1 Convergência em espaços normados Neste capítulo vamos abordar diferentes tipos de convergência em espaços normados. Já sabemos da análise matemática e não só, de diferentes tipos de convergência
Leia maisCálculo Diferencial e Integral Química Notas de Aula
Cálculo Diferencial e Integral Química Notas de Aula João Roberto Gerônimo 1 1 Professor Associado do Departamento de Matemática da UEM. E-mail: jrgeronimo@uem.br. ÍNDICE 1. INTRODUÇÃO Esta notas de aula
Leia mais4 Expansão de Caos Polinomial
4 Expansão de Caos Polinomial Neste capítulo, apresentaremos a teoria fundamental da Expansão por Caos Polinomial (ECP) que utilizaremos para representar a resposta de um modelo aleatório. Começamos com
Leia maisTeoria da Medida e Integração (MAT505)
Transporte de medidas Teoria da Medida e Integração (MAT505) Transporte de medidas e medidas invariantes. Teorema de Recorrência de Poincaré V. Araújo Instituto de Matemática, Universidade Federal da Bahia
Leia maisMAT 5798 Medida e Integração IME 2017
MAT 5798 Medida e Integração IME 2017 http://www.ime.usp.br/ glaucio/mat5798 Lista 11 - Integral de Bochner Fixemos um espaço de medida completo (X, M, µ) até o final desta lista. As duas primeiras questões
Leia maisInvariância da integral por homotopia, fórmula de Cauchy e séries de Taylor
Invariância da integral por homotopia, fórmula de Cauchy e séries de Taylor Roberto Imbuzeiro Oliveira 6 de Abril de 20 Preliminares Nestas notas, U C sempre será um aberto e f : U C é contínua. Duas curvas
Leia maisNotas de Teoria da Probabilidade e Processos Estocásticos
Notas de Teoria da Probabilidade e Processos Estocásticos José Pedro Gaivão Resumo Estas notas destinam-se à disciplina de Teoria da Probabilidade e Processos Estocásticos do Mestrado de Matemática Financeira
Leia maisDistribuies de Probabilidade
Distribuies de Probabilidade Roberto Imbuzeiro M. F. de Oliveira 23 de Março de 2009 Resumo Exerçícios sobre as distribuições de v.a. s. 1 Toda variável aleatória real é uniforme Seja X : Ω R com função
Leia maisSeja (X,Y) uma v.a. bidimensional contínua ou discreta. Define-se valor esperado condicionado de X para um dado Y igual a y da seguinte forma:
46 VALOR ESPERADO CONDICIONADO Seja (X,Y) uma v.a. bidimensional contínua ou discreta. Define-se valor esperado condicionado de X para um dado Y igual a y da seguinte forma: Variável contínua E + ( X Y
Leia maisEquação Geral do Segundo Grau em R 2
8 Equação Geral do Segundo Grau em R Sumário 8.1 Introdução....................... 8. Autovalores e autovetores de uma matriz real 8.3 Rotação dos Eixos Coordenados........... 5 8.4 Formas Quadráticas..................
Leia maisVariáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite 1/22
all Variáveis Aleatórias Bidimensionais & Teoremas de Limite Professores Eduardo Zambon e Magnos Martinello UFES Universidade Federal do Espírito Santo DI Departamento de Informática CEUNES Centro Universitário
Leia maisProvas de Análise Real - Noturno - 3MAT003
Provas de 2006 - Análise Real - Noturno - 3MAT003 Matemática - Prof. Ulysses Sodré - Londrina-PR - provas2006.tex 1. Definir a operação ϕ entre os conjuntos A e B por ϕ(a, B) = (A B) (A B). (a) Demonstrar
Leia maisSequências e Séries Infinitas. Copyright Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
11 Sequências e Séries Infinitas Copyright Cengage Learning. Todos os direitos reservados. 11.10 Séries de Taylor e Maclaurin Copyright Cengage Learning. Todos os direitos reservados. Começaremos supondo
Leia maisNotas de Aula - Minicurso de Analise Real. Aloizio Macedo
Notas de Aula - Minicurso de Analise Real Aloizio Macedo Rio de Janeiro Julho de 2017 Contents 1 Aula 1 1 1.1 Objetos de estudo.......................... 1 1.2 Propriedades Básicas.........................
Leia mais4.1 Preliminares. 1. Em cada caso, use a de nição para calcular f 0 (x) : (a) f (x) = x 3 ; x 2 R (b) f (x) = 1=x; x 6= 0 (c) f (x) = 1= p x; x > 0:
4. FUNÇÕES DERIVÁVEIS ANÁLISE NO CORPO R - 208. 4. Preinares. Em cada caso, use a de nição para calcular f 0 (x) : (a) f (x) = x 3 ; x 2 R (b) f (x) = =x; x 6= 0 (c) f (x) = = p x; x > 0: 2. Mostre que
Leia maisFunções contínuas em intervalos
8 Funções contínuas em intervalos Sumário 8.1 Introdução....................... 2 8.2 O Teorema do Valor Intermediário.......... 5 8.3 Aplicações do Teorema do Valor Intermediário... 5 8.4 O Teorema do
Leia mais