1 Construção da medida de Lebesgue

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1 Lista de exercícios - Análise Real /2 1 Construção da medida de Lebesgue O objetivo desta lista é registrar a sequência de passos que usamos no curso para construir a medida de Lebesgue. Com algumas poucas excessões, todos resultados foram mostrados em aula. Questão 1. Um retângulo R em R n é denido por n [a j, b j ] = [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a n, b n ] onde a j b j, j = 1,..., n. Mostre que a interseção de dois retângulos não disjuntos é um retângulo. Questão 2. Seja R o conjuntos de todos os retângulos em R n para um dado n. Dena a função volume como vol : R R ( + n n vol [a j, b j ] = (b j a j, a j b j Mostre que se R 1, R 2 R, então R 1 R 2 = vol(r 1 vol(r 2 Questão 3. Mostre que / R, mas existe R R tal que vol(r = 0. Questão 4. Dois retângulos, R 1 e R 2, são ditos quase disjuntos se R 1 R 2 = ou se R 1 R 2 R e vol(r 1 R 2 = 0. Mostre que se um retângulo, R é a união de dois retângulos quase disjuntos, R 1 e R 2, então vol(r = vol(r 1 + vol(r 2. Questão 5. Seja R R e R = N R j onde R j R, retângulos quase disjuntos dois-a-dois, mostre que vol(r = n vol(r j. Questão 6. Seja R, S R então existem R j R quase disjuntos dois-a-dois e R\S = Questão 7. Seja R R e R = N R j onde R j R, retângulos (não necessariamente quase disjuntos dois-a-dois, mostre que n vol(r vol(r j. N R j 1

2 Questão 8. Dena a medida exterior como a função cujo domínio são todos os subconjuntos de R n a imagem são os números reais extendidos não negativos conforme a seguir: Demonstre as seguintes propriedades: P(R n [0, + ] µ (E = inf vol(r j : R j E i. µ (E 0, para todo E R n. (Em especial, você deve provar que a denição está bem posta. ii. µ ( = 0. iii. µ (S = 0 para todo conjunto S contável (nito ou enumerável. iv. E F = µ (E µ (F. (Monotocidade v. µ (E < para todo conjunto E limitado. Questão 9. Mostre que se K R n é um conjunto compacto, então { N N µ (K = inf vol(r j : R j K, N N Questão 10. Mostre que se R R então vol(r = µ (R. Para tal, siga os seguintes passos: i. Mostre que µ (R vol(r ii. Use os resultados dos problemas 1, 7 e 9 para completar o resultado. Dica: R j R R Questão 11. Seja int(r, o interior (topológico de um retângulo R R, i.e., um retângulo aberto. Mostre que µ (int(r = µ (R = vol(r. Questão 12. Mostre que se {E j são subconjuntos de Rn, então ( µ E j µ (E j (σ-subaditividade Questão 13. Mostre que para todo δ > 0 µ (E = inf vol(r j : R j E, diam(r j < δ 2

3 Questão 14. Mostre que se E e F são conjuntos bem separados então µ (E F = µ (E + µ (F Questão 15. Mostre que se {R j são retângulos quase disjuntos, então ( µ R j = vol(r j Questão 16. Mostre que todo aberto O pode ser escrito como a união enumerável de cubos quase-disjuntos. Questão 17. Mostre que todo conjunto E vale a identidade µ (E = inf{µ (O : O E onde O é aberto. Questão 18. Considere E R n um conjunto limitado e dena a medida exterior de Jordan de E por: { N N µ J(E = inf vol(r j : R j E, N N mostre que µ J (E = µ (E. Dica: veja problema (9. Qual a denição de fecho? Questão 19. Dena conjunto mensurável e mostre as seguintes propriedades i Todo aberto é mensurável. ii Todo conjunto de medida nula é mensurável. iii União enumerável de mensuráveis é mensurável. iv Todo compacto é mensurável. v Todo fechado é mensurável. vi Complemento de mensurável é mensurável. vii Interseção enumerável de mensuráveis é mensurável. Questão 20. Dena medida de Lebesgue. Questão 21. Prove que as seguintes armações são equivalentes a respeito de um conjunto E R n : i Para todo ε > 0, existe um aberto O E tal que µ (O\E < ε ii Para todo ε > 0, existe um fechado F E tal que µ (E\F < ε iii Para todo conjunto A (não necessariamente mensurável, vale a identidade µ (A = µ (A E + µ (A E c Questão 22. Mostre que se {E j união. são mensuráveis disjuntos, então a soma das medidas é a medida da 3

4 Questão 23. Para conjuntos mensuráveis se E j E então µ(e j µ(e. Questão 24. Para conjuntos mensuráveis de medida nita se E j E então µ(e j µ(e. Questão 25. Mostre que a medida exterior de Lebesgue é invariante por translações, isto é, mostre que µ (S = µ (S + r onde r R n Questão 26. Mostre que se α é uma constante positiva e αe := {αx, E, então para todo conjunto E R d µ (αe = α d µ (E Questão 27. Mostre que existe uma bola aberta centrada na origem de medida unitária. Denote tal bola de B 1. Dena B(x, α := {x + αz, z B 1 onde α > 0 e x R d Mostre que para todo conjunto E, vale a identidade µ (E = inf αj d : B(x j, α j E onde d é dimensão do espaço em questão. Questão 28. Mostre que se T é uma matriz unitária, isto é, < T x, T y >=< x, y > para todo x, y R d. Então para todo E R d. onde µ (T E = µ (E T E = {T x : x E. Questão 29. Seja {r j a enumeração de um conjunto denso em Rd. Dena O n := B(r j, 2 j j=n onde B(r, δ é a bola aberta centrada em r de raio δ. Dena S = O n, n=1 P = S c Mostre que S é um conjunto de medida nula denso em R d e P, um conjunto de primeira categoria de Baire. Explique por que S não é enumerável. Constraste com o fato que n=1 j=n {r j =. Questão 30. Mostre que o conjunto C 1/3 de Cantor é fechado, não-enumerável e tem medida nula. Questão 31. (Construção do conjunto de Vitalli Mostre que existe um conjunto V R não-mensurável. Para tal siga os seguintes passos. 4

5 i. Mostre que a relação entre dois números reais x e y denida por é uma relação de equivalência. x y x y Q ii. Dena a classe de equivalência [x] de um número real x e mostre que estas classes são densas em R. iii. Use o axioma da escolha para estabelecer a existência um conjunto V [0, 1] formado por um elemento de cada uma das classes de equivalências induzidas por. iv. Mostre que se {r j é uma enumeração dos racionais em [ 1, 1] e V j := r j + V, então mas µ (V j = µ (V. V j [ 1, 2] v. Mostre que µ (V > 0 e conclua a demonstração de que V não é mensurável. Questão 32. Mostre que se µ( E = 0 então E é mensurável. Questão 33. Seja f : [a, b] R uma função Riemann-integrável não-negativa e G o conjunto denido por Mostre que G é mensurável a Lebesgue e ainda que G = {(x, y : 0 y f(x, x [a, b] µ(g = b a f(xdx. Onde a integral envolvida é a de Riemann. Dica: use as somas inferiores e superiores de Darboux. 5