Teoria da Medida e Integração (MAT505)

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1 Riemann Derivadas Variação Limitada Cont. Abs. Teoria da Medida e Integração (MAT505) Teoria de Derivação de Lebesgue. Teorema Fundamental do Cálculo. V. Araújo Instituto de Matemática, Universidade Federal da Bahia Mestrado em Matemática, UFBA, 2014

2 Riemann Derivadas Variação Limitada Cont. Abs. vs Lebesgue Teorema Fundamental do Cálculo Riemann-integrável é Lebesgue-integrável O próximo é resultado bem conhecido dos cursos de Análise no R n : Teorema Uma função limitada f : [a, b] R é integrável à Riemann se, e só se, o conjunto dos pontos de descontinuidade de f tem medida (de Lebesgue) nula. Vamos ver que nestas condições f é Lebesgue integrável e que o integral de Riemann b f (t) dt tem o a mesmo valor que [a,b] f dλ.

3 Riemann Derivadas Variação Limitada Cont. Abs. vs Lebesgue Teorema Fundamental do Cálculo Mensurabilidade Seja D = {x [a, b] : f é descontínua em x}. Então g = f [a, b] \ D : [a, b] \ D R é limitada e contínua no seu domínio, portanto g é Borel mensurável. Segue que f 1 [a,b]\d é mensurável pois é igual à função mensurável g em [a, b] \ D e igual a zero em D, com D conjunto mensurável. Finalmente, a diferença entre f e f 1 [a,b]\d ocorre num conjunto de medida nula, portanto f é mensurável.

4 Riemann Derivadas Variação Limitada Cont. Abs. vs Lebesgue Teorema Fundamental do Cálculo Integral com mesmo valor Para cada ϵ > 0 existe partição P de [a, b] dada por a = x 0 < x 1 < < x n = b tal que n f P, dλ = inf f [x i 1, x i ] b (x i x i 1 ) = S(f ; P) f (t) dt ϵ i=1 a b n f (t) dt + ϵ S(f ; P) = sup f [x i 1, x i ] (x i x i 1 ) = f P,+ dλ a i=1 onde f P, = i inf f [x i 1, x i ] 1 [xi 1,x i ) e f P,+ = i sup f [x i 1, x i ] 1 [xi 1,x i ) são funções simples e mensuráveis. Repetindo este argumento para cada ϵ = 1/ n obtemos sequências f n, f f n,+ para n 1 e podemos definir as funções mensuráveis limitadas (λ-integráveis) f = sup n f n, e f + = inf n f n,+.

5 Riemann Derivadas Variação Limitada Cont. Abs. vs Lebesgue Teorema Fundamental do Cálculo Estas funções satisfazem f + dλ b a f (t) dt f dλ e temos também (f + f ) dλ 0 f + dλ f dλ. Portanto (f + f ) dλ = 0 e obtemos f = f +, λ-qtp. Finalmente, como f f f +, deduzimos que f = f ±, λ-qtp e portanto f é λ-integrável e f + dλ = b a f (t) dt = f dλ = f dλ.

6 Riemann Derivadas Variação Limitada Cont. Abs. vs Lebesgue Teorema Fundamental do Cálculo Teorema Fundamental do Cálculo Se f : [a, b] R é contínua e sua derivada f é também contínua e definida em todo ponto de [a, b], então o Teorema Fundamental do Cálculo garante que x f (x) = f (a) + f (t) dt, a x [a, b]. Esta expressão poderia fazer sentido em contextos mais amplos: se f (x) só existisse λ-qtp e fosse λ-integrável, por exemplo. No entanto, o Teorema Fundamental do Cálculo não vale com hipóteses tão fracas.

7 Riemann Derivadas Variação Limitada Cont. Abs. vs Lebesgue Teorema Fundamental do Cálculo A função de Cantor Defina a seguinte função f : [0, 1]. Para cada x seja x n n 1 com x 3 n n {0, 1, 2} sua expansão em base 3 e N(x) = se x n nunca assume o valor 1; N(x) = min{k 1 : x k = 1 e x j = 1, 1 j < k}. Agora seja y i = x i /2 para i < N(x) e y n = 1 se N(x) = n. Definimos agora f (x) = N(x) i=1 y n 2 n. É um exercício verificar que esta função é não descrescente, contínua, Hölder contínua, e constante em cada intervalo do complemento do conjunto ternário de Cantor.

8 Riemann Derivadas Variação Limitada Cont. Abs. vs Lebesgue Teorema Fundamental do Cálculo A função de Cantor

9 Riemann Derivadas Variação Limitada Cont. Abs. vs Lebesgue Teorema Fundamental do Cálculo Construção de Função de Cantor Podemos definir recusivamente uma sequência de funções começando com f 0 (x) = x. Depois, para cada n 0, temos f n+1 (x) = 1 2 f n(3x) para 0 x 1 3 ; f n+1 (x) = 1 2 para 1 3 x 2 3 ; f n+1 (x) = f n(3x 2) para 2 3 x 1. Esta sequência converge pontualmente para a função de Cantor. Além disto, a convergência é uniforme, pois max f n+1(x) f n (x) 1 x [0,1] 2 max f n(x) f n 1 (x), n 1. x [0,1]

10 Riemann Derivadas Variação Limitada Cont. Abs. vs Lebesgue Teorema Fundamental do Cálculo Construção de Função de Cantor

11 Riemann Derivadas Variação Limitada Cont. Abs. vs Lebesgue Teorema Fundamental do Cálculo Função de Cantor como contra-exemplo Em particular, temos f (0) = 0, f (1) = 1 e, como o conjunto ternário de Cantor tem medida de Lebesgue nula, temos também que f = 0, λ-qtp. Portanto obtemos f (1) f (0) = 1 = 1 0 f dλ = 0. A função de Cantor não satisfaz o Teorema Fundamental do Cálculo!

12 Riemann Derivadas Variação Limitada Cont. Abs. Hardy-Littlewood Derivação de Lebesgue Derivação de medidas no espaço euclidiano O Teorema de Radon-Nikodym fornece uma noção abstrata de derivada de uma medida complexa ou com sinal ν em relação a outra medida μ num espaço mensurável (X, A). Agora consideramos o caso X = R n e A = B a σ-álgebra de Borel. Vamos definir uma derivada pontual de ν em relação a λ usando bolas em torno de um ponto x R n por F(x) = lim r 0 ν(b(x, r)) λ(b(x, r)) quando o limite existe. As bolas podem ser substituídas por outras famílias de conjuntos adequadas.

13 Riemann Derivadas Variação Limitada Cont. Abs. Hardy-Littlewood Derivação de Lebesgue Derivação pontual e Radon-Nikodym Se ν λ, então ν = f λ e neste caso ν(b(x, r)) λ(b(x, r)) = 1 f dλ λ(b(x, r)) B(x,r) e nós gostaríamos que F = f, λ-qtp. Isto vai acontecer realmente e podemos olhar para isto como uma generalização do Teorema Fundamental do Cálculo: a derivada da integral indefinida de f (ou seja, de ν) é f. A partir de agora integrável e qtp serão em relação à medida de Lebesgue em R n se nada for mencionado em contrário.

14 Riemann Derivadas Variação Limitada Cont. Abs. Hardy-Littlewood Derivação de Lebesgue Lema técnico muito útil Lema (versão do recobrimento de Vitali) Seja C coleção de bolas abertas em R n e seja U = B C B. Se λ(u) > c, então existe família finita disjunta B 1,..., B k C tal que k i=1 λ(b i) > c/3 n. Se λ(u) > c então existe compacto K U com λ(k) > c e uma família finita de bolas A 1,..., A m C cobre K. Seja B 1 a bola A j com o maior raio; B 2 a bola com maior raio entre as A i que não intersectam B 1 ; B 3 a bola com maior raio entre as A i que não intersecta B 1 B 2 ; e assim sucessivamente até que todos os A i foram usados ou não sobra nenhum disjunto dos B j escolhidos.

15 Riemann Derivadas Variação Limitada Cont. Abs. Hardy-Littlewood Derivação de Lebesgue Prova do lema Por construção, se A j não é um dos B i, então existe i tal que A j B i = e se i é o menor índice com esta propriedade, então o raio de A j é menor ou igual ao raio de B i. Então A j B com B i i mas o triplo do raio. Desta maneira obtemos K k i=1 B i a bola de mesmo centro que B i e c < λ(k) k λ(b i i=1 k ) = 3 n λ(b i ) i=1 como no enunciado do lema.

16 Riemann Derivadas Variação Limitada Cont. Abs. Hardy-Littlewood Derivação de Lebesgue Funções localmente integráveis Uma função mensurável f : R n C é localmente integrável se f, dλ < para todo conjunto B limitado e mensurável B R n. O espaço destas funções será denotado por L 1 loc. Se f L 1 loc e x Rn e r > 0, definimos Lema 1 A r f (x) = f dλ. λ(b(x, r)) B(x,r) Se f L 1 loc, então R+ R n R, (r, x) A r f (x) é contínua. Notemos que λ(b(x, r)) = cr n com c = λ(b(0, 1)) e λ(s(x, r)) = 0, onde S(x, r) = {y R n : y x 2 = r} é o bordo B(x, r) da bola, ou seja, a superfície da bola.

17 Riemann Derivadas Variação Limitada Cont. Abs. Hardy-Littlewood Derivação de Lebesgue Prova do lema e a função de Hardy-Littlewood Temos que 1 B(x,r) (r,x) (r 0,x 0 ) 1 B(x 0,r 0 ) pontualmente para todos os pontos de R n \ S(x 0, r 0 ), portanto temos convergência qtp e 1 B(x,r) 1 B(x0,r 0 +1) sempre que r r 0 e x x 0. O Teorema da Convergência Dominada garante que f dλ varia continuamente com (r, x) e portanto o B(x,r) mesmo acontece com A r f (x) = c 1 r n B(x,r) f dλ, concluindo a prova do lema. Definimos agora a função maximal de Hardy-Littlewood 1 Hf (x) = sup A r f (x) = sup f dλ. r>0 r>0 λ(b(x, r)) B(x,r)

18 Riemann Derivadas Variação Limitada Cont. Abs. Hardy-Littlewood Derivação de Lebesgue O Teorema Maximal É claro que Hf é função mensurável e que (Hf ) 1 (a, ) = r>0(a r f ) 1 (a, + ) é aberto para cada a R pelo lema acabado de provar. Teorema (o Teorema Maximal) Existe C > 0 tal que para toda f L 1 (λ) e todo α > 0 λ[hf > α] C f dλ. α Para a prova, seja E α = [Hf > α].

19 Riemann Derivadas Variação Limitada Cont. Abs. Hardy-Littlewood Derivação de Lebesgue Prova do teorema Para cada x E α existe r x > 0 tal que A rx f (x) > α. As bolas B(x, r x ) cobrem E α. Logo, pelo lema de cobertura, se c < λ(e α ), então podemos achar x 1,..., x k E α tais que B j = B(x j, r xj ) são disjuntas e k i=1 λ(b i) > 3 n c. Mas c < 3 n k λ(b i ) 3n i=1 α k f dλ Bi 3n f dλ. α i=1 Fazendo c λ(e α ) completamos a prova do teorema.

20 Riemann Derivadas Variação Limitada Cont. Abs. Hardy-Littlewood Derivação de Lebesgue Teorema Fundamental da Derivação Usamos a seguir a noção de limite superior de função real de variável real ϕ: lim sup r R ϕ(r) = lim sup ϵ 0 0< r R <ϵ e o fato simples de verificar lim r R ϕ(r) = inf sup r>0 0< r R <ϵ ϕ(r) = c lim sup ϕ(r) c = 0. r R ϕ(r) Teorema (derivação de Lebesgue) Se f L 1 loc, então lim r 0 A r f (x) = f (x) para λ-qtp x R n.

21 Riemann Derivadas Variação Limitada Cont. Abs. Hardy-Littlewood Derivação de Lebesgue Prova do teorema Observemos que este resultado garante que 1 lim f (y) f (x) dλ(y) = 0. r 0 λ(b(x, r)) B(x,r) Para provar o teorema, basta mostrar que para N 1 temos A r f (x) f (x) para qtp x com x N. Mas para x N e r 1 os valores de A r f (x) dependem apenas dos valores de f (y) com y N + 1. Portanto, substituindo f por f 1 B(0,N+1) podemos assumir que f L 1 (λ). Usando isto, sabemos que para cada ϵ > 0 podemos achar uma função contínua e integrável g tal que f g 1 < ϵ. Assim g é uniformemente contínua no fecho da bola B(0, N + 1).

22 Riemann Derivadas Variação Limitada Cont. Abs. Hardy-Littlewood Derivação de Lebesgue Para cada δ > 0 existe r > 0 tal que se x y 2 < r então 1 A r g(x) g(x) = g(y) g(x) dλ(y) λ(b(x, r)) B(x,r) 1 δ λ(b(x, r)) = δ. λ(b(x, r)) Portanto A r g(x) r 0 g(x) para cada x B(0, N + 1), logo lim sup A r f (x) f (x) r 0 = lim sup A r (f g)(x) + (A r g g)(x) + (g f )(x) r 0 H(f g)(x) f g (x). Fazemos agora E α = [lim sup r 0 A r f f > α] e F α = [ f g > α].

23 Riemann Derivadas Variação Limitada Cont. Abs. Hardy-Littlewood Derivação de Lebesgue Notamos que vale E α F α/2 [H(f g) > α/2]. Mas α 2 λ(e α/2) E α/2 f g dλ < ϵ que junto com o lema maximal garante que λ(e α ) 2ϵ α + 2Cϵ α com ϵ > 0 arbitrário. Deduzimos assim que λ(e α ) = 0 para todo α > 0 e portanto que lim A rf (x) = f (x), r 0 x B(0, N + 1) \ E 1/n. n 1 Como λ( n 1 E 1/n ) = 0 a prova está completa.

24 Riemann Derivadas Variação Limitada Cont. Abs. Hardy-Littlewood Derivação de Lebesgue Conjunto de Lebesgue de uma função Para cada f L 1 definimos conjunto de Lebesgue loc L(f ) = x R n : lim r 0 1 λ(b(x, r)) f (y) f (x) dλ(y) = 0 B(x,r). Proposição Para cada f L 1 loc temos que λ(rn \ L(f )) = 0. Para provar, para cada c C aplicamos o teorema anterior à função g c (x) = f (x) c e deduzimos que, exceto num conjunto E c de medida nula lim r 0 1 λ(b(x, r)) f (y) c dλ(y) = f (x) c. B(x,r)

25 Riemann Derivadas Variação Limitada Cont. Abs. Hardy-Littlewood Derivação de Lebesgue Prova da Proposição Fixando D conjunto enumerável denso em C e E = c D E c, então λ(e) = 0. Para x C \ E e cada ϵ > 0, existe c D com f (x) c < ϵ e logo f (y) f (x) < f (y) c + ϵ e assim lim sup r 0 1 λ(b(x, r)) f (y) f (x) dλ(y) = f (x) c + ϵ < 2ϵ. B(x,r) Como ϵ > 0 é arbitrário, concluimos que C \ E L(f ) e portanto R n \ L(f ) E tem medida nula, como no enunciado, completando a prova.

26 Riemann Derivadas Variação Limitada Cont. Abs. Hardy-Littlewood Derivação de Lebesgue Famílias mais gerais que bolas Uma família de conjuntos {E r } r>0 é substancial em x R n se E r B(x, r) para todo r > 0; existe α > 0 independente de r > 0 tal que λ(e r ) > αλ(b(x, r)). Observe que E r não tem que conter o ponto x. Exemplo: se U é algum boreliano contido em B(0, 1) com medida positiva e E r = {x + ry : y U}, então {E r } r>0 é família substancial em x.

27 Riemann Derivadas Variação Limitada Cont. Abs. Hardy-Littlewood Derivação de Lebesgue Teorema de Derivação de Lebesgue Teorema Seja f L 1. Para cada x L(f ) loc 1 lim sup f (y) f (x) dλ(y) = 0 r 0 λ(e r ) E r 1 lim f dλ = f (x) r 0λ(E r ) E r para toda família substancial {E r } r>0 em x. Para a prova basta observar que 1 λ(e r ) E r f f (x) dλ 1 1 f f (x) dλ f f (x) dλ. λ(e r ) B(x,r) αλ(b(x, r)) B(x,r) e

28 Riemann Derivadas Variação Limitada Cont. Abs. Hardy-Littlewood Derivação de Lebesgue Pontos de densidade Se E R n é mensurável, sua densidade é a função λ(e B(x,r)) D E (x) = lim r 0 sempre que o limite existe. λ(b(x,r)) Como D E (x) = A r 1 E (x) e 1 E (x) é localmente integrável, então pelo Teorema de Derivação de Lebesgue obtemos que D E (x) = 1 para λ qtp x E e D E (x) = 0 para λ-qtp x R n \ E. Os pontos onde D E (x) = 1 chamam-se pontos de densidade de Lebesgue do conjunto E. É um excelente exercício obter exemplos de mensuráveis E e pontos x para os quais D E (x) = α para algum α fixado em (0, 1), ou tal que D E (x) não existe, e em cada caso com x E ou com x / E.

29 Riemann Derivadas Variação Limitada Cont. Abs. Hardy-Littlewood Derivação de Lebesgue Representação de Lebesgue-Radon-Nikodym Seja ν uma medida σ-finita com sinal ou complexa boreliana em R n e ν = ν s + f λ sua representação via decomposição de Lebesgue com respeito a λ e Radon-Nikodym. Proposição Para λ-qtp x R n e toda família substancial {E r } r>0 em x temos D ν (x) := lim r 0 ν(e r ) λ(e r ) = f (x). Todas as medidas envolvidas neste enunciado são regulares no sentido topológico, ou seja, ν é regular porque é Boreliana e σ-finita.

30 Riemann Derivadas Variação Limitada Cont. Abs. Hardy-Littlewood Derivação de Lebesgue Prova da proposição Pelos resultados anteriores, como ν = ν s + f λ, basta mostrar que ν s (E r )/λ(e r ) 0 quando r 0. Podemos assumir que ν s é positiva e que E r = B(x, r), porque ν s (E r ) λ(e r ) ν s (E r ) λ(e r ) ν s (B(x, r)) λ(e r ) ν s (B(x, r)) αλ(b(x, r)). Assumindo que ν s 0 seja A boreliano tal que ν s (A) = λ(r n \ A) = 0 e F k = x A : lim sup r 0 ν s (B(x, r)) λ(b(x, r)) > 1 k Vamos mostrar que λ(f k ) = 0 para todo k 1, terminando o argumento..

31 Riemann Derivadas Variação Limitada Cont. Abs. Hardy-Littlewood Derivação de Lebesgue Para cada ϵ > 0 existe U ϵ aberto tal que U ϵ A e ν s (U ϵ ) < ϵ. Cada x F k é o centro de uma bola B x U ϵ tal que ν s (B x ) > 1 k λ(b x). Seja V ϵ = x Fk B x. Por lema de cobertura, se c < λ(v ϵ ), então existem x 1,..., x J tais que B xi são disjuntas para i = 1,..., J e c < 3 n J λ(b xi ) 3 n k i=1 J ν s (B xi ) 3 n kν s (V ϵ ) i=1 3 n kν s (U ϵ ) 3 n kϵ. Portanto λ(v ϵ ) 3 n kϵ. Como F k V ϵ e ϵ > 0 é arbitrário, concluimos que λ(f k ) = 0 como queremos.

32 Riemann Derivadas Variação Limitada Cont. Abs. Definição Propriedades Generalizando o Teorema Fundamental do Cálculo Se f : [a, b] R satisfaz f (x) f (y) = x y f (t) dt, a y x b então a função μ([y, x)) = f (x) f (y) é como se fosse medida com sinal; essa medida com sinal μ é absolutamente contínua em relação à medida de Lebesgue. Pela representação de Lebesgue-Radon-Nikodym, se μ definida acima é medida com sinal, então f (x) f (y) = μ([y, x)) = μ s ([y, x]) + D μ dλ. [y,x)

33 Riemann Derivadas Variação Limitada Cont. Abs. Definição Propriedades Plano de prova Então queremos que μ s ([y, x]) 0, isto é, que μ s = 0 e assim μ λ; e ainda [y,x) D μ dλ = x y f (t) dt. Vamos assim 1 classificar as f : [a, b] R tais que μ([y, x)) := f (x) f (y) define medida com sinal; 2 entre estas funções, identificar aquelas tais que μ λ. Feito isto, identificamos a classe de funções que satisfazem o Teorem Fundamental do Cálculo.

34 Riemann Derivadas Variação Limitada Cont. Abs. Definição Propriedades Funções de variação limitada Seja f : [a, b] R(C). Para cada x [a, b] definimos a variação de f em x n V f (x) = sup f (x j ) f (x j 1 ) : x 0 < x 1 < < x n = x j=1 e a variação total de f : V(f ) = V f (b). Dizemos que f tem variação limitada se V(f ) < ; e que f de variação limitada é normalizada se f é contínua à esquerda em todo ponto: lim x r f (x) = f (r), r [a, b]. Segue que para f.g : [a, b] R(C) de variação limitada e c C se tem V f +cg (x) V f (x) + c V g (x), x [a, b]; e portanto V(f + cg) V(f ) + c V(g). Assim, o conjunto VL = VL([a, b]) das funções de variação limitada e o subconjunto VLN = VLN([a, b]) das normalizadas, são espaços vetoriais (reais ou complexos).

35 Riemann Derivadas Variação Limitada Cont. Abs. Definição Propriedades Exemplos Toda f : [a, b] R não descrescente tem variação limitada: V(f ) = f (b) f (a) <. Se f = 1 Q então f não tem variação limitada: tome n 1 e x = x n Q; e alternadamente x j Q, x j 1 / Q, j = 1,..., n. Portanto n j=1 f (x j) f (x j 1 ) = n e assim V(f ) n. Como n é um inteiro positivo arbitrário, provamos que V(f ) =.

36 Riemann Derivadas Variação Limitada Cont. Abs. Definição Propriedades Propriedades de funções de variação limitada Lema Se f : [a, b] R(C) tem variação limitada, então 1 x, y, x > y = f (x) f (y) V f (x) V f (y); 2 r [a, b] existem os limites à esquerda lim x r ± f (x); 3 o conjunto dos pontos de densidade é enumerável (podendo ser finito ou vazio). O ítem (1) segue diretamente da definição de V f (x). Para o item (2), se V(f ) <, então V f é não-decrescente e assume valores finitos logo, dado r [a, b], existem os limites laterais lim x r ± V f (x) (pelo ítem (1)). Fixemos o caso r + (o outro é análogo). Pelo ítem (1), se r + < y < x f (x) f (y) V f (x) V f (y) y,x r + 0.

37 Riemann Derivadas Variação Limitada Cont. Abs. Definição Propriedades Para o ítem (3), se V f é contínua em r, então f é contínua em r (pelo ítem (1)). Mas V f é monótona não decrescente, logo seus pontos de descontinuidade estão associados a intervalos no complemento da imagem de f (resultado bem conhecido de Análise) e, portanto, formam um conjunto enumerável. Isto conclui a prova do Lema. Proposição Se f : [a, b] R é função de variação limitada, então existem g, h : [a, b] R não decrescentes (de variação limitada) tais que f = g h. Se f é normalizada, então g, h também são. A prova se resume a tomar g = 1 2 (f + V f ) e h = 1 2 (V f f ) e a verificar as propriedades enunciadas. É fácil ver que g, h são não decrescentes e de variação limitada.

38 Riemann Derivadas Variação Limitada Cont. Abs. Definição Propriedades Prova da proposição Resta mostrar que se f é normalizada, então g, h também são. Mas como VLN, assim como VL, é espaço vetorial, basta mostrar que V f é normalizada. Seja x r. Então V f (r) V f (x). Para ϵ > 0 fixado, existe ζ > 0 tal que 0 < r x < ζ = f (r) f (x) < ϵ/2. Podemos agora escolher a = x 0 < x 1 < < x n = r com V f (r) n f (x i ) f (x i 1 ) < ϵ 2 e r x n 1 < ζ i=1 e obtemos V f (r) V f (x) majorado por n i=1 f (x i ) f (x i 1 ) + ϵ n 1 2 i=1 e por f (r) f (x) + ϵ/2 < ϵ. f (x i ) f (x i 1 ) f (x) f (x n 1 )

39 Riemann Derivadas Variação Limitada Cont. Abs. Definição Propriedades Teorema Para f : [a, b] R(C): 1 f VLN!μ medida complexa tal que f (x) f (a) = μ([a, x)), x [a, b]. 2 f VLN é contínua em r [a, b] μ({r}) = 0. 3 se f VLN, então V f (x) = μ ([a, x)), x [a, b]. Ítem (1): se f (x) f (a) = μ([a, x)), x [a, b] V f (x) = sup n μ([x j 1, x j )) : a = x 0 < x 1 < < x n = x i=1 μ ([a, x)) μ ([a, b]) < e f VL e provamos uma desigualdade do ítem (3). Além disto, lim x r f (x) = f (a) + lim μ([a, x)) = f (a) + μ([a, r)) x r = f (a) + f (r) f (a) = f (r) e f VLN.

40 Riemann Derivadas Variação Limitada Cont. Abs. Definição Propriedades Para a recíproca do ítem (1), suponhamos que f VLN é real não descrescente. No semianel S dos subintervalos de [a, b] fechados à esquerda e abertos à direita, seja τ([x, y)) = f (y) f (x). Isto define uma medida regular σ-finita no semianel e também uma medida exterior μ cuja restrição aos mensuráveis coincide com τ em S, logo μ([a, x)) = τ([a, x)) = f (x) f (a). Para o caso de f VLN real em geral, escrevemos f = g h comc g, h não descrescentes, definimos μ g, μ h como acima e definimos μ = μ g μ h que é medida com sinal tal que μ([a, x)) = g(x) g(a) (h(x) h(a)) = g(x) h(x) (g(a) h(a)) = f (x) f (a).

41 Riemann Derivadas Variação Limitada Cont. Abs. Definição Propriedades Para f VLN complexa, reduzimos às suas componentes reais e imaginárias para obter funções reais em VLN e aplicar as ideias anteriores a cada componente, para obter uma medida complexa que representa f (x) f (a). Ítem (2): segue do ítem (1) lim x r +(f (x) f (r)) = lim μ([a, x)) = μ([a, r)) + μ({r}) + x r = f (r) f (a) + μ({r}) logo lim x r + f (x) = f (r) + μ({r}) e vale continuidade de f VLN se, e só se, μ({r}) = 0. Ítem (3): já sabemos que V f (x) = ν([a, x)) com ν medida positiva, porque V f é não descrescente e está em VLN. Além disto μ([a, x)) ν([a, x)) para todo x [a, b]. Portanto μ ν (pois a desigualdade anterior se estende a qualquer coleção finita de intervalos e portanto a todo boreliano), logo μ ([a, x)) V f (x).

42 Riemann Derivadas Variação Limitada Cont. Abs. Definição Funções absolutamente contínuas Veremos agora quando μ f dada por f (x) f (a) é absolutamente contínua em relação à medida de Lebesgue. Dizemos que f : [a, b] R(C) é absolutamente contínua se para cada ϵ > 0 existe δ > 0 tal que se a 1 < b 1 < a 2 < b 2 < < a n < b n em [a, b] com n N, então n n (b j a j ) δ = f (b j ) f (a j ) < ϵ. j=1 j=1 É fácil verificar que o conjunto AC([a, b]) das funções absolutamente contínuas em [a, b] é um espaço vetorial com a soma de funções e produto escalar usuais; toda f AC([a, b]) é uniformemente contínua. toda f : [a, b] R(C) Lipschitziana está em AC([a, b]).

43 Riemann Derivadas Variação Limitada Cont. Abs. Definição Propriedades de funções AC Proposição Seja f : [a, b] R(C) em AC. Então f VL e V f AC. A prova fica como exercício. Teorema Seja f VLN e μ = μ f sua medida associada. Então f AC μ λ. No caso particular de f AC é não descrescente, temos μ medida positiva e, se N é boreliano com λ(n) = 0 podemos usar a regularidade para, dado ϵ > 0, achar δ (de acordo com AC) e uma cobertura (a j, b j ) j 1 de N por intervalos abertos tal que j λ(a j, b j ) = j (b j a j ) < ϵ. Então N j=1 f (b j) f (a j ) < ϵ, N 1 e deduzimos j 1 μ([a j, b j )) ϵ logo μ(n) ϵ. Portanto μ λ.

44 Riemann Derivadas Variação Limitada Cont. Abs. Definição É um exercício provar que μ λ ϵ > 0 δ > 0 : λ(e) < δ = μ(e) < ϵ para todo boreliano E. Para E = [a 1, b 1 )... [a n, b n ) com os a i, b i como na definição de AC, temos λ(e) = j (b j a j ) < δ = j f (b j) f (a j ) < ϵ e esta última soma é majorante para μ(e), portanto μ λ. No caso geral em que f AC é complexa, então V f AC (proposição anterior) e V f é não descrescente; pelo caso particular já visto, temos μ λ onde μ é a medida associada a f, portanto μ λ. Se μ λ com μ medida complexa, então μ λ e a função associada a μ está em AC, ou seja, V f AC. Como f (y) f (x) V f (x) V f (y) então f AC também e completamos a prova.