Universidade Federal de Viçosa - UFV. Integrais Múltiplas. Diogo Machado November 29, 2018

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1 Universidade Federal de Viçosa - UFV Integrais Múltiplas Diogo Machado diogo.machado@ufv.br November 29, 2018

2 1 Um bloco n-dimensional A R n é um produto cartesiano n A = [a i, b i ] = [a 1, b 1 ]... [a n, b n ], i=1 de intervalos fechados [a i, b i ].

3 1 Um bloco n-dimensional A R n é um produto cartesiano A = n [a i, b i ] = [a 1, b 1 ]... [a n, b n ], i=1 de intervalos fechados [a i, b i ]. Cada intervalo [a i, b i ] é chamado aresta do bloco A. O produto cartesiano n i=1 (a i, b i ) dos intervalos abertos é chamado bloco n-dimensional aberto.

4 1 Um bloco n-dimensional A R n é um produto cartesiano A = n [a i, b i ] = [a 1, b 1 ]... [a n, b n ], i=1 de intervalos fechados [a i, b i ]. Cada intervalo [a i, b i ] é chamado aresta do bloco A. O produto cartesiano n i=1 (a i, b i ) dos intervalos abertos é chamado bloco n-dimensional aberto. Quando todas as arestas do bloco A tem o mesmo comprimento d = b i a i, A é chamado cubo n-dimensional.

5 2 O volume n-dimensional do bloco A = n i=1 [a i, b i ] é, por definição, o produto n (b i a i ) i=1 dos comprimentos de suas arestas. Este é também o volume do bloco aberto n i=1 (a i, b i ).

6 3 Uma partição do bloco A = n [a i, b i ] i=1 é um produto cartesiano P = P 1... P n, onde cada P i é uma partição do intervalo [a i, b i ].

7 3 Uma partição do bloco A = n [a i, b i ] i=1 é um produto cartesiano P = P 1... P n, onde cada P i é uma partição do intervalo [a i, b i ]. Diz-se que a partição Q = Q 1... Q n refina a partição P quando se tem P Q, ou seja, P i Q i, i = 1,..., n.

8 4 Observamos que a partição P decompõe o bloco A numa reunião de sub-blocos B = I 1... I n, onde cada I j é um intervalo da partição P j de [a j, b j ].

9 4 Observamos que a partição P decompõe o bloco A numa reunião de sub-blocos B = I 1... I n, onde cada I j é um intervalo da partição P j de [a j, b j ]. Estes sub-blocos B A chamam-se os blocos da partição P. Escreve-se então B P.

10 4 Observamos que a partição P decompõe o bloco A numa reunião de sub-blocos B = I 1... I n, onde cada I j é um intervalo da partição P j de [a j, b j ]. Estes sub-blocos B A chamam-se os blocos da partição P. Escreve-se então B P. Se a partição Q refina a partição P, então cada bloco de P é a reunião dos blocos de Q nele contidos.

11 4 Observamos que a partição P decompõe o bloco A numa reunião de sub-blocos B = I 1... I n, onde cada I j é um intervalo da partição P j de [a j, b j ]. Estes sub-blocos B A chamam-se os blocos da partição P. Escreve-se então B P. Se a partição Q refina a partição P, então cada bloco de P é a reunião dos blocos de Q nele contidos. Além disso, o volume de um bloco de P é a soma dos volumes dos blocos de Q nele contidos (exercício).

12 5 Se P = P 1... P n e Q = Q 1... Q n são partições do bloco A, existem partições de A que refinam ao mesmo tempo P e Q.

13 5 Se P = P 1... P n e Q = Q 1... Q n são partições do bloco A, existem partições de A que refinam ao mesmo tempo P e Q.Uma delas é R = n (P i Q i ) = (P 1 Q 1 )... (P n Q n ). i=1

14 6 Seja A R n um bloco n-dimensional. Dada uma função real limitada f : A R, digamos m f (x) M, para todo x em A.

15 6 Seja A R n um bloco n-dimensional. Dada uma função real limitada f : A R, digamos m f (x) M, para todo x em A. Considere uma partição P de A. Para cada bloco B P, sejam m B := inf {f (x) : x B} e M B := sup{f (x) : x B}.

16 6 Seja A R n um bloco n-dimensional. Dada uma função real limitada f : A R, digamos m f (x) M, para todo x em A. Considere uma partição P de A. Para cada bloco B P, sejam m B := inf {f (x) : x B} e M B := sup{f (x) : x B}. Definimos, respectivamente, a soma inferior s(f ; P) e a soma superior S(f ; P) da função f relativamente à partição P pondo s(f ; P) = B P m B.vol(B) e S(f ; P) = B P M B.vol(B) onde vol(b) é o volume do sub-bloco B.

17 7 Como m B M B, para todo B P, temos s(f ; P) S(f ; P).

18 7 Como m B M B, para todo B P, temos s(f ; P) S(f ; P). Mais ainda, para quaisquer partições P e Q do bloco A, tem-se s(f ; P) S(f ; Q) (exercício).

19 8 Definimos a integral inferior f (x)dx e a integral superior A A f (x)dx da função limitada f : A R, onde A Rm é um bloco n-dimensional, como sendo f (x)dx = sup{s(f ; P) : P é uma partição de A} A f (x)dx = inf {S(f ; P) : P é uma partição de A}. A

20 9 A desigualdade s(f ; P) S(f ; Q) implica que m.vol(a) A f (x)dx f (x)dx M.vol(A) A onde m f (x) M, para todo x A (exercício).

21 10 Definição: Diz-se que a função limitada f é integrável no bloco n-dimensional A R n quando suas integrais inferior e superior coincidem. Escreve-se, então f (x)dx = f (x)dx = f (x)dx A A e este número é chamado integral de f no bloco A. A

22 11 Teorema 1: Afim de que a função limitada f : A R seja integrável no bloco n-dimensional A R n é necessário e suficiente que, para todo ε > 0 dado, exista partição P de A tal que S(f ; P) s(f ; P) < ε

23 12 Seja f : A R uma função limitada onde A R n é um bloco n-dimensional. Dado um subconjunto X A, a oscilação de f em X, denotado por ω(f, X) é definido como sendo a diferença M X m X, onde m X := inf {f (x) : x X} e M X := sup{f (x) : x X}.

24 12 Seja f : A R uma função limitada onde A R n é um bloco n-dimensional. Dado um subconjunto X A, a oscilação de f em X, denotado por ω(f, X) é definido como sendo a diferença M X m X, onde m X := inf {f (x) : x X} e M X := sup{f (x) : x X}. Dado x X, definimos, para cada δ > 0, o número Ω(δ) = ω(f ; X B(x; δ)).

25 12 Seja f : A R uma função limitada onde A R n é um bloco n-dimensional. Dado um subconjunto X A, a oscilação de f em X, denotado por ω(f, X) é definido como sendo a diferença M X m X, onde m X := inf {f (x) : x X} e M X := sup{f (x) : x X}. Dado x X, definimos, para cada δ > 0, o número Ω(δ) = ω(f ; X B(x; δ)). Assim, temos a função não-negativa, não-decrescente e limitada Ω : (0, + ) R, dada por δ Ω(δ).

26 12 Seja f : A R uma função limitada onde A R n é um bloco n-dimensional. Dado um subconjunto X A, a oscilação de f em X, denotado por ω(f, X) é definido como sendo a diferença M X m X, onde m X := inf {f (x) : x X} e M X := sup{f (x) : x X}. Dado x X, definimos, para cada δ > 0, o número Ω(δ) = ω(f ; X B(x; δ)). Assim, temos a função não-negativa, não-decrescente e limitada Ω : (0, + ) R, dada por δ Ω(δ). O número ω(f ; x) := inf {Ω(δ) : δ > 0} é chamado oscilação da função f no ponto x.

27 13 Note que f é contínua num ponto x se, e somente se, ω(f ; x) = 0 (exercício).

28 14 Um conjunto X R n tem medida n-dimensional nula quando para todo ε > 0 dado, é possível obter uma cobertura enumerável X B 1... B k... por meio de blocos (n-dimensionais) abertos B k R n tais que vol(b i ) < ε i=1

29 15 Teorema 2: Uma função limitada f : A R, onde A R n é um bloco n-dimensional é integrável se, e somente se, o conjunto D f A dos seus pontos de descontinuidade tem medida nula.