Notas de Análise Real. Jonas Renan Moreira Gomes

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1 Notas de Análise Real Jonas Renan Moreira Gomes 6 de novembro de 2008

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3 Sumário 1 Séries de Fourier Produto Hermitiano Definições Norma induzida pelo Produto Hermitiano Ortogonalização Espaço PCx Série de Fourier para uma função P C2π Convergência da série de Fourier Polinômio Trigonométrico Somas Parciais da Série de Fourier Teoremas de Convergência iii

4 iv SUMÁRIO

5 Notação Se z é um número complexo z C, denotaremos o conjugado de z por z F A, B representará o conjunto de todas as funções com domínio A e contradomínio B v

6 vi SUMÁRIO

7 Capítulo 1 Séries de Fourier 1.1 Produto Hermitiano Definições Seja E um espaço vetorial sobre C. Produto Hermitiano é uma função com domínio E E e contradomínio C que satisfaz: {v, w} E, α C 1. v, w = w, v 2. v, u + w = v, u > + v, w 3. αv, w = α v, w = v, αw 4. v, v R e v, v 0 Diremos que dois vetores são ortogonais se o seu produto hermitiano for zero. Em símbolos: v w v, w = 0 Seja E 0 o conjunto dos vetores de E que são ortogonais a todos os vetores de E: E 0 = {v E w E v, w = 0}. É mais ou menos evidente que E0 um subespaço vetorial se v, w E 0 então h E, v + w, h = h, v + w = h, v + h, v = 0, além disso 0 v E 0, o que pode ser visto com facilidade porque 0 v = 0 0 v. E 0 será chamado de espaço nulo do produto hermitiano. Para que v E 0, basta que v seja ortogonal a ele mesmo, o que provaremos a seguir: Lema 1. w E 0 w w 1

8 2 CAPÍTULO 1. SÉRIES DE FOURIER Demonstração. Obviamente w E 0 w w porque w é ortogonal a todos vetores de E. Suponha que w, w = 0, v E e t R então: 0 v + wt, v + wt v + wt, v + v + wt, wt = v, v + wt + wt, v + wt = v, v + t v, w + t w, v + t 2 w, w = v, v + 2tRe v, w. Suponha por absurdo que Re < v, w > 0. Se tomarmos t > 2Re v,w temos absurdo. Assim Re v, w = 0 e o resultado saí da reaplicação dessa demonstração para vi Norma induzida pelo Produto Hermitiano O produto hermitiano induz uma norma em E. Esimbolizada por v será: v = v, v Essa norma satisfaz as seguintes propriedades: v = 0 v E 0 v + u 2 = v 2 + u 2 v, w v w αv = α v v + w v + w v,v A norma de um vetor v De fato o que chamamos de norma aqui não é uma norma como é entendido no sentido usual porque podemos ter v = 0 e v 0 v, porém, se tomarmos o espaço quociente pela relação de equivalência vrw u E 0 tal que v = u+w, teremos uma norma genuína nesse espaço quociente. Isso, entretanto, não será necessário para o propósito de desenvolver a teoria das Séries de Fourier Ortogonalização Dado um vetor w / E 0 e v E, podemos, como de forma usual, encontrar a projeção de v em w. Ou seja, encontrar o c C tal que v cw w no geral, c é conhecido como o cosseno do ângulo entre u e v, mas mais adiante daremos outro nome para c. 0 = v cw, w = v, w c w, w c = v, w w, w c será chamado de Coeficiente de Fourier de v em relação a w. No que se segue, tentaremos criar uma teoria que possibilite aproximar vetores arbitrários de E por famílias ortogonais de vetores de E. Provaremos agora um lema que será utilizado nas demonstrações posteriores

9 1.1. PRODUTO HERMITIANO 3 Lema 2. Seja {v 1,...v n } um conjunto de vetores ortogonais com norma não nula v i, v j = 0 i j. Se c i é o coeficiente de Fourier de v em relação a v i, então v c k v k, v i = 0, 1 i n Demonstração. Fixado i {1,...n}, v c k v k, v i = v, v i c i v i, v i = 0 Definição 1. Seja V = {v 1,...v n } um conjunto de vetores com norma não nula V é uma família ortogonal se os vetores forem dois a dois ortogonas V é ortonormal se V for ortonormal e a norma de cada vetor for 1 V é total em F E se para todo v F valer i, v i, v = 0 v E 0 Teorema 1. Seja V = {v 1,...v n } um conjunto de vetores ortogonais e F E tal que F = n [v 1]. Se F é denso em E i.e.: o fecho de F é E, então V é total. Demonstração. Se w está no fecho de F, existe uma seqüência {w n } F tal que lim n w n = w Espaço PCx Seja p R +, definiremos P Cp como o conjunto de todas as funções com domínio R, contradomínio C tal que fx+p = fx} e f { p,p} tem um número finito de descontinuidades as quais não são continuidades essenciais i.e.: os limites laterais existem para todos os pontos. Vemos que, para cada p R +, PCp é um espaço vetorial sobre C usando a soma e a multiplicação por escalar usuais de uma função, pois: Se {f, g} P Cp então f + g P Cp Se f P Cp z C então zf P Cp Em PCp estaremos interessados nas seguintes normas: p f = sup{ fx : x [ p, p]} e f 2 = fx 2 dx p As duas normas estão bem definidas porque se f P Cp então f é Riemann integrável logo, também o é limitada. Vemos que:

10 4 CAPÍTULO 1. SÉRIES DE FOURIER p f 2 = fx 2 dx f 2 2p = f 2p p Isso é, a convergência na norma implica convergência na norma 2, embora o contrário não seja verdadeiro. 1.2 Série de Fourier para uma função P C2π Definição 2 Coeficientes de Fourier. Se f P C2π, os coeficientes de Fourier de f são os números a 0, a 1... e b 0, b 1,... definidos por: a n = 1 π ftcosntdt, b n = 1 π ftsenntdt Definição 3. A Série de Fourier de uma função f será definida como: Escreveremos a 0 + a n cos nx + b n sen nx n=1 f 1 2 a n=1 a n cos nx + b n sen nx Para simbolizar o fato de que o lado direito é a série de Fourier de f. Exemplo 1. Seja f P C2π tal que fx = 1 se < x < 0 e fx = 1 se 0 x π. Os coeficientes a n e b n de f são a n = 1 ftcosntdt = 1 0 ftcosntdt + ftcosntdt = π π f tcosn tdt + ftcosntdt = 0 π π 0 b n = 2 ftsen ntdt = 2 sen ntdt = 2 π cos nx π π π n Se n for ímpar: Se n for par: Assim, a série de Fourier de f é: 0 b n = 4 π 0 b n = 0 1 n 4 + sen 2n 1x π 2n 1 n=1 O teste da integral nos revela que essa série não converge se x = 0 ou x = π. 0

11 1.3. CONVERGÊNCIA DA SÉRIE DE FOURIER 5 Figura 1.1: Somas Parciais da Série de Fourier para a função do Exemplo 1 Exemplo 2. Seja f P C2π tal que fx = x, se < x π. Integração elementar revela que a série de Fourier de f é: π cos 2n 1x π 2n 1 2 n=1 O teste M de Weierstrass nos garante que essa série converge uniformemente em R. 1.3 Convergência da série de Fourier Polinômio Trigonométrico Definição 4. Chamaremos de Polinômio Trigonométrico de grau n qualquer função T n x da forma abaixo: T n x = 1 2 α 0 + α k cos kx + β k sen kx Lema 3. Se f P C2π e T n é um polinômio trigonométrico de grau n, então f T n 2 2 = f 2 a 2 n 0 2 π 2 + a 2 k + b 2 k

12 6 +π a 0 α CAPÍTULO 1. SÉRIES DE FOURIER a k α k 2 + b k β k 2 onde a k e b k denotam os coeficientes de Fourier de f. Demonstração. f T n 2 2 = fx T n x 2 dx = fx 2 2T n xfx + T n x 2 dx = f = π α α 0 = π α e Assim T n x 2 dx = 1 2 α α k cos kx + β k sen kx dx n π α k cos kxdx + β k sen kxdx + αk 2 n T n xfxdx = α 0 2 cos kx 2 + β 2 k = π fxdx+ a 0 α T n xfxdx+ T n x 2 dx n 2 α k cos kx + β k sen kx dx sen kx 2 α n 0 = π 2 + αk 2 + βk 2 α k fxcos kxdx + β k fxsen kxdx a k α k + b k β k f T n 2 2 = f 2 a 0 α π 2 n α 0 +π a k α k + b k β k α 2 k + β 2 k Somando e subtraindo π a n a2 k + b2 k obtemos a fórmula desejada. O lema provado nos mostra que, fixados f e n, o polinômio trigonométrico de grau n que mais se aproxima de f na norma 2 é aquele onde os n α k e β k são escolhidos como os coeficientes de Fourier de f. Chamaremos esse polinômio de S n f. Inequação 1. Desigualdade de Bessel Se f P C2π, então n a 0 lim n 2 + a 2 k + b 2 k < 1 π f 2 2

13 1.3. CONVERGÊNCIA DA SÉRIE DE FOURIER 7 Demonstração. Do lema 3, segue que, para cada n N: a n a 2 k + b 2 k < 1 π f 2 2 Mas a série a esquerda é positiva, logo, pelo teorema da convergência monótona, o resultado está provado. Lema 4. Lema de Lebesgue-Riemann Se f P C2π então Demonstração. lim n ftsen n tdt = 0 Assim sen n t = sen ntcos t 2 + sen t cos nt 2 ftsen ntcos t 2 + ftsen t cos nt 2 Mas ftsen t 2 e ftcos t 2, são funções que, com a apropriada extensão, pertencem a P C2π. Assim, as integrais simbolizam os coeficientes de Fourier dessas funções e, pela Desigualdade de Bessel 1, vemos que os coeficientes de uma série de Fourier tendem a 0, quando n tende a infinito. Assim cada integral tende a 0 e o resultado está obtido Somas Parciais da Série de Fourier Para conseguirmos tratar os polinômios trigonométricos com mais facilidade, introduziremos o conceito de Núcleo de Dirichlet Definição 5. Núcleo de Dirichlet Lema 5. D n t = D n t = 1 n 2 + cos kt { sen t sen t 2, se 0 < t < π n + 1 2, se t = 0 Demonstração. Se z = e ikt e t 0, então D n t = 1 2 n k= n eikt, mas k= n e ikt = e int eit2n+1 1 e it 1 = ein+1t e int e it 1 = eitn+1/2 e itn+1/2 e it1/2 e it1/2

14 8 CAPÍTULO 1. SÉRIES DE FOURIER = senn + 1/2t sen t/2 Assim D n t = senn+1/2t 2sen t/2 Se t = 0, então D n t = n 1 = n Lema 6. Somas Parciais da Série de Fourier Se f P C2π, então as somas parciais S n f de sua série de Fourier são dadas por Demonstração. S n fx = 1 2 a 0 + = 1 2π 1 π ft + S n fx = 1 π = 1 π fx + td n tdt ftcosktdtcos nx + 1 π ftsenktdtsen kx 1 π ftcosktcos kx + senktsen kxdt π ft 1 n 2 + cos kx tdt Se t= x+s, usando o fato de que a função é periódica: Assim S n fx + s = 1 π S n fx = 1 π ft 1 n 2 + cos ksdt fx + td n tdt Teoremas de Convergência Teorema 2. Teorema da Convergência por Partes Seja f P C2π. Suponha que f tem derivada a direita e a esquerda no ponto c. Então, a série de Fourier de f converge para 1 2 lim x c + fc + lim x c fc no ponto c. Demonstração. Da idêntidade do Núcleo de Dirichlet Então 0 fx lim x c + 2π + fx π 1 n 2 + cos kt = cos kt dt = senn + 1/2t 2sen t/2 0 fx lim x c + π senn + 1/2t 2sen t/2

15 1.3. CONVERGÊNCIA DA SÉRIE DE FOURIER 9 Da mesma forma Assim, fx π fx lim = lim x c + 2 x c + π 0 fx 0 lim = x c 2 S n fc 1 2 lim x c + fx+ lim x c fx = 1 π Mas + 1 π 0 fx lim x c π fx + t limx c fx 2sen t/2 0 senn + 1/2t 2sen t/2 senn + 1/2t 2sen t/2 fx + t limx c + fx 2sen t/2 senn + 1/2t dt fx + t lim lim x c + fx fx + t lim = lim x c + fx t 0 + 2sen t/2 t 0 + t Ambos os limites existem separadamente e, logo = lim x c + f c t 2sen t/2 Assim podemos fazer uma extensão contínua no 0 de gx = fx+t lim x c + fx 2sen t/2, de forma que ela seja contínua por partes com g0 = lim x c + f c e gx = 0, se < x < 0. Um argumento similar ao utilizado no lema 4 nos mostra que as integrais tendem a 0 quando n. Logo lim S nfc = 1 n 2 lim fx + lim fx x c + x c senn + 1/2t dt

16 10 CAPÍTULO 1. SÉRIES DE FOURIER

17 Referências Bibliográficas [1] Lang, S.: Undergraduate Analysis, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer [2] Rudin, W: Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill Science/Engineering/Math;

18 12 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS