g(s, X n s )ds + t f (s, X s ) 2 ds <, P-q.s. t f (s, X s )db s, t 0.
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- Nicholas de Vieira Sales
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1 CHAPTER 3. INTEGRAIS ESTOCÁSTICOS Quais são as propriedades destas soluções? 3. Como podemos resolver uma dada equação? O método usual para provar a existência de uma solução da equação diferencial estocástica anterior é construir um processo iterativo do tipo de Cauchy-Picard. A ideia é definir uma sucessão de processos X, X 1, X 2,... de acordo com a definição recursiva X t = x X n+1 t = x + g(s, X n s ds + f (s, X n s db s. Tendo feito isto, esperamos que a sucessão (X n n N convirja para um processo X e que este processo X seja solução da EDE (3.29. Posto isto, temos a seguinte definição de solução de EDE do tipo (3.29. Definição 3.66 Seja (Ω, F, P um espaço de probabilidade, A = (A t t uma filtração em F e Z uma variável aleatória A -mensurável tal que E P ( Z 2 <. A solução da EDE dx t = g(t, X t dt + f (t, X t db t (3.3 X = Z é um processo (X t t A t -adaptado tal que e P-q.c. g(s, X s ds <, X t = Z + g(s, X s ds + f (s, X s 2 ds <, P-q.s. f (s, X s db s, t. O próximo teorema dá condições suficientes nos coeficientes g e f que garantem a existência e unicidade de solução da EDE (3.3. Teorema 3.67 (Existência e unicidade para EDE Sejam g, f : [, T] R R funções mensuráveis, B = (B t t o MB real e suponhamos que existe uma constante K > tal que para todos x, y R e t [, T] temos g(t, x g(t, y + f (t, x g(t, y K x y, (3.31
2 CHAPTER 3. INTEGRAIS ESTOCÁSTICOS 89 g(t, x + f (t, x K(1 + x. (3.32 Seja ainda Z uma variável aleatória A -mensurável tal que E P ( Z 2 <. Então a EDE dx t = g(t, X t dt + f (t, X t db t (3.33 X = Z tem uma única solução X = (X t t, com as seguintes propriedades: 1. X t é A t -mensurável para qualquer t. 2. X tem trajectórias t-contínuas. 3. Temos E P ( T X t 2 dt <. Observação 3.68 As condições (3.31 e (3.32 são naturais em função dos seguintes exemplos. 1. Consideremos a EDO dy(t = y 2 (tdt y( = 1 correspondente a g(t, x = x 2 (a qual não satisfaz a condição (3.32. A única solução é y(t = 1 1 t, t < 1. Assim, não temos uma solução global, isto é, y(t não está definido para todos t R. Deste modo, a condição (3.32 (chamada condição de crescimento linear garante que a solução X t não explode, isto é, que X t não vai para infinito num tempo finito. 2. Por seu lado, a EDO dy(t = 3y 2/3 (tdt y( = admite a seguinte família de soluções, para qualquer a >, t a y a (t = (t a 3 t > a.
3 CHAPTER 3. INTEGRAIS ESTOCÁSTICOS 9 Mas neste caso a função g(t, x = 3x 2/3 não satisfaz (3.31 no ponto x =. Deste modo, a condição (3.31 (chamada de condição de Lipschitz garante a unicidade da solução da equação (3.33, isto é, se X 1 t e X 2 t forem duas soluções nas condições do Teorema 3.67, então Xt 1 = Xt 2, t T, P-q.c. 3. A solução X t dada pelo Teorema 3.67 é chamada solução forte da EDE (3.33 porque o MB é dado à partida e a solução construída X t é A t -mensurável. Se, pelo contrário, forem dadas as funções g, f e procurarmos pelo triplo ( ˆX t, ˆB t, Aˆ t no espaço de probabilidade (Ω, F, P que satisfaça a EDE (3.33, então a solução ˆX t é chamada solução fraca da EDE. Neste caso A ˆ = ( Aˆ t t é uma filtração tal que ˆB t é A-MB ˆ e ˆX t é A-adaptado. ˆ É claro que uma solução forte é também uma solução fraca mas o inverso não é verdadeiro. Observação 3.69 O facto que X t ser A t -mensurável significa que para cada t o valor do processo X t é um funcional das trajectórias do MB no intervalo [, T], por outras palavras, o valor do processo X t (w pode ser decidido pelos valores de B s (w para s T. Portanto, uma EDE induz uma transformação do espaço C([, nele próprio, onde uma trajectória Browniana B (w é transformada na trajectória X (w. Em geral, esta transformação é muito complicada e é muito raro que se consiga resolver uma EDE explicitamente. Existe no entanto alguns casos não triviais interessantes onde é possível resolver explicitamente a EDE. É a fórmula de Itô que está na base da solução de muitas EDE. O caso mais importante é o chamado movimento Browniano geométrico (MBG. Exemplo 3.7 (Movimento Browniano geométrico O MBG é um processo estocástico fundamental na teoria de modelação de preços de opções e em muitas outras aplicações. Ele surge como uma generalização natural das equações diferenciais lineares ordinárias (EDO e é da forma dx t = αx t dt + σx t db t (3.34 X = x. Prova. Consideremos os seguintes cálculos não rigorosos: dx t = αx t dt + σx t db t dx t X t = αdt + σdb t
4 CHAPTER 3. INTEGRAIS ESTOCÁSTICOS 91 Figure 3.1: Movimento Browniano geométrico: α = 1, σ =.4 e x = 1. de onde resulta, por integração em ambos os lados, que dx t X t = αt + σb t. (3.35 Vamos usar a fórmula de Itô para calcular o integral anterior. Definimos h(t, x := ln x e Y t := h(t, X t, t. É claro que h C 1,2 (R + ], [ e portanto dy t = 1 dx t 1 1 t ( X t 2 (X t (dx t 2 dx t Xt = ln X t X 2 σ2 t. Substituindo na equação (3.35 vem ( Xt ln σ2 t = αt + σb t x ou seja X t = x exp ((α 12 σ2 t + σb t. (3.36 A sua esperança é E P (X t = x e αt. Na Figura 3.1 apresentamos algumas trajectórias do MBG assim como a sua média. No processo de resolução do exemplo anterior existem algumas falhas não tomadas em atenção. Para que Y t esteja bem definido é necessário que a solução
5 CHAPTER 3. INTEGRAIS ESTOCÁSTICOS 92 X t exista a qual terá de ser positiva. No que respeita à existência, temos o Teorema 3.67 mas a sua positividade parece constituir um problema maior. Podemos no entanto evitar estes problemas simplesmente definindo o processo X t por (3.36 (usando, bem entendido, o procedimento pouco rigoroso anterior e depois verificar que realmente X t é solução da EDE (3.34. Exemplo 3.71 (EDE lineares Consideremos a EDE linear da forma dx t = αx t dt + σdb t X = x. (3.37 Calcular a solução X t. Prova. Vamos em primeiro lugar resolver uma EDO para obter uma ideia da solução. Consideremos a EDO do tipo y (t = αy(t + u(t y( = y, onde u é uma função determinística. Então a solução da EDO homogénea correspondente y (t = αy(t é y(t = y e αt. A solução da equação geral pode ser obtida pelo método dos coeficientes constantes como: y(t = c(te αt, onde c é uma função desconhecida a determinar. Então y (t = αy(t + u(t (c (t + αc(te αt = αc(te αt + u(t Daqui resulta a solução geral c(t = y + y(t = y e αt + e α(t s u(sds. e αs u(sds. Agora, formalmente a EDE (3.37 pode ser dividida por dt dx t dt = αx t + σ db t dt
6 CHAPTER 3. INTEGRAIS ESTOCÁSTICOS 93 e, por analogia com a EDO somos levados a conjecturar. A solução X t da EDE (3.37 é dada por X t = x e αt + σ e α(t s db s ds ds = x e αt + σ e α(t s db s. De facto, podemos confirmar o que acabamos de conjecturar aplicando a fórmula de Itô a X t. Assim, definimos h(t, x := x e αt + σe αt x, Z t := e αs db s e X t := h(t, Z t. Note que dz t = e αt db t. Então dx t = αx t dt + +σdb t. Prova alternativa. Consideremos o factor integrante F t := e αt e o processo Y t := F t X t. Então calculando o diferencial estocástico dy t pela fórmula de Itô, a solução X t pode ser escrita como X t = Ft 1 Y t. Assim, Daqui resulta dy t = αy t dt + f t dx t = σf t db t. ou seja Y t = Y + σ F s db s X t = F 1 t X t = x e αt + σ e α(t s db s. F X + σft 1 F s db s Exemplo 3.72 Calcular a solução da EDE dx t = αdt + σx t db t X = x, onde α, σ R e B = (B t t é o MB real. Sugestão: Multiplique a solução pelo factor integrante M t := exp( σb t σ2 t.
7 CHAPTER 3. INTEGRAIS ESTOCÁSTICOS 94 Prova. Sejam Y t := X t M t e h(t, x, y := x exp( σy σ2 t de forma que Y t = h(t, X t, B t. Então pela fórmula de Itô, temos dy t = 1 2 σ2 Y t dt + M t dx t σy t db t (+σ2 Y t dt 2σM t db t dx t = 1 2 σ2 Y t dt + αm t dt + σm t X t db t σy t db t σ2 Y t dt σ 2 M t X t dt = αm t dt e por isso ou ainda X t = F 1 t = exp ( X + α ( σb t 1 2 σ2 t Y t = Y + α M s ds M s ds ( X + exp( σb s σ2 sds. Exemplo 3.73 (MB no círculo Seja B = (B 1 t, B 2 t t o MB em R 2 e considere o processo estocástico Calcule g, f de forma a ter o diferencial X t = (cos(b t, sin(b t, t. dx t = g(t, X t dt + f (t, X t db t. Prova. Denotamos X t = (Xt 1, X2 t de forma que X1 t = cos(b t e Xt 2 = sin(b t. Assim dxt 1 = sin(b t db t 1 cos(b 2 tdt dxt 2 = cos(b t db t 1 sin(b 2 tdt e se K = ( 1 1, então o sistema anterior pode escrever-se como dx t = 1 2 X tdt + KX t db t.
8 CHAPTER 3. INTEGRAIS ESTOCÁSTICOS 95 Deste modo g(t, X t = (g 1 (t, X t, g 2 (t, X t é tal que g 1 (t, X t = 1 2 cos(b t e g 2 (t, X t = 1 2 sin(b t enquanto que f é dada por f (t, X t = KX t = ( 1 1 ( cos(bt sin(b t = ( sin(bt cos(b t Ou seja, se f (t, X t = ( f 1 (t, X t, f 2 (t, X t, então temos f 1 (t, X t = sin(b t e f 2 (t, X t = cos(b t.. Exercícios Exercício 3.15 Seja (B t t o movimento Browniano em R e (X t t um processo estocástico tal que { dxt = (µx t + νdt + (σx t + ρdb t X =. Definimos ainda S t := exp((µ σ 2 /2t + σb t. 1. Qual é a equação diferencial estocástica correspondente a S 1 t. (a Calcule o diferencial estocástico d(x t S 1 t. (b Obtenha a representação explícita de X t. Exercício 3.16 Calcule a solução da equação diferencial estocástica dx t = αx t dt + σx t db t X = x R e E P (X t. Exercício 3.17 Sejam X t e Y t soluções das equações diferenciais dx t = αx t dt Y t db t, X = x R dy t = αy t dt + X t db t, Y = y R. 1. Mostre que o processo R t, t definido por R t := X 2 t + Y 2 t é determinístico.
9 CHAPTER 3. INTEGRAIS ESTOCÁSTICOS Calcule E P (X t. Exercício 3.18 Uma função h : R n R diz-se harmónica se satisfaz a equação de Laplace n 2 h h(x = (x =. j=1 Mostre que o processo estocástico X t := h(b 1 t,..., B n t, t é uma A-martingala, onde B i t são MB independentes e A é tal que Bi t Bi s é independente de A t para qualquer s t. x 2 j Exercício 3.19 Sejam X t, Y t processos de Itô em R. Prove que d(x t Y t = X t dy t + Y t dx t + dx t dy t. Deduza a seguinte fórmula geral de integração por partes X s dy s = X s Y s X Y Y s DX s dx s dy s. Exercício 3.2 (Martingalas exponenciais Seja f ( f 1,... f n tal que f i L 2 a([, T] para 1 i n e T. Definimos ( Z t := exp f (s, db s ( 1 f 2 (s, ds, t T, 2 onde B s é o MB em R n. 1. Use a fórmula de Itô para mostrar que dz t = Z t f (t, db t (. 2. Deduza que Z t é uma martingala para t T desde que Z t f i (t, L 2 a ([, T], 1 i n. Exercício 3.21 Seja dx t = g(tdt+ f (tdb t um processo de Itô, então pela Proposição 3.77 sabemos que a menos que g = ds P-q.c. X t não é uma B-martingala. No entanto podemos construir uma B-martingala a partir de X t multiplicando por uma B-martingala exponencial adequada. Mais precisamente definimos Y t = X t M t,
10 CHAPTER 3. INTEGRAIS ESTOCÁSTICOS 97 onde ( M t := exp g(s, db s ( 1 f 2 (s, ds. 2 Use a fórmula de Itô para mostrar que Y t é uma B-martingala. Exercício 3.22 Seja p(t, x := 1/ 1 t exp( x 2 /(2(1 t, (t, x [, 1 R e p(1, x =. Definimos M t := p(t, B t, onde B = (B t t é o MB em R. 1. Prove que M t = M + p x (s, B sdb s. 2. Seja H t := p x (t, B t. Mostre que mas 1 Ht 2 E P ( 1 dt <, P-q.s. Ht 2 dt =. Exercício 3.23 A técnica do Exemplo 3.72 pode ser usada para resolver EDE não lineares da forma dx t = g(t, X t dt + f (tx t db t (3.38 X = x, onde g : R + R R e f : R R são funções contínuas dadas. Definimos o factor integrante ( M t := exp f (sdb s + 1 f 2 (sds Mostre que d(m t X t = M t g(t, X t dt. 2. Se Y t = M t X t, então X t = Mt 1 Y t e a equação d(m t X t = M t g(t, X t dt toma a forma dy t (w = M t (wg(t, Mt 1 (wy t (w, Y = x. dt Esta é uma EDO da função R + t Y t (w para cada w Ω. A sua solução Y t (w pode ser obtida pelos métodos usuais e, assim, obtemos a solução X t da EDE (3.38 como X t = Mt 1 Y t.
11 CHAPTER 3. INTEGRAIS ESTOCÁSTICOS Aplique este método para resolver a EDE não linear dx t = 1 X t dt + σx t db t X = x >, 4. Aplique o método para estudar as soluções da EDE não linear dx t = X γ t dt + σx t db t X = x >, onde σ, γ são constantes. Para que valores de γ obtemos uma explosão?
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