g(s, X n s )ds + t f (s, X s ) 2 ds <, P-q.s. t f (s, X s )db s, t 0.

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "g(s, X n s )ds + t f (s, X s ) 2 ds <, P-q.s. t f (s, X s )db s, t 0."

Transcrição

1 CHAPTER 3. INTEGRAIS ESTOCÁSTICOS Quais são as propriedades destas soluções? 3. Como podemos resolver uma dada equação? O método usual para provar a existência de uma solução da equação diferencial estocástica anterior é construir um processo iterativo do tipo de Cauchy-Picard. A ideia é definir uma sucessão de processos X, X 1, X 2,... de acordo com a definição recursiva X t = x X n+1 t = x + g(s, X n s ds + f (s, X n s db s. Tendo feito isto, esperamos que a sucessão (X n n N convirja para um processo X e que este processo X seja solução da EDE (3.29. Posto isto, temos a seguinte definição de solução de EDE do tipo (3.29. Definição 3.66 Seja (Ω, F, P um espaço de probabilidade, A = (A t t uma filtração em F e Z uma variável aleatória A -mensurável tal que E P ( Z 2 <. A solução da EDE dx t = g(t, X t dt + f (t, X t db t (3.3 X = Z é um processo (X t t A t -adaptado tal que e P-q.c. g(s, X s ds <, X t = Z + g(s, X s ds + f (s, X s 2 ds <, P-q.s. f (s, X s db s, t. O próximo teorema dá condições suficientes nos coeficientes g e f que garantem a existência e unicidade de solução da EDE (3.3. Teorema 3.67 (Existência e unicidade para EDE Sejam g, f : [, T] R R funções mensuráveis, B = (B t t o MB real e suponhamos que existe uma constante K > tal que para todos x, y R e t [, T] temos g(t, x g(t, y + f (t, x g(t, y K x y, (3.31

2 CHAPTER 3. INTEGRAIS ESTOCÁSTICOS 89 g(t, x + f (t, x K(1 + x. (3.32 Seja ainda Z uma variável aleatória A -mensurável tal que E P ( Z 2 <. Então a EDE dx t = g(t, X t dt + f (t, X t db t (3.33 X = Z tem uma única solução X = (X t t, com as seguintes propriedades: 1. X t é A t -mensurável para qualquer t. 2. X tem trajectórias t-contínuas. 3. Temos E P ( T X t 2 dt <. Observação 3.68 As condições (3.31 e (3.32 são naturais em função dos seguintes exemplos. 1. Consideremos a EDO dy(t = y 2 (tdt y( = 1 correspondente a g(t, x = x 2 (a qual não satisfaz a condição (3.32. A única solução é y(t = 1 1 t, t < 1. Assim, não temos uma solução global, isto é, y(t não está definido para todos t R. Deste modo, a condição (3.32 (chamada condição de crescimento linear garante que a solução X t não explode, isto é, que X t não vai para infinito num tempo finito. 2. Por seu lado, a EDO dy(t = 3y 2/3 (tdt y( = admite a seguinte família de soluções, para qualquer a >, t a y a (t = (t a 3 t > a.

3 CHAPTER 3. INTEGRAIS ESTOCÁSTICOS 9 Mas neste caso a função g(t, x = 3x 2/3 não satisfaz (3.31 no ponto x =. Deste modo, a condição (3.31 (chamada de condição de Lipschitz garante a unicidade da solução da equação (3.33, isto é, se X 1 t e X 2 t forem duas soluções nas condições do Teorema 3.67, então Xt 1 = Xt 2, t T, P-q.c. 3. A solução X t dada pelo Teorema 3.67 é chamada solução forte da EDE (3.33 porque o MB é dado à partida e a solução construída X t é A t -mensurável. Se, pelo contrário, forem dadas as funções g, f e procurarmos pelo triplo ( ˆX t, ˆB t, Aˆ t no espaço de probabilidade (Ω, F, P que satisfaça a EDE (3.33, então a solução ˆX t é chamada solução fraca da EDE. Neste caso A ˆ = ( Aˆ t t é uma filtração tal que ˆB t é A-MB ˆ e ˆX t é A-adaptado. ˆ É claro que uma solução forte é também uma solução fraca mas o inverso não é verdadeiro. Observação 3.69 O facto que X t ser A t -mensurável significa que para cada t o valor do processo X t é um funcional das trajectórias do MB no intervalo [, T], por outras palavras, o valor do processo X t (w pode ser decidido pelos valores de B s (w para s T. Portanto, uma EDE induz uma transformação do espaço C([, nele próprio, onde uma trajectória Browniana B (w é transformada na trajectória X (w. Em geral, esta transformação é muito complicada e é muito raro que se consiga resolver uma EDE explicitamente. Existe no entanto alguns casos não triviais interessantes onde é possível resolver explicitamente a EDE. É a fórmula de Itô que está na base da solução de muitas EDE. O caso mais importante é o chamado movimento Browniano geométrico (MBG. Exemplo 3.7 (Movimento Browniano geométrico O MBG é um processo estocástico fundamental na teoria de modelação de preços de opções e em muitas outras aplicações. Ele surge como uma generalização natural das equações diferenciais lineares ordinárias (EDO e é da forma dx t = αx t dt + σx t db t (3.34 X = x. Prova. Consideremos os seguintes cálculos não rigorosos: dx t = αx t dt + σx t db t dx t X t = αdt + σdb t

4 CHAPTER 3. INTEGRAIS ESTOCÁSTICOS 91 Figure 3.1: Movimento Browniano geométrico: α = 1, σ =.4 e x = 1. de onde resulta, por integração em ambos os lados, que dx t X t = αt + σb t. (3.35 Vamos usar a fórmula de Itô para calcular o integral anterior. Definimos h(t, x := ln x e Y t := h(t, X t, t. É claro que h C 1,2 (R + ], [ e portanto dy t = 1 dx t 1 1 t ( X t 2 (X t (dx t 2 dx t Xt = ln X t X 2 σ2 t. Substituindo na equação (3.35 vem ( Xt ln σ2 t = αt + σb t x ou seja X t = x exp ((α 12 σ2 t + σb t. (3.36 A sua esperança é E P (X t = x e αt. Na Figura 3.1 apresentamos algumas trajectórias do MBG assim como a sua média. No processo de resolução do exemplo anterior existem algumas falhas não tomadas em atenção. Para que Y t esteja bem definido é necessário que a solução

5 CHAPTER 3. INTEGRAIS ESTOCÁSTICOS 92 X t exista a qual terá de ser positiva. No que respeita à existência, temos o Teorema 3.67 mas a sua positividade parece constituir um problema maior. Podemos no entanto evitar estes problemas simplesmente definindo o processo X t por (3.36 (usando, bem entendido, o procedimento pouco rigoroso anterior e depois verificar que realmente X t é solução da EDE (3.34. Exemplo 3.71 (EDE lineares Consideremos a EDE linear da forma dx t = αx t dt + σdb t X = x. (3.37 Calcular a solução X t. Prova. Vamos em primeiro lugar resolver uma EDO para obter uma ideia da solução. Consideremos a EDO do tipo y (t = αy(t + u(t y( = y, onde u é uma função determinística. Então a solução da EDO homogénea correspondente y (t = αy(t é y(t = y e αt. A solução da equação geral pode ser obtida pelo método dos coeficientes constantes como: y(t = c(te αt, onde c é uma função desconhecida a determinar. Então y (t = αy(t + u(t (c (t + αc(te αt = αc(te αt + u(t Daqui resulta a solução geral c(t = y + y(t = y e αt + e α(t s u(sds. e αs u(sds. Agora, formalmente a EDE (3.37 pode ser dividida por dt dx t dt = αx t + σ db t dt

6 CHAPTER 3. INTEGRAIS ESTOCÁSTICOS 93 e, por analogia com a EDO somos levados a conjecturar. A solução X t da EDE (3.37 é dada por X t = x e αt + σ e α(t s db s ds ds = x e αt + σ e α(t s db s. De facto, podemos confirmar o que acabamos de conjecturar aplicando a fórmula de Itô a X t. Assim, definimos h(t, x := x e αt + σe αt x, Z t := e αs db s e X t := h(t, Z t. Note que dz t = e αt db t. Então dx t = αx t dt + +σdb t. Prova alternativa. Consideremos o factor integrante F t := e αt e o processo Y t := F t X t. Então calculando o diferencial estocástico dy t pela fórmula de Itô, a solução X t pode ser escrita como X t = Ft 1 Y t. Assim, Daqui resulta dy t = αy t dt + f t dx t = σf t db t. ou seja Y t = Y + σ F s db s X t = F 1 t X t = x e αt + σ e α(t s db s. F X + σft 1 F s db s Exemplo 3.72 Calcular a solução da EDE dx t = αdt + σx t db t X = x, onde α, σ R e B = (B t t é o MB real. Sugestão: Multiplique a solução pelo factor integrante M t := exp( σb t σ2 t.

7 CHAPTER 3. INTEGRAIS ESTOCÁSTICOS 94 Prova. Sejam Y t := X t M t e h(t, x, y := x exp( σy σ2 t de forma que Y t = h(t, X t, B t. Então pela fórmula de Itô, temos dy t = 1 2 σ2 Y t dt + M t dx t σy t db t (+σ2 Y t dt 2σM t db t dx t = 1 2 σ2 Y t dt + αm t dt + σm t X t db t σy t db t σ2 Y t dt σ 2 M t X t dt = αm t dt e por isso ou ainda X t = F 1 t = exp ( X + α ( σb t 1 2 σ2 t Y t = Y + α M s ds M s ds ( X + exp( σb s σ2 sds. Exemplo 3.73 (MB no círculo Seja B = (B 1 t, B 2 t t o MB em R 2 e considere o processo estocástico Calcule g, f de forma a ter o diferencial X t = (cos(b t, sin(b t, t. dx t = g(t, X t dt + f (t, X t db t. Prova. Denotamos X t = (Xt 1, X2 t de forma que X1 t = cos(b t e Xt 2 = sin(b t. Assim dxt 1 = sin(b t db t 1 cos(b 2 tdt dxt 2 = cos(b t db t 1 sin(b 2 tdt e se K = ( 1 1, então o sistema anterior pode escrever-se como dx t = 1 2 X tdt + KX t db t.

8 CHAPTER 3. INTEGRAIS ESTOCÁSTICOS 95 Deste modo g(t, X t = (g 1 (t, X t, g 2 (t, X t é tal que g 1 (t, X t = 1 2 cos(b t e g 2 (t, X t = 1 2 sin(b t enquanto que f é dada por f (t, X t = KX t = ( 1 1 ( cos(bt sin(b t = ( sin(bt cos(b t Ou seja, se f (t, X t = ( f 1 (t, X t, f 2 (t, X t, então temos f 1 (t, X t = sin(b t e f 2 (t, X t = cos(b t.. Exercícios Exercício 3.15 Seja (B t t o movimento Browniano em R e (X t t um processo estocástico tal que { dxt = (µx t + νdt + (σx t + ρdb t X =. Definimos ainda S t := exp((µ σ 2 /2t + σb t. 1. Qual é a equação diferencial estocástica correspondente a S 1 t. (a Calcule o diferencial estocástico d(x t S 1 t. (b Obtenha a representação explícita de X t. Exercício 3.16 Calcule a solução da equação diferencial estocástica dx t = αx t dt + σx t db t X = x R e E P (X t. Exercício 3.17 Sejam X t e Y t soluções das equações diferenciais dx t = αx t dt Y t db t, X = x R dy t = αy t dt + X t db t, Y = y R. 1. Mostre que o processo R t, t definido por R t := X 2 t + Y 2 t é determinístico.

9 CHAPTER 3. INTEGRAIS ESTOCÁSTICOS Calcule E P (X t. Exercício 3.18 Uma função h : R n R diz-se harmónica se satisfaz a equação de Laplace n 2 h h(x = (x =. j=1 Mostre que o processo estocástico X t := h(b 1 t,..., B n t, t é uma A-martingala, onde B i t são MB independentes e A é tal que Bi t Bi s é independente de A t para qualquer s t. x 2 j Exercício 3.19 Sejam X t, Y t processos de Itô em R. Prove que d(x t Y t = X t dy t + Y t dx t + dx t dy t. Deduza a seguinte fórmula geral de integração por partes X s dy s = X s Y s X Y Y s DX s dx s dy s. Exercício 3.2 (Martingalas exponenciais Seja f ( f 1,... f n tal que f i L 2 a([, T] para 1 i n e T. Definimos ( Z t := exp f (s, db s ( 1 f 2 (s, ds, t T, 2 onde B s é o MB em R n. 1. Use a fórmula de Itô para mostrar que dz t = Z t f (t, db t (. 2. Deduza que Z t é uma martingala para t T desde que Z t f i (t, L 2 a ([, T], 1 i n. Exercício 3.21 Seja dx t = g(tdt+ f (tdb t um processo de Itô, então pela Proposição 3.77 sabemos que a menos que g = ds P-q.c. X t não é uma B-martingala. No entanto podemos construir uma B-martingala a partir de X t multiplicando por uma B-martingala exponencial adequada. Mais precisamente definimos Y t = X t M t,

10 CHAPTER 3. INTEGRAIS ESTOCÁSTICOS 97 onde ( M t := exp g(s, db s ( 1 f 2 (s, ds. 2 Use a fórmula de Itô para mostrar que Y t é uma B-martingala. Exercício 3.22 Seja p(t, x := 1/ 1 t exp( x 2 /(2(1 t, (t, x [, 1 R e p(1, x =. Definimos M t := p(t, B t, onde B = (B t t é o MB em R. 1. Prove que M t = M + p x (s, B sdb s. 2. Seja H t := p x (t, B t. Mostre que mas 1 Ht 2 E P ( 1 dt <, P-q.s. Ht 2 dt =. Exercício 3.23 A técnica do Exemplo 3.72 pode ser usada para resolver EDE não lineares da forma dx t = g(t, X t dt + f (tx t db t (3.38 X = x, onde g : R + R R e f : R R são funções contínuas dadas. Definimos o factor integrante ( M t := exp f (sdb s + 1 f 2 (sds Mostre que d(m t X t = M t g(t, X t dt. 2. Se Y t = M t X t, então X t = Mt 1 Y t e a equação d(m t X t = M t g(t, X t dt toma a forma dy t (w = M t (wg(t, Mt 1 (wy t (w, Y = x. dt Esta é uma EDO da função R + t Y t (w para cada w Ω. A sua solução Y t (w pode ser obtida pelos métodos usuais e, assim, obtemos a solução X t da EDE (3.38 como X t = Mt 1 Y t.

11 CHAPTER 3. INTEGRAIS ESTOCÁSTICOS Aplique este método para resolver a EDE não linear dx t = 1 X t dt + σx t db t X = x >, 4. Aplique o método para estudar as soluções da EDE não linear dx t = X γ t dt + σx t db t X = x >, onde σ, γ são constantes. Para que valores de γ obtemos uma explosão?

Parte II. Análise funcional II

Parte II. Análise funcional II Parte II Análise funcional II 12 Capítulo 5 Produto de Operadores. Operadores inversos Neste capítulo vamos introduzir a noção de produto de operadores assim como a de operador invertível. Para tal precisamos

Leia mais

depende apenas da variável y então a função ṽ(y) = e R R(y) dy

depende apenas da variável y então a função ṽ(y) = e R R(y) dy Formulario Equações Diferenciais Ordinárias de 1 a Ordem Equações Exactas. Factor Integrante. Dada uma equação diferencial não exacta M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0. ( ) 1. Se R = 1 M N y N x depende apenas

Leia mais

Aula 05 Transformadas de Laplace

Aula 05 Transformadas de Laplace Aula 05 Transformadas de Laplace Pierre Simon Laplace (1749-1827) As Transformadas de Laplace apresentam uma representação de sinais no domínio da frequência em função de uma variável s que é um número

Leia mais

Aula 05 Transformadas de Laplace

Aula 05 Transformadas de Laplace Aula 05 Transformadas de Laplace Pierre Simon Laplace (1749-1827) As Transformadas de Laplace apresentam uma representação de sinais no domínio da frequência em função de uma variável s que é um número

Leia mais

Análise Complexa e Equações Diferenciais 2 o Semestre 2013/14 Cursos: LEAN, MeMec

Análise Complexa e Equações Diferenciais 2 o Semestre 2013/14 Cursos: LEAN, MeMec Análise Complexa e Equações Diferenciais 2 o Semestre 2013/14 Cursos: LEAN, MeMec M Paluch Aulas 28 33 7 23 de Abril de 2014 Exemplo de uma equação diferencial A Lei de Newton para a propagação de calor,

Leia mais

ANÁLISE MATEMÁTICA IV

ANÁLISE MATEMÁTICA IV Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise ANÁLISE MATEMÁTICA IV o Teste do 1 o semestre de 04/05 cursos: LEAm, LEBl, LEQ, LQ, LEIC, LEM, LEMat, LEGM, LEAN e LEC

Leia mais

EXAMES DE ANÁLISE MATEMÁTICA III

EXAMES DE ANÁLISE MATEMÁTICA III EXAMES DE ANÁLISE MATEMÁTICA III Jaime E. Villate Faculdade de Engenharia Universidade do Porto 22 de Fevereiro de 1999 Resumo Estes são alguns dos exames e testes da disciplina de Análise Matemática III,

Leia mais

ANÁLISE COMPLEXA E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS. Apresente e justifique todos os cálculos

ANÁLISE COMPLEXA E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS. Apresente e justifique todos os cálculos Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise ANÁLISE COMPLEXA E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS TESTES DE RECUPERAÇÃO A - 6 DE JUNHO DE 9 - DAS H ÀS :3H Teste Apresente e justifique

Leia mais

t X s db s, I t (X) :=

t X s db s, I t (X) := Chapter 3 Integrais estocásticos Neste capítulo vamos definir integrais estocásticos relativamente ao movimento Browniano e estudar algumas das suas propriedades. Estes integrais também são chamados integrais

Leia mais

Análise Complexa e Equações Diferenciais 2 ō Semestre 2013/2014

Análise Complexa e Equações Diferenciais 2 ō Semestre 2013/2014 Análise Complexa e Equações Diferenciais 2 ō Semestre 213/21 Cursos: 2 ō Teste, versão A LEIC, MEEC, LEMat, MEAer, MEBiol, MEQ, MEAmbi 31 de Maio de 21, 11h3 [1,5 val. 1. Considere a equação diferencial

Leia mais

c + 1+t 2 (1 + t 2 ) 5/2 dt e 5 2 ln(1+t2 )dt (1 + t 2 ) 5/2 dt (c 5/2 + (1 + t 2 ) 5/2 (1 + t 2 ) 5/2 dt ϕ(t) = (1 + t 2 ) 5/2 (1 + t).

c + 1+t 2 (1 + t 2 ) 5/2 dt e 5 2 ln(1+t2 )dt (1 + t 2 ) 5/2 dt (c 5/2 + (1 + t 2 ) 5/2 (1 + t 2 ) 5/2 dt ϕ(t) = (1 + t 2 ) 5/2 (1 + t). Análise Complexa e Equações Diferenciais 2 o Semestre 206/207 3 de junho de 207, às 9:00 Teste 2 versão A MEFT, MEC, MEBiom, LEGM, LMAC, MEAer, MEMec, LEAN, LEMat [,0 val Resolva os seguintes problemas

Leia mais

Análise Complexa e Equações Diferenciais 1 ō Semestre 2016/2017

Análise Complexa e Equações Diferenciais 1 ō Semestre 2016/2017 Análise Complexa e Equações Diferenciais 1 ō Semestre 016/017 ō Teste Versão A (Cursos: MEBiol, MEQ 17 de Dezembro de 016, 10h [,0 val 1 Considere a equação diferencial e t + y e t + ( 1 + ye t dy dt 0

Leia mais

ANÁLISE COMPLEXA E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS AULA TEÓRICA DE MAIO DE 2017

ANÁLISE COMPLEXA E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS AULA TEÓRICA DE MAIO DE 2017 ANÁLISE COMPLEXA E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS AULA TEÓRICA 3 7 DE MAIO DE 27 A = 2 2 2 A matriz tem como valor próprio λ = 2 (triplo. Para os vectores próprios: { z = y + z = v = A matriz não é diagonalizável,

Leia mais

Análise Complexa e Equações Diferenciais 2 o Semestre 2014/2015

Análise Complexa e Equações Diferenciais 2 o Semestre 2014/2015 Análise Complexa e Equações Diferenciais 2 o Semestre 2014/2015 (Cursos: 2 o Teste, versão A LEAN, LEGM, LMAC, MEBiom, MEC, MEFT, MEMec) 30 de Maio de 2015, 9h Duração: 1h 30m INSTRUÇÕES Não é permitida

Leia mais

21 de Junho de 2010, 9h00

21 de Junho de 2010, 9h00 Análise Complexa e Equações Diferenciais ō Semestre 009/00 ō Teste \ ō Exame - Versão A (Cursos: Todos) de Junho de 00, 9h00 Duração: Teste - h 30m, Exame - 3h INSTRUÇÕES Não é permitida a utilização de

Leia mais

y (n) (x) = dn y dx n(x) y (0) (x) = y(x).

y (n) (x) = dn y dx n(x) y (0) (x) = y(x). Capítulo 1 Introdução 1.1 Definições Denotaremos por I R um intervalo aberto ou uma reunião de intervalos abertos e y : I R uma função que possua todas as suas derivadas, a menos que seja indicado o contrário.

Leia mais

Sistemas lineares. Aula 7 Transformada Inversa de Laplace

Sistemas lineares. Aula 7 Transformada Inversa de Laplace Sistemas lineares Aula 7 Transformada Inversa de Laplace Transformada Inversa de Laplace Transformada Inversa de Laplace e RDC x(t) única Metódos Inversão pela Definição Inversão pela Expansão em Frações

Leia mais

O teorema do ponto fixo de Banach e algumas aplicações

O teorema do ponto fixo de Banach e algumas aplicações O teorema do ponto fixo de Banach e algumas aplicações Andressa Fernanda Ost 1, André Vicente 2 1 Acadêmica do Curso de Matemática - Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas - Universidade Estadual do

Leia mais

Análise Complexa e Equações Diferenciais Exame B de 30 de junho de 2014 Cursos: LEAN, LMAC, MEBiom, MEFT, MEMec

Análise Complexa e Equações Diferenciais Exame B de 30 de junho de 2014 Cursos: LEAN, LMAC, MEBiom, MEFT, MEMec Análise Complexa e Equações Diferenciais Exame B de 3 de junho de 4 Cursos: LEAN, LMAC, MEBiom, MEFT, MEMec [ val.] RESOLUÇÃO INÍCIO DA PRIMEIRO PARTE. Considere a função u(x, y) = 3xy x 3. (a) Escreva

Leia mais

Operadores em espaços normados

Operadores em espaços normados Capítulo 7 Operadores em espaços normados Neste capítulo vamos introduzir uma série de operadores em espaços normados os quais são muito úteis, nomeadamente, na resolução de equações envolvendo operadores.

Leia mais

O movimento Browniano

O movimento Browniano O movimento Browniano R. Vilela Mendes http://label2.ist.utl.pt/vilela/ March 2010 () March 2010 1 / 35 Sumário O movimento Browniano Propriedade Markoviana Probabilidade de transição. Medida de Wiener

Leia mais

Teoremas fundamentais dos espaços normados

Teoremas fundamentais dos espaços normados Capítulo 9 Teoremas fundamentais dos espaços normados 9.1 Teorema de Hahn-Banach O próximo teorema, conhecido como teorema de Hahn-Banach, é uma generalização do Teorema 4.12, o qual, recordamos para conveniência

Leia mais

Convergência em espaços normados

Convergência em espaços normados Chapter 1 Convergência em espaços normados Neste capítulo vamos abordar diferentes tipos de convergência em espaços normados. Já sabemos da análise matemática e não só, de diferentes tipos de convergência

Leia mais

Representação e Análise de Sistemas Dinâmicos Lineares Componentes Básicos de um Sistema de Controle

Representação e Análise de Sistemas Dinâmicos Lineares Componentes Básicos de um Sistema de Controle Representação e Análise de Sistemas Dinâmicos Lineares 1 Introdução 11 Componentes Básicos de um Sistema de Controle Fundamentos matemáticos 1 Singularidades: Pólos e zeros Equações diferencias ordinárias

Leia mais

II. REVISÃO DE FUNDAMENTOS

II. REVISÃO DE FUNDAMENTOS INSTITUTO TECNOLÓGICO DE AERONÁUTICA CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA-AERONÁUTICA MPS-43: SISTEMAS DE CONTROLE II. REVISÃO DE FUNDAMENTOS Prof. Davi Antônio dos Santos (davists@ita.br) Departamento de Mecatrônica

Leia mais

A estacionariedade prova-se de maneira semel- hante.

A estacionariedade prova-se de maneira semel- hante. Se por outro lado (U 1, U 2,...) é IID então mostremos que X n U 1 + + U n tem incrementos independentes e estacionários. De facto, dados n > m temos que X n X m U m+1 + + U n. Tome-se quaisquer n 1

Leia mais

Sistemas de Equações Diferenciais Lineares

Sistemas de Equações Diferenciais Lineares Capítulo 9 Sistemas de Equações Diferenciais Lineares Agora, estamos interessados em estudar sistemas de equações diferenciais lineares de primeira ordem: Definição 36. Um sistema da linear da forma x

Leia mais

2 ō Semestre 2015/2016

2 ō Semestre 2015/2016 Análise Complexa e Equações Diferenciais ō Semestre 15/16 ō Teste, versão A (Cursos: LEIC-A, MEAmbi, MEBiol, MEQ) 1 (a) Resolva o problema de valor inicial 8 de Maio de 16, 11h 3m Duração: 1h 3m y +6x+4xy

Leia mais

CÁLCULO III - MAT Encontre as soluções das seguintes equações com condições iniciais:

CÁLCULO III - MAT Encontre as soluções das seguintes equações com condições iniciais: UNIVERSIDADE FEDERAL DA INTEGRAÇÃO LATINO-AMERICANA Instituto Latino-Americano de Ciências da Vida e da Natureza Centro Interdisciplinar de Ciências da Natureza CÁLCULO III - MAT0021 7 a Lista de exercícios

Leia mais

Questão 1: (2.0 pontos) (a) (1.0 ponto) Obtenha os cinco primeiros termos da série de Taylor da função f(x) = cos x em.

Questão 1: (2.0 pontos) (a) (1.0 ponto) Obtenha os cinco primeiros termos da série de Taylor da função f(x) = cos x em. Página de 7 Instituto de Matemática - IM/UFRJ Gabarito da prova final unificada - Escola Politécnica / Escola de Química - 0/07/009 Questão :.0 pontos a.0 ponto Obtenha os cinco primeiros termos da série

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral II

Cálculo Diferencial e Integral II Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Cálculo Diferencial e Integral II Ficha de trabalho 1 (versão de 6/0/009 (Esboço de Conjuntos. Topologia. Limites. Continuidade

Leia mais

2 Transformada inversa numérica de Laplace

2 Transformada inversa numérica de Laplace 2 ransformada inversa numérica de Laplace Neste capítulo damos uma breve descrição da transformada de Laplace e a transformada inversa de Laplace, dando ênfase aos métodos numéricos para calcular a transformada

Leia mais

Equações Diferenciais (M2011)

Equações Diferenciais (M2011) Equações Diferenciais (M2011) ICruz - FCUP Aula 16-16 abr 18 (ICruz - FCUP) Equações Diferenciais (M2011) Aula 16-16 abr 18 1 / 12 Estabilidade de pontos de equilíbrio de sistemas LHCC No caso de sistemas

Leia mais

ANÁLISE MATEMÁTICA IV LEEC SÉRIES, SINGULARIDADES, RESÍDUOS E PRIMEIRAS EDO S. disponível em

ANÁLISE MATEMÁTICA IV LEEC SÉRIES, SINGULARIDADES, RESÍDUOS E PRIMEIRAS EDO S. disponível em Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Última actualiação: //003 ANÁLISE MATEMÁTICA IV LEEC RESOLUÇÃO DA FICHA 3 SÉRIES, SINGULARIDADES, RESÍDUOS E PRIMEIRAS

Leia mais

7 Equações Diferenciais. 7.1 Classificação As equações são classificadas de acordo como tipo, a ordem e a linearidade.

7 Equações Diferenciais. 7.1 Classificação As equações são classificadas de acordo como tipo, a ordem e a linearidade. 7 Equações Diferenciais Definição: Uma equação diferencial é uma equação em que as incógnitas são funções e a equação envolve derivadas dessas funções. : = 5x + 3 4 d3 3 + (sen x) d2 2 + 5x = 0 2 t 2 4

Leia mais

Aula 6 Transformada de Laplace

Aula 6 Transformada de Laplace Aula 6 Transformada de Laplace Introdução Propriedades da Transformada de Laplace Tabela Transformada ade Laplace Transformada Inversa de Laplace Função de transferência Definição: X s = L x t = s é uma

Leia mais

ORDINÁRIAS. Víctor Arturo Martínez León

ORDINÁRIAS. Víctor Arturo Martínez León INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS Víctor Arturo Martínez León September 3, 2017 Súmario 1 Equações diferenciais lineares de primeira ordem 2 2 Equações diferenciais lineares de segundo ordem

Leia mais

Definição (6.1): Definimos equação diferencial como uma qualquer relação entre uma função e as suas derivadas.

Definição (6.1): Definimos equação diferencial como uma qualquer relação entre uma função e as suas derivadas. Capítulo 6 Definição (6.1): Definimos equação diferencial como uma qualquer relação entre uma função e as suas derivadas. Definição (6.2): Seja e uma função real incógnita definida num intervalo aberto.

Leia mais

Transformadas de Laplace Engenharia Mecânica - FAENG. Prof. Josemar dos Santos

Transformadas de Laplace Engenharia Mecânica - FAENG. Prof. Josemar dos Santos Engenharia Mecânica - FAENG SISTEMAS DE CONTROLE Prof. Josemar dos Santos Sumário Transformadas de Laplace Teorema do Valor Final; Teorema do Valor Inicial; Transformada Inversa de Laplace; Expansão em

Leia mais

Sessão 1: Generalidades

Sessão 1: Generalidades Sessão 1: Generalidades Uma equação diferencial é uma equação envolvendo derivadas. Fala-se em derivada de uma função. Portanto o que se procura em uma equação diferencial é uma função. Em lugar de começar

Leia mais

ÁLGEBRA LINEAR I - MAT0032

ÁLGEBRA LINEAR I - MAT0032 UNIVERSIDADE FEDERAL DA INTEGRAÇÃO LATINO-AMERICANA Instituto Latino-Americano de Ciências da Vida e Da Natureza Centro Interdisciplinar de Ciências da Natureza ÁLGEBRA LINEAR I - MAT32 12 a Lista de exercícios

Leia mais

Continuidade de processos gaussianos

Continuidade de processos gaussianos Continuidade de processos gaussianos Roberto Imbuzeiro Oliveira April, 008 Abstract 1 Intrudução Suponha que T é um certo conjunto de índices e c : T T R é uma função dada. Pergunta 1. Existe uma coleção

Leia mais

Um espaço métrico incompleto 1

Um espaço métrico incompleto 1 Universidade Estadual de Maringá - Departamento de Matemática Cálculo Diferencial e Integral: um KIT de Sobrevivência anos c Publicação Eletrônica do KIT http://www.dma.uem.br/kit Um espaço métrico incompleto

Leia mais

Stops para o passeio aleatório. MAC Aula 9. Walter Mascarenhas 27/04/2011. Walter Mascarenhas MAC Aula 9

Stops para o passeio aleatório. MAC Aula 9. Walter Mascarenhas 27/04/2011. Walter Mascarenhas MAC Aula 9 MAC 5796. Aula 9 Walter Mascarenhas 7/04/011 Resumo 1 Curso de Streambase de 7/06 a 01/07. Streambase é um ferramenta para CEP = complex event processing. Para alunos regularmente matriculados no IME.

Leia mais

Universidade Federal do Pará Instituto de Tecnologia. Cálculo III. Campus de Belém Curso de Engenharia Mecânica

Universidade Federal do Pará Instituto de Tecnologia. Cálculo III. Campus de Belém Curso de Engenharia Mecânica Universidade Federal do Pará Instituto de Tecnologia Cálculo III Prof. Dr. Jorge Teófilo de Barros Lopes Campus de Belém Curso de Engenharia Mecânica Universidade Federal do Pará Instituto de Tecnologia

Leia mais

) a sucessão definida por y n

) a sucessão definida por y n aula 05 Sucessões 5.1 Sucessões Uma sucessão de números reais é simplesmente uma função x N R. É conveniente visualizar uma sucessão como uma sequência infinita: (x(), x(), x(), ). Neste contexto é usual

Leia mais

Módulo III: Processos de Poisson, Gaussiano e Wiener

Módulo III: Processos de Poisson, Gaussiano e Wiener Módulo III: Processos de Poisson, Gaussiano e Wiener Wamberto J. L. Queiroz Universidade Federal de Campina Grande-UFCG Departamento de Engenharia Elétrica Processos Estocásticos Campina Grande - PB Módulo

Leia mais

Método de Euler. Marina Andretta/Franklina Toledo ICMC-USP. 29 de outubro de 2013

Método de Euler. Marina Andretta/Franklina Toledo ICMC-USP. 29 de outubro de 2013 Solução numérica de Equações Diferenciais Ordinárias: Método de Euler Marina Andretta/Franklina Toledo ICMC-USP 29 de outubro de 2013 Baseado nos livros: Análise Numérica, de R. L. Burden e J. D. Faires;

Leia mais

EN2607 Transformadas em Sinais e Sistemas Lineares Lista de Exercícios Suplementares 3 3 quadrimestre 2012

EN2607 Transformadas em Sinais e Sistemas Lineares Lista de Exercícios Suplementares 3 3 quadrimestre 2012 EN607 Transformadas em Sinais e Sistemas Lineares Lista de Exercícios Suplementares 3 fevereiro 03 EN607 Transformadas em Sinais e Sistemas Lineares Lista de Exercícios Suplementares 3 3 quadrimestre 0

Leia mais

IST-TAGUS PARQUE-2007/08-2 o SEMESTRE ANÁLISE COMPLEXA E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS EXERCÍCIOS DE REVISÃO

IST-TAGUS PARQUE-2007/08-2 o SEMESTRE ANÁLISE COMPLEXA E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS EXERCÍCIOS DE REVISÃO IST-TAGUS PARQUE-007/08- o SEMESTRE ANÁLISE COMPLEXA E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS EXERCÍCIOS DE REVISÃO EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM. Diga, justi cando, se as seguintes

Leia mais

Polinômios de Legendre

Polinômios de Legendre Seção 5: continuação do método de resolução por séries de potências Na Seção foi exposto informalmente, através de exemplos, o método de resolução de equações diferenciais ordinárias por séries de potências.

Leia mais

1 Definição de uma equação diferencial linear de ordem n

1 Definição de uma equação diferencial linear de ordem n Equações diferenciais lineares de ordem superior 1 1 Definição de uma equação diferencial linear de ordem n Equação diferencial linear de ordem n é uma equação da forma: a n (x) dn y dx n + a n 1(x) dn

Leia mais

Equações Diferenciais Ordinárias de 1 a ordem - II AM3D

Equações Diferenciais Ordinárias de 1 a ordem - II AM3D 20 2 Equações Diferenciais Ordinárias de a ordem - II AM3D EDOs de a ordem lineares Definição Uma equação diferencial ordinária de a ordem diz-se linear se for da forma y (x)+p(x)y(x) = b(x). Se p(x) =

Leia mais

EDO I. por Abílio Lemos. 16 e 18 de outubro de Universidade Federal de Viçosa. Departamento de Matemática UFV. Aulas de MAT

EDO I. por Abílio Lemos. 16 e 18 de outubro de Universidade Federal de Viçosa. Departamento de Matemática UFV. Aulas de MAT EDO I por Universidade Federal de Viçosa Departamento de Matemática-CCE Aulas de MAT 147-2017 16 e 18 de outubro de 2017 Definição 1 Uma equação diferencial é qualquer relação entre uma função e suas derivadas.

Leia mais

3 Definições. 3.1 Processos Estocásticos e Processo de Wiener

3 Definições. 3.1 Processos Estocásticos e Processo de Wiener 25 3 Definições 3.1 Processos Estocásticos e Processo de Wiener Um processo estocástico corresponde a uma variável que evolui no decorrer do tempo de forma incerta ou aleatória. O preço de uma ação negociada

Leia mais

Seção 15: Sistema de Equações Diferenciais Lineares Homogêneas com Coeficientes Constantes

Seção 15: Sistema de Equações Diferenciais Lineares Homogêneas com Coeficientes Constantes Seção 15: Sistema de Equações Diferenciais Lineares Homogêneas com Coeficientes Constantes Muitos problemas de física envolvem diversas equações diferenciais. Na seção 14, por exemplo, vimos que o sistema

Leia mais

Análise Complexa e Equações Diferenciais 2 ō Semestre 2012/2013

Análise Complexa e Equações Diferenciais 2 ō Semestre 2012/2013 Análise Complexa e Equações Diferenciais ō Semestre 1/13 ō Teste Versão A (Cursos: LEAN, LEMat, LMAC, MEAer, MEAmbi, MEBiom, MEBiol, MEFT, MEMec, MEQ) 5 de Maio de 13, 11h Duração: 1h 3m 1. Considere o

Leia mais

Aula 6. Doravante iremos dizer que r(t) é uma parametrização da curva, e t é o parâmetro usado para descrever a curva.

Aula 6. Doravante iremos dizer que r(t) é uma parametrização da curva, e t é o parâmetro usado para descrever a curva. Curvas ou Funções Vetoriais: Aula 6 Exemplo 1. Círculo como coleção de vetores. Vetor posição de curva: r(t) = (cos t, sen t), t 2π r(t) pode ser vista como uma função vetorial: r : [, 2π] R R 2 Doravante

Leia mais

Lista 5 com respostas

Lista 5 com respostas Lista 5 com respostas PROFESSOR KOSTIATYN IUSENKO MAT4 - semestre de 6 Espaços com produto interno Exercício Consideremos o espaço euclidiano R Sendo u, e v, em R determine um vetor w desse espaço tal

Leia mais

Circuitos de Primeira Ordem

Circuitos de Primeira Ordem Circuitos de Primeira Ordem Magno T. M. Silva e Flávio R. M. Pavan, 5 Introdução Em geral, um circuito de primeira ordem tem um único elemento armazenador de energia (um capacitor ou um indutor) e é descrito

Leia mais

Processos de Lévy: Preliminares

Processos de Lévy: Preliminares Processos de Lévy: Preliminares Pedro A. Morettin Instituto de Matemática e Estatística Universidade de São Paulo pam@ime.usp.br http://www.ime.usp.br/ pam Sumário 1. Introdução 2. Alguns processos em

Leia mais

EN2607 Transformadas em Sinais e Sistemas Lineares Lista de Exercícios Suplementares 2 2 quadrimestre 2011

EN2607 Transformadas em Sinais e Sistemas Lineares Lista de Exercícios Suplementares 2 2 quadrimestre 2011 EN607 Transformadas em Sinais e Sistemas Lineares Lista de Exercícios Suplementares quadrimestre 0 (P-0003D) (HAYKIN, 00, p 9) Use a equação de definição da TF para obter a representação no domínio da

Leia mais

Caderno de Exercícios

Caderno de Exercícios Caderno de Exercícios Orlando Ferreira Soares Índice Caracterização de Sinais... Caracterização de Sistemas...0 Sistemas LIT - Convolução...5 Série de Fourier para Sinais Periódicos Contínuos...0 Transformada

Leia mais

Solução de Equações Diferenciais Ordinárias por Transformadas de Laplace

Solução de Equações Diferenciais Ordinárias por Transformadas de Laplace Solução de Equações Diferenciais Ordinárias por Transformadas de Laplace Câmpus Francisco Beltrão Disciplina: Prof. Dr. Jonas Joacir Radtke Transformada de Laplace da Derivada de uma Função Teorema 1:

Leia mais

xy + y = 0. (1) Portanto a solução geral de (1) é a família de hipérboles y = C x,

xy + y = 0. (1) Portanto a solução geral de (1) é a família de hipérboles y = C x, Seção 4: Equações Exatas Fator Integrante Introduzimos a idéia de equação exata, através de dois exemplos simples. Note que nesses dois exemplos, além de exata, a EDO também é separável, podendo alternativamente

Leia mais

ANÁLISE COMPLEXA E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS AULA TEÓRICA DE NOVEMBRO DE dt + a 0(t)y = 0

ANÁLISE COMPLEXA E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS AULA TEÓRICA DE NOVEMBRO DE dt + a 0(t)y = 0 ANÁLISE COMPLEXA E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS AULA TEÓRICA 24 16 DE NOVEMBRO DE 2016 EQUAÇÕES LINEARES HOMOGÉNEAS DE ORDEM SUPERIOR A DOIS São da forma a n (t) dn y dt n + a n 1(t) dn 1 y dt n 1 + + a 1(t)

Leia mais

Seção 15: Sistema de Equações Diferenciais Lineares Homogêneas com Coeficientes Constantes

Seção 15: Sistema de Equações Diferenciais Lineares Homogêneas com Coeficientes Constantes Seção 15: Sistema de Equações Diferenciais Lineares Homogêneas com Coeficientes Constantes Muitos problemas de física envolvem diversas equações diferenciais. Na seção 14, por exemplo, vimos que o sistema

Leia mais

Equações Diferenciais Ordinárias

Equações Diferenciais Ordinárias Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores Análise Numérica 2004/2005 Equações Diferenciais Ordinárias PROBLEMAS 1 Considere a equação diferencial dy dx = y(x2 1) com y(0) = 1 e x [0,

Leia mais

Métodos Matemáticos em Finanças em Tempo

Métodos Matemáticos em Finanças em Tempo Métodos Matemáticos em Finanças em Tempo Contínuo J.P.Zubelli (IMPA - Brazil) 9 de março de 2018 Outline O Movimento Browniano e a Integral Estocástica A Integral de Itô Extensão da Integral de Itô para

Leia mais

12 AULA. ciáveis LIVRO. META Estudar derivadas de funções de duas variáveis a valores reais.

12 AULA. ciáveis LIVRO. META Estudar derivadas de funções de duas variáveis a valores reais. 1 LIVRO Diferen- Funções ciáveis META Estudar derivadas de funções de duas variáveis a valores reais. OBJETIVOS Estender os conceitos de diferenciabilidade de funções de uma variável a valores reais. PRÉ-REQUISITOS

Leia mais

d [xy] = x cos x. dx y = sin x + cos x + C, x

d [xy] = x cos x. dx y = sin x + cos x + C, x Instituto de Matemática e Estatística da USP MAT2455 - Cálculo Diferencial e Integral IV para Engenharia 3a. Prova - 2o. Semestre 2011-21/11/2011 Turma A Questão 1. a) (1,0 ponto) Determine a solução geral

Leia mais

Gabarito da Prova Final Unificada de Cálculo IV Dezembro de 2010

Gabarito da Prova Final Unificada de Cálculo IV Dezembro de 2010 Gabarito da Prova Final Unificada de Cálculo IV Dezembro de a Questão: (5 pts) Dentre as três séries alternadas abaixo, diga se convergem absolutamente, se convergem condicionalmente ou se divergem Justifique

Leia mais

Séries Temporais e Modelos Dinâmicos. Econometria. Marcelo C. Medeiros. Aula 12

Séries Temporais e Modelos Dinâmicos. Econometria. Marcelo C. Medeiros. Aula 12 em Econometria Departamento de Economia Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro Aula 12 Regressão com Variáveis Não-Estacionárias Considere três processos estocásticos definidos pelas seguintes

Leia mais

Séries Temporais e Modelos Dinâmicos. Econometria. Marcelo C. Medeiros. Aula 6

Séries Temporais e Modelos Dinâmicos. Econometria. Marcelo C. Medeiros. Aula 6 em Econometria Departamento de Economia Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro Aula 6 O Teorema de Wold O Teorema de Wold Lei dos Grandes Números Teorema Central do Limite -M O Teorema de Wold

Leia mais

Probabilidade de Ruína e Processos de Lévy α-estáveis

Probabilidade de Ruína e Processos de Lévy α-estáveis Apresentação Probabilidade de Ruína e Processos de Lévy α-estáveis Universidade de São Paulo IME - USP 08 de abril, 2010 Apresentação Distribuições Estáveis e Processos de Lévy α-estáveis Convergência

Leia mais

Sistemas lineares. Aula 3 Sistemas Lineares Invariantes no Tempo

Sistemas lineares. Aula 3 Sistemas Lineares Invariantes no Tempo Sistemas lineares Aula 3 Sistemas Lineares Invariantes no Tempo SLIT Introdução Resposta de um SLIT Resposta de Entrada Nula Resposta de Estado Nulo Resposta ao Impulso Unitária Introdução Sistemas: Modelo

Leia mais

Transformada de Laplace

Transformada de Laplace Sinais e Sistemas Transformada de Laplace lco@ist.utl.pt Instituto Superior Técnico Sinais e Sistemas p.1/60 Resumo Definição da transformada de Laplace. Região de convergência. Propriedades da transformada

Leia mais

TRANSFORMADAS INTEGRAIS LAPLACE E FOURIER

TRANSFORMADAS INTEGRAIS LAPLACE E FOURIER TRANSFORMADAS INTEGRAIS LAPLACE E FOURIER Transformada integral Em Física Matemática há pares de funções que satisfazem uma expressão na forma: F α = a b f t K α, t dt f t = A função F( ) é denominada

Leia mais

d(t x, Ty) = d(x, y), x, y X.

d(t x, Ty) = d(x, y), x, y X. Capítulo 6 Espaços duais 6.1 Preliminares A análise funcional foi nos seus primórdios o estudo de funcionais. Assim, nos dias de hoje um princípio fundamental da análise funcional é a investigação de espaços

Leia mais

3 3. Variáveis Aleatórias

3 3. Variáveis Aleatórias ÍNDICE 3. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS...49 3.. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS UNIDIMENSIONAIS...49 3.2. VARIÁVEIS DISCRETAS FUNÇÃO DE PROBABILIDADE E FUNÇÃO DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE...50 3.2.. Função de probabilidade...50

Leia mais

Modelagem Computacional. Aula 5 2

Modelagem Computacional. Aula 5 2 Mestrado em Modelagem e Otimização - RC/UFG Modelagem Computacional Aula 5 2 Prof. Thiago Alves de Queiroz 2 [Cap. 5] BURDEN, R. L.; FAIRES, J. D. Numerical Analysis (9th ed). Cengage Learning, 2010. Thiago

Leia mais

ANÁLISE MATEMÁTICA IV FICHA 3 TEOREMA DOS RESÍDUOS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM

ANÁLISE MATEMÁTICA IV FICHA 3 TEOREMA DOS RESÍDUOS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise ANÁLISE MATEMÁTICA IV E FICHA 3 TEOREMA DOS RESÍDUOS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM ( Seja f a função definida

Leia mais

ANÁLISE COMPLEXA E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS AULA TEÓRICA DE ABRIL DE Se y representa a posição de um corpo, o seu movimento é dado por

ANÁLISE COMPLEXA E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS AULA TEÓRICA DE ABRIL DE Se y representa a posição de um corpo, o seu movimento é dado por ANÁLISE COMPLEXA E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS AULA TEÓRICA 24 27 DE ABRIL DE 2018 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM São da forma d 2 y dt 2 + p(t)dy + q(t)y = g(t) dt Um exemplo destas equações

Leia mais

Equações diferenciais ordinárias

Equações diferenciais ordinárias Equações diferenciais ordinárias Laura Goulart UESB 9 de Abril de 2016 Laura Goulart (UESB) Equações diferenciais ordinárias 9 de Abril de 2016 1 / 13 Muitos problemas encontrados em engenharia e outras

Leia mais

1 A Equação Fundamental Áreas Primeiras definições Uma questão importante... 7

1 A Equação Fundamental Áreas Primeiras definições Uma questão importante... 7 Conteúdo 1 4 1.1- Áreas............................. 4 1.2 Primeiras definições...................... 6 1.3 - Uma questão importante.................. 7 1 EDA Aula 1 Objetivos Apresentar as equações diferenciais

Leia mais

Aula 3. Carlos Amaral Fonte: Cristiano Quevedo Andrea

Aula 3. Carlos Amaral Fonte: Cristiano Quevedo Andrea Aula 3 Carlos Amaral Fonte: Cristiano Quevedo Andrea UTFPR - Universidade Tecnológica Federal do Paraná DAELT - Departamento Acadêmico de Eletrotécnica Curitiba, Marco de 2012. Resumo 1 Introdução 2 3

Leia mais

O Teorema de Peano. f : D R n. uma função contínua. Vamos considerar o seguinte problema: Encontrar um intervalo I R e uma função ϕ : I R n tais que

O Teorema de Peano. f : D R n. uma função contínua. Vamos considerar o seguinte problema: Encontrar um intervalo I R e uma função ϕ : I R n tais que O Teorema de Peano Equações de primeira ordem Seja D um conjunto aberto de R R n, e seja f : D R n (t, x) f(t, x) uma função contínua. Vamos considerar o seguinte problema: Encontrar um intervalo I R e

Leia mais

Métodos Numéricos para EDO S

Métodos Numéricos para EDO S Métodos Numéricos para EDO S 9.1 Introdução O estudo das equações diferenciais foi motivado inicialmente por problemas da física, ou seja problemas de mecânica, eletricidade termodinâmica, magnetismo etc.

Leia mais

Estabilização de Sistemas a Excitação Persistente

Estabilização de Sistemas a Excitação Persistente 13 de janeiro de 2014 CMAP, École Polytechnique França Tópicos 1 Introdução Problema de interesse Sistemas a excitação persistente 2 (T, µ)-estabilizador Estabilização com hipóteses espectrais sobre A

Leia mais

Análise no Domínio do Tempo de Sistemas em Tempo Contínuo

Análise no Domínio do Tempo de Sistemas em Tempo Contínuo Análise no Domínio do Tempo de Sistemas em Tempo Contínuo Edmar José do Nascimento (Análise de Sinais e Sistemas) http://www.univasf.edu.br/ edmar.nascimento Universidade Federal do Vale do São Francisco

Leia mais

SUMÁRIOS DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTINUAS

SUMÁRIOS DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTINUAS 4 SUMÁRIOS DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTINUAS Em muitos problemas de probabilidade que requerem o uso de variáveis aleatórias, uma completa especificação da função de densidade de probabilidade ou não está

Leia mais

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO INSTITUTO DE CIÊNCIAS MATEMÁTICAS DE SÃO CARLOS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA E ESTATÍSTICA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS NOTAS DE AULAS Herminio Cassago Junior Luiz

Leia mais

Controle. Transformada Laplace básico

Controle. Transformada Laplace básico Controle Transformada Laplace básico REQUISITOS Para perfeita compreensão do conteúdo desta aula é desejável o entendimento dos seguintes assuntos (eventualmente disponíveis em outros vídeos neste canal):

Leia mais

Métodos Previsor-Corretor

Métodos Previsor-Corretor Solução numérica de Equações Diferenciais Ordinárias: Métodos Previsor-Corretor Marina Andretta/Franklina Toledo ICMC-USP 7 de novembro de 2013 Baseado no livro Cálculo Numérico, de S. Arenales e A. Darezzo.

Leia mais

Sinais e Sistemas p.1/33

Sinais e Sistemas p.1/33 Resumo Sinais e Sistemas Transformada de Fourier de Sinais Contínuos lco@ist.utl.pt Representação de sinais aperiódicos Transformada de Fourier de sinais periódicos Propriedades da transformada de Fourier

Leia mais

Resumo. Sinais e Sistemas Transformada de Laplace. Resposta ao Sinal Exponencial

Resumo. Sinais e Sistemas Transformada de Laplace. Resposta ao Sinal Exponencial Resumo Sinais e Sistemas Transformada de aplace uís Caldas de Oliveira lco@istutlpt Instituto Superior Técnico Definição da transformada de aplace Região de convergência Propriedades da transformada de

Leia mais

Estatísticas Inferenciais Distribuições Amostrais. Estatística

Estatísticas Inferenciais Distribuições Amostrais. Estatística Estatística Na descrição dos conjuntos de dados x 1,..., x n, não foi feita menção ao conceito de população. Estatísticas inferenciais: preocupadas com a fonte dos dados e em tentar fazer generalizações

Leia mais

Espaços Euclidianos. Espaços R n. O conjunto R n é definido como o conjunto de todas as n-uplas ordenadas de números reais:

Espaços Euclidianos. Espaços R n. O conjunto R n é definido como o conjunto de todas as n-uplas ordenadas de números reais: Espaços Euclidianos Espaços R n O conjunto R n é definido como o conjunto de todas as n-uplas ordenadas de números reais: R n = {(x 1,..., x n ) : x 1,..., x n R}. R 1 é simplesmente o conjunto R dos números

Leia mais

a = bq + r e 0 r < b.

a = bq + r e 0 r < b. 1 Aritmética dos Inteiros 1.1 Lema da Divisão e o Algoritmo de Euclides Recorde-se que a, o módulo ou valor absoluto de a, designa a se a N a = a se a / N Dados a, b, c Z denotamos por a b : a divide b

Leia mais