Curvas e superfícies

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1 Análise Matemática III Curvas e superfícies Manuel Guerra Conteúdo 1 Curvas 2 2 Curvas definidas implicitamente 11 3 Superfícies 17 4 Superfícies definidas implicitamente 20 5 Anexo: A curva de Peano 21 6 Anexo: Lema de Urysohn 23 Bibliografia 28 Índice remissivo 29 1

2 Este texto é uma introdução aos conceitos matemáticos de curva e superfície. Começa-se por introduzir uma série de definições sucessivamente mais refinadas de curva e discutir algumas das suas principais propriedades. O conceito principal é o de parametrização de uma curva. Uma tal parametrização pode não ser conhecida mas é a sua existência que determina as principais propriedades da curva. Em seguida, a definição de superfície e suas propriedades surgem de forma natural, como uma extensão das ideias introduzidas nas secções anteriores ao caso de conjuntos que são parametrizados por um conjunto de dois parâmetros em vez de um só. Incluem-se também dois anexos. No primeiro Anexo (Secção 5) apresenta-se um exemplo de uma curva que cobre toda uma região de àrea positiva sem nunca se intersectar. No segundo Anexo (Secção 6) prova-se a existência de funções de classe C com suporte compacto e apresenta-se o chamado Lema de Urysohn, do qual dependem as demonstrações de vários teoremas em capítulos avançados da análise matemática. O domínio do conteúdo destes anexos não é exigido aos alunos de Análise Matemática III. 1 Curvas Intuitivamente, uma curva é um conjunto cuja representação gráfica se pode desenhar sem levantar a caneta do papel. A definição seguinte é uma formulação rigorosa da mesma ideia. Definição 1 Chama-se caminho a qualquer aplicação contínua γ : [a, b] R n. Diz-se que um conjunto C R n é uma curva se existir um caminho γ : [a, b] R n, tal que γ ([a, b]) = C. A ideia principal formalizada nesta definição consiste em pensar que uma curva é algo que se pode percorrer de forma contínua desde um ponto inicial até um ponto final. O caminho γ descreve uma maneira possível de percorrer a curva C. O caminho γ (t) pode ser interpretado como uma descrição das sucessivas posições ocupadas ao percorrer a curva C começando no ponto γ (a) e terminando no ponto γ (b). É claro que o caminho que corresponde a uma determinada curva não é único. Se a curva pode ser percorrida de uma determinada maneira, pode também ser percorrida no sentido contrário, com diferentes velocidades, etc.. Exemplo 2 Seja f : [a, b] R, uma função contínua. O gráfico de f, i.e., o conjunto G = (x, y) R 2 : x [a, b], y = f (x) } é uma curva nos termos da Definição 1. Um caminho que percorre G é Outro caminho que também percorre G é (verifique que tal é verdade). γ (t) = (t, f (t)), t [a, b]. η (t) = ( b t 2 (b a), f ( b t 2 (b a) )), t [0, 1] Exemplo 3 A circunferência C = (x, y) R n : x 2 + y 2 = 1 } 2

3 é uma curva nos termos da Definição 1. Um caminho que percorre C é γ (t) = (cos t, sin t), t [0, 2π]. A Definição 1, embora seja legítima do ponto de vista matemático, não corresponde ao conceito intuitivo de curva. Um dos problemas que esta definição apresenta tem a ver com o facto de ela permitir que uma curva se autointersecte num número infinito de pontos. Este facto tem várias consequências indesejáveis, uma das quais é a possibilidade de uma curva poder ter ramificações, como é o caso no exemplo seguinte. Exemplo 4 A união do segmento de recta que une os pontos (0, 0), (2, 0), com o segmento de recta que une os pontos (1, 1), (1, 0) é uma curva nos termos da Definição 1. Um caminho que percorre esse conjunto é (t, 0), se t [0, 1] ; γ (t) = (1, t 1), se t [1, 2] ; (1, 3 t), se t [2, 3] ; (t 2, 0), se t [3, 4]. Ao permitir caminhos que não sejam injectivos, torna-se também possível construir aplicações contínuas num intervalo limitado que cuja imagem seja uma região do plano com área positiva. Uma aplicação cujo domínio é o intervalo [0, 1] e cuja imagem é o quadrado [0, 1] [0, 1] (chamada curva de Peano) é apresentada em anexo (Secção 5). Este tipo de fenómenos pode ser eliminado acrescentando à Definição 1 uma condição de injectividade. Temos assim a seguinte Definição. Definição 5 Diz-se que um conjunto C R n é uma curva simples se existir um caminho injectivo γ : [a, b] R n, tal que γ ([a, b]) = C. Nesse caso diz-se que γ é uma parametrização da curva C (i.e., C é uma curva parametrizada por γ). Diz-se que um conjunto C R n é uma curva simples fechada se existir um caminho γ : [a, b] R n, que verifique as seguintes condições 1. γ ([a, b]) = C; 2. γ (a) = γ (b) ; 3. (γ (t) = γ (s)) (t, s} = a, b}). Nesse caso diz-se que γ é uma parametrização da curva fechada C (i.e., C é uma curva parametrizada por γ). Exemplo 6 O gráfico de uma função contínua, f : [a, b] R (Exemplo 2) é uma curva simples parametrizada pelo caminho γ (t) = (t, f (t)), t [a, b]. Exemplo 7 A circunferência de raio 1 e centro na origem (Exemplo 3) é uma curva simples fechada parametrizada por γ (t) = (cos t, sin t), t [0, 2π]. 3

4 Exemplo 8 A união do segmento de recta que une os pontos (0, 0) e (2, 0) com o segmento de recta que une os pontos (1, 1) e (1, 0) (Exemplo 4) é uma curva nos termos da Definição 1 mas não é uma curva simples nem uma curva simples fechada porque qualquer caminho que a percorra tem que percorrer pelo menos um dos três ramos da curva duas vezes. Exemplo 9 A fronteira do quadrado E = [0, 1] [0, 1] é uma curva simples fechada. Uma parametrização de fr (E) é (t, 0), se t [0, 1] ; γ (t) = (1, t 1), se t [1, 2] ; (3 t, 1), se t [2, 3] ; (0, 4 t), se t [3, 4]. Exemplo 10 O conjunto C = (cos t, sin 2t), t [0, 2π]} é uma curva nos termos da Definição 1 mas não é uma curva simples nem uma curva simples fechada. Qualquer que seja o caminho γ : [a, b] R 2 que percorra C, existem pontos c 1, c 2 ]a, b[ tais que c 1 < c 2 e γ (c 1 ) = γ (c 2 ) (ver figura) Figura 1: A curva (cos t, sin 2t) : t [0, 2π]} Mesmo no caso de uma curva simples, a parametrização não é única. Considere-se uma curva simples (possivelmente fechada), C, e uma parametrização γ : [a, b] C. Considere-se uma função contínua e bijectiva qualquer, α : [c, d] [a, b]. Então, a aplicação η : [c, d] C, definida por η (t) = γ (α (t)), t [c, d], é uma nova parametrização de C. Em particular, se escolhermos α (t) = a + (b a) t, t [0, 1] obtemos uma parametrização η = γ α, cujo domínio é o intervalo [0, 1]. Se escolhermos α (t) = a + b t, t [a, b], Obtemos uma parametrização η = γ α, cujo domínio é o intervalo [a, b] mas que percorre a curva no sentido contrário (note que η (a) = γ (b), η (b) = γ (a)). 4

5 Numa curva fechada o ponto inicial, γ (a), é arbitrário no seguinte sentido. Considere-se uma curva simples fechada, C R n, parametrizada pelo caminho γ : [a, b] R n e fixe-se um ponto c [a, b]. Então a função γ (t + c a), se t [a, a + b c] ; η (t) = γ (t + c b), se t [a + b c, b], é também uma parametrização de C e verifica η (a) = η (b) = γ (c). A Definição 5 inclui ainda curvas bastante irregulares. Para restringir a nossa definição a uma classe de curvas com boas propriedades é conveniente recordar o conceito de função de classe C k. Definição 11 Seja A R n, um conjunto aberto. Diz-se que uma função f : A R é de classe C k (k N) se for contínua e todas as suas derivadas parciais de ordem igual ou inferior a k existirem e forem contínuas em todos os pontos de A. Diz-se que uma função f : A R é de classe C se for contínua e todas as suas derivadas parciais de qualquer ordem existirem e forem contínuas em todos os pontos de A. Definição 12 Seja B R n, um conjunto fechado. Diz-se que uma função f : B R é de classe C k (k N }) se existir um conjunto aberto, A R n, e uma função de classe C k, g : A R, tais que B A, g (x) = f (x), x B. O principal tipo de curva considerado neste texto é o seguinte: Definição 13 Diz-se que uma curva simples, C R n, é uma curva de classe C k (k N }) se admitir uma parametrização que verifique as seguintes condições 1. γ : [a, b] R n é uma função de classe C k ; 2. γ (t) 0, t [a, b]. Nesse caso diz-se que γ é uma parametrização de classe C k para a curva C. Diz-se que uma curva simples fechada, C R n, é uma curva fechada de classe C k se admitir uma parametrização que verifique as seguintes condições 1. γ : [a, b] R n é uma função de classe C k ; 2. γ (t) 0, t [a, b]; 3. γ (i) (a) = γ (i) (b), i = 0, 1, 2,..., k. Nesse caso diz-se que γ é uma parametrização de classe C k para a curva C. Chama-se a atenção para o facto de que, nos termos da Definição 13, não basta que uma parametrização seja uma função de classe C k para que seja uma parametrização de classe C k. Para ser uma parametrização de classe C k tem ainda que satisfazer a condição adicional γ (t) 0, t [a, b]. 5

6 Exemplo 14 A circunferência de raio 1 e centro na origem (Exemplo 3) é uma curva fechada de classe C e a parametrização γ (t) = (cos t, sin t), t [0, 2π] é de classe C (verifique que satisfaz todas as condições da definição). Exemplo 15 Considere-se o gráfico de uma função f : [a, b] R, i.e., uma curva do tipo C = (x, y) : x [a, b], y = f (x)} (Exemplo 2). Curvas deste tipo são curvas de classe C k sempre que f for uma função de classe C k. Nesse caso, a parametrização γ (t) = (t, f (t)), t [a, b] é uma parametrização de classe C k, porque Por outro lado, o caminho γ (t) = (1, f (t)) (0, 0). η (t) = ( b t 2 (b a), f ( b t 2 (b a) )), t [0, 1] é também uma parametrização do gráfico de f mas não é de classe C 1 porque η (0) = (0, 0). No entanto é uma parametrização de classe C k para qualquer segmento C 1 = (x, y) : x [a, c], y = f (x)}, c ]a, b[. Não é necessário que a função f seja de classe C k para que o seu gráfico seja uma curva de classe C k. Por exemplo, a função f (x) = 3 x, x [ 1, 1], não é de classe C 1 mas o seu gráfico admite a parametrização de classe C γ (t) = ( t 3, t ), t [ 1, 1] (verifique que se trata de uma parametrização do gráfico de f). Para provar que uma dada curva é de classe C k, basta construir uma parametrização de classe C k para essa curva. Mais difícil é usar directamente a Definição 13 para provar que uma determinada curva não é de classe C k. A seguir apresentam-se algumas propriedades que permitem caracterizar as curvas de classe C k. Proposição 16 Considere uma curva, C R n, admitindo uma parametrização de classe C k, (k N }), γ : [a, b] R n. Uma função, η : [c, d] C é de classe C k se e só se γ 1 η : [c, d] [a, b] for uma função de classe C k. 6

7 Demonstração. Por definição, γ : [a, b] C é bijectiva. Logo, a função γ 1 : C [a, b] está bem definida. Suponha-se que γ 1 η : [c, d] [a, b] é de classe C k. Então η = γ ( γ 1 η ) é uma função composta de funções de classe C k, logo é de classe C k. Suponha-se agora que η : [c, d] C é de classe C k, considere-se um ponto t 0 [c, d] e seja s 0 = γ 1 η (t 0 ). Indique-se por γ i a i-ésima coordenada de γ, e fixe-se i tal que γ i (s 0) 0. Pelo Teorema da função inversa, a aplicação s γ i (s) é uma bijecção de uma vizinhança de s 0 sobre uma vizinhança de η i (t 0 ) e admite inversa de classe C k. Indique-se a inversa local de γ i por γ 1 i. Existe uma vizinhança de η (t 0 ), U, tal que γ 1 (x) = γ 1 i (x i ), x C U. Isto implica que numa vizinhança de t 0 se verifica γ 1 η = γ 1 i η i, ou seja, γ 1 η é uma função composta de funções de classe C k, logo, é uma função de classe C k. A Proposição 16 implica a seguinte Proposição que, dada uma parametrização de classe C k, caracteriza todas as outras parametrizações de classe C k para a mesma curva. Proposição 17 Considere uma curva de classe C k, C R n, e seja γ : [a, b] R n, uma parametrização de classe C k de C (k N }). As seguintes condições são equivalentes: 1. A aplicação η : [c, d] R n é uma parametrização de classe C k de C; 2. η admite uma representação η = γ α, (1) em que α : [c, d] [a, b], é uma bijecção de classe C k tal que α (s) 0, s [c, d]. Demonstração. Suponha-se que η admite uma representação da forma (1). Então, a função composta η = γ α é uma parametrização de C. Pela regra de derivação da função composta, η é uma função de classe C k e verifica η (s) = γ (α (s)) α (s) 0, s [c, d]. Logo, η é uma parametrização de classe C k. Falta provar que toda a parametrização de classe C k de C admite uma representação da forma (1). Considere-se uma parametrização de classe C k de C, η : [c, d] R n. Pela Proposição 16, a função α = γ 1 η é uma função de classe C k e, sendo a composição de duas bijecções, é uma bijecção. A sua inversa é α 1 = η 1 γ, pelo que a Proposição 16 implica também que α 1 é de classe C k. Logo, α (s) 0, s [c, d]. A Proposição 17 restringe o tipo de caminhos entre os quais devemos procurar parametrizações de classe C k para uma dada curva. Este facto pode ser usado para provar que uma determinada curva não é de classe C k, como se mostra no exemplo seguinte. Exemplo 18 Considere-se o conjunto C = (t, 5 ) } t 2, t [ 1, 1] 7

8 C é uma curva simples, parametrizada por γ (t) = (t, 5 ) t 2, [ 1, 1], que não é uma parametrização de classe C 1 porque não é diferenciável no ponto t = 0. Vamos provar que C não é uma curva de classe C 1. Suponha-se que existe uma parametrização de classe C 1, η : [a, b] C. Sem perda de generalidade, podemos supor que η (a) = γ ( 1) = ( 1, 1), η (b) = γ (1) = (1, 1) (caso contrário, substitua-se a parametrização η (t) pela parametrização η (a + b t)). Seja c ]a, b[, o único ponto que verifica η (c) = (0, 0). Qualquer que seja ε ]0, 1[, as aplicações γ : [ 1, ε] C, γ : [ε, 1] C são parametrizações de classe C dos segmentos (t, 5 ) } t 2 C ε = C ε =, t [ 1, ε] }, (t, 5 t 2 ), t [ε, 1] respectivamente. Então, a Proposição 17 garante que existe uma bijecção de classe C 1 α : [a, c[ ]c, b] [ 1, 0[ ]0, 1], tal que α (t) > 0, t [a, c[ ]c, b] ; η (t) = γ α (t), t [a, c[ ]c, b]., Então, η (t) = γ (α (t)) α (t) t [a, c[ ]c, b], ou seja, existe uma aplicação de classe C 1, β : [a, c[ ]c, b] ]0, + [, tal que η (t) = Tendo em conta que η é de classe C 1, verifica-se Mas, lim t c lim t c + Logo, a condição γ (α (t)) γ (α (t)) γ (α (t)) γ (α (t)) γ (α (t)) γ β (t) t [a, c[ ]c, b]. (α (t)) η (c) = lim η γ (α (t)) (t) = lim t c t c γ (α (t)) β (t). = lim t 0 = lim t 0 + lim t c implica lim t c β (t) = 0, o que implica γ (t) γ (t) = lim t 0 γ (t) γ (t) = lim t 0 + γ (α (t)) γ β (t) = lim (α (t)) t c + η (c) = 0, t 25t t 25t γ (α (t)) γ (α (t)) β (t) ( 1, 2 ) 5 t 3 5 = (0, 1) ; ( 1, 2 ) 5 t 3 5 = (0, 1). pelo que η não pode ser uma parametrização de classe C 1. Note-se que neste exemplo o ponto (0, 0) é um vértice da curva C (ver figura). 8

9 Figura 2: A curva (t, 5 ) } t 2, t [ 1, 1] O raciocínio usado no exemplo 18 pode ser usado para provar que uma curva de classe C 1, não só não pode ter vertices, mas além disso tem uma tangente bem definida em cada um dos seus pontos. Para dar um sentido rigoroso a esta afirmação, precisamos da seguinte definição: Definição 19 Considere-se uma curva, C R n e um ponto x C. Diz-se que um vector v R n é tangente à curva C no ponto x se existir uma função de classe C 1, η : [ 1, 1] C, tal que η (0) = x, η (0) = v. O conjunto de todos os vectores tangentes a C no ponto x chama-se espaço tangente a C no ponto x. Temos então a seguinte Proposição que caracteriza os vectores tangentes a uma curva de classe C 1. Proposição 20 Considere-se uma curva de classe C 1, C R n e um ponto x C. O espaço tangente a C no ponto x é o subespaço linear T x = span γ (t 0 )}, em que γ : [a, b] R n é uma parametrização de C e t 0 [a, b] é o único ponto que verifica γ (t 0 ) = x. Demonstração. Pela Proposição 16, qualquer curva η : [ 1, 1] C, pode representar-se na forma η = γ α, em que α : [ 1, 1] [a, b] é uma função de classe C 1. Logo, η (0) = γ (α (0)) α (0) = α (0) γ (t 0 ). Isto prova que T x span γ (t 0 )}. Para provar a inclusão recíproca, considere-se a função α (t) = t 0 + mt (m constante). Então, (γ α) (0) = mγ (t 0 ), pelo que todos os elementos de span γ (t 0 )} são derivadas de funções η : [ 1, 1] C. A Proposição 20 garante que o espaço tangente a uma curva de classe C 1 num ponto qualquer é sempre um subespaço linear de dimensão igual a 1. Isto implica que existe uma única recta tangente à curva C no ponto x 0. Essa recta admite a equação vectorial x = x 0 + αγ (t 0 ), α R, 9

10 em que γ : [a, b] R n é uma parametrização de classe C 1 de C e t 0 [a, b] é o único ponto que satisfaz γ (t 0 ) = x 0. Estando o espaço tangente à curva bem definido, podemos também definir o espaço normal. Definição 21 Considere-se uma curva de classe C 1, C R n e um ponto x C. Diz-se que um vector v é ortogonal à curva C no ponto x se for ortogonal a qualquer vector tangente a C no ponto x. Chama-se espaço normal a C no ponto x ao conjunto de todos os vectores ortogonais a C no ponto x. Da Definição 21 resulta imediatamente que o espaço normal a uma curva num dado ponto é um subespaço linear de dimensão (n 1). A equação cartesiana do subespaço normal a C no ponto x 0 é v R n : v γ (t 0 ) = 0}, em que γ : [a, b] R n é uma parametrização de classe C 1 de C e t 0 [a, b] é o único ponto que satisfaz γ (t 0 ) = x 0. No caso n = 3 o subespaço normal é um plano. Nesse caso, existe um único plano normal a C no ponto x 0. A sua equação Cartesiana é x R 3 : (x x 0 ) γ (t 0 ) = 0 }. A existência de uma tangente bem definida é uma propriedade que desempenha um papel fundamental no conceito de integral curvilíneo no entanto, o conceito de curva de classe C k é demasiado restritivo para muitas aplicações. Por isso introduzimos a seguinte definição. Definição 22 Diz-se que um conjunto C R n é uma curva seccionalmente de classe C k se existirem curvas de classe C k, C 1, C 2,..., C m, com parametrizações γ i : [0, 1] C i, i = 1, 2,..., m, que verifiquem 1. C = m C i ; i=1 2. γ i (1) = γ i+1 (0), i = 1, 2,..., k 1; 3. γ i (]0, 1[) γ j (]0, 1[) =. Nesse caso, diz-se que o caminho γ : [0, m] C definido por γ (t) = γ i (t i + 1), t [i 1, i], i = 1, 2,..., m é uma parametrização de C. Uma curva seccionalmente de classe C k é fechada se γ m (1) = γ 1 (0). Nos termos da Definição 22, uma curva seccionalmente de classe C k é uma curva que é constituída por segmentos de curvas de classe C k. A condição 2 da Definição 22 significa que a junção desses segmentos tem que ser feita de forma contínua e sequencial (cada segmento começa no ponto onde termina o segmento anterior). No entanto, a junção de dois segmentos de curva de classe C k pode não ser uma curva de classe C k (pode haver um vértice no ponto de junção). A condição 3 da Definição 22 significa que C pode ter apenas um número finito de autointersecções. 10

11 Exemplo 23 A fronteira do quadrado [0, 1] [0, 1] é uma curva simples fechada, seccionalmente de classe C, constituída por quatro segmentos de classe C (os lados do quadrado). Exemplo 24 A curva C = (cos t, sin 2t), t [0, 2π]} (Exemplo 10) é uma curva fechada seccionalmente de classe C (mas não é simples). Com efeito, pode ser decomposta em quatro segmentos simples de classe C : [ C 1 = (cos t, sin 2t), t 0, π ]} [ π ]}, C 2 = (cos t, sin 2t), t 2 2, π, [ C 3 = (cos t, sin 2t), t π, 3π ]} [ ]} 3π, C 4 = (cos t, sin 2t), t 2 2, 2π (verifique que esta decomposição satisfaz a Definição 22) Exemplo 25 A curva C = (t, 5 ) } t 2, t [ 1, 1] (Exemplo 18) é uma curva simples seccionalmente de classe C 2, pois pode ser decomposta nos dois segmentos C 1 = (t, 5 ) } t 2, t [ 1, 0], C 2 = (t, 5 ) } t 2, t [0, 1], que admitem as parametrizações ( ) γ 1 (t) = ( t) 5 2, t, t [ 1, 0], γ 2 (t) = respectivamente. (t 5 2, t ), t [0, 1], 2 Curvas definidas implicitamente A maioria das curvas exemplificadas na Secção anterior são apresentadas na forma paramétrica, isto é, o conjunto C é definido à partida como a imagem de um intervalo por uma aplicação γ : [a, b] R n. No entanto, muitos conjuntos surgem naturalmente sob a forma de conjuntos de soluções de certas equações. Nesse caso diz-se que o conjunto é definido na forma implícita. Exemplo 26 A circunferência de raio 1 e centro na origem pode ser representada na forma paramétrica C = (cos t, sin t), t [0, 2π]}, ou na forma implícita C = (x, y) R 2 : x 2 + y 2 = 1 }. Quando um conjunto é definido na forma implícita, pode não ser fácil aplicar as Definições 1, 5 e 22 para verificar se é uma curva e se for, de que tipo de curva se trata. Uma solução possível, consiste em recorrer ao Teorema da função implícita. Assim se obtém o seguinte resultado: Teorema 27 Seja f : R n R n 1, uma função de classe C k (k N }), e considere-se um ponto a R n (fixo), tal que Rank (Df (a)) = n 1. Existe um aberto, U R n, que verifica as seguintes condições 11

12 1. a U; 2. O conjunto C = x U : f (x) = f (a) } é uma curva de classe C k ; 3. C fr (U) contém exactamente dois pontos (as extremidades da curva). Demonstração. Sem perda de generalidade, podemos supor que det f 1 (a) x 2 f 2 (a) x 2. f n 1(a) x 2 f 1 (a) x 3 f 2 (a) x 3. f n 1(a) x 3 f 1 (a) x n f 2 (a) x n. f n 1(a) x n 0. O teorema da função implícita garante que existem números ε, δ > 0 tais que existe uma única função g com domínio no intervalo ]a 1 2ε, a 1 + 2ε[ e imagem no rectângulo aberto n ]a i δ, a i + δ[ = ]a 2 δ, a 2 + δ[ ]a 3 δ, a 3 + δ[... ]a n δ, a n + δ[, i=2 que verifica f (t, g 2 (t), g 3 (t),..., g n (t)) = f (a), t ]a 1 2ε, a 1 + 2ε[. O Teorema da função implícita garante também que g é de classe C k. O conjunto g ([a 1 ε, a 1 + ε]) é compacto e está contido em n ]a i δ, a i + δ[. Logo, existe um aberto, A R n 1, que verifica i=2 n g ([a 1 ε, a 1 + ε]) A A ]a i δ, a i + δ[. i=2 Tendo em conta que o caminho γ (t) = (t, g (t)) é injectivo e verifica conclui-se que o conjunto γ (t) = (1, g (t)) 0, t [a 1 ε, a 1 + ε], U = ]a 1 ε, a 1 + ε[ A satisfaz o Teorema. Exemplo 28 Considere-se o conjunto C = (x, y) : log ( 1 + x 2 + y 2) + sin (x + y) = 0 }. Seja f : R 2 R, a função definida por f (x, y) = log ( 1 + x 2 + y 2) + sin (x + y). 12

13 Então, f é de classe C, f (0, 0) = 0 e ( ) 2x Df (x, y) = 1 + x 2 + y 2 + cos (x + y), 2y 1 + x 2 + cos (x + y). + y2 Logo, Rank (Df (0, 0)) = Rank (1, 1) = 1. Isto garante que existe uma vizinhança de (0, 0), U, tal que C U é uma curva simples de classe C. O Teorema 27 garante que a equação f (x) = f (x 0 ) define um pequeno arco de curva simples que passa pelo ponto x 0. Na realidade é possível formular um resultado mais forte de modo a garantir que um conjunto do tipo C = x R n : f (x) = v} é uma curva de classe C k. Para obter um resultado deste tipo basta apenas notar que o facto de um conjunto C ser uma curva de classe C k é uma propriedade que diz respeito a pequenas vizinhanças de cada ponto de C (uma propriedade deste tipo é chamada uma propriedade local dos pontos de C). Mais precisamente, temos a seguinte Proposição. Proposição 29 Considere-se um conjunto C R n, compacto e conexo. C é uma curva de classe C k (possivelmente fechada) se e só se, para cada x C existir um aberto U x, que verifique as seguintes condições: 1. x U x ; 2. C U x é uma curva de classe C k ; 3. C fr (U x ) contém no máximo dois pontos. A ideia principal usada na demonstração desta Proposição é que, nas condições indicadas, podemos colar pequenos segmentos de curva de modo a formar uma curva maior que seja ainda de classe C k. Para aplicar esta ideia, necessitamos do seguinte Lema: Lema 30 Considerem-se dois caminhos de classe C k (k N }), γ 1 : [a 1, b 1 ] R n, γ 2 : [a 2, b 2 ] R n, que verifiquem γ 1 (t) 0, t [a 1, b 1 ], γ 2 (t) 0, t [a 2, b 2 ]. (2) Suponha-se que existem intervalos não vazios, ]c 1, d 1 [ [a 1, b 1 ], ]c 2, d 2 [ [a 2, b 2 ], tais que γ 1 ([c 1, d 1 ]) = γ 2 ([c 2, d 2 ]), γ 1 (c 1 ) = γ 2 (c 2 ). Então existem bijecções de classe C k, α 1 : [t 0, t 1 ] [a 1, d 1 ], α 2 : [t 1, t 2 ] [d 2, b 2 ], tais que a função γ 1 α 1 (t), t [t 0, t 1 ] ; γ (t) = γ 2 α 2 (t), t [t 1, t 2 ], é de classe C k e verifica γ (t) 0, t [t 0, t 2 ]. 13

14 Demonstração. A condição (2) garante que γ 1 e γ 2 são localmente injectivas, pelo que podemos considerar, sem perda de generalidade que γ 1 : [c 1, d 1 ] R n, γ 2 : [c 2, d 2 ] R n são injectivas (caso contrário podemos escolher c 1 e c 2 mais próximos de d 1 e d 2, respectivamente). Então, a Proposição 17 garante que existe uma bijecção de classe C k, α : [c 2, d 2 ] [c 1, d 1 ], tal que α (t) > 0, γ 2 (t) = γ 1 α (t), t [c 2, t 2 ]. Pela Definição 12 existe ε > 0 tal que α admite uma extensão de classe C k, α : ]c 2 2ε, d 2 + 2ε[ R, que verifique α (t) > 0, t ]c 2 2ε, d 2 + 2ε[. O Lema de Urysohn (Teorema 45) garante que existe uma função f : R [0, 1], tal que f (t) = 1, t [c 2, d 2 ] ; Então, a função β : R R, definida por f (t) = 0, t ], c 2 ε] [d 2 + ε, + [. β (t) = c 1 + é uma bijecção de classe C e verifica t c 2 1 f (s) + f (s) α (s) ds β (t) > 0, t R; β (t) = α (t), t [c 2, d 2 ]. Fazendo t 0 = β 1 (a 1 ), t 1 = d 2, t 2 = b 2, α 1 = β, α 2 = Id, a função satisfaz as condições do Lema. γ 1 β (t), se t [ ] β 1 (a 1 ), d 2 ; γ (t) = γ 2 (t), se t [d 2, b 2 ] Demonstração da Proposição 29. Suponha-se que C é uma curva de classe C k. Nesse caso o aberto U = R n satisfaz a condição enunciada para qualquer ponto x C. Suponha-se agora que para cada x C existe um aberto U x, que verifica as condições 1 a 3 da Proposição 29. Tendo em conta que C é compacto, existe um conjunto finito de pontos, x i, i = 1, 2,..., m}, tal que m C U xi. i=1 Se C U x1, então C é uma curva de classe C k. Se C / U x1, então existe x x 2, x 3,..., x m } tal que uma das extremidades de C U x1 está contida em U x. Sem perda de generalidade, podemos supor que x = x 2. Então existe um segmento de C U x1 contendo uma extremidade da curva C U x1, que coincide com um segmento da curva C U x2 contendo uma das extremidades de C U x2. Logo, o Lema 30 garante que existe um caminho de classe C k, γ : [a, b] R n que verifica γ (t) 0, t [a, b] ; (3) γ ([a, b]) = ( C U x1 ) ( C U x2 ). 14

15 Se γ : ]a, b[ R n é injectiva, então U x1 U x2 satisfaz as condições 1 a 3 da Proposição 29, pelo que podemos repetir o mesmo raciocínio. Se γ : ]a, b[ R n não é injectiva, então existem intervalos [a, a + ε], [b δ, b] tais que γ ([a, a + ε]) = γ ([b δ, b]). Logo, o Lema 30 garante que existem bijecções de classe C k, α 1 : [t 0, t 1 ] [a, b], α 2 : [t 1, t 2 ] [a + ε, b], tais que a função γ α 1 (t), t [t 0, t 1 ] ; γ 1 (t) = γ α 2 (t), t [t 1, t 2 ], é de classe C k e verifica γ 1 (t) 0, t [t 0, t 2 ]. Logo, C (U x1 U x2 ) é uma curva simples fechada de classe C k. conjunto conexo, conclui-se que C = C (U x1 U x2 ). Tendo em conta que C é um Temos então a seguinte versão reforçada do Teorema 27: Teorema 31 Seja f : R n R n 1, uma função de classe C k, tal que f (x) = 0 Rank (Df (x)) = n 1. Considere-se uma constante, M < + e o conjunto C = x R n : x < M, f (x) = 0}. Se C, então C é a união de um número finito de curvas simples (possivelmente fechadas) de classe C k, disjuntas entre si. Demonstração. C é compacto. O Teorema 27 garante que para cada ponto x C existe um conjunto aberto U x R n que satisfaz as condições 1 a 3 da Proposição 29. O facto de C ser compacto implica que é união de um número finito de conjuntos conexos. Logo, o resultado decorre da Proposição 29. Exemplo 32 Considere-se o conjunto C = (x, y) : x 4 + x + y 4 + y = 0 }. A função f : R 2 R, definida por f (x, y) = x 4 + x + y 4 + y é de classe C. Note-se que f (0, 0) = 0, lim f (x, y) = +. (x,y) 15

16 Logo, o conjunto C é compacto não vazio. Além disso, e f Rank (Df (x, y)) < 1 Df (x, y) = (0, 0) ( ) 1 3 4, = Então existe M < + tal que 4 4x = 0; 4y = 0. x = y = 1 3 4, C (x, y) R 2 : (x, y) < M }, pelo que o Teorema 31 garante que C é união de um número finito de curvas simples de classe C que não se intersectam. Curvas definidas através de uma equação do tipo f (x) = 0, dizem-se curvas difinidas implicitamente. Mais rigorosamente, temos a seguinte definição: Definição 33 Diz-se que uma curva seccionalmente de classe C k, C R n, é definida implicitamente pela equação f (x) = 0,se existir um aberto, U, tal que o fecho do conjunto C 1 = x U : f (x) = 0} é uma curva seccionalmente de classe C k que verifica C C 1. Na generalidade dos casos é difícil obter uma parametrização para uma curva definida implicitamente. No entanto, é possível determinar o espaço tangente à curva num ponto sem conhecer alguma parametrização da curva. Proposição 34 Considere-se uma função de classe C 1, f : R n R n 1, e uma curva de classe C 1, C, definida implicitamente pela equação f (x) = 0. Seja a C, um ponto tal que Rank (Df (a)) = n 1. Então o espaço tangente a C no ponto a coincide com ker (Df (a)). Demonstração. A condição Rank (Df (a)) = n 1 equivale a dim ker (Df (a)) = 1. Seja γ : [ 1, 1] C, uma parametrização de C, tal que γ (0) = a. Então, f (γ (t)) = 0, t [ 1, 1]. Logo, 0 = (f γ) (0) = Df (γ (0)) γ (0) = Df (a) γ (0). Tendo em conta que γ (0) 0, isto prova a Proposição. Considere-se uma função de classe C 1, f : R n R n 1, e uma curva de classe C 1, C, definida implicitamente pela equação f (x) = 0. Seja a C, um ponto tal que Rank (Df (a)) = n 1. A Proposição 34 implica que a equação da recta tangente a C no ponto a admite a equação Cartesiana Df (a) (x a) = 0. Exemplo 35 Determinar o espaço tangente à curva C = (x, y) : x 4 + x + y 4 + y = 0 }. no ponto (x, y) = ( 1, 1). Uma simples verificação mostra que ( 1, 1) C. No exemplo 32 mostrou-se que C é união de um 16

17 número finito de curvas simples que não se intersectam. Tendo em conta que Df ( 1, 1) = ( 3, 3), o espaço tangente a C no ponto ( 1, 1) é T ( 1, 1) = (u, v) : 3u 3v = 0} = (u, v) : u + v = 0}. A recta tangente a C no ponto (x, y) = ( 1, 1) admite a equação Cartesiana R = (x, y) R 2 : 3 (x + 1) 3 (y + 1) = 0 } = = (x, y) R 2 : x + y = 2 }. O subespaço ortogonal a C no ponto a é N = span ( Df (a) T ). No caso n = 3, o plano ortogonal a C no ponto a admite a equação vectorial x = a + u f 1 (a) + v f 2 (a), (u, v) R 2. 3 Superfícies Superfícies são definidas de forma análoga a curvas. A ideia principal continua a ser a existência de uma parametrização. A principal diferença reside no facto que, enquanto curvas são parametrizadas por funções cujos domínios são intervalos (i.e., objectos unidimensionais), superfícies são parametrizadas por funções cujos domínios são regiões do plano (i.e., objectos bidimensionais). Definição 36 Diz-se que um conjunto A R n é um elemento de superfície simples se existir um conjunto aberto e limitado, D R 2 e uma função contínua e injectiva F : D R n que verifiquem as seguintes condições: 1. fr (D) é uma curva simples seccionalmente de classe C 1 ; 2. F ( D ) = A. Nesse caso, diz-se que F : D R n é uma parametrização da superfície A (i.e., A é parametrizado por F : D R n ). Se além disso, F : D R n for de classe C k e Rank (DF (x)) = 2, x D, então diz-se que A é um elemento de superfície de classe C k. Nesse caso diz-se que F : D R n é uma parametrização de classe C k para A. Exemplo 37 O conjunto A = (x, y, z) R 3 : z = x 2 + y 2 1 } é um elemento de superfície simples de classe C, porque admite a parametrização F : D R 3, definida por: F (u, v) = ( u, v, u 2 + v 2), D = (u, v) R 2 : u 2 + v 2} (verifique que esta função satisfaz as condições da Definição 36). 17

18 As seguintes são Proposições análogas às Proposições 16 e 17, respectivamente, aplicáveis a funções sobre elementos de superfície simples. Proposição 38 Considere-se um elemento de superfície, A R n, que admite uma parametrização de classe C k (k N }), F : D R n, e seja U R 2, um conjunto aberto. Uma função, G : U A, é de classe C k se e só se F 1 G : U D for uma função de classe C k. Demonstração. Tendo em conta que F : D A é bijectiva, a função F 1 : A D está bem definida. Se F 1 G : U D for uma função de classe C k, então a função G = F ( F 1 G ) é composição de funções de classe C k, logo é uma função de classe C k. Suponha-se agora que G é uma função de classe C k. Indique-se por F i, a i-ésima coordenada de F. Fixe-se um ponto (û 1, û 2 ) U, seja a = G (û 1, û 2 ) e seja ( v 1, v 2 ) = F 1 (a). Fixem-se coordenadas F i, F j tais que det F i ( v 1, v 2 ) v 1 F i ( v 1, v 2 ) v 2 F j ( v 1, v 2 ) v 1 F j ( v 1, v 2 ) v 2 0. Indique-se a aplicação (v 1, v 2 ) (F i (v 1, v 2 ), F j (v 1, v 2 )) por F i,j. Pelo Teorema da função inversa, F ij é uma bijecção de uma vizinhança de ( v 1, v 2 ) sobre uma vizinhança do ponto a, e admite inversa de classe C k. Além disso, existe um aberto, B R n, tal que, a B e, para todo x A B, verifica-se F 1 (x) = F 1 ij (x i, x j ). Então, numa vizinhança de (û 1, û 2 ), verifica-se F 1 G (u 1, u 2 ) = F 1 ij (G i (u 1, u 2 ), G j (u 1, u 2 )), que é uma função composta de funções de classe C k. Proposição 39 Seja A R n, uma superfície de classe C k, que admite a parametrização de classe C k F : D A. Considere-se um conjunto aberto, U R 2, e uma aplicação G : U A. As seguintes condições são equivalentes: 1. G : U A é uma parametrização de classe C k de A; 2. Existe uma bijecção de classe C k, α : U D, que admite inversa de classe C k e verifica G (u) = F α (u), u U. Demonstração. Suponha-se que existe uma aplicação α satisfazendo a condição 2. Então G é uma bijecção de classe C k de U sobre A. O facto de α admitir inversa de classe C k implica que det (Dα (u)) 0, u U. Logo, Rank (DG (u)) = Rank (DF (α (u)) Dα (u)) = Rank (DF (α (u))) = 2, Pelo que G é uma parametrização de classe C k de A. Suponha-se que G é uma parametrização de classe C k de A. Então, a função α = F 1 G 18

19 é uma bijecção de U sobre D e verifica G = F α. Pela Proposição 38, α : U D é uma função de classe C k. O mesmo argumento prova que α 1 = G 1 F é uma função de classe C k. O conceito de vector tangente a uma superfície é definido de forma análoga ao conceito de vector tangente a uma curva. Definição 40 Considere-se um elemento de superfície, A R n, parametrizado por F : D R n, e seja a F (D). Diz-se que um vector v R n é tangente a A no ponto a se existir uma função de classe C 1, γ : [ 1, 1] A, que verifique γ (0) = a, γ (0) = v. O conjunto de todos os vectores tangentes a A no ponto a chama-se espaço tangente a C no ponto a. Proposição 41 Considere-se um elemento de superfície de classe C k, A R n, parametrizado por F : D R n, e seja a F (D). O espaço tangente a A no ponto a é o subespaço linear de dimensão igual a dois F (û1, û 2 ) T a = span, F (û } 1, û 2 ), u 1 u 2 em que (û 1, û 2 ) D é o único ponto que verifica F (û 1, û 2 ) = a. Demonstração. Considere-se uma função de classe C 1, γ : [ 1, 1] A, que verifique γ (0) = a. A Proposição 38 garante que a função η : [ 1, 1] D, definida por é uma função de classe C 1. Logo, η (t) = F 1 γ (t) γ (0) = (F η) (0) = DF (η (0)) η (0) = DF (û 1, û 2 ) η (0) span F (û1, û 2 ), F (û } 1, û 2 ). u 1 u 2 Isto prova que T a span F (û1,û 2 ) u 1, F (û 1,û 2 ) u 2 }. Para provar a inclusão recíproca, basta considerar as funções do tipo γ (t) = F (û 1 + v 1 t, û 2 + v 2 t), (v 1, v 2 constantes) e notar que nesse caso γ (0) = F (û 1, û 2 ) u 1 v 1 + F (û 1, û 2 ) u 2 v 2. Considere-se um elemento de superfície de classe C k, A R n, parametrizado por F : D R n. A Proposição 41 implica que para qualquer ponto a F (D), existe um único plano que é tangente a A no ponto a. Esse plano admite a equação vectorial Π = x R n : a + F (û 1, û 2 ) v 1 + F (û } 1, û 2 ) v 2, (v 1, v 2 ) R 2, u 1 u 2 em que (û 1, û 2 ) D é o único ponto que verifica F (û 1, û 2 ) = a. 19

20 Definição 42 Considere-se um elemento de superfície de classe C k, A R n, e um ponto a A. Um vector diz-se ortogonal à superfície A no ponto a se for ortogonal a qualquer vector tangente a A no ponto A. O conjunto de todos os vectores ortogonais a A no ponto a chama-se espaço normal a A no ponto a. A Definição 42, juntamente com a Proposição 41, implica que a equação Cartesiana do espaço normal a uma superfície A no ponto a é v R n : F (û 1, û 2 ) v = F (û } 1, û 2 ) v = 0, u 1 u 2 em que (û 1, û 2 ) é o único ponto que verifica F (û 1, û 2 ) = a. No caso n = 3, a dimensão do subespaço normal é igual a 1. Logo, existe uma única recta que passa pelo ponto a A e é ortogonal a A. A equação Cartesiana dessa recta é x R 3 : F (û 1, û 2 ) (x a) = F (û } 1, û 2 ) (x a) = 0. u 1 u 2 4 Superfícies definidas implicitamente Tal como acontece com curvas, muitas superfícies surgem de forma natural definidas na forma implícita, e a principal ferramenta teórica que permite reconhecer que tais conjuntos são superfícies é o Teorema da função implícita. Teorema 43 Seja f : R n R n 2, uma função de classe C k (k N }), e considere-se um ponto a R n tal que Rank (Df (a)) = n a. Existe um aberto, U R n, que verifica as seguintes condições 1. a U; 2. O conjunto A = x U : f (x) = f (a) }, é um elemento de superfície simples de classe C k ; 3. O conjunto A U é uma curva simples fechada de classe C k. Demonstração. Sem perda de generalidade, podemos supor que det f 1 (a) x 3 f 2 (a) x 3. f n 1 (a) x 3 f 1 (a) x 4 f 2 (a) x 4. f n 1 (a) x 4 f 1 (a) x n f 2 (a) x n. f n 1 (a) x n 0. O teorema da função implícita garante que existem números ε, δ > 0 tais que existe uma única função g com domínio na vizinhança } B 1 = (x 1, x 2 ) R 2 : (x 1 a 1 ) 2 + (x 2 a 2 ) 2 < 2ε, imagem na vizinhança } n V 1 = (x 3, x 4,..., x n ) R n 2 : (x i a i ) 2 < δ, i=3 20

21 e verifica f (x 1, x 2, g 3 (x 1, x 2 ),..., g n (x 1, x 2 )) = f (a), (x 1, x 2 ) B 1. O Teorema da função implícita garante também que g é de classe C k. A função F : B 1 R n, definida por F (x 1, x 2 ) = (x 1, x 2, g (x 1, x 2 )) é injectiva, de classe C k, e verifica Rank (DF (x 1, x 2 )) = Rank 1 0 g(x 1,x 2) x g(x 1,x 2 ) x 2 T = 2, (x 1, x 2 ) B 1. Considere-se a vizinhança B 2 = } (x 1, x 2 ) R 2 : (x 1 a 1 ) 2 + (x 2 a 2 ) 2 < ε. Então, F ( B 2 ) é um elemento de superfície simples de classe C k. O conjunto g ( B 2 ) é compacto e está contido em V 1. Logo, existe um aberto, V 2 R n 2, que verifica Considere-se o conjunto U = B 2 V 2 verifica g ( B 2 ) V2 V 2 V 1. x U : f (x) = f (a) } = F ( B2 ). Além disso, F ( B 2 ) fr (U) = F (fr (B2 )). Tendo em conta que fr (B 2 ) é uma circunferência (logo, uma curva simples fechada de classe C ), conclui-se que F (fr (B 2 )) é uma curva simples fechada de classe C k. É possível obter um Teorema análogo ao Teorema 31 para o caso de funções f : R n R n 2 (teoremas do mesmo tipo existem para funções f : R n R n k com 0 < k < n). No entanto, tal excede o âmbito da disciplina, pelo que nos limitamos a definir o que é um elemento de superfície definido implicitamente. Definição 44 Diz-se que um elemento de superfície simples de classe C k, A R n, é definida implicitamente pela equação f (x) = 0,se existir um aberto, U, tal que o fecho do conjunto A 1 = x U : f (x) = 0} é um elemento de superfície simples de classe C k que verifica A A 1. 5 Anexo: A curva de Peano Na Secção 1 invocou-se, sem demonstração, o facto contraintuitivo de existirem aplicações contínuas de intervalos de R sobre regiões de R 2, ou seja existem curvas (no sentido da Definição 1) que ocupam uma área estritamente positiva. O objectivo deste Anexo é proporcionar ao aluno interessado um exemplo detalhado de uma tal aplicação. 21

22 O conteúdo desta Secção não é conhecimento exigido aos alunos de Análise Matemática 3. Considere o quadrado A = [0, 1] [0, 1]. Vamos provar que existe um caminho que percorre todos os pontos de A. Divida o quadrado A em quatro quadrados iguais. Sejam eles [ A 0 = 0, 1 ] [ 0, 1 ] [, A 1 = 0, 1 ] [ ] [ ] [ ] A 2 = 2, 1 2, 1, A 3 = 2, 1 [ 1 ] 2, 1, [ 0, 1 ]. 2 Repare que o índice de A i é atribuído de forma que o quadrado A i partilha um lado com o quadrado A (i+1). Podemos dividir cada um destes quadrados em quatro quadrados iguais, A ij, i = 0, 1, 2, 3, j = 0, 1, 2, 3, em que os índices são atribuídos de modo que o quadrado A ij partilha um lado com o quadrado A i(j+1) (i 0, 1, 2, 3}, j 0, 1, 2}) e o quadrado A i3 partilha um lado com o quadrado A (i+1)0 (i 0, 1, 2}). Este processo pode ser repetido um número arbitrário de vezes, dando origem a uma sucessão de partições de A. Cada uma destas partições decompõe A em 4 k quadrados iguais, A i1i 2...i k, i j 0, 1, 2, 3}, j 1, 2,..., k}}, de tal forma que o quadrado A i1i 2...i (k 1) i k partilha um lado com o quadrado A i1 i 2...i (k 1) (i k +1) (i k 0, 1, 2}) e o quadrado A i1 i 2...i (k 1) 3 partilha um lado com o quadrado A i1i 2...(i (k 1) +1)0 (i k 1 0, 1, 2}). Considere uma sucessão de funções, f k : [0, 1] R 2, k N }, que verifique f k (t) A i1 i 2...i k sempre que t 1 k 4 k i j 4 j k, 1 k 4 k i j 4 j 1. Note-se que para cada t [0, 1] verifica-se j=1 f k (t) A i1 i 2...i k f n (t) A i1 i 2...i k, n k. Isto implica que, para cada t [0, 1], a sucessão f k (t), k N} é uma sucessão de Cauchy, logo é convergente. Seja f, o limite pontual da sucessão f k, k N}. Vai-se mostrar que f é uma bijecção contínua do intervalo [0, 1] sobre o quadrado A. Para provar que f é sobrejectiva, considere-se um ponto (a, b) A. Então existe uma única sucessão de quadrados, A A i1 A i1 i 2... A i1 i 2...i k... (4) que verifica (a, b) A i1 i 2...i k, k N. Existe também uma sucessão t k, k N} que verifica t k 1 k 4 k i j 4 j k, 1 4 k j=1 k i j 4 j 1, em que os índices i 1, i 2,..., i k,... são os mesmos que definem a sucessão (4). Tendo em conta que 1 k+1 4 k+1 i j 4 j 1 1 k+1 4 k+1, 1 4 k+1 i j 4 j 1 1 k 4 k i j 4 j k, 1 k 4 k i j 4 j 1, j=1 j=1 j=1 j=1 j=1 j=1 22

23 conclui-se que t k } é uma sucessão de Cauchy, logo é convergente. Seja t = lim t k. Por construção, verifica-se f k (t) A i1i 2...i k, k N, o que implica lim f k (t) = (a, b). Isto é, f (t) = (a, b). Como (a, b) é arbitrário, isto prova que f é sobrejectiva. Para provar que f é contínua, considere-se um ponto (a, b) A e seja t [0, 1], tal que f (t) = (a, b). Então, qualquer que seja k N, existe (i 1, i 2,..., i k ) 0, 1, 2, 3} k tal que t 1 k 4 k i j 4 j k, 1 k 4 k i j 4 j k. Qualquer que seja s ] 1 4 k ( k j=1 j=1 i j 4 j 1 ) 1 4 k, 1 4 k ( k j=1 j=1 i j 4 j 1 ) k [, verifica-se f (s) A i1i 2...i k A i1i 2...i k+1 (no caso i k 0, 1, 2} ), ou f (s) A i1i 2...i k 1 3 A i1 i 2...(i k 1 +1)0 (no caso i k = 3). En qualquer dos casos, f (s) encontra-se num rectângulo de dimensões 1 4 k 2 4 k que contém o ponto (a, b). Isto prova que lim f (s) = (a, b). s t 6 Anexo: Lema de Urysohn A demonstração do Teorema 43 apresentada na Secção 2 depende do chamado Lema de Urysohn. Para os alunos de Análise Matemática 3, o conhecimento do enunciado (sem demonstração) deste Lema é considerado suficiente para compreender a matéria apresentada na Secção 2. No entanto, julgou-se oportuno por à disposição dos alunos interessados uma demonstração detalhada. Teorema 45 (Lema de Urysohn) Sejam A, B R n, conjuntos fechados disjuntos. Se A for compacto, então existe uma função de classe C, g : R n [0, 1] que verifica g (x) = 1, x A; g (x) = 0, x B. A demonstração do Lema de Urysohn é construtiva. Isto é, consiste em apresentar um método para construir funções com as propriedades indicadas. Para isso são necessários alguns Lemas preliminares. A demonstração do Teorema é apresentada só no fim desta Secção. Lema 46 A função f : R R, definida por 0, se x 0; f (x) = e 1 x, se x > 0, é uma função de classe C. Demonstração. Note-se que f (x) f (0) lim x 0 x f (x) f (0) lim x 0 + x = 0; x 0 + e 1 x = lim x 1 = lim x. x 0 + e 1 x 23

24 Usando a regra de Cauchy, obtém-se Logo, f (x) f (0) 1 x lim = lim 2 x 0 + x x x e 1 2 x f (x) = 0, se x 0; 1 x 2 e 1 x, se x > 0. = lim x 0 + e 1 x = 0. Considere-se um inteiro k N, tal que 0, se x 0; f (k) (x) = P k 1 (x) e 1 x 2k x, se x > 0, em que P j representa um polinómio de grau j. Então, f (k) (x) f (k) (0) f (k) (x) f (k) (0) lim = 0, lim = lim x 0 x x 0 + x x 0 + Usando a regra de Cauchy, obtém-se f (k) (x) f (k) (0) lim x 0 + x = lim x 0 + = lim x 0 + P k 1 (x)x2k+1 (2k+1)x 2k P k 1 (x) x 4k+2 1 x 2 e 1 x Q k 1 (x) x 2k, e 1 x P k 1 (x) x 2k+1. e 1 x P k 1 (x)x (2k+1)P k 1(x) = lim x 2k x 0 + e 1 x em que Q k 1 é um novo polinómio de grau k 1. Isto prova que, usando a regra de Cauchy (2k + 1) vezes se obtém f (k) (x) f (k) (0) R (x) lim = lim = 0, x 0 + x x 0 + em que R é também um polinómio. Além disso, Logo, ( Pk 1 (x) x 2k e 1 x ) = P k 1 (x) x2k 2kx 2k 1 P k 1 (x) x 4k e 1 P k 1 (x) 1 x + x 2k x 2 e 1 x = = P k 1 (x) x2 2kxP k 1 (x) + P k 1 (x) x 2k+2 e 1 x = P k (x) x 2(k+1) e 1 x. f (k+1) (x) = o que prova que f admite derivadas de qualquer ordem. e 1 x 0, se x 0; P k (x) x 2(k+1) e 1 x, se x > 0, = Lema 47 Considerem-se dois números reais, a < b. Existe uma função de classe C, g : R [0, 1], monótona, que verifica g (x) = 1, x a, g (x) = 0, x b. 24

25 Demonstração. Seja f : R R, a função indicada no Lema 46, e seja h (x) = f (x a) f (b x), x R. então, h : R R é uma função de classe C que verifica h (x) = 0, x ], a] [b, + [, h (x) > 0, x ]a, b[. Logo, h é integrável e a função satisfaz o Lema. g (x) = 1 x h (t) dt + h (t) dt Lema 48 Sejam A, B R n, conjuntos fechados não vazios. Se A for compacto, então existem pontos a A, b B tais que a b = min x y : x A, y B}. Demonstração. Considere-se uma sucessão (x k, y k ), k N, x k A, y k B}, tal que lim x k y k = inf x y : x A, y B}. Tendo em conta que A é compacto, a sucessão (x k, y k ), k N} admite uma subsucessão, (x ki, y ki ), i N} tal que x ki } é convergente. Mas então, a subsucessão y ki } é limitada. Logo, a subsucessão (x ki, y ki ), i N} admite por sua vez uma subsucessão convergente. Seja (a, b) o limite desta subsucessão. Tendo em conta que A e B são fechados, verifica-se a A, b B. A continuidade da função (x, y) x y implica a b = inf x y : x A, y B}. Temos a seguinte Demonstração do Lema de Urysohn. Para cada a R n, ε > 0, seja B a,ε = x R n : x a < ε}. Pelo Lema 48, existe ε = min x y : x A, y B}. Tendo em conta que A B =, verifica-se ε > 0. Considerem-se os conjuntos U = x R n : y A, x y < ε } ; 2 V = x R n : y A, x y < ε}. Então, U e V são conjuntos abertos com fecho compacto que verificam A U U V R n \B. Tendo em conta que U é compacto, existe um conjunto finito, x i U, i = 1, 2,..., m}, tal que U m B xi, ε. 4 i=1 25

26 Note-se que então m B xi, ε V. 4 i=1 Tendo em conta que V é compacto, o mesmo se verifica com V \ m B xi, ε. Logo existe um conjunto 4 i=1 finito, x i V \ m B xi, }, ε, i = (m + 1), (m + 2),..., (m + p) tal que 4 i=1 m V \ i=1 B xi, ε 4 m+p i=m+1 B xi, ε 4. Isto implica V m+p i=1 B xi, ε 4. O Lema 47 garante que existe uma função de classe C, f : R [0, 1], tal que f (t) = 1, se t < ε2 16 ; f (t) = 0, se t > ε2 4. Considerem-se então as funções f i : R n [0, 1], i = 1, 2,..., (m + p), definidas por ( f i (x) = f x x i 2). Cada uma das funções f i é uma função de classe C e verifica f i (x) = 1, se x x i ε 4 ; f i (x) = 0, se x x i ε 2. Então, para cada x V existe i (m + p) tal que f i (x) = 1. Isto implica Logo, a expressão m+p i=1 f i (x) 0, x V. h (x) = m f i (x) i=1 m+p i=1 f i (x) define uma função de classe C, h : V [0, 1]. Além disso, para todo x A, verifica-se f i (x) = 0, i = (m + 1), (m + 2),..., (m + p). Logo, h (x) = 1, x A. Além disso, para todo x fr (V ), verifica-se f i (x) = 0, i = 1, 2,..., m. 26

27 Isto implica Logo, a função satisfaz o Teorema. h (k) (x) = 0, x fr (V ), k = 0, 1, 2,... h (x), se x V ; g (x) = 0, se x R n \V, 27

28 Referências [1] Colley, S. J.: Vector Calculus. Prentice-Hall. ISBN (1998). [2] Postnikov, M.: Leçons de géométrie - Varétés différentiables. Éditions Mir (1990). [3] Spivak, M.: Calculus on manifolds - A modern approach to classical theorems of advanced calculus. Addison-Wesley Publishing Company (1965). [4] Webb, J. R. L.: Functions of Several Real Variables. Ellis Horwood (1991). 28

29 Índice Caminho, 2 Curva, 2 de classe C k, 5 de Peano, 3, 22 definida implicitamente, 16 fechada de classe C k, 5 seccionalmente de classe C k, 10 simples, 3 simples fechada, 3 Espaço normal a uma curva, 10 a uma superfície, 20 Espaço tangente a uma curva, 9 a uma superfície, 19 Função de classe C k num domínio aberto, 5 num domínio fechado, 5 Parametrização de um elemento de superfície, 17 de uma curva, 3 de uma curva de classe C k, 5 de uma curva seccionalmente de classe C k, 10 Peano curva de, 3, 22 Superfície definida implicitamente, 21 elemento de superfície de classe C k, 17 elemento de superfície simples, 17 Urysohn Lema de, 23 Vector ortogonal a uma curva, 10 ortogonal a uma superfície, 20 tangente a uma curva, 9 tangente a uma superfície, 19 29