ANÁLISE COMPLEXA E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS AULA TEÓRICA DE MAIO DE 2017

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1 ANÁLISE COMPLEXA E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS AULA TEÓRICA 3 7 DE MAIO DE 27 A = A matriz tem como valor próprio λ = 2 (triplo. Para os vectores próprios: { z = y + z = v = A matriz não é diagonalizável, e precisamos de dois vectores adicionais para completar uma base para R 3. Resolvemos primeiro (A 2I w = v, e obtemos w : x y z = { y + z = z = w = Resolvemos depois (A 2I w = w, e obtemos w 2 : x y z = { y + z = z = w 2 =

2 2 Como A v = 2 v A w = v + 2 w A w 2 = w + 2 w 2 na base { v, w, w 2 } a transformação associada a A tem representação J = e então A = S J S = e At = S e Jt S = S e t S = S e 2t te 2t t 2 2 e2t e 2t te 2t e 2t S x = e At v e as colunas de e At dão soluções (linearmente independentes do sistema. Se os valores próprios de A forem complexos, e At = S e Jt S vai ter entradas reais (note-se que S tem também entradas complexas. Para escrever a forma canónica de Jordan J para uma dada matriz A: - Pomos na diagonal principal de J os valores próprios de A (tomando em consideração as suas multiplicidades algébricas. - Na diagonal imediatamente acima da principal, as entradas só podem ser ou. Formam-se dessa maneira blocos de Jordan, em número igual à soma das multiplicidades geométricas de todos os valores próprios de A. - As outras entradas da matriz J são todas nulas.

3 3 Suponhamos que A tem como valores próprios λ, com multiplicidade algébrica λ 2, com multiplicidade algébrica 2 e multiplicidade geométrica 2 λ 3, com multiplicidade algébrica 2 e multiplicidade geométrica A forma canónica de Jordan para A fica então λ λ 2 λ 2 λ 3 λ 3 O número de blocos de Jordan para cada λ é igual à sua multiplicidade geométrica. J é a representação de A numa base { v, v 2, v 3, v 4, w} λ, com multiplicidade algébrica 2 e multiplicidade geométrica λ 2, com multiplicidade algébrica 3 e multiplicidade geométrica 2 A forma canónica de Jordan fica λ λ λ 2 λ 2 λ 2 e há uma base { v, w, v 2, v 3, w 2 }.

4 4 Podemos também fazer, equivalentemente: λ λ λ 2 λ 2 λ 2 que corresponde a uma base { v, w, v 2, w 2, v 3 }. A ordem dos blocos de Jordan deve ser consistente com a ordem das colunas na matriz de mudança de base S. SISTEMAS LINEARES NÃO HOMOGÉNEOS São da forma d x dt = A x + g(t x(t = x Para resolver: d x A x = g dt At d x e dt A e At x = e At g d dt [ ] e At x = e At g t t d [ ] t e As x(s ds = e As g(s ds ds t

5 5 e At x(t e At x(t = t t e As g(s ds (Note-se que A comuta com e At. Obtemos deste modo a Fórmula de Variação dos Parâmetros: t x(t = e A(t t x + e A(t s g(s ds t Esta fórmula mostra que a solução geral de um sistema não homogéneo é dada pela soma da solução do sistema homogéneo associado com uma solução particular do sistema não homogéneo. ( d x dt = x( = ( 2 A matriz A = x + ( 2 ( 2 tem como valores próprios λ = e λ 2 = 2. Vectores próprios: Para λ =, obtemos ( v = ( y = ( x y = ( x Para λ 2 = 2, obtemos ( v 2 = ( x + y = ( x y = ( x x

6 6 S = ( e portanto e At = S e Jt S = ( ( e t ( e 2t o que implica ( e t e = = 2t e t e 2t x(t = e At ( t ( + e A(t s 2 ds = e t + t e t s e 2(t s e t s e 2(t s 2 ds = et + e t s 2 e2(t s 2 e2(t s s=t s= = et + 2 e2t e2t

7 7 TRANSFORMAÇÃO DE LAPLACE Para certas funções reais de variável real f : [, + [ R, definimos a transformada de Laplace F = L[f] : C C por F (s = f(t e st dt A transformada só está definida para os valores de s C tais que o integral impróprio seja convergente. (Nota: As funções f para as quais definimos a transformada de Laplace são as seccionalmente contínuas e de tipo exponencial. Esta última condição significa que existem constantes reais α e c tais que, para qualquer t R, f(t c e αt. Se f =, temos L[f](s = e st dt = lim R + e st s [ ] = lim e sr = R + s s t=r t= A transformada é válida para Re s >. Se f = e at (com a R, temos L[f](s = e at e st dt = [ ] lim e (s ar R + s a = s a

8 8 A transformada é válida para Re s > a. Se f = sen (at (com a R, temos L[f](s = L[sen (at](s = Im = Im lim R + e (s iat (s ia R e iat e st dt = Im s + ia = Im s ia s 2 + a 2 = a s 2 + a 2 A transformada é válida para Re s >. O último passo não é directo, porque s pode ter parte imaginária, mas a fórmula está correcta porque, fazendo o integral por partes duas vezes, obtemos: L[sen (at](s = sen (at e st dt = R lim sen (at e st dt R + = lim R + = lim R + (sen (at e st s (sen (at e st s R R R a cos (at e st s dt a cos (at e st R R s 2 a 2 sen (at e st s 2 dt = a s 2 a2 L[sen (at](s s2 Onde o último passo só é válido para Re s > (nos outros casos os limites mostrados não existem. Resolvendo a equação obtida em ordem a L[sen (at](s, obtemos a fórmula anterior.

9 9 Se f = cos (at (com a R, temos L[f](s = Re e iat e st dt = Re A transformada é válida para Re s >. s ia = s s 2 + a 2