Universidade Federal do Rio de Janeiro COPPE Programa de Engenharia Química 2014/1

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1 Universidade Federal do Rio de Janeiro COPPE Programa de Engenharia Química COQ 790 ANÁLISE DE SISTEMAS DA ENGENHARIA QUÍMICA AULA 8: Sistemas de Primeira Ordem (Continuação): Sistema Lead-Lag; Sistemas de Segunda Ordem; Álgebra de Diagrama de Blocos; Sistemas com Resposta Inversa. 204/

2 Sistema do tipo Lead-Lag (Avanço-Atraso): O sistema dinâmico cuja função de transferência é dada por: s Gs K s é chamado de sistema lead-lag. A expansão em frações parciais resulta em: s a Gs K Ka 0 s s com: a0 a ( ) de modo que: K y(s) Gsu(s) K ( ) u(s) s O comportamentodinâmicodosistemalead-lag é uma média ponderada do p g p comportamento dinâmico de um sistema do tipo puro ganho e daquele de um sistema de primeira ordem, ρ sendo o fator de ponderação, a razão lead-lag.

3 A resposta temporal de um sistema dinâmico lead-lag (ganho K, constante de tempo, razão lead-lag ρ) a uma dada perturbação será dada pela combinação linear das respectivas respostas dos sistemas do tipo ganho puro (ganho = K), y g (t), e de primeira ordem (ganho K, constante de tempo), y (t) a essa mesa perturbação: y(t) y g(t) ( )y (t) Exemplo: Material A F A -ρ Material B F B ρ C B C S

4 Resposta ao degrau de um sistema lead-lag: Logo: t/ y g(t) K e y (t) K e t/ y(t) K ( ) e 2 yt ( 2 ) y( t.6 ).5 y( t.2 ) y( t 0.8 ) y( t 0.4 ) yt ( 0 ) 0.5 y(t,, ) Análise: Caso : ρ< (<) Caso 2: ρ= (=) Caso 3: ρ> (>) t

5 Sistemas de 2ª Ordem

6 Sistemas de Segunda Ordem Os sistemas de segunda ordem têm dois polos e são tipicamente representados por equações diferenciais ordinárias de segunda ordem. Considerando o caso de sistemas de segunda ordem puros, lineares, com coeficientes constantes e condições iniciais nulas, temos: 2 dy t dy t dy t a 2 2 a a 0 y t b 0 dt u t com y 0 0 e dt 0 dt t0 Usando a transformada de Laplace chegamos à função de transferência: y s b Gs 0 us 2 a 2s a s a 0 A função de transferência dos sistemas de segunda ordem tem uma forma padrão de ser escrita: K G0 b 0 /a0 Ganho estático K Gs a 2 /a0 Constante de tempo aparente 2 2 s 2s (período natural de oscilação) 2 a /a0 coeficiente de amortecimento

7 A forma geral dos polos é: p 0<<: polos complexas =: polo real duplo, p 2 >: polos reais, distintos e negativos =0: polo imaginário puro, i p resultando numa oscilação permanente com período ; esta é a origem do nome período natural de oscilação. Note também que: Gs K K s 2s (s p )(s p 2) pp 2 (p p 2 ) 2 pp 2

8 Os sistemas de segunda ordem podem ser originados da combinação de sistemas de primeira ordem ou serem inerentemente de segunda ordem. Combinação de sistemas de primeira ordem Dois sistemas de primeira ordem combinados, mas sem interação, resultam na seguinte função de transferência: Gs K K2 K K2 2 s 2s 2 s ( 2 )s Comparando com a forma padrão: K K K

9 O primeiro fator é a média aritmética e o segundo a inversa da média geométrica. Como a média aritmética é sempre maior ou igual a geométrica, o coeficiente de amortecimento para este tipo de sistema será sempre maior ou igual a, o que é um indicativo de que não haverá oscilação (os polos são -/ e-/ 2, reais). Um sistema deste tipo, por exemplo, é a combinação de dois tanques de nível, como mostrado abaixo: F e (t) h h 2 F(t)

10 Dois sistemas de primeira ordem combinados, mas com interação, resultam na seguinte função de transferência: Gs KK s 2 K2 s Comparando com a forma padrão: 2 2 K2 2 2 Novamente o coeficiente de amortecimento não pode ser menor do que e este sistema também não apresenta oscilação.

11 Um sistema deste tipo pode ser exemplificado pela combinação de dois tanques de nível: F e (t) h h 2 F(t)

12 Sistema inerentemente de segunda ordem Neste caso os polos podem ser reais e distintos, reais e repetidos, complexos conjugados e imaginários conjugados, cuja forma geral é: p 2 Resposta ao degrau de um sistema de segunda ordem: 2 K A AK / s 2s s s(sp )(sp 2) 2 2 y s

13 Resolvendo pela técnica de expansão em frações parciais, obtemos: 2 p t p2t AK / pt p 2t p 2e p e y s y(t) c0 ce c2e AK s(sp )(sp 2) (pp 2) (p2 p ) onde: p,p 2 2 Observe que: dy dt t 0 0 Análise: Caso : 0<< (p e p 2 raízes complexas conjugadas) t/ y(t) AK e sen t onde: 2 arctg( / )

14 Caso 2: = (p =p 2 =-/; raízes reais e iguais) Nesse caso, a seguinte função de transferência deve ser invertida: 2 AK / t t/ ys y(t) AK 2 e s(s p ) Caso 3: > (p e p 2 raízes reais e distintas) Nesse caso, a seguinte função de transferência deve ser invertida: p,p 2 de modo que: t/ y(t) AK e cosh t senh t

15 .5 < K, y ( t 0.3) y 2 () t = y 3 ( t.5) > Análise: t Caso (0<<): A resposta é oscilatória e é dita sub-amortecida (underdamped). Caso 2 (=): A resposta é dita criticamente amortecida (critically damped) e oferece a resposta mais rápida para alcançar o valor final sem oscilação. Caso 3 (>): A resposta é morosa e é dita sobre-amortecida (overdamped).

16 Consideremos novamente o caso sub-amortecido (0<<): t/ y(t) AK e sen t e vejamos a resposta do sistema para =0: t y(t) AK sen 2 Vemos que a resposta obtida é um sinal sinusoidal puro e não amortecido com frequência /, chamada de frequência natural de oscilação. Observe que o seu inverso é, portanto chamado de período natural de oscilação. 2.5 y natural () t t

17 Efeito de um zero A função de transferência para um sistema de segunda ordem com um zero é dada por: K s s s Também G(s) 2 conhecido como sistema (2,) de modo que a resposta a um degrau unitário i no domínio de tempo fica: t t 2 y t K e e Comparando sua resposta a um degrau unitário com a resposta do sistema de segunda ordem puro: t t y t K e 2 e 2 2 2

18 y 2_zero ( t 0.05) y2_zero ( t) y 2_zero ( t4) y 2_zero ( t8) > 2 = 2 = < 2 < < 2 K,, t Análise: Caso ( > 2 ): Observamos a possibilidade de overshoot. Caso 2 ( = 2 ): Verificamos o cancelamento de um polo com o zero; logo o sistema se comporta como um sistema de primeira ordem. Caso 3 (0< < 2 ): À medida que diminui, as respostas tendem para aquelas de um sistema de segunda ordem sobre-amortecido.

19 Observações finais para o sistema 2,: Diferentemente de um sistema de segunda ordem puro, a resposta com um zero é mais rápida. Vemos então, com clareza, que o efeito do termo lead acelera o processo. É possível acelerar o sistema até o ponto de haver overshoot. Isso acontece quando a constante de tempo lead for maior que as duas constantes t de tempo lag. Pode-se mostrar que esse sistema tem inclinação inicial não nula: dy dt t 0 K 2 Deve-se observar que a inclinação é positiva quando os sinais de K e Deve se observar que a inclinação é positiva quando os sinais de K e forem os mesmos, e negativa quando K e tiverem sinais opostos.

20 Álgebra de Diagramas de Blocos (Revisão) A função de transferência relaciona a resposta de saída de um sistema à perturbação de entrada: u(s) y (s)=g ( (s)u(s) ( ) G (s) y (s) G 2 (s) y 2 (s)=g 2 (s)y (s)=g 2 (s)g (s)u(s) ( ) u(s) y (s) y 2 (s)=g 2 (s)g (s)u(s) ( ) G (s) G 2 (s)

21 Álgebra de Diagramas de Blocos (Revisão) u (s) G (s) y (s)=g ( (s)u (s) u 2 (s) + G 2 (s) + y 2 (s)=g (s)u (s)+g 2 (s)u 2 (s)

22 Álgebra de Diagramas de Blocos (Revisão) G (s) u(s) + y 2 (s)=g (s)u(s)-g 2 (s)u(s) G 2 (s) - G(s)=G (s)-g 2 (s)

23 Resposta inversa Consideremos um sistema cuja função de transferência, G(s), é composta de duas partes: G(s) G (s) G (s) 2 modo secundário (opositor) modo principal p Vamos considerar, em particular, a situação de dois sistemas de primeira ordem: K K G(s) 2, com K0, K2 0, KK2 s 2s K s u(s) + y(s) G(s)u(s) ( ) - G (s)u(s) G 2(s)u(s) K 2 y(s) y 2 (s) 2 s

24 Consideremos, agora, a resposta ao degrau unitário desse sistema. De nosso aprendizado com os sistema de primeira ordem, sabemos que: y( ) KK2 e como K >K 2, essa quantidade é positiva. Inclinação inicial y(t) y (t) y 2(t) dy dy dy 2 dt dt dt dy K K 2 dt t0 2 Vamos, agora, admitir que: K2 K 2

25 Representação gráfica da resposta inversa: K Estado estacionário final positivo y(t) () Inclinação inicial negativa y(t) Inclinação inicial positiva (2) -K Estado estacionário final negativo

26 Considerações finais dos sistemas com resposta inversa: Sistemas cujas respostas ao degrau são caracterizadas por tal inversão inicial (o processo se inicia na direção errada que é, a seguir, revertida de modo que o processo segue pela direção correta ) são aqueles que exibem resposta inversa. Resposta inversa ocorre como resultado líquido de (pelo menos de dois) modos dinâmicos de magnitudes diferentes, operando em escalas de tempo diferentes. O modo rápido, que deve ter a menor magnitude, é responsável pela resposta inicial na direção errada ; esse comportamento é, com o tempo, superado pelo modo lento que tem maior magnitude. Agora observe que: G(s) K2 K2 skk2 K K 2 s 2s s 2s Podemos ver que o sistema acima é um sistema 2,: K s s s G(s) 2

27 onde: K KK2 K 2 K2 K K 2 2 KK2 2 KK2 Para obtermos resposta inversa como mostrado na Figura, é requerido que K, K 2 sejam positivos, K >K 2 e também que K 2 / 2 >K /. Isso implica que K>0 e <0. Alternativamente, a Figura (2) pode ser obtida para K > K 2 com K e K 2 negativos e também que K 2 / 2 > K /. Isso implica que K<0 e <0. Assim, vemos que embora o ganho global do processo possa ter qualquer sinal, <0 é um requerimento para resposta inversa de G(s), isto é, G(s) tem que possuir um zero positivo (Right-Half Plane RHP).

28 Exemplos de sistemas com resposta inversa: Um tambor de vapor: Vapor Água Aquecimento Um refervedor de uma coluna de destilação. Um reator catalítico tubular exotérmico.