Escola de Inverno de Matemática Fevereiro. Matrizes. Relações entre o Finito e o Infinito. Pedro A. Santos

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1 Escola de Inverno de Matemática Fevereiro Matrizes Relações entre o Finito e o Infinito Pedro A. Santos CEAF / Instituto Superior Técnico Universidade Técnica de Lisboa Portugal

2 Dentro da Matemática... Análise Funcional Teoria de Operadores Este Curso Análise Numérica

3 Motivação

4 [ ] 0 1 A = 2 0 Valores próprios? det det ([ ] [ ] λ 1 2 λ [ ]) λ 0 0 λ = 0 = 0 λ valor próprio [ ] 0 Au = λu, u 0 [ ] 0 (A λi)u = 0 A λi não invertível λ 2 2 = 0 λ = 2 ou λ = 2 det(a λi) = 0

5 [ ] Valores próprios? n=3-2, 0, 2 n= , 3 5, n= , 3 + 5

6 Representação Gráfica n=2 n=3 n=4 n=10 n=25 Im n=

7 Representação Gráfica Im n= n= σ(a) := {λ C : A λi não invertível }

8 Outras Matrizes Im σ(a) := {λ C : A λi não invertível } 4

9 Outras Matrizes Im σ(a) := {λ C : A λi não invertível } 4

10 Outras Matrizes Im σ(a) := {λ C : A λi não invertível } 4

11 Outras Matrizes i i Im i i i i Im σ(a) := {λ C : A λi não invertível }

12 Outras Matrizes i 1 i i 1 i i i i i Im σ(a) := {λ C : A λi não invertível }

13 Outras Matrizes i i 1 i i i 1 i i i i i 2 i i i 2 i Im σ(a) := {λ C : A λi não invertível }

14 Para reflectir Sobre as Matrizes em banda O espectro das matrizes finitas são pontos sobre uma linha formada pela união de arcos A linha fica dentro do espectro da matriz infinita, e forma uma espécie de esqueleto A relação entre os dois não é óbvia Sobre a Matemática Não se faz matemática apenas dedutivamente Ciência Empírica Ciência Experimental

15 Álgebra Linear em 25 min!

16 Espaços Lineares (U, +,.) espaço linear real complexo α, β R α, β C u + v U (u + v) + w = u + (v + w) Existe um elemento 0, tal que para todo o u, Para todo o u, existe u + v = v + u α.u αu U α(u + v) = αu + αv (α + β)u = αu + βu α(βu) = (αβ)u 1u = u u, tal que Grupo Abeliano u + 0 = 0 + u = 0 u + ( u) = u + u = 0

17 Espaços Lineares Normados Precisamos de uma função. : U [0, + [ tal que u = 0 se e só se u = 0 u + v u + v αu = α u Distância d(u, v) := u v Convergência (topologia) u (k) u Para qualquer ɛ > 0 existe um k 0 tal que se k > k 0 temos que d(u (k), u) < ɛ

18 Exemplos C n := {(u 1, u 2,..., u n ) : u j C} ( n (u 1, u 2,..., u n ) 2 := i=1 u i 2 ) 1 2 Norma Euclideana (u 1, u 2,..., u n ) 1 := n u i R 2 i=1 (u 1, u 2,..., u n ) := max 1 i n u i Em ou todas as normas são equivalentes. R n C n Para qualquer par de normas, existem constantes tais que c u a u b d u a para todo o u

19 Exemplos R n C n R := {(u 1, u 2,..., u j,...) : u j R, 1 j < } E a norma? Espaços Lineares (1, 2, 3,..., j,...) R Nenhuma das normas anteriores funciona! Começar pela norma: (u 1, u 2,..., u n ) := max 1 i n u i l (N) l := {(u i ) i=1 : sup u i < } i 1 u i C (u i ) := sup i 1 u i l p (N) := { (u i ) i=1 : u i C, n u i p < } (u i ) p := ( u i p ) 1 p i=1 i=1

20 Bases Conjunto B U tal que para qualquer elemento u de U existe uma sequência única de escalares {α i } de modo a u = α i b i B Finito Contável Todas as bases têm o mesmo número de elementos Convergência da série em termos da topologia da norma dim U = #B dim U =

21 Efeitos do infinito As normas já não são equivalentes (1, 1, 1,..., 1, 1,...) l (1, 1, 1,..., 1, 1,...) = 1 l p (1, 12, 13, 14,..., 1i,... ) l 2 l 1 l 1... l 2... l A alteração num vector de um número finito de valores, não altera a sua pertença ou não a um dos espaços. Apenas interessa o comportamento no infinito...

22 Convergência Efeitos do Infinito Consideremos a sucessão de elementos: u (1) = (1, 0, 0, 0, 0,..., 0,... ) u (2) = ( 1 2, ) 1 2, 0, 0, 0,..., 0,... u (3) = ( 1 3, 1 3, ) 1 3, 0, 0,..., 0,..... u (k) = ( 1 k,..., ) 1 k, 0,..., 0,... Converge? p > 1 u (k) 0 u (k) p 0 u (k) u 0 u (k) 1 = 1 u... u 2... u 1

23 Espaços de funções X = [a, b] L p (X) f p := a, b R, a < b Conjunto formado pelas classes de equivalência das funções f : X C tais que f (x) p dx < ( X f (x) p dx X ) 1 p integral de Lebesgue L (X) C(X) ess sup X f < f := ess sup X Funções contínuas definidas em X f

24 Espaços de Hilbert Im T := {z C : z = 1} Re L 2 (T) f, g := 1 2π 2π 0 f (e iθ )g(e iθ ) dθ Produto Interno 1.5 f, g = g, f f, f > 0, f 0, 0, 0 = 0 αf + g, h = α f, h + g, h f := f, f 1 2 f, f 1 2 = ( 1 2π 2π 0 f (e iθ )f (e iθ ) dθ ) 1 2 = ( 1 2π 2π 0 f (e iθ ) 2 dθ ) 1 2 = f 2

25 Transformações Lineares Se U e Y são espaços lineares normados, uma aplicação T : U Y é linear se e só se para quaisquer u,v de U e escalares α, β T (αu + βv) = αt (u) + βt (v) A aplicação T diz-se um operador linear limitado se existir uma constante c tal para qualquer u, T (u) Y c u U

26 Espaços de Operadores Se A e B forem operadores de U para Y (A + B)(u) := A(u) + B(u) (αa)(u) := αa(u) A := sup u U A(u) Y u U Com as operações e a norma definidas acima, o conjunto de todos os operadores lineares limitados de U para Y, L(U, Y ) forma um espaço linear normado Se Y = U, escrevemos L(U) em vez de L(U, U)

27 Álgebras de Operadores Se A e B forem operadores de U para U (A.B)(u) := A(B(u)) A.B L(U) (A.B).C = A.(B.C) Semi-grupo com unidade Existe um elemento I tal que para todo o A, A.I = I.A = A Existência de inverso Comutatividade A.B A B Se a multiplicação é contínua

28 Exemplos de operadores Dimensão finita A : U Y dim U = n, dim Y = m ( n ) A(u) = A j=1 α jb j = n j=1 α ja(b j ) = m i=1 ( n j=1 a ijα j )e i = m i=1 β ie i dada uma base B de U dada uma base E de Y A(b j ) = m i=1 a ije i β 1 β 2.. β m = a 11 a a 1n a 21 a a 2n a m1 a m2... a mn α 1 α 2.. α n Qualquer O conjunto espaço das linear transformações complexo de lineares dimensão finita é n isomorfo é isomorfo a Ca m n C n

29 Exemplos de operadores Dimensão infinita l p (N) S : l p (N) l p (N), (u 1, u 2, u 3,...) (0, u 1, u 2, u 3,...) Núcleo? {0} Imagem? {u l p (N) : u 1 = 0} Norma? S = sup u l p (N) S(u) p u p = sup u l p (N) u p u p = 1 S : l p (N) l p (N), (u 1, u 2, u 3,...) (u 2, u 3,...) Núcleo? {u l p (N) : u k = 0, k > 1} Imagem? Norma? l p (N) S = 1 S.S = I S.S (u 1, u 2, u 3,...) (0, u 2, u 3,...)

30 Exemplos de operadores Operadores Multiplicação L 2 (X) X R a L (X) u au, (au)(x) := a(x)u(x) au 2 2 = a(x)u(x) 2 dx a(x) 2 u(x) 2 dx X X sup x X ( sup x X X a(x) 2 u(x) 2 dx ) 2 a(x) X u(x) 2 dx = a 2 u 2 2 ai : L 2 (X) L 2 (X), u au ai a Mostra-se que ai = a

31 Operadores Multiplicação Invertibilidade a L (X) ai : L 2 (X) L 2 (X), u au Espectro? σ(a) := {λ C : A λi não invertível } (a λ)i não invertível a(x) λ = 0 a(x) = λ essencialmente, para algum x essencialmente, para algum x σ(ai) = ess range a

32 Exemplos de operadores Operadores Integrais L 2 (X) k L 2 (X X) (Kf )(y) := K : L 2 (X) L 2 (X) X k(x, y)f (x) dx Kf 2 k 2 f 2 K k 2 Integração indefinida X = [0, 1] k(x, y) função característica {(x, y) : x y} (Kf )(y) = 1 0 k(x, y)f (x) dx = y 0 f (x) dx

33 Matrizes Infinitas

34 Representação Matricial l p (N) S : l p (N) l p (N), (u 1, u 2, u 3,...) (0, u 1, u 2, u 3,...) e k S : l p (N) l p (N), (u 1, u 2, u 3,...) (u 2, u 3,...) vector com todas as componentes nulas excepto a correspondente k, onde toma o valor 1 e k p = 1 {e k } k 1 forma uma base de l p (N) Representação de S e S?

35 Representação Matricial l p (N) S : l p (N) l p (N), (u 1, u 2, u 3,...) (0, u 1, u 2, u 3,...) S(e 1 ) = e 2 S(e 2 ) = e 3 S(e 3 ) = e S(e k ) = e k

36 Representação Matricial l p (N) S : l p (N) l p (N), (u 1, u 2, u 3,...) (u 2, u 3,...) S (e 1 ) = 0 S (e 2 ) = e S (e ) = e S (e k ) = e k S 2 (S ) 2 S.S S.S

37 Matrizes de Toeplitz a 0 a 1 a 2 a 3... a 1 a 0 a 1 a 2... a 2 a 1 a 0 a 1... a 3 a 2 a 1 a a 0 a 1... a n a 1 a 0... a n+1 a n a m a m 1... a a m a m 1 a a m Matriz de Toeplitz Matriz em Banda l p (N) Representação do operador 1 k= n a k (S ) k + a 0 I + m a k S k k=1

38 Im Espaços de funções T := {z C : z = 1} Re L 2 (T) f, g := 1 2π χ k 2π (e iθ ) := e ikθ, k Z 0 f (e iθ )g(e iθ ) dθ 1.5 χ k, χ k = 1 2π 2π 0 e ikθ e ikθ dθ = 1 j k χ j, χ k = 1 2π 2π 0 e i(j k)θ dθ = 0 {χ k } k Z é uma base ortonormada para L 2 (T)

39 Im Espaços de funções T := {z C : z = 1} Re L 2 (T) f, g := 1 2π χ k 2π (e iθ ) := e ikθ, k Z 0 f (e iθ )g(e iθ ) dθ 1.5 χ k, χ k = 1 2π 2π 0 e ikθ e ikθ dθ = 1 j k χ j, χ k = 1 2π 2π 0 e i(j k)θ dθ = 0 {χ k } k Z é uma base ortonormada para L 2 (T)

40 {χ k } k Z é uma base ortonormada para L 2 (T) Dado um vector f, a coordenada de f relativa ao elemento χ k é f, χ k f = k Z f, χ k χ k Se T : L 2 (T) L 2 (T) for um operador linear limitado, as entradas da matriz que o representa relativamente à base são dadas por a jk = T (χ k ), χ j

41 Operador de Multiplicação a L (T) ai : L 2 (T) L 2 (T), f af a jk = T (χ k ), χ j a j k = a jk = 1 2π 2π Matriz de Laurent 0 a(e iθ )e i(k j)θ dθ a 0 a 1 a 2 a 3 a a 1 a 0 a 1 a 2 a a 2 a 1 a 0 a 1 a a 3 a 2 a 1 a 0 a a 4 a 3 a 2 a 1 a

42 Relação entre L 2 (T) e l 2 (Z) Dado f L 2 (T) f k := f, χ k, k Z k Z f k 2 = f, χ k 2 = k Z k Z {χ k } k Z é uma base ortonormada f, χ k χ k 2 = k Z f, χ k χ k 2 = f 2 2 Logo (..., f 2, f 1, f 0, f 1, f 2,... ) l 2 (Z) l 2 (Z) e L 2 (T) são isométricos

43 Relação entre L 2 (T) e l 2 (Z) Dado k Z f L 2 (T) f k := f, χ k, k Z {χ k } k Z é uma base ortonormada f k 2 = Existe f, χ k uma 2 = correspondência f, χ k χ k 2 =, χ k χ k k Z k Z k Z f 2 = f 2 2 directa entre os operadores Logo (..., f 2, f 1, f 0, f 1, f 2,... ) l 2 (Z) l 2 (Z) e L 2 (T) são isométricos

44 O mistério do espectro χ 0 χ 1 χ χ 1 Im ai( χ 0 )... χ 1 χ 0 χ 1 χ 2... a L (T) ai : L 2 (T) L 2 (T), χ (e iθ ) := e ikθ k, k Z = 1 χ 1 +2χ 1 f af 4 2 a(e iθ ) = e iθ + 2e iθ Re 2 σ(ai) = ess range a 4

45 O mistério do espectro Im T := {z C : z = 1} Re 0.5 Mudança de variáveis e iθ = t T 1.0 χ k (t) = t k 1.5 Um polinómio trigonométrico a(t) = m a k t k, t T, a k C k= n gera um operador de com representação matricial infinita em banda

46 O mistério do espectro Im T := {z C : z = 1} Re 0.5 Mudança de variáveis e iθ = t T 1.0 χ k (t) = t k 1.5 Um polinómio trigonométrico a(t) = m a k t k, t T, a k C k= n gera um operador de com representação matricial infinita em banda

47 O mistério do espectro Um polinómio trigonométrico a(t) = m a k t k, t T, a k C k= n gera um operador de com representação matricial infinita em banda O espectro desse operador, é o contradomínio essencial de a i i 1 i i i 1 i i i i i 2 i i i 2 i Re a(t) = (1 + i)t 3 + it 2 (1 3i)t 1 + 3t + (2 i)t 2 + 2it 3 Im

48 O que temos? Sobre as Matrizes em banda O espectro das matrizes finitas são pontos sobre uma linha A linha fica dentro do espectro da matriz infinita, e forma uma espécie de esqueleto A relação entre os dois não é óbvia As matrizes infinitas como operadores estão relacionadas directamente com operadores em espaços de funções Sabemos calcular o espectro das matrizes duplamente infinitas, em banda, constantes nas diagonais

49 Outros operadores... (Cf )(t) := 1 πi T f (s) s t ds, t T Valor Principal Operador Integral Singular de Cauchy Cχ n = { χ n para n < 0; χ n para n 0. C é limitado em L 2 (T) C 2 = I P := (C + I)/2 Q := (C I)/2 P 2 = P Q 2 = Q

50 ...e equações a(t)f (t) + b(t) 1 πi T f (s) s t ds = g(t) (t T) a 0 b 0 a 1 b 1 a 2 + b 2 a 3 + b 3 a 4 + b a 1 b 1 a 0 b 0 a 1 + b 1 a 2 + b 2 a 3 + b a 2 b 2 a 1 b 1 a 0 + b 0 a 1 + b 1 a 2 + b a 3 b 3 a 2 b 2 a 1 + b 1 a 0 + b 0 a 1 + b a 4 b 4 a 3 b 3 a 2 + b 2 a 1 + b 1 a 0 + b f 3 f 2 f 1 f 0 f 1 f 2 f 3 f 4.. =.. g 3 g 2 g 1 g 0 g 1 g 2 g 3 g 4..

51 Três Problemas

52 I - Espectro Invertibilidade A = a 11 a 12 a 13 a a 21 a 22 a 23 a a 31 a 32 a 33 a a 41 a 42 a 43 a A n = a 11 a a 1n a 21 a a 2n a n1 a n2... a nn Qual a relação entre σ(a) e σ(a n )?

53 Exemplo A = A 2k+1... Não é invertível!

54 II - Norma do Inverso Qual a relação entre A 1 e? A 1 n A 1 = se A não é invertível A 1 < implica A 1 n < M para todo o n suficientemente grande?

55 A = Exemplo ɛ ɛ ɛ ɛ ɛ ɛ [ ] 1 [ ] ɛ 1 1 ɛ 1 = 1 ɛ ɛ ɛ [ ] 1 ɛ 1 1 ɛ < M 0 implica A 1 < M 0, 0 < ɛ k < 1 2, lim k ɛ k = 0 A 1 2k+1 1/ɛ k

56 III - Resolver equações a 11 a 12 a 13 a a 21 a 22 a 23 a a 31 a 32 a 33 a a 41 a 42 a 43 a x 1 x 2 x 3 x 4. = b 1 b 2 b 3 b 4. a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a n1 a n2... a nn x (n) 1 x (n) 2.. x (n) n = b 1 b 2. b n

57 III - Resolver equações P n : (x 1, x 2, x 3, x 4,...) (x 1, x 2,..., x n, 0, 0,...) P n : l 2 (N) l 2 (N) Ax = b Secção Finita P n Ax (n) = P n b x (n) ImP n x (n) = P n x (n) P n AP n x (n) = P n b A n x (n) = P n b Se A for invertível, será que para n suficientemente grande os operadores A n também o são, e que as soluções x (n) convergem para x?

58 {A n } n N Sucessões de operadores

59 Duas convergências na Norma ou uniforme sup A n A se A n A 0 x: x =1 (A n A)x 2 0 Forte ou pontual A n A se (A para todo o x l 2 n A)x 0 2 quando n Convergência uniforme implica convergência pontual (A n A)x A n A x

60 A invertível Convergência Uniforme Teorema: Se A A n < 1 A 1 então A n é invertível. Corolário: Ax = b A n x (n) = b A 1 n A 1 0 x (n) x 2 = A 1 n b A 1 b 2 A 1 n A 1 b 2 Problema I Problema II Problema III É bom demais para ser verdade!!!

61 O que temos? P n : (x 1, x 2, x 3, x 4,...) (x 1, x 2,..., x n, 0, 0,...) Para qualquer x l 2 (P n I)x 2 0 Conv Forte P n I (P n I)x 2 (P n I) = sup x l x 2 2 x n = (0, 0,... 0, 1, 0,...) posição n+1 (P n I) x n 2 = x n 2 = 1 Não temos convergência uniforme!

62 Em resumo A convergência uniforme resolve todos os nossos problemas Mas nos casos práticos temos apenas convergência forte

63 P n AP n O Método da Secção Finita

64 Estabilidade A : l 2 l 2 Ax = b matriz sistema infinita infinito A n := P n AP n ImP n A n x (n) = P n b matriz sistema finita finito Dizemos que o método da secção finita é aplicável a A se A n invertível para n > n 0 x (n) converge para x Dizemos que uma sucessão de operadores A n invertível para n > n 0 sup A 1 n n n 0 P n < {A n } n=1 é estável se

65 Estabilidade A : l 2 l 2 Ax = b sistema infinito A n := P n AP n ImP n A n x (n) = P n b sistema finito Dizemos que o método da secção finita é aplicável a A se A n invertível para n > n 0 x (n) converge para x Dizemos que uma sucessão de operadores A n invertível para n > n 0 sup A 1 n n n 0 P n < {A n } n=1 é estável se

66 Estabilidade Dizemos que o método da secção finita é aplicável a A se A n invertível para n > n 0 x (n) converge para x Dizemos que uma sucessão de operadores A n invertível para n > n 0 sup A 1 n n n 0 P n < {A n } n=1 é estável se Proposição: O método da secção finita é aplicável a A se e só se A é invertível e {A n } n=1 é estável Problema II Problema III

67 O salto em frente E Espaço linear das sucessões de operadores com sup n N A n < {A n } + {B n } := {A n + B n } Espaço Linear Normado α{a n } := {αa n } {A n } := sup n N A n {A n }.{B n } := {A n.b n } Álgebra de sucessões G E Subálgebra das sucessões que convergem uniformemente para 0 {G n } G {A n}.{g n } G {A n } E {G n }.{A n } G G Ideal de E

68 O salto em frente E Espaço linear das sucessões de operadores com sup n N A n < {A n } + {B n } := {A n + B n } Espaço Linear Normado α{a n } := {αa n } {A n } := sup n N A n {A n }.{B n } := {A n.b n } Álgebra de sucessões G E Subálgebra das sucessões que convergem uniformemente para 0 {G n } G {A n}.{g n } G {A n } E {G n }.{A n } G G Ideal de E

69 O salto em frente E Espaço linear das sucessões de operadores com sup n N G E A n < Subálgebra das sucessões que convergem uniformemente para 0 G Ideal de E Classes de equivalência {A n } {B n } se {A n } {B n } G E/G Álgebra quociente {A n } + G E/G {A n } + G := inf {A n} + {G n } {G n } G Análise Numérica Teorema (Kozac): Uma sucessão {A n } E {A n } + G é invertível em E/G. é estável se e só se Álgebras de Banach

70 Em resumo Problema II Problema III Análise Numérica Kozac Invertibilidade numa álgebra normada Álgebra / AF

71 Para reflectir Sobre a Matemática Quando não se consegue resolver um problema numa área Procuram-se problemas parecidos noutras áreas Tenta-se utilizar outras ferramentas Uma questão que pode parecer muito complicada vista duma perspectiva pode ser muito simples quando vista de outra Por vezes, basta mudar a notação

72 Um jogo com números Regras: Dois Jogadores Alternam a escolher números de 1 a 9 Cada número só pode ser escolhido uma vez O primeiro jogador que conseguir ter três números que somem exactamente 15, ganha Se ninguem ganhar e os números se esgotarem, é um empate Vamos jogar?

73 O Jogo do Galo!!! Uma mudança de notação pode alterar completamente a maneira do nosso cerebro olhar para um problema

74 Espectro

75 De onde vêm as linhas Im 10 5 Im Re m a(t) = L(a) k= n a k t k, t T, a k C Operador de Laurent T (a) n SFinita Op Toeplitz Funções equivalentes a b se existir tal que r > 0 b(t) = a(rt) m b k t k = b(t) = a(rt) = m a k r k t k b k = a k r k k= n k= n

76 De onde vêm as linhas Im 10 5 Im Re m a(t) = L(a) k= n a k t k, t T, a k C Operador de Laurent T (a) n SFinita Op Toeplitz Funções equivalentes a b se existir tal que r > 0 b(t) = a(rt) m b k t k = b(t) = a(rt) = m a k r k t k b k = a k r k k= n k= n

77 De onde vêm as linhas b k = a k r k T (b) n = = b 0 b 1... b n+1 b 1 b 0... b n+2... b n 1 b n 2... b r r n 1 = a 0 a 1 r 1... a n+1 r n+1 a 1 r a 0... a n+2 r n+2... a n 1 r n 1 a n 2 r n 2... a 0 a 0 a 1... a n+1 a 1 a 0... a n+2... a n 1 a n 2... a r r n+1 T (b) n = R n T (a) n R 1 n Matrizes Semelhantes σ(t (a) n ) = σ(t (b) n )

78 E em dimensão infinita? L(a) e L(b) não têm o mesmo contradomínio Im 10 σ(l(a)) σ(l(b)) Já percebemos o mistério! Falta a demonstração 5 Schmidt and Spitzer, 1960 r=0.7, 0.8, 0.9, 1, 1.1,1.2, 1.3

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