Espaços e Subespaços Vetoriais

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1 Espaços e Sbespaços Vetoriais Uniersidade Crzeiro do Sl

2 Espaços e Sbespaços Vetoriais Unidade - Espaços e Sbespaços Vetoriais MATERIAL TEÓRICO Responsáel pelo Conteúdo: Prof. Ms. Carlos Henriqe de J.Costa Reisão Textal: Profa. Esp. Márcia Ota Camps Virtal Uniersidade Crzeiro do Sl 2

3 Espaços e Sbespaços Vetoriais Í N D I C E Apresentação: Álgebra Linear Espaço Vetorial Introdção Definição Exemplos Propriedades dos Espaços Vetoriais... Sbespaços Vetoriais... Definição... Soma direta de dois sbespaços etoriais Finalizando Referências

4 Espaços e Sbespaços Vetoriais Apresentação: Álgebra Linear A Álgebra Linear torno-se, nos últimos anos, parte essencial do fndamento exigido de matemáticos, físicos, programadores de comptador, engenheiros e otros cientistas, o qe atesta a importância desta disciplina com sas múltiplas aplicações e pelo alcance de sa lingagem. Essa importância não se restringe apenas à área de exatas, mitas qestões de grande atalidade, como, por exemplo, na área biológica, encontram na Álgebra Linear a ferramenta matemática apropriada para sa abordagem. Os conteúdos de qe trata a Álgebra Linear são etores e matrizes, qe aparecem, por exemplo, qando procramos as solções para m sistema de eqações lineares. Assim, são generalizações do conceito de número. Por isso, temos m grande desafio: o ensino da Álgebra Linear, qer dizer, de lançar a ponte qe ai da intição do alno ao conceito matemático. A nossa intenção é apresentar m texto gradatio, escrito em lingagem simples e objetia, com algmas conexões e aplicações a otras áreas de conhecimento, respeitando, porém, o rigor necessário ao níel qe se destina, qe é serir de referência aos alnos deste crso. Vamos pensar e refletir!!! Importantíssimo......é impossíel desenoler o nosso físico apenas obserando ma pessoa fazendo ginástica. Da mesma forma, não se desenole em ÁLGEBRA LINEAR tal rigor de raciocínio apenas lendo demonstrações lógicas feitas por otra pessoa, senão qe bscando-as por si mesma e disctindo-as... Celso Wilmer Fonte: sosobreienciaescolar.blogspot.com 4

5 Espaços e Sbespaços Vetoriais Espaço Vetorial Olá Pessoal!!! Antes de começarmos a falar sobre ESPAÇO VETORIAL, ejam abaixo as definições sobre a palara ESPAÇO, ok!!! 1. Lgar mais o menos bem delimitado, qe pode ser ocpado por algo o algém, o ser sado para certo fim. 2. Extensão contína e indefinida na qal as coisas existem e se moem. Fonte: oqartopoder.com Introdção: Para disctirmos o conceito de Espaço Vetorial, amos definir m modelo abstrato do qe significa m Espaço Vetorial, e indicaremos como esta noção abstrata pode ser sada para definir propriedades o conceitos qe são álidos em todos os Espaços Vetoriais concretos. No entanto, também especificaremos os axiomas (regras) qe as operações deem obedecer e saremos a palara escalar para as entidades (números) qe podem mltiplicar etores. Nosso objetio é simplificar e tornar clara a teoria, desprezando propriedades desnecessárias e irreleantes de objetos matemáticos concretos, qe confndem a sitação. Então, para simplificar, tilizaremos as operações de soma e mltiplicação qe, independentemente do contexto, em geral, essas operações obedecem ao mesmo conjnto de regras aritméticas. Logo, ma teoria geral de sistemas matemáticos enolendo soma e mltiplicação por escalar (número) ai ter aplicação em diersas áreas da matemática. Sistemas matemáticos desse tipo são chamados Espaços Vetoriais o Espaços Lineares. 5

6 Espaços e Sbespaços Vetoriais Nesta nidade, introdziremos o conceito de Espaço Vetorial qe será sado em todo o decorrer do nosso crso. A definição de espaço etorial V, cjos elementos são chamados etores, enole m corpo arbitrário K, cjos elementos são chamados escalares (números). Então, tilizaremos as segintes notações: K o corpo dos escalares a, b, c, k o l os elementos de K V o espaço etorial dado Fonte: braian.com.br Agora, acompanhe a definição de espaços etoriais e o desenolimento de parte da teoria geral de espaços etoriais. Definição: A próxima definição consiste de 10 (dez) axiomas. À medida qe ocê lê cada axioma, lembre-se qe eles fazem parte de ários teoremas e definições matemáticas!!! Axiomas não são demonstrados, pois são simplesmente as regras do jogo!!! Fonte: ntechapeco.pbworks.com 6

7 Espaços e Sbespaços Vetoriais Seja V m conjnto não azio qalqer ( V 0 ) de objetos no qal estão definidas das operações, a adição e a mltiplicação por escalares (números). Por adição nós entendemos ma regra qe associa a cada par de objetos e em V m objeto +, chamado a soma de com ; por mltiplicação nós entendemos ma regra qe associa a cada escalar k e cada objeto em V m objeto k., chamado o múltiplo de por k. Se os segintes axiomas são satisfeitos por todos objetos, e w em V e qaisqer escalares k e l, então nós dizemos qe V é m espaço etorial e qe os objetos de V são etores. (01) Se e são objetos em V então + é m objeto em V. (02) + = + (03) + ( + w ) = ( + ) + w (04) Existe m objeto 0 em V, chamado m etor nlo o etor zero de V, tal qe 0 + = + 0 = para cada em V. (05) Para cada em V, existe m objeto, chamado m negatio de, tal qe + ( ) = ( ) + = 0. (06) Se k é qalqer escalar (número) de é m objeto em V, então k. é m objeto de V. (07) l.( + ) = l. + l. (08) ( k + l ). = k. + l. (09) k.( l. ) = ( k.l ). (10) 1. = 7

8 Espaços e Sbespaços Vetoriais Obseração: Dependendo da aplicação, os escalares podem ser números reais o complexos. Se na definição, tiermos o conjnto de escalares K como, V é dito espaço etorial real, e se os escalares forem tomados em C, V será chamado espaço etorial complexo. Lembre-se qe a definição de m espaço etorial não especifica nem a natreza dos etores nem das operações. Qalqer tipo de objeto pode ser m etor e as operações de adição e mltiplicação por escalar podem não gardar semelhança o não ter relação algma com as operações sais em R n. A única exigência é qe os 10 (dez) axiomas de espaço etorial sejam satisfeitos. Exemplos: Em cada exemplo, amos especificar m conjnto nãoazio V e das operações: a adição e a mltiplicação escalar; em segida amos erificar qe os 10 (dez) axiomas de espaço etorial estão satisfeitos, com isso habilitando V, com as operações dadas, a ser chamado de espaço etorial. Fonte: derbymotta.blogspot.com Exemplo 1 Um Espaço Vetorial de Matrizes 2 x 2 Mostre qe o conjnto V de todas as matrizes 2 x 2 com entradas reais é m espaço etorial se a adição etorial é definida pela adição matricial e a mltiplicação etorial por escalar é definida pela mltiplicação matricial por escalar. 8

9 Espaços e Sbespaços Vetoriais Solção: Sejam as matrizes genéricas 2 x 2, e w w w w w Para proar o Axioma 1, nós deemos mostrar qe + é m objeto em V, o seja, nós deemos mostrar qe + é ma matriz 2 x 2. Mas isto sege da definição de soma matricial, pois Axioma 1: Axioma 2: Axioma 3: w w w w w w w w w w Para proar o Axioma 4, nós deemos encontrar m objeto 0 (zero) em V tal qe 0 + = + 0 = para cada em V. Isto pode ser 0 0 feito definindo 0 como a matriz Axioma 4:

10 Espaços e Sbespaços Vetoriais Para proar o Axioma 5, nós deemos mostrar qe cada objeto em V tem m negatio tal qe + ( ) = ( ) + = 0. Isto pode ser feito definindo o negatio de como Axioma 5: ( ) Similarmente ao Axioma 1, o Axioma 6 ale, pois para cada número real k nós temos Axioma 6: k. k. k. k. k. k. e, portanto k. é ma matriz 2 x 2 e conseqüentemente m objeto em V. Axioma 7: l. l. l. l. l. l. Axioma 8: k l. ( k l). k. l. k. l. k. l. k. l. k. l. Axioma 9: k. l. k. l. ( k. l). k. l. k. l. Finalmente, o Axioma 10 é m simples cálclo com o elemento netro 1 (m) da mltiplicação: Axioma 10:

11 Espaços e Sbespaços Vetoriais Exemplo 2 R n é m Espaço Vetorial O conjnto V = R n com as operações conhecidas de adição e mltiplicação por escalar é m espaço etorial. Os três casos especiais mais importantes de R n são R (os números reais), R² (os etores do plano cartesiano) e R³ (os etores do espaço tridimensional). Solção: Soma de etores: (a 1, a 2,..., a n ) + (b 1, b 2,..., b n ) = (a 1 + b 1, a 2 + b 2,..., a n + b n ) Mltiplicação por escalar: k.(a 1, a 2,..., a n ) = (k.a 1, k.a 2,..., k.a n ) O etor nlo: 0 = (0, 0,..., 0) O simétrico de m etor: (a 1, a 2,..., a n ) = ( a 1, a 2,..., a n ) Propriedades dos Espaços Vetoriais: Seja V m espaço etorial sobre m corpo K de escalares, então: 1. K,., onde é o elemento netro para a adição de etores em V. 2. V, 0., 0K. 3. Se., onde K e V, então 0 o. 4. K, V, ()..() (.). Fonte: nettopiadaseniadasporamigos.blogspot.com

12 Espaços e Sbespaços Vetoriais Conseqências: 4.a. V, (1).. 4.b.,K, V, () c. K,, V,.( ).. 5. O etor nlo é único. 6. V,!() V, () (). 7. Se,,w V e w, então = w. Conseqência: 7.a., V,!x V, se + x = então x =. 8. V, (). Sbespaços Vetoriais Definição: Às ezes, é necessário detectar, dentro de m espaço etorial V, sbconjntos S qe sejam eles próprios espaços etoriais menores. Tais conjntos serão chamados sbespaços de V. Isto acontece, por exemplo, em V = R², o plano, onde S é ma reta deste plano, qe passa pela origem. Obsere a segir o Espaço Vetorial:

13 Espaços e Sbespaços Vetoriais ESPAÇO VETORIAL V (R²: O PLANO XY) y S + SUBESPAÇO VETORIAL: RETA S 0 x Veja qe a reta S fnciona sozinha como espaço etorial, pois ao somarmos dois etores de S, obtemos m otro etor em S. Da mesma forma, se mltiplicarmos m etor de S por m número, o etor resltante ainda estará em S. Isto é, o sbconjnto S é fechado em relação à soma de etores e à mltiplicação destes por escalar. Estas são as condições exigidas para qe m sbconjnto S de m espaço etorial V seja m sbespaço. Em geral, nós deemos erificar os 10 (dez) axiomas de espaço etorial para mostrar qe m conjnto S forma m espaço etorial com ma adição e mltiplicação por escalar. No entanto, se S é parte de m conjnto maior V qe já é sabido ser m espaço etorial, então algns axiomas não precisam ser conferidos para S, pois eles são herdados de V. Por exemplo, não há necessidade de conferir qe + = + (Axioma 2) para S, pois a comtatiidade da adição ale para todos os etores de V e conseqentemente para todos os etores de S. Um critério mais simples de identificar sbespaços é dado abaixo: Sponha qe S é m sbconjnto do espaço etorial V. Então S é m sbespaço de V se as propriedades abaixo são erdadeiras: 13

14 Espaços e Sbespaços Vetoriais a) V 0 S (O etor nlo 0 pertence a S). b) S + S OBS: 1. Todo espaço etorial V admite pelo menos dois sbespaços etoriais, chamados de sbespaços etoriais impróprios de V, qe são o próprio espaço etorial V e o {0}, este último chamado de sbespaço zero o nlo. Esses dois também são chamados sbespaços triiais de V. Os demais sbespaços de V são chamados sbespaços próprios de V. 2. Qando 0 (zero) não pertence a S, S não é sbespaço etorial de V. O inerso não é proa sficiente para qe S seja sbespaço etorial de V. Qando samos as operações habitais de adição e prodto nm espaço etorial conhecido é comm a não definição destas operações e a erificação das propriedades é a esperada, mas há casos de espaços etoriais não comns, isto é, as operações não são habitais, daí precisarem ser definidas e erificadas as propriedades respectias. Soma direta de dois sbespaços etoriais etorial V. Sejam S 1 e S 2 dois sbespaços etoriais de m mesmo espaço Diz-se qe S é soma direta de S 1 e S 2, e se escree S = S 1 S 2, se S = S 1 + S 2 e S 1 S 2 {} OBS: Caso V = S 1 + S 2, dizemos qe S 1 e S 2 são splementares. 14

15 Espaços e Sbespaços Vetoriais TEOREMA: Seja V m espaço etorial onde V é soma direta de S 1 e S 2, S 1 e S 2 são sbespaços etoriais de V, então todo etor, V, se escree de modo único, na forma 1 2, onde 1 S 1 e 2 S 2. Demonstração: Como hipótese temos qe V = S1 S2 V, 1 2, onde 1 S 1 e 2 S 2. Sponhamos qe pdéssemos escreer = x + y, onde x S 1 e y S 2. Como =, temos qe 1 2 = x + y 1 x y 2, onde 1 x S 1 e y 2 S 2. Também temos qe 1 x y 2 S 1 S 2 e como = S1 S2 então 1 x y 2, portanto 1 x e 2 y, por isso, a maneira de se expressar é única. 15

16 Espaços e Sbespaços Vetoriais FINALIZANDO Bem, espero qe ocês tenham gostado de estdar e trabalhar com Espaços Vetoriais. Parece ser difícil, mas com a prática dos exercícios, ai ficar mais fácil, portanto, não deixem de praticar para fixar os conceitos qe aprenderam e tirar sas dúidas. Fonte: cicloceap.com.br Esto confiante, tenho certeza qe ocês consegiram acompanhar e qe estão satisfeitos por terem consegido encer mais essa etapa. Não se esqeçam do qe falamos no início e qe é mito importante: para aprender Álgebra Linear é preciso praticar, ok!!! Agradeço a todos, continem se esforçando sempre e até a próxima! Um forte abraço! APROVEITANDO, LEMBREM-SE: SE HOUVER QUALQUER DÚVIDA, ENVIEM-A DIRETAMENTE PARA SEU PROFESSOR TUTOR, QUE COM CERTEZA, IRÁ AJUDÁ-LOS, OK!!! 16

17 Espaços e Sbespaços Vetoriais Anotações 17

18 Espaços e Sbespaços Vetoriais Referências ANTON, Howard, RORRES, Chris; ÁLGEBRA LINEAR COM APLICAÇÕES, Editora Bookman, Porto Alegre, BOLDRINI, José Liz, COSTA, Seli I.Rodriges, RIBEIRO, Vera Lúcia F.F., WETZLER, Henry G.; ÁLGEBRA LINEAR, Editora Harper & Row, São Palo, CALLIOLI, CARLOS A., DOMINGUES, Hygino H., COSTA, Roberto C.F.; ÁLGEBRA LINEAR E APLICAÇÕES, Editora Atal, São Palo, KAPLAN, Wilfred, LEWIS, Donald J.; CÁLCULO E ÁLGEBRA LINEAR, Editora LTC, Rio de Janeiro, LEON, Steen J.; ÁLGEBRA LINEAR COM APLICAÇÕES, Editora LTC, Rio de Janeiro, LIMA, Elon; ÁLGEBRA LINEAR, Coleção Matemática Uniersitária, IMPA, Rio de Janeiro, LIPSCHUTZ, Seymor, LIPSON, Marc Lars; TEORIA E PROBLEMAS DE ÁLGEBRA LINEAR, Editora Bookman, Porto Alegre, LIPSCHUTZ, Seymor; ÁLGEBRA LINEAR, Editora Makron Books, São Palo, NOBLE, Bem, DANIEL, James W.; ÁLGEBRA LINEAR APLICADA, Editora Prentice-Hall, Rio de Janeiro, SILVA, Valdir Vilmar; ÁLGEBRA LINEAR, Editora da UFG, Goiás, STEINBRUCH, Alfredo, WINTERLE, Palo; ÁLGEBRA LINEAR, Editora McGraw-Hill, São Palo, STEINBRUCH, Alfredo, WINTERLE, Palo; INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA LINEAR, Editora Pearson, São Palo, WILMER, Celso; CADERNO DE ÁLGEBRA LINEAR, Editora Ganabara, Rio de Janeiro,

19 Espaços e Sbespaços Vetoriais Camps Liberdade Ra Galão Beno, São Palo SP Brasil Tel: (55 ) Camps Virtal Crzeiro do Sl 19