TÓPICOS. Diferenciação complexa. Derivadas complexas. Funções analíticas. Equações de Cauchy-Riemann. Funções harmónicas. Regra de L Hospital.

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1 Note be a leitra destes apontaentos não dispensa de odo alg a leitra atenta da bibliograia principal da cadeira Chaa-se à atenção para a iportância do trabalho pessoal a realiar pelo alno resolendo os probleas apresentados na bibliograia se conslta préia das solções propostas análise coparatia entre as sas resposta e a respostas propostas e posterior eposição nto do docente de todas as dúidas associadas. TÓPICOS Dierenciação coplea. Deriadas copleas. Fnções analíticas. Eqações de Cach-Rieann. Módlo 9 Fnções harónicas. Regra de L Hospital.. Dierenciação coplea... Deriadas copleas. Fnções analíticas. Sendo a nção coplea de ariáel coplea deinida na região D C deriada de n ponto interior dessa região coo deine-se a Caso o ite eista e sea inito a nção di-se dierenciáel no ponto. Se é dierenciáel n ponto então é contína nesse ponto. Sendo a nção coplea de ariáel coplea se eiste e todos os pontos de a região D C então di-se a nção analítica o holoora o reglar e D. Di-se qe é analítica n ponto se eistir δ > tal qe eista : < δ o sea para alé de dierenciáel e é tabé dierenciáel e alg disco aberto no plano copleo centrado e. Se or analítica e C então di-se a nção inteira. Eeplos. Sendo co C então Pro. José Aaral MAT M9-9--7

2 M A T E M Á T I C A A P L I C A D A T U R M A L T D Pro. José Aaral MAT M A deriada eiste C pelo qe é a nção analítica e C o sea é a nção inteira.. Sendo co C então Faendo por eeplo teos O ite depende da direcção segndo a qal é calclado e portanto não eiste. A nção não é dierenciáel e nenh ponto do plano o sea é a nção não analítica e C.. Sendo co C então A nção é analítica e C \{ }.

3 M A T E M Á T I C A A P L I C A D A T U R M A L T D.. Eqações de Cach-Rieann. Regras de deriação. Sea a nção coplea de ariáel coplea. É condição necessária para qe sea analítica na região D C qe e D se eriiqe as eqações de Cach Rieann o sea o ainda na ora polar ρ ρ θ ρ ρ θ o sea ρ ρ θ Se as deriadas parciais de ore contínas e D então as condições de Cach-Rieann são tabé condições sicientes para qe sea analítica e D. Reslta das eqações de Cach-Rieann qe caso eista a deriada de a nção coplea de ariáel coplea pode se calclada a partir da sas partes real e iaginária de diersas oras d d Para as nções analíticas são álidas as regras de deriação tal coo istas e Análise Mateática e soa prodto coposição etc. sendo as deriadas das nções eleentares totalente idênticas às conhecidas para as nções e R. Eeplos 4. As deriadas das nções eleentares conhecidas e R são álidas e C. Assi por eeplo sendo sen teos sen cos cos A nção sen é analítica e C é inteira. O sendo ln i π ln ln i π ln i teos Pro. José Aaral MAT M9-9--7

4 M A T E M Á T I C A A P L I C A D A T U R M A L T D A nção ln i é analítica e C \{ }. 5. Para qe a nção e sen cos sea analítica dado qe sendo e e sen cos sen e sen e cos e e sen cos cos e cos e sen e iplicando as eqações de Cach-Rieann qe reslta e sen e sen e cos e cos e cos e sen Integrando teos e e e sen e cos e cos e Deriando e sbstitindo e sen e cos e sen F teos cos d cos sen F e cos e cos e sen F e cos e cos e sen pelo qe F e portanto F c. Reslta então e cos e sen c. Sendo ln atan podeos sar as eqações de Cach- Rieann para ostrar qe é dierenciáel. Sendo ln atan teos Pro. José Aaral MAT M

5 M A T E M Á T I C A A P L I C A D A T U R M A L T D Pro. José Aaral MAT M Figra M. Veriicando portanto as eqações de Cach-Rieann a nção é dierenciáel. Podeos calclar por qalqer das epressões d d sendo É de notar qe ln ln atan ln atan ln θ ρ pelo qe ln de onde conclíos de iediato qe é dierenciáel e C \{ } na erdade tendo e atenção a descontinidade da nção { } Arg e toando-se salente para o rao principal [ ] π π θ a nção é descontína sobre todo o eio. A igra M9. ostra o { } Arg co [ ]. Note qe

6 M A T E M Á T I C A A P L I C A D A T U R M A L T D Pro. José Aaral MAT M Fnções harónicas. Ua nção real de ariáel real deinida na região R D di-se a nção harónica e D se nessa região satisier a eqação de Laplace U sendo operador dierencial dito Lapaciano dado e coordenadas cartesianas por Reslta das eqações de Cach-Riean qe sendo a nção analítica na região C D então e são nção harónicas na correspondente região R D Podeos ainda deonstrar qe dada qalqer nção harónica na região R D eiste a nção única a enos de a constante dita nção harónica congada de tal qe a nção coplea de ariáel coplea é analítica na correspondente região C D. Eeplos 7. Podeos eriicar qe a nção R R : é a nção harónica e R Co base nas eqações de Cach-Riean podeos deterinar a sa nção harónica congada. Sendo reslta

7 M A T E M Á T I C A A P L I C A D A T U R M A L T D Pro. José Aaral MAT M g d d e h d d pelo qe c As nção copleas de ariáel coplea c são analíticas e C o sea são inteiras.

8 M A T E M Á T I C A A P L I C A D A T U R M A L T D.4. Regra de L Hospital. Sendo e g nções analíticas na região contendo ponto e aditindo qe g as g então g g Tal coo no caso das nções reais de ariáel real odiicação apropriadas das epressões das nções perite tratar as sitações etc. Eeplos 8. Atendendo à regra de L Hospital i 5 i 5 9. Podeos recorrer à regra de L Hospital e a ites de reerência tal coo oi eito e R cos sen sen cos cos sen cos sen cos Pro. José Aaral MAT M