Modelos e Solução no Espaço de Estado

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1 Capítlo 1 Modelos e Solção no Espaço de Estado O principal objetivo deste capítlo é mostrar como se descreve m sistema dinâmico, qe esteja na forma de eqações diferenciais (caso contíno) o a diferenças (caso discreto), por variáveis de estado Dois esqemas serão abordados para este efeito: descrição na Forma Canônica de Controlabilidade (Primeiro Esqema); e descrição na Forma Canônica de Observabilidade (Segndo Esqema) Além destes assntos, disctiremos, também, as conexões em cascata, paralelo e realimentação; bem como solção temporal e discretização 11 Conceito de Sistema Linear Sejam e y, respectivamente a entrada e a saída do sistema abaixo SL y Figra 11: Sistema Linear (SL) Sejam, 1 e 2 sinais de entrada de SL, e y, y 1 e y 2 as respectivas saídas O sistema SL é linear se e somente se 1 (Proporcionalidade) a saída ky corresponde à entrada k, onde k é m número inteiro; e 2 (Sperposição) a saída y 1 y 2 corresponde à entrada 1 2 Estas das propriedades estão smarizadas na Figra Representação de m Sistema Linear por Eqação Diferencial o a Diferença 121 Caso Contíno Um sistema contíno de ordem n, onde (t) e y(t) são respectivamente a entrada e a saída, pode ser descrito pela eqação diferencial d n d n 1 dt ny(t) = a 1 dt n 1y(t) a ny(t) d dn dt n(t)(b 1 da 1 ) dn 1 dt n 1(t) (b n da n )(t), 1

2 2 Notas de Ala SL y k SL ky 1 SL y SL y 1 y 2 2 SL y 2 Figra 12: Leis de Proporcionalidade e Sperposição qe pode ser reescrita na forma do operador p, onde p n = d n /dt n, p n y(t) = a 1 p n 1 y(t) a n y(t) o em Transformada de Laplace 122 Caso Discreto dp n (t)(b 1 da 1 )p n 1 (t) (b n da n )(t), s n y(s) = a 1 s n 1 y(s) a n y(s) ds n (s)(b 1 da 1 )s n 1 (s) (b n da n )(s) Seja T, o período de amostragem Um sistema discreto o amostrado no período T, pode ser descrito pela seginte eqação de diferença, onde e y são respectivamente a entrada e a saída y((k n)t) = a 1 y((k n 1)T) a n y(kt) onde se denota por simplicidade d((k n)t)(b 1 da 1 )((k n 1)T) (b n da n )(kt), y(k n) = a 1 y(k n 1) a n y(k) d(k n)(b 1 da 1 )(k n 1) (b n da n )(k) Alternativamente, pode-se escrever na forma do operador q, onde q n y(k) = y(k n), o em Transformada de Z q n y(k) = a 1 q n 1 y(k) a n y(k) dq n (k)(b 1 da 1 )q n 1 (k) (b n da n )(k), z n y(z) = a 1 z n 1 y(z) a n y(z) dz n (z)(b 1 da 1 )z n 1 (z) (b n da n )(z) 13 Conceito de Variável de Estado Vimos qe m sistema linear pode ser representado por eqações diferenciais o a diferença Alternativamente, m sistema descrito por eqações diferenciais de ordem n, o a diferença, pode ser descrito por m conjnto de n eqações de primeira ordem, denominadas de Eqações de Estado, jntamente com otro conjnto de m eqações, denominadas de Eqações de Saída Às eqações de estado, está associado m vetor, denominado Vetor de Estado As componentes deste vetor são chamadas de Variáveis de Estado Neste crso, daremos ênfase à descrição de sistemas lineares por variáveis de estado

3 Modelos e Solção no Espaço de Estado 3 Apesar dos processos, em geral, poderem ter m saídas e r entradas, serão abordados neste crso apenas processoscom ma única saídaecom ma única entrada, o seja, neste crso, m e r sempre serão igais a 1 Sistemas com ma entrada e ma saída são denominados de monovariáveis o do tipo SISO (Single inpt - Single Otpt) A descrição de m sistema monovariável de ordem n é descrito por n eqações diferenciais o a diferença de primeira ordem e ma eqação de saída Um sistema contíno de terceira ordem, com entrada e saída y, seria assim descrito: ẋ 1 ẋ 2 ẋ 3 = f 1 (x 1,x 2,x 3,) = f 2 (x 1,x 2,x 3,) = f 3 (x 1,x 2,x 3,) y = f(x 1,x 2,x 3,) As três primeiras eqações são eqações diferenciais de primeira ordem e representam as Eqações de Estado A última eqação representa a Eqação de Saída As variáveis x 1, x 2 e x 3 são as Variáveis de Estado Observe qe as eqações de estado e a eqação de saída são fnções das variáveis de estado x 1, x 2 e de x 3, e de, qe é a entrada O Vetor de Estado para este caso seria: x = x 1 x 2 x 3 Um sistema discreto de terceira ordem, com entrada (k) e saída y(k), seria assim descrito: x 1 (k 1) = f 1 (x 1 (k),x 2 (k),x 3 (k),(k)) x 2 (k 1) = f 2 (x 1 (k),x 2 (k),x 3 (k),(k)) x 3 (k 1) = f 3 (x 1 (k),x 2 (k),x 3 (k),(k)) y(k) = f(x 1 (k),x 2 (k),x 3 (k),(k)) As três primeiras eqações são eqações a diferença de primeira ordem e representam as Eqações de Estado A última eqação representa a Eqação de Saída As variáveis x 1 (k), x 2 (k) e x 3 (k) são as Variáveis de Estado Observe qe as eqações de estado e a eqação de saída são fnções das variáveis de estado x 1 (k), x 2 (k) e de x 3 (k), e de (k), qe é a entrada O Vetor de Estado para este caso seria: x(k) = x 1(k) x 2 (k) x 3 (k) Sistemas lineares elétricos e mecânicos podem ser descritos diretamente em variáveis de estado Para ilstrar este fato, daremos dois exemplos: m elétrico; e, otro mecânico Geralmente, em sistemas elétricos, escolhe-se como variáveis de estado corrente de indtores e tensão de capacitores Fontes de tensão o de corrente são escolhidas como entrada Qalqer sinal de tensão, corrente o sas derivadas pode ser a saída No caso mais geral, qalqer combinação linear destes sinais pode ser a saída Em sistemas mecânicos, escolhe-se como variáveis de estado posições e velocidades Forças o torqes externos são escolhidos como entrada Qalqer sinal de velocidade, aceleração o posição pode ser a saída No caso mais geral, qalqer combinação linear destes sinais pode ser a saída

4 4 Notas de Ala i l v l i c L i C v c R v r Figra 13: Circito R-L-C 131 Primeiro Exemplo Seja o circito da Figra 13: Podemos escrever as segintes eqações Das eqações acima, podemos escrever i = i c i l i c = C dv c dt v c = v l v r v l = L di l dt v r = Ri l C dv c dt = i l i L di l dt = v c Ri l v r = Ri l Definindo-se as componentes do vetor de estado por x 1 = v c x 2 = i l, e a entrada e a saída y por = i y = v r, podemos escrever dx 1 = 1 dt C x 2 1 C dx 2 = 1 dt L x 1 R L x 2 y = Rx 2, o qe permite escrever [ẋ1 ẋ 2 = [ [ 1/C x1 1/L R/L x 2 y = [ R [ x 1 x 2 [ 1/C Definindo-se o vetor de estado por

5 Modelos e Solção no Espaço de Estado 5 podemos escrever finalmente qe 132 Segndo Exemplo ẋ = [ x1 x =, x 2 [ 1/C x 1/L R/L y = [ R x Considere o esqema mecânico da Figra 14 [ 1/C K M f B x Figra 14: Sistema Amortecedor-Massa-Mola Pelo Princípio de D Alembert, podemos escrever f = M dx2 dt 2 Bdx dt Kx f = M dv Bv Kx, dt onde v é a velocidade e x é a posição Definindo como variáveis de estado a velocidade e a posição e a entrada e a saída y por x 1 = v x 2 = x, podemos escrever = f y = v, ẋ 1 = B M x 1 K M x 2 1 M Definindo-se o vetor de estado por podemos escrever finalmente qe ẋ = ẋ 2 = x 1 y = x 1 [ x1 x =, x 2 [ [ B/M K/M 1/M x 1 y = [ 1 x

6 6 Notas de Ala 133 Terceiro Exemplo Considere o motor de corrente contína da Figra 15 R m L m e a i a em w J B O circito de armadra é regido por Figra 15: Motor de Corrente Contína e a = R m i a L m i a e m, onde R m é a resistênciade armadra, L m é a indtância de armadra, i a é a corrente de armadra, e m é a tensão indzida e e a é a tensão aplicada nos bornes da armadra (entrada do motor) A tensão indzida de armadra depende da velocidade e é dada por e m = K e w, onde K e é ma constante e w é a velocidade anglar do eixo do motor O torqe, T D, prodzido pelo motor depende somente da corrente de armadra, e è dado por, T D = K T i a, onde K T é ma constante T D é aplicado à carga mecânica associada ao motor Pode-se, então, escrever qe T D = J d dt wbw, onde J é o momento de inércia e B é o coeficiente de atrito viscoso Das eqações acima, podemos escrever d dt w = B J w K T J i a d dt i a = K e w R m i a 1 e a L m L m L m Definindo-se as componentes do vetor de estado por e a entrada e a saída y por x 1 = w x 2 = i a, = e a y = w, podemos escrever ẋ = [ [ B/J KT /J x K e /L m R m /L m 1/L m y = [ 1 x

7 Modelos e Solção no Espaço de Estado 7 14 Geração de Variáveis de Estado a Partir de Eqações Diferenciais o a Diferença Um Caso Particlar 141 Caso Contíno Seja o sistema, onde e y são respectivamente a entrada e a saída ÿ = a 1 ẏ a 2 y Este sistema pode ser descrito por das variáveis de estado em dois esqemas padrões qe serão apresentados a segir: Primeiro Esqema Definindo-se pode-se escrever x 1 = ẏ x 2 = y, ẋ 1 = a 1 x 1 a 2 x 2 e em forma matricial, O vetor [ ẋ1 é chamado de vetor de estado ẋ 2 ẋ 2 = x 1 y = x 2, = [ a1 a 2 1 [ x1 y = [ 1 [ x 1 x 2 x = [ x1 x 2 x 2 [ 1 Segndo Esqema Definindo-se pode-se escrever o qe permite escrever e em forma matricial, [ ẋ1 ẋ 2 x 1 ẋ 2 ẍ 1 = ÿ = = y = a 2 y, = a 1 ẏ a 2 y = a 1 ẋ 1 ẋ 2, ẋ 1 = a 1 x 1 x 2 ẋ 2 = a 2 x 1 y = x 1, [ a1 1 a 2 [ x1 x 2 y = [ 1 [ x 1 x 2 [ 1

8 8 Notas de Ala 142 Caso Discreto Seja o sistema descrito pela seginte eqação de diferença, onde (k) e y(k) são respectivamente a entrada e a saída y(k 2) = a 1 y(k 1)a 2 y(k)(k) Este sistema pode ser descrito por das variáveis de estado nos dois esqemas padrões qe serào apresentados a segir: Primeiro Esqema Definindo-se x 1 (k) = y(k 1) x 2 (k) = y(k), pode-se escrever O vetor [ x1 (k 1) x 2 (k 1) = [ a1 a 2 1 [ x1 (k) x 2 (k) y = [ 1 [ x 1 (k) x 2 (k) x(k) = [ x1 (k) x 2 (k) [ 1 é o vetor de estado Segndo Esqema Definindo-se pode-se escrever em forma matricial, [ x1 (k 1) x 2 (k 1) x 1 (k) = y(k) x 2 (k 1) = a 2 y(k)(k), = [ a1 1 a 2 [ x1 (k) x 2 (k) y(k) = [ 1 [ x 1 (k) x 2 (k) 15 Processo em Variáveis de Estado Caso Geral 151 Caso Contíno [ 1 Seja m sistema de ordem n, representado pela fnção de transferência Este sistema pode ser escrito na forma f(s) = dsn (b 1 da 1 )s n 1 (b n da n ) s n a 1 s n 1 a n (k) f(s) = d b 1s n 1 b 2 s n 2 b n s n a 1 s n 1 a n

9 Modelos e Solção no Espaço de Estado 9 A Forma Canônica de Controlabilidade é a 1 a 2 a n ẋ = I n 1 x y = [ b 1 b 2 b n xd, 1 e a Forma Canônica de Observabilidade é a 1 a 2 I n 1 ẋ = x a n y = [ 1 xd, b 1 b 2 b n onde x é o vetor de estado x = x 1 x 2 x n 152 Caso Discreto Seja m sistema de ordem n, representado pela fnção de transferência Este sistema pode ser escrito na forma f(z) = dzn (b 1 da 1 )z n 1 (b n da n ) z n a 1 z n 1 a n f(z) = d b 1z n 1 b 2 z n 2 b n z n a 1 z n 1 a n A Forma Canônica de Controlabilidade é a 1 a 2 a n x(k 1) = I n 1 x(k) y(k) = [ b 1 b 2 b n x(k)d(k), 1 (k) e a Forma Canônica de Observabilidade é a 1 x(k 1) = a 2 I n 1 x(k) b 2 a n y(k) = [ 1 x(k)d(k), b 1 b n (k) onde x(k) é o vetor de estado x(k) = x 1 (k) x 2 (k) x n (k)

10 1 Notas de Ala 153 Exemplo 1 Encontrar a forma canônica de controlabilidade de Solção: Podemos escrever qe: G(s) = 5s 2 s 3 2s1 a 1 = a 2 = 2 a 3 = 1 b 1 = 5 b 2 = b 3 = d = De ẋ = a 1 a 2 a n I n 1 x y = [ b 1 b 2 b n xd, 1 reslta 2 1 ẋ1 ẋ 2 = 1 x 1 x 2 1 ẋ 3 1 x 3 y = [ 5 x 1 x 2 x Exemplo 2 Encontrar a forma canônica de observabilidade de y(k 2) =,6y(k1) 2y(k)2(k 2)1,7(k1)1,2(k) Solção: A fnção de transferência é De podemos escrever qe: f(z) = 2z2 1,7z 1,2 z 2,6z,2 f(z) = dzn (b 1 da 1 )z n 1 (b n da n ) z n a 1 z n 1 a n,

11 Modelos e Solção no Espaço de Estado 11 Dedz-se qe a 1 =,6 a 2 =,2 d = 2 b 1 da 1 = 1,7 b 2 da 2 = 1,2 De b 1 =,5 b 2 =,8 x(k 1) = a 1 a 2 I n 1 a n b 1 x(k) b 2 y(k) = [ 1 x(k)d(k), reslta a forma canônica de observabilidade b n (k) x(k 1) = [,6 1 x(k),2 y(k) = [ 1 x(k)2(k) [,5 (k),8 16 Sistemas Lineares em Variáveis de Estado Vimos qe m mesmo processo linear pode ser representado de diversas maneiras em variáveis de estado Genericamente m sistema contíno será representado aqi pelas eqações de estado e de saída onde x é o vetor de estado ẋ = AxB y = CxD, x = a matriz A é de dimensão [n n, a matriz B é de dimensão [n 1, a matriz C é de dimensão [1 n e D é m escalar Um sistema amostrado será representado aqi pelas eqações de estado e de saída x 1 x 2 x n, onde x(k) é o vetor de estado x(k 1) = Φx(k)Γ(k) y = Cx(k)D(k), x(k) = x 1 (k) x 2 (k) x n (k) a matriz Φ é de dimensão [n n, a matriz Γ é de dimensão [n 1, a matriz C é de dimensão [1 n e D é m escalar,

12 12 Notas de Ala B ẋ D x C y A Figra 16: Bloco de Sistema Contíno (k) Γ x(k 1) q 1 Φ D x(k) C y(k) Figra 17: Bloco de Sistema Amostrado 17 Blocos O sistema contíno ẋ = AxB y = CxD, pode ser representado em m diagrama de blocos conforme Figra 16 O sistema amostrado x(k 1) = Φx(k)Γ(k) y(k) = Cx(k) D(k), pode ser representado em m diagrama de blocos conforme Figra Pertrbação Pertrbação é m sinal não mensrável associado à saída do processo Dois tipos de pertrbação aparecem em sistemas de controle: 1 estocástica- qe é m rído agregado à saída do processo Rídos não são modelados, porém, conhece-se a média, variância e otros parâmetros denominados momentos; e 2 determinística - qe pode ser modelada por ma eqação diferencial o a diferença do tipo homogênea Neste crso, abordaremos apenas o estdo de pertrbações determinísticas A Figra 18 mostra como aparece ma pertrbação W na saída de m processo Podemos identificar os segintes sinais:

13 Modelos e Solção no Espaço de Estado 13 W y f y PROCESSO Figra 18: Processo com Pertrbação 1 - sinal de comando; 2 y f - saída do processo sem pertrbação (filtrada) Este sinal é não mensrável; 3 W - pertrbação não mensrável; e 4 y - saída mensrável do processo 19 Pertrbação em Variáveis de Estado Caso Particlar 191 Caso Contíno As pertrbações contínas são descritas por eqações diferenciais atônomas (sem entrada) de ordem n, p n W(t) = k 1 p n 1 W(t) k n W(t) Para encontrar a solção de ma eqação diferencial, necessitamos da entrada e das condições iniciais Nma eqação diferencial atônoma, a entrada é nla; e, portanto, para qe a solção não seja nla, as condições iniciais não podem ser todas nlas; deve-se ter ao menos ma condição inicial diferente de zero Para encontrar os coeficientes k 1,k 2,,k n, vamos apresentar dois métodos Método 1: Coeficientes a Determinar Seja a pertrbação determinística W(t) = sen(wt), qe pode ser modelada por ma eqação diferencial atônoma de segnda ordem Para se determinar a eqação diferencial atônoma, deriva-se scessivamente a pertrbação em relação ao tempo e procra-se encontrar ma combinação linear entre a pertrbação e sas derivadas temporais Para isso define-se ma eqação atônoma com coeficientes a determinar No exemplo, W(t) = sen(wt) Ẇ(t) = wcos(wt) Ẅ(t) = w 2 sen(wt) Como a pertrbação W(t) = sen(wt) é regida por ma eqação atônoma de segnda ordem do tipo deve-se determinar os parâmetros k 1 e k 2 Sbstitindo-se Ẅ(t), Ẇ(t) e W(t) em p 2 W(t) = k 1 pw(t)k 2 W(t), p 2 W(t) = k 1 pw(t)k 2 W(t), vem w 2 sen(wt) = k 1 wcos(wt)k 2 sen(wt)

14 14 Notas de Ala Os coeficientes k 1 e k 2 são obtidos das relações w 2 = k 2 = k 1 Logo, a pertrbação sen(wt) satisfaz a eqação Método 2: Tabela Ẅ(t)w 2 W(t) = A eqação Ẅ(t)w2 W(t) = pode ser obtida pela Tabela 11 Operador Sinal p K p 2 K Gt p 3 K GtHt 2 pa Ke at (pa) 2 Kte at p 2 w 2 Ksen(wtϕ) p 2 w 2 Kcos(wtϕ) (pa) 2 w 2 Ke at sen(wtϕ) (pa) 2 w 2 Ke at cos(wtϕ) Tabela 11: Sinal X Operador Contíno A eqação Ẅ(t)w2 W(t) = pode ser descrita em variáveis de estado pelo segndo esqema [ 1 ẋ p = w 2 x p 192 Caso Discreto W = [ 1 x p As pertrbações discretas são descritas por eqações a diferenças atônomas (sem entrada) de ordem n, W(k n) = k 1 W(k n 1) k n W(k) Para encontrar a solção de ma eqação a diferenças, necessitamos da entrada e das condições iniciais Nma eqação a diferenças atônoma, a entrada é nla; e, portanto, para qe a solção não seja nla, as condições iniciais não podem ser todas nlas; deve-se ter ao menos ma condição inicial diferente de zero Para encontrar os coeficientes k 1,k 2,,k n, vamos apresentar dois métodos Método 1: Coeficientes a Determinar Seja a pertrbação determinística W(t) = K Gt Definido o período de amostragem T, a pertrbação nos instantes de amostragem pode se obtida pela sbstitição de t por kt W(kT) = K G(kT) ApertrbaçãoW(kT) = KG(kT)podesermodeladapormaeqaçãoadiferençasatônoma de segnda ordem Para se determinar a eqação a diferenças atônoma, determina-se a pertrbação nos instantes (k 1)T,(k 2)T e assim scessivamente, e procra-se encontrar ma combinação linear com a pertrbação nos instantes calclados Para isso define-se ma eqação atônoma com coeficientes a determinar

15 Modelos e Solção no Espaço de Estado 15 No exemplo, W(kT) = C W((k 1)T) = K G((k 1)T) = K G(kT)GT W((k 2)T) = K G((k 2)T) = K G(kT)2GT Como a pertrbação W(kT) = K G(kT) é regida por ma eqação atônoma de segnda ordem do tipo W((k 2)T) = k 1 W((k 1)T)k 2 W(kT), deve-se determinar os parâmetros k 1 e k 2 Sbstitindo-se W((k 2)T), W((k 1)T) e W(kT) em vem W((k 2)T) = k 1 W((k 1)T)k 2 W(kT), (K G(kT))2GT = k 1 ((K G(kT))GT)k 2 (K G(kT)) Os coeficientes k 1 e k 2 são obtidos das relações 1 = k 1 k 2 2 = k 1 Logo, a pertrbação sen(wt) satisfaz a eqação W(k 2) 2W(k 1)W(k) = A eqação W(k 2) 2W(k 1)W(k) = pode ser obtida pela Tabela 12 Operador Sinal q 1 K (q 1) 2 K G(kT) (q 1) 3 K G(kT)H(kT) 2 q e at Ke a(kt) (q e at ) 2 K(kT)e a(kt) q 2 2qcos(wT)1 Ksen(w(kT)ϕ) q 2 2qcos(wT)1 Kcos(w(kT)ϕ) q 2 2qe at cos(wt)e 2aT Ke a(kt) sen(w(kt)ϕ) q 2 2qe at cos(wt)e 2aT Ke a(kt) cos(w(kt)ϕ) Tabela 12: Sinal X Operador Discreto A eqação W(k 2) 2W(k 1) W(k) = pode ser descrita em variáveis de estado pelo segndo esqema x p (k 1) = [ x p (k) W(k) = [ 1 x p (k)

16 16 Notas de Ala 11 Pertrbação em Variáveis de Estado Caso Geral 111 Caso Contíno Seja a pertrbação contína de ordem n, descrita pela eqação diferencial A Forma Canônica de Observabilidade é 112 Caso Discreto p n W(t) = k 1 p n 1 W(t) k n W(t) ẋ p = k 1 k 2 I n 1 k n W = [ 1 x p x p Seja a pertrbação discreta descrita pela seginte eqação a diferença, W(k n) = k 1 W(k n 1) k n W(k) A Forma Canônica de Observabilidade é x p (k 1) = k 1 k 2 I n 1 k n x p(k) W(k) = [ 1 x p (k) 111 Processo com Pertrbação em Variáveis de Estado 1111 Caso Contíno ConsidereaFigra19, ondeapertrbaçãoestámodeladaporm sistemade ordemn p eoprocesso é de ordem n f ẋ p = A p x p W W = C p x p ẋ f = A f x f B f y f = C f x f D f y f y Figra 19: Processo com Pertrbação

17 Modelos e Solção no Espaço de Estado 17 Podemos escrever ẋ f y f ẋ p = A f x f B f = C f x f D f = A p x p W = C p x p y = y f W, o qe permite escrever a pertrbação e o processo, em forma matricial, nm único sistema de ordem n f n p, descrito por [ [ [ [ ẋf Af xf Bf = ẋ p A p x p y = [ [ x C f C f p D x f p Dentro da definição de ma matriz, saremos a notação para representar ma matriz o vetor com todos os elementos igais a A dimensão é variável e se adeqa a sa posição dentro da matriz Assim, à direita de A f tem n f linhas e n p colnas; e, abaixo de B f tem 1 colna e n p linhas 1112 Caso Discreto Considere a Figra 11, onde a pertrbação está modelada por m sistema de ordem n p e o processo é de ordem n f x p (k 1) = Φ p x p (k) W(k) W(k) = C p x p (k) x f (k 1) = Φ f x f (k)γ f (k) y f (k) y(k) (k) y f (k) = C f x f (k)d f (k) Figra 11: Processo com Pertrbação Podemos escrever qe x f (k 1) = Φ f x f (k)γ f (k) y f (k) = C f x f (k)d f (k) x p (k 1) = Φ p x p (k) W(k) = C p x p (k) y(k) = y f (k)w(k), o qe permite escrever a pertrbação e o processo, em forma matricial, nm único sistema de ordem n f n p, descrito por [ [ [ [ xf (k 1) Φf xf (k) Γf = (k) x p (k 1) Φ p x p (k) y(k) = [ C f C p [ x f (k) x p (k) D f (k)

18 18 Notas de Ala 112 Conexões 1121 Caso Contíno Conexão em Paralelo Considere a conexão em paralelo apresentada na Figra 111 y a ẋ a = A ax a B a y a = C ax a D a y ẋ b = A b x b B b y b = C b x b D b y b O sistema A, de ordem n a, é descrito por Figra 111: Conexão em Paralelo ẋ a e o sistema B, de ordem n b, é descrito por Podemos escrever qe = A a x a B a y a = C a x a D a, ẋ b = A b x b B b y b = C b x b D b y = y a y b, o qe permite escrever a conexão em paralelo, em forma matricial, nm único sistema de ordem n a n b, descrito por [ [ [ [ ẋa Aa xa Ba = ẋ b A b x b B b y = [ [ x C a C a b (D x a D b ) b Conexão em Cascata Considere a conexão em cascata apresentada na Figra 112 O sistema A, de ordem n a, é descrito por ẋ a e m sistema B, de ordem n b, descrito por = A a x a B a y a = C a x a D a, ẋ b = A b x b B b y a y = C b x b D b y a Podemos escrever a conexão em cascata, em forma matricial, nm único sistema de ordem n a n b, descrito por [ [ [ [ ẋa A = a xa B a ẋ b B b C a A b x b B b D a y = [ [ x D b C a C a b D x b D a b

19 Modelos e Solção no Espaço de Estado 19 y a y ẋ a = A ax a B a y a = C ax a D a ẋ b = A b x b B b y a y = C b x b D b y a Figra 112: Conexão em Cascata Conexão em Realimentação Considere a conexão em realimentação apresentada na Figra 113 ǫ ẋ = AxBǫ y y = CxDǫ Figra 113: Conexão em Realimentação O sistema dinâmico, de ordem n, é descrito por Podemos escrever qe Assim, a eqação de saída pode ser reescrita ẋ = AxBǫ y = CxDǫ ǫ = y y = CxD( y) (1D)y = CxD y = (1D) 1 Cx(1D) 1 D Para encontrar a eqação de estado precisamos encontrar y em fnção de x e y = (1D) 1 Cx(1D) 1 D y = (1D) 1 Cx (1D) 1 D (1D)( y) = (1D) Cx D (1D)( y) = Cx = Cx y = (1D) 1 Cx(1D) 1, o qe permite escrever a conexão em realimentação, em forma matricial, nm único sistema de ordem n, descrito por ẋ = [A B(1D) 1 CxB(1D) 1 y = (1D) 1 Cx(1D) 1 D

20 2 Notas de Ala 1122 Caso Discreto Conexão em Paralelo Considere a conexão em paralelo apresentada na Figra 114 y a (k) (k) x a(k 1) = Φ ax a(k)γ a(k) y a(k) = C ax a(k)d a(k) y(k) x b (k 1) = Φ b x b (k)γ b (k) y b (k) = C b x b (k)d b (k) y b (k) O sistema A, de ordem n a, é descrito por e m sistema B, de ordem n b, é descrito por Podemos escrever qe Figra 114: Conexão em Paralelo x a (k 1) = Φ a x a (k)γ a (k) y a (k) = C a x a (k)d a (k), x b (k 1) = Φ b x b (k)γ b (k) y b (k) = C b x b (k)d b (k) y(k) = y a (k)y b (k), o qe permite escrever a conexão em paralelo, em forma matricial, nm único sistema de ordem n a n b, descrito por [ [ [ [ xa (k 1) Φa xa (k) Γa = (k) x b (k 1) Φ b x b (k) Γ b Conexão em Cascata y(k) = [ C a C b [ x a (k) x b (k) Considere a conexão em cascata apresentada na Figra 115 O sistema A, de ordem n a, é descrito por e o B, de ordem n b, é descrito por x a (k 1) = Φ a x a (k)γ a (k) y a (k) = C a x a (k)d a (k), x b (k 1) = Φ b x b(k)γ b y a (k) y(k) = C b x b (k)d b y a (k) (D a D b )(k) Podemos escrever a conexão em cascata, em forma matricial, nm único sistema de ordem n a n b, descrito por [ [ [ [ xa (k 1) Φa xa (k) Γ = a (k) x b (k 1) Φ b x b (k) Γ b D a Γ b C a y(k) = [ D b C a C b [ x a (k) x b (k) D b D a (k)

21 Modelos e Solção no Espaço de Estado 21 (k) y a (k) y(k) x a(k 1) = Φ ax a(k)γ a(k) y a(k) = C ax a(k)d a(k) x b (k 1) = Φ b x b (k)γ b y a(k) y(k) = C b x b (k)d b y a(k) Figra 115: Conexão em Cascata Conexão em Realimentação Considere a conexão em realimentação apresentada na Figra 116 (k) ǫ(k) x(k 1) = Φx(k)Γǫ(k) y(k) y(k) = Cx(k)Dǫ(k) Figra 116: Conexão em Realimentação O sistema dinâmico, de ordem n, descrito por x(k 1) = Φx(k)Γǫ(k) y(k) = Cx(k) Dǫ(k) Podemos escrever qe ǫ(k) = (k) y(k) Assim, de maneira similar ao caso contíno, podemos escrever a conexão em realimentação, em forma matricial, nm único sistema de ordem n, descrito por x(k 1) = [Φ Γ(1D) 1 Cx(k)Γ(1D) 1 (k) y(k) = (1D) 1 Cx(k)(1D) 1 D(k) 1123 Exemplo Seja o sistema da Figra 117 onde a fnção de transferência do controlador é a fnção de transferência do processo é C(s) =,8 s, e a pertrbação é P(s) = 2 s 2 6s8,

22 22 Notas de Ala W ǫ y f y CONTROLADOR PROCESSO Figra 117: Exemplo de Conexões W(t) = 1 Encontrar: a) A forma canônica de controlabilidade do controlador; b) A forma canônica de controlabilidade do processo; c) A descrição em variáveis de estado da pertrbação; d) A conexão em cascata do controlador-processo; e e) A descrição em variáveis de estado do controlador-processo-pertrbação Solção: a) Da fnção de transferência de C(s) podemos tirar qe k 1 = d = b 1 =,8 A forma canônica de controlabilidade do controlador é ẋ a = ε =,8x a b) Da fnção de transferência de P(s) podemos tirar qe k 1 = 6 k 2 = 8 d = b 1 = b 2 = 2 A forma canônica de controlabilidade do processo é c) O sinal W(t) satisfaz ẋ b = [ [ x 1 b y f = [ 2 x b Assim, dw dt = k 1 =

23 Modelos e Solção no Espaço de Estado 23 A pertrbação é então modelada por ẋ p = W = x p d)do controlador A a = B a = 1 C a =,8 D a = Do processo [ 6 8 A b = 1 [ 1 B b = C b = [ 2 D b = Podemos escrever B b C a = B b D a = [ [ 1,8,8 = [ [ 1 = D a C b = D b D a = Assim [ ẋa ẋ b y f = [ [ [ A a xa B b C a A b x b B a ε B b D a = [ D b C a C b [ x a x b D b D a ε, (11) gera ẋ f =,8 6 8 x f 1 ε 1 y f = [ 2 x f e) podemos escrever qe

24 24 Notas de Ala Então A f =, B f = 1 C f = [ 2 D f = A p = C p = 1 gera [ ẋf [ [ [ Af xf Bf = ẋ p A p x p y = [ [ x C f C f p D x f ε, p ε [ 1 =,8 6 8 xf ẋ p 1 x p ε y = [ 2 1 [ x f x p [ ẋf 113 Solção Temporal 1131 Caso Contíno Seja o sistema de ordem n, A solção é dada pelas eqações x(t) = e A(t t) x(t ) ẋ = AxB y = CxD t y(t) = C[e A(t t) x(t ) A matriz e At é definida pela série t e A(t τ) B(τ)dτ t t e A(t τ) B(τ)dτD(t) e At = I 1 1! At 1 2! A2 t 2 1 3! A3 t 3, e tem a seginte propriedade e A(t1t2) = e At1 e At Caso Discreto Seja o sistema de ordem n, x(k 1) = Φx(k)Γ(k) y(k) = Cx(k) D(k)

25 Modelos e Solção no Espaço de Estado 25 A solção é dada pelas eqações (k 1) x(k) = Φ (k k) x(k ) Φ (k j 1) Γ(j) j=k (k 1) y(k) = C[Φ (k k) x(k ) Φ (k j 1) Γ(j)D(k) j=k 114 Determinação da Eqação de Estado Discreta a Partir da Contína Considere a Figra 118, qe apresenta m processo controlado por m controlador analógico W ǫ y s r CONTROLADOR PROCESSO y Figra 118: Controle Analógico Considere a seginte Figra 119, onde o controlador analógico foi sbstitído por m comptador digital W ǫ y s r CAD CD CDA PROCESSO y As segintes considerações podem ser feitas: Figra 119: Controle Digital 1 comptadores digitais trabalham internamente com números binários Portanto, pela Figra 119, vemos qe comptadores digitais sados em controle deverão ter m Conversor Analógico Digital (CAD) para receber o sinal analógico do erro, ǫ, e m Conversor Digital Analógico para enviar ao processo o sinal de comando calclado, ; 2 comptadores digitais trabalham com programas Ver Figra 12 Portanto, o comptador digital sado para sbstitir m controlador analógico recebe o sinal de erro toda vez qe, no programa qe calcla o sinal de comando, a instrção de acionar o CAD é exectada Este programa é rodado nm período T, qe define o período de amostragem 3 como o programa qe calcla roda no período T, o sinal de comando é atalizado de T em T segndos Este sinal é enviado ao processo através do CDA Assim, o sinal de comando permanece constante (sstentado) enqanto não é atalizado, o seja, (τ) = (kt) para kt τ < (k 1)T Desta forma, tdo se passa como se o sinal de controle fosse calclado

26 26 Notas de Ala CAD LER ǫ(k) T CALCULAR (k) CDA ENVIAR PARA O PROCESSO : (k) Figra 12: Calclo de (k) W T r T ǫ T CAD CD T CDA BOZ PROCESSO y s y Figra 121: Modelo do Comptador CD T ǫ y y s PROCESSO BOZ T T T r W Figra 122: Processo&BOZ

27 Modelos e Solção no Espaço de Estado 27 periodicamente de T em T segndos, e este resltado entrasse nm Bloqeador de Ordem Zero (BOZ) Cmpre observar qe o programa qe calcla leva algm tempo para ser rodado: tempo de conversão do CAD; tempo de cálclo propriamente dito; e tempo de conversão do CDA O período de amostragem T deve, então, ser maior qe a soma destes três tempos, t Na prática, o período de amostragem, T, é mitas vezes maior qe t, o seja, t << T Dentro do intervalo de tempo T, o comptador pode ainda rodar otros programas, além do programa de cálclo do sinal de comando,, como programas para aqisição de dados, programas de acionamento e programas de spervisão Tendo em vista estas observações, podemos modelar o comptador e o processo conforme a Figra 121 Note qe o CAD é modelado por ma chave, e o CDA, por ma chave em cascata com m BOZ A Figra 121 pode ser redesenhada conforme a Figra 122 Desta figra vemos qe: 1 o processo visto pelo comptador é, na realidade, o processo associado a m BOZ, onde as entradas e a saída são amostradas Portanto, o sistema composto de processo e BOZ pode ser descrito por eqações a diferença, no domínio tempo; o Transformada Z, no domínio freqüência; 2 como o conjnto formado pelo processo e pelo BOZ pode ser descrito por ma eqação a diferença, também podemos representá-lo por eqações de estado; 3 o programa qe calcla é m algorítimo qe reflete ma eqação a diferença Portanto, podemos também escrever este programa a partir de eqações de estado; 4 tanto o sinal de referência r, como a pertrbação são sinais apenas amostrados, não estando associados a BOZ s Em virtde destas observações, vamos ver, em segida, como se calcla a eqações de estado discretas a partir das eqações de estado contínas 1141 Modelo do BOZ-Processo Seja o sistema contíno de ordem n, A solção x(t) é dada por ẋ = AxB y = CxD t x(t) = e A(t t) x(t ) e A(t τ) B(τ)dτ t Se T é o período de amostragem, podemos definir qe Assim, vem qe t = (k 1)T t = kt (k1)t x((k 1)T) = e AT x(kt) e A((k1)T τ) B(τ)dτ kt Mas, vimos qe (τ) = (kt) para kt τ < (k 1)T Assim, ( ) (k1)t x((k 1)T) = e AT x(kt) e A((k1)T τ) dτ B(kT) kt

28 28 Notas de Ala Fazendo ma mdança de variáveis dentro da integral η = (k1)t τ, podemos escrever qe dτ = dη; qe η = qando τ = (k 1)T; e qe η = T qando τ = kt Assim, (k1)t kt e A((k1)T τ) dτ = = T T e Aη dη e Aη dη Podemos, então, escrever qe ( ) T x(k 1) = e AT x(k) e Aη dη B(kT) Assim, identificamos Podemos escrever qe Φ = ( e AT T ) Γ = e Aη dη B ψ = I 1 2! AT 1 3! A2 T 2 Φ = IATψ Γ = ψtb O modelo discreto do BOZ-Processo é x(k 1) = Φx(k)Γ(k) y(k) = Cx(k) D(k) 1142 Exemplo Seja o sistema contíno ẋ = 6 8,8 1 x 1 y = [ 2 x Achar o modelo discreto BOZ&Sistema, considerando m período de amostragem de, 1 segndos Solção: Podemos escrever A = 6 8,8 1 B = 1 C = [ 2 D =, e T =,1

29 Modelos e Solção no Espaço de Estado 29 Em 6 iterações, a matriz ψ é ψ = = ! AT 1 3! A2 T 2 1 4! A3 T 3 1 5! A4 T 4 1 6! A5 T 5 1,7421,3286,329, 411, 9885, 12 1 As matrizes Φ e Γ são O BOZ&Sistema será x(k 1) =,5219,5936,594 Φ = IATψ =, 742, 9671, 33 1 Γ = ψtg =,33, 1, 1,5219,5936,594, 742, 9671, 33 x(k),33, 1 (k) 1, 1 y(k) = [ 2 x(k) 1143 Modelo da Pertrbação Dois métodos podem ser sados: Primeiro Método O primeiro método é o método dos coeficientes a determinar, qe já foi visto Conhecendo-se W(t), determina-se W(kT) Procra-se achar ma eqação a diferença homogênea Em segida sa-se a Forma Canônica de Observabilidade discreta Segndo Método O segndo método também já foi visto È o método qe sa tabela Terceiro Método Sponhamos qe W(t) é dada pelo sistema contíno de ordem n, ẋ = Ax W = Cx Calcla-se Φ por ψ = I 1 2! AT 1 3! A2 T 2 Φ = IATψ O modelo discreto da pertrbação é x(k 1) = Φx(k) W(k) = Cx(k)

30 3 Notas de Ala 115 Exercícios 1 Achar o modelo em variáveis de estado na forma canônica de controlabilidade de: a) s1 s 2 5s2 b) c) d) e) f) 3z 2 4z 8 z 2 5z 1 dy 2 dt = 2dy 8y 2d2 dt dt 2 3 dy dt = 2y 4 y(k 3) =,5y(k2),8y(k)2(k 2)5(k 1)7(k) 4 1s 11s 2 Achar o modelo em variáveis de estado na forma canônica de observabilidade dos sistemas do Exercício 1 3 Seja o sistema da Figra 123 A fnção de transferência do controlador é e a fnção de transferência do processo é G(s) = C(s) = 2 s,4 s 2,125s,3 ǫ y r CONTROLADOR PROCESSO Figra 123: Exercício 3 a) Modele C(s) em variáveis de estado na forma canônica de controlabilidade; b) Modele G(s) em variáveis de estado na forma canônica de observabilidade; c) Com os resltados de a) e b), modele a malha direta em variáveis de estado;e d) Modele o sistema realimentado 4 Discretizar o sistema abaixo, em cascata com m Bloqeador de Ordem Zero, considerando m período de amostragem T = 1 segndos d dt x = x y = [ 1 1 x 2 1

31 Modelos e Solção no Espaço de Estado 31 5 Achar o modelo em variáveis de estado das segintes pertrbações: a) W = 5sen(12t); b) W = 8cos(5t); c) W = 3t 2 ; d) W = 4t5; e e) Determinar pelo método dos coeficientes a determinar o modelo discreto de W = 3t 2 para T =,5 segndos; f) Determinar pelo método dos coeficientes a determinar o modelo discreto de W = 4t5 para T =,5 segndos

32 32 Notas de Ala 116 Respostas dos Exercícios 1 2 a) b) c) d) e) f) a) b) c) d) ẋ = x(k 1) = x(k 1) = [ [ x 1 y = [ 1 1 x [ [ x(k) (k) 1 y(k) = [ 11 5 x(k)3(k) ẋ = [ [ x 1 y = [ 4 19 x2 ẋ = 2x y = 4x,5,8 1 x(k) 1 (k) 1 y(k) = [ 2 5,7 x(k) ẋ =,1x y =,36x,4 ẋ = x(k 1) = [ 5 1 x 2 y = [ 1 x [ 5 1 x(k) 1 [ 1 1 y(k) = [ 1 x(k)3(k) ẋ = [ 2 1 x 8 y = [ 1 x2 ẋ = 2x4 y = x [ 4 19 [ 11 (k) 5

33 Modelos e Solção no Espaço de Estado 33 e) x(k 1) = x(k) 2 5 (k),8,7 y(k) = [ 1 x(k) f) ẋ =,1x,36 y = x,4 3 a) ẋ = ǫ = 2x b) c) d) ẋ = [ [,125 1 x,3,4 y = [ 1 x ẋ =,125 1 x 1 ǫ,8,3 y = [ 1 x ẋ = 1,125 1 x 1 r,8,3 y = [ 1 x 4 5 a) b) x(k 1) = 1,113,233,167,19 1,223,46 x(k),222,112 (k),129,13 1,5,12 y(k) = [ 1 1 x(k) ẋ = [ 1 x 144 W = [ 1 x ẋ = [ 1 x 25 W = [ 1 x

34 34 Notas de Ala c) d) e) f) ẋ = 1 1 x W = [ 1 x ẋ = x(k 1) = [ 1 x W = [ 1 x x(k) 1 W(k) = [ 1 x(k) x(k 1) = [ 2 1 x(k) 1 W(k) = [ 1 x(k)