Introdução ao Controle em Espaço de Estados - Escrevendo as Equações de Estado

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1 Introdução ao Controle em Espaço de Estados - Escrevendo as Equações de Estado Eduardo M. A. M. Mendes DELT - UFMG Curso de Engenharia de Controle e Automação Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpdee.ufmg.br Eduardo Mendes (DELT - UFMG Curso de Engenharia de Controle MACSIN e Automação Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpd 1 / 41

2 Objetivo Representar um sistema em Espaço de Espaços escrevendo uma das seguintes formas: { Ẋ (t) = AX (t) + BU(t) Y (t) = CX (t) + DU(t) { X (k + 1) = AX (k) + BU(k) Y (k) = CX (k) + DU(k) Obs.: Pode haver mais de uma escolha de modelo em espaços de estados. Métodos: 1) Métodos Gráficos - Circuitos Elétricos - Leis de Kirchhoff 2) Métodos baseados em Energia - Equações de Euler-Langrange 3) Agregação - Modelos de Comportamento (Biologia e Ciências Sociais) Eduardo Mendes (DELT - UFMG Curso de Engenharia de Controle MACSIN e Automação Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpd 2 / 41

3 Objetivo (cont.) 4) Filtros Digitais - Diagrama de Blocos 5) Realizações - realizações I/O para Espaço de Estados e vice-versa para sistemas não-lineares é alvo de pesquisa recente - Veja artigos de U. Kotta. Eduardo Mendes (DELT - UFMG Curso de Engenharia de Controle MACSIN e Automação Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpd 3 / 41

4 Métodos baseados em Energia Escrever expressões para a energia Potencial e Cinética para sistemas sujeitos às Leis de Newton. Idéia: Se um sistema é constituído de um conjunto k partículas em posições dadas pelos vetores r 1, r 2,..., r k sujeitos a restrições de igualdades da forma g }{{} i i=1,... (r 1, r 2,..., r k ) = 0, k pode ser infinito Se o conjunto de restrições é infinito, o conjunto de restrições é dito holonômico. Eduardo Mendes (DELT - UFMG Curso de Engenharia de Controle MACSIN e Automação Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpd 4 / 41

5 Métodos baseados em Energia (cont.) Seja um conjunto de variáveis independentes q 1, q 2,..., q n a ser identificado, das quais a posição de todos os elementos do sistema pode ser determinada. q 1... q n coordenadas generalizadas q 1... q n velocidades generalizadas A energia cinética total do sistema pode ser escrita como T = T (q 1,..., q n, q 1,..., q n, t) A energia potencial total é por sua vez V = V (q 1, q 2,..., q n, t) Eduardo Mendes (DELT - UFMG Curso de Engenharia de Controle MACSIN e Automação Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpd 5 / 41

6 Métodos baseados em Energia (cont.) Então a quantidade escalar L = T V é chamada de Lagrangiano do sistema. Considerando um sistema com n graus de liberdade, as equações diferenciais de Euler-Lagrange são ( ) d L L + D = f i, dt q i q i q i i = 1,..., n onde D é metade da taxa de dissipação de energia em forma de calor, Eduardo Mendes (DELT - UFMG Curso de Engenharia de Controle MACSIN e Automação Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpd 6 / 41

7 Métodos baseados em Energia (cont.) f i é a força ĺıquida associada com a coordenada q i e definida positiva quando atua na direção de crescimento de q i. Em forma matricial [q i f i ] dimensão de trabalho Q = [q i ] F = [f i ] Logo: d dt L q 1. L q n L q 1. L q n D q 1 +. D q n = f 1. f n Eduardo Mendes (DELT - UFMG Curso de Engenharia de Controle MACSIN e Automação Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpd 7 / 41

8 Métodos baseados em Energia (cont.) Para sistemas lineares L e D têm geralmente a forma quadrática 1 2 X T }{{} M }{{} X matrix simétrica vetor onde ( 1 2 X T MX ) = MX X Na forma matricial padrão a energia cinética pode ser escrita como e a potencial T = 1 2 Q T M(Q) Q V = V (Q) se V não depende de Q Eduardo Mendes (DELT - UFMG Curso de Engenharia de Controle MACSIN e Automação Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpd 8 / 41

9 Métodos baseados em Energia (cont.) então a equação matricial toma a seguinte forma M(Q) Q + C(Q, Q) Q + K(Q) = F onde F inclui as forças devido à dissipação de energia e às forças externas. Para sistemas lineares V (Q) = 1 2 QT KQ e D = 1 2 Q T C Q Então as equações de Euler-Lagrange são M Q + C Q + KQ = F Eduardo Mendes (DELT - UFMG Curso de Engenharia de Controle MACSIN e Automação Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpd 9 / 41

10 Métodos baseados em Energia (cont.) onde M é a matriz massa, C a matriz de amortecimento e K a matriz de constante da mola. Se M possuir inversa, então ] [ ] [ ] [Ẋ1 0 I X1 = M 1 K M 1 C Ẋ 2 X 2 [ ] 0 + M 1 F Eduardo Mendes (DELT - UFMG Curso de Engenharia de Controle MACSIN e Automação Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpd 10 / 41

11 Exemplo Figura 1: Pêndulo Invertido Energia Cinética = soma das energias cinéticas de cada massa T 1 = 1 2 Mẏ 2 T 2 = 1 2 m(ẏ ż 2 2 ) Eduardo Mendes (DELT - UFMG Curso de Engenharia de Controle MACSIN e Automação Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpd 11 / 41

12 Exemplo (cont.) Repare que a haste restringe z 2 e y 2 y 2 = y + lsen(θ) ẏ 2 = ẏ + l θcos(θ) z 2 = lcos(θ) ż 2 = l θsen(θ) Finalmente podemos determinar quanto é a energia cinética T = T 1 + T 2 = 1 2 Mẏ m ( ẏ 2 + 2ẏ θlcos(θ) + l 2 θ 2) A energia potencial, por sua vez, é V = mgz 2 = mglcos(θ) Eduardo Mendes (DELT - UFMG Curso de Engenharia de Controle MACSIN e Automação Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpd 12 / 41

13 Exemplo (cont.) Podemos calcular as várias derivadas da seguinte maneira L ẏ L y L θ L θ = (M + m)ẏ + mlcos(θ) θ = 0 = mlcos(θ)ẏ + ml 2 θ = mglsen(θ) mlsen(θ)ẏ θ O conjunto de 2 equações toma a forma { (M + m)ÿ + mlθ θ ml θ 2 sen(θ) = f mlcos(θ)ÿ + ml 2 θ mglsen(θ) = 0 Eduardo Mendes (DELT - UFMG Curso de Engenharia de Controle MACSIN e Automação Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpd 13 / 41

14 Exemplo (cont.) Situação em que o pêndulo está estabilizado e θ é pequeno O Lagrangiano é cos(θ) 1 e sen(θ) θ L = T V = 1 2 (M + m)ẏ 2 = mlcos(θ)ẏ θ ml 2 θ 2 mglcos(θ) As coordenadas generalizadas escolhidas são: (y, θ). Logo: ( ) d L L = f dt ẏ y ( ) d L L = 0 dt θ θ Eduardo Mendes (DELT - UFMG Curso de Engenharia de Controle MACSIN e Automação Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpd 14 / 41

15 Exemplo (cont.) Calculando cada uma das derivadas parciais e com θ e ẏ pequenos, podemos desprezar os termos quadráticos { (M + m)ÿ + ml θ = f (A) mÿ + ml θ mgθ = 0 (B) (A) (B) (A) (M+m) m (B) Mÿ + mgθ = f Ml θ g(m + m)θ = f Juntando as duas partes, temos: { ÿ = mg θ = M+m Ml M θ + f M gθ f Ml Eduardo Mendes (DELT - UFMG Curso de Engenharia de Controle MACSIN e Automação Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpd 15 / 41

16 Exemplo (cont.) Finalmente colocando na representação em Espaço de Estados ẏ y θ ÿ = mg θ M 0 0 ẏ + (M+m) θ 0 Ml 0 0 θ M 1 Ml f Eduardo Mendes (DELT - UFMG Curso de Engenharia de Controle MACSIN e Automação Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpd 16 / 41

17 Realizações Primeira Forma Companheira 1 a) H(s) = s k +a 1s k a k. Para achar a representação em espaço de estados, considere (s k + a 1 s k a k )Y (s) = U(s) voltando no tempo e utilizando o operador derivada D, tem-se D k y + a 1 D k 1 y a k y = u D k y = a 1 D k 1 y... a }{{} k y +u }{{} x k x 1 Eduardo Mendes (DELT - UFMG Curso de Engenharia de Controle MACSIN e Automação Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpd 17 / 41

18 assim ẋ 1 = x 2 ẋ 2 = x 3.. ẋ k 1 = x k ẋ k = a k x k a k 1 x k 1... a 1 x 1 + u y = x 1 Logo: ẋ = a k a k 1 a k 2... a x + 0 u. 1 Eduardo Mendes (DELT - UFMG Curso de Engenharia de Controle MACSIN e Automação Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpd 18 / 41

19 e y = [ ] x Podemos também ter a 1 a 2 a 2... a k x u e y = [ ] x Eduardo Mendes (DELT - UFMG Curso de Engenharia de Controle MACSIN e Automação Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpd 19 / 41

20 Figura 2: Realização em Espaço de Estados da função de transferência na primeira forma companheira Eduardo Mendes (DELT - UFMG Curso de Engenharia de Controle MACSIN e Automação Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpd 20 / 41

21 b) H(s) = Y (s) U(s) = b0sk +b 1s k b k s k +a 1s k a k espaço de estados considere Para encontrar a representação em Y (s) U(s) = Y (s) Z(s) Z(s) U(s) = b 0s k + b 1 s k b k s k + a 1 s k a k onde Z(s) é uma variável auxiliar. Podemos separar a função de transferência em duas partes Y (s) Z(s) = b 0 s k + b 1 s k b k Z(s) U(s) = 1 s k + a 1 s k a k Eduardo Mendes (DELT - UFMG Curso de Engenharia de Controle MACSIN e Automação Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpd 21 / 41

22 Repare que já temos a solução para Z(s) U(s) temos que cuidar de Y (s) Z(s) e (Forma companheira). Só Y (s) = ( b 0 s k + b 1 s k b k ) Z(s) y(t) = b 0 D k z(t) + b 1 D k 1 z(t) b k z(t) ( s k + a 1 s k a k ) Z(s) = U(s) D k z(t) + a 1 D k 1 z(t) a k z(t) = u(t) Observando a figura abaixo e juntando as duas equações em y(t), temos y = (b k a k b 0 ) x 1 + (b k 1 a k 1 b 0 ) x (b 1 a 1 b 0 ) x k + b 0 u Eduardo Mendes (DELT - UFMG Curso de Engenharia de Controle MACSIN e Automação Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpd 22 / 41

23 Figura 3: Realização em Espaço de Estados da função de transferência na primeira forma companheira Eduardo Mendes (DELT - UFMG Curso de Engenharia de Controle MACSIN e Automação Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpd 23 / 41

24 Finalmente temos e ẋ = a k a k 1 a k 2... a x + 0 u. 1 y = [ b k a k b 0 b k 1 a k 1 b 0... b 1 a 1 b 0 ] + b0 u Eduardo Mendes (DELT - UFMG Curso de Engenharia de Controle MACSIN e Automação Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpd 24 / 41

25 Realizac o es (cont.) Figura 4: Realizac a o em Espac o de Estados da func a o de transfere ncia na primeira forma companheira - Multi-saı das Eduardo Mendes (DELT - UFMG Curso de Engenharia de Controle MACSIN e Automac a o Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpd 25 / 41

26 Figura 5: Realização em Espaço de Estados da função de transferência na primeira forma companheira - Forma Alternativa Os ganhos p 1, p 2,..., p k do caminho direto não são, em geral, iguais aos coeficientes do numerador da função de transferência. Eduardo Mendes (DELT - UFMG Curso de Engenharia de Controle MACSIN e Automação Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpd 26 / 41

27 Da figura, podemos verificar que ẋ 1 = x 2 + p 1u ẋ 2 = x 3 + p 2u. ẋ k 1 = x k + p k 1 u ẋ k = a 1x k... a k x 1 + p k u e y = x 1 + p 0u Eduardo Mendes (DELT - UFMG Curso de Engenharia de Controle MACSIN e Automação Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpd 27 / 41

28 Se diferenciarmos k vezes y = x 1 + p 0u e utilizarmos as equações anteriores, temos Dy = x 2 + p 1u + p 0Du D 2 y = x 3 + p 2u + p 1Du + p 0D 2 u. D k 1 y = x k + p k 1 u + p k 2 Du p 1D k 2 u + p 0D k 1 u D k y = a 1x k a 2x k 1... a k x 1 Juntando, temos +p k u + p k 1 Du +... p 1D k 1 u + p 0D k u D k y + a 1D k a k y = (p k + a 1p k a k 1 p 1 + a k p 0) u + (p k a k 2 p 1 + a k 1 p 0) Du (p 1 + a 1p 0) D k 1 u + p 0D k u Eduardo Mendes (DELT - UFMG Curso de Engenharia de Controle MACSIN e Automação Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpd 28 / 41

29 Ao comparar a equação acima e o numerador da função de transferência, chega-se ao seguinte sistema de equações que está na forma Toeplitz. p 0 = b 0 p 1 + a 1p 0 = b 1. p k a k 2 p 1 + a k 1 p 0 = b k 1 p k a k 1 p 1 + a k p 0 = b k Eduardo Mendes (DELT - UFMG Curso de Engenharia de Controle MACSIN e Automação Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpd 29 / 41

30 Realizac o es (cont.) Figura 6: Realizac a o em Espac o de Estados da func a o de transfere ncia na primeira forma companheira - Multi-entradas Eduardo Mendes (DELT - UFMG Curso de Engenharia de Controle MACSIN e Automac a o Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpd 30 / 41

31 c) Segunda Forma Companheira No caso da primeira forma companheira os coeficients do denominador da função de transferência apareciam em uma linha da matriz A. No caso da segunda forma, os coeficientes apareceram em uma coluna da mesma matriz. Para o caso SISO considere ) ) (s k + a 1s k a k Y (s) = (b 0s k + b 1s k b k U(s) ou s k [Y (s) b 0U(s)] + s k 1 [a 1Y (s) b 1U(s)] [a k Y (s) b k U(s)] = 0 Dividindo por s k e resolvendo para Y (s), temos Y (s) = b 0U(s) + 1 s [b1u(s) a1y (s)] s k [b ku(s) a k Y (s)] Eduardo Mendes (DELT - UFMG Curso de Engenharia de Controle MACSIN e Automação Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpd 31 / 41

32 Figura 7: Realização em Espaço de Estados da função de transferência na segunda forma companheira Eduardo Mendes (DELT - UFMG Curso de Engenharia de Controle MACSIN e Automação Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpd 32 / 41

33 Da figura podemos escrever ẋ 1 = x 2 a 1 (x 1 + b 0u) + b 1u ẋ 2 = x 3 a 2 (x 1 + b 0u) + b 2u. ẋ k 1 = x k a k 1 (x 1 + b 0u) + b k 1 u ẋ k = a k (x 1 + b 0u) + b k u y = x 1 + b 0u Em notação matricial a b 1 a 1b 0 a b 2 a 2b 0 ẋ =. x +. u a k b k 1 a k 1 b 0 a k b k a k b 0 Eduardo Mendes (DELT - UFMG Curso de Engenharia de Controle MACSIN e Automação Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpd 33 / 41

34 ou y = [ ] x + [ b 0 ] u a k b k a k b a k 1 b k 1 a k 1 b 0 ẋ = a k 2 x +. u. b 2 a 2b a 1 b 1 a 1b 0 y = [ ] x + [ b 0 ] u Eduardo Mendes (DELT - UFMG Curso de Engenharia de Controle MACSIN e Automação Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpd 34 / 41

35 Figura 8: Realização em Espaço de Estados da função de transferência na segunda forma companheira - Alternativa Eduardo Mendes (DELT - UFMG Curso de Engenharia de Controle MACSIN e Automação Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpd 35 / 41

36 d) Forma de Jordan Neste caso a função de transferência a ser considerada tem a seguinte forma H(s) = b 0 + r1 + r r k s s 1 s s 2 s s k onde os r i são os resíduos. A figura abaixo mostra a representação em espaço de estados via diagrama de blocos. Eduardo Mendes (DELT - UFMG Curso de Engenharia de Controle MACSIN e Automação Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpd 36 / 41

37 Figura 9: Realização em Espaço de Estados da função de transferência na Forma de Jordan Eduardo Mendes (DELT - UFMG Curso de Engenharia de Controle MACSIN e Automação Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpd 37 / 41

38 Neste caso podemos escrever ẋ 1 = s 1x 1 + u ẋ 2 = s 2x 2 + u. ẋ k = s k x k + u onde s i são os pólos (não há repetição). A equação de saída é y = r 1x 1 + r 2x r k x k + b 0u Na forma matricial s s ẋ =. s k 1 0 x + 1. u s k 1 e y = [ r 1 r 2... r k ] x + [ b0 ] u Eduardo Mendes (DELT - UFMG Curso de Engenharia de Controle MACSIN e Automação Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpd 38 / 41

39 e) Forma de Jordam com raizes repetidas Neste caso, devemos considerar H(s) = b 0 + H 1(s) H k(s) onde k < k (representa o número de pólos distintos).e H i (s) = r 1i r 2i + s s i (s s i ) r νi i 2 (s s i ) ν i onde ν i é a multiplicidade do i-ésimo pólo (i = 1, 2,..., k). Considerando somente um de pólo repetido, podemos escrever as seguintes equações ẋ 1i = s i x 1i + u ẋ 2i = x 1i + s i x 2i. ẋ νi i = x (νi 1)i + s i x νi i e y i = r 1i x 1i + r 2i x 2i r νi ix νi i Eduardo Mendes (DELT - UFMG Curso de Engenharia de Controle MACSIN e Automação Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpd 39 / 41

40 Figura 10: Realização em Espaço de Estados da função de transferência na Forma de Jordan - Raízes Repetidas Eduardo Mendes (DELT - UFMG Curso de Engenharia de Controle MACSIN e Automação Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpd 40 / 41

41 Na forma matricial s i s i ẋ i = 0 1 s i... 0 x + 0 u s i 0 y = [ ] r 1i r 2i... r νi i Eduardo Mendes (DELT - UFMG Curso de Engenharia de Controle MACSIN e Automação Universidade Federal de Minas Gerais emmendes@cpd 41 / 41