PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA DA USP ANDRÉ DE SOUZA MENDES PROJETO DE OBSERVADOR DE ESTADOS PARA UM CARRO

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1 PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA DA USP ANDRÉ DE SOUZA MENDES PROJETO DE OBSERVADOR DE ESTADOS PARA UM CARRO São Paulo 2016

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3 LISTA DE ILUSTRAÇÕES Ilustração 1 Modelo do veículo Ilustração 2 Evolução dos estados para uma determinada condição inicial Ilustração 3 Diagrama de blocos da planta com o observador identidade Ilustração 4 Desempenho do observador identidade. As linhas tracejadas são as estimativas dos estados Ilustração 5 Desempenho do observador de Luenberger. As linhas tracejadas são as estimativas dos estados

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5 LISTA DE TABELAS Tabela 1 Parâmetros do veículo

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8 LISTA DE SÍMBOLOS Geral 0 Inicial. A Matriz dinâmica do sistema linear. a Distância do ponto ao [m]. a Vetor aceleração linear. B Matriz de entradas do sistema linear. b Distância do do ponto ao [m]. C Matriz de saídas do sistema linear. D Matriz de transmissão direta do sistema linear. E Matriz de dimensionamento do observador. e Vetor de erro do observador. C Amortecimento [Ns/rad]. ext Externo. K Rigidez de inclinação lateral [Nm/rad]. k Rigidez de curva do pneu [N/rad]. F módulo da força força [N]. F Vetor força. f Função vetorial. FD Referente ao ponto que localiza o pneu dianteiro direito. FE Referente ao ponto que localiza o pneu dianteiro esquerdo. g Aceleração da gravidade [m/s 2 ]. h Altura do centro de massa do veículo [m]. I Elemento do tensor de inércia [kgm 2 ]. I Tensor de inércia. l Distância entre os pneus de um mesmo eixo [m]. M Vetor momento. m Massa [kg]. n Vetor unitário da base ortonormal solidária ao elemento não suspenso. O Ponto que localiza a origem. P Vetor de força peso. P Matriz transformação. P Ponto que localiza uma determinada partícula.

9 r RD RE s T t u V v v w w x x y y z z Grego α δ Φ φ Ω Ψ ψ Vetor posição. Referente ao ponto que localiza o pneu traseiro direito. Referente ao ponto que localiza o pneu traseiro esquerdo. Vetor unitário da base ortonormal solidária a massa suspensa. Ponto que localiza o centro de massa do veículo. Vetor unitário da base ortonormal fixa ao referencial inercial. Vetor de entradas. Matriz qualquer. Módulo do vetor velocidade [m/s]. Vetor velocidade linear. Vetor da parte não observável. Vetor velocidade angular. Referente a direção longitudinal. Vetor de estados. Referente a direção transversar. Vetor de saídas. Referente a direção vertical. Vetor de estados do observador estimativa). Ângulo de deriva [rad]. Ângulo de esterçamento [rad]. Base solidária a massa suspensa. Ângulo de inclinação do veículo [rad]. Base fixa no referencial inercial. Base solidária ao elemento não suspenso. Ângulo de orientação do veículo [rad].

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11 SUMÁRIO 1 MODELO MODELO DE PNEU MODELO DE VEÍCULO Não linear Linearizado OBSERVADOR IDENTIDADE OBSERVADOR DE OREM REDUZIDA REFERÊNCIAS

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13 13 1 MODELO 1.1 MODELO DE PNEU O modelo de pneu utilizado relaciona de maneira linear a força lateral do pneu com o ângulo de deriva que ele apresenta. Ou seja F = kα. 1) 1.2 MODELO DE VEÍCULO O modelo físico de veículo utilizado se encontra ilustrado na figura 1. O sistema possui quatro graus de liberdade: duas coordenadas posicionando o ponto P, a orientação do veículo no plano horizontal ψ e o ângulo de inclinação φ. Figura 1 Modelo do veículo FE T RE P FD Fonte: Autor P RD As bases utilizadas são Ω = {Ot x t y t z }, Ψ = {Pn x n y n z } e Φ = {Ps x s y s z }. A base {Ot x t y t z } é fixa no referencial inercial. A origem é dada pelo ponto O e os vetores t x, t y e t z apontam para as direções longitudinal, transversal e vertical, respectivamente. A base {Pn x n y n z } esta solidária ao elemento não suspenso. A origem coincide com o ponto P que se mantém no plano formado pelos vetores t x e t y. O vetor n x forma um ângulo ψ com o vetor t x e o vetor t z é paralelo ao vetor n z. A base {Ps x s y s z } tem origem também coincidente com o

14 14 ponto P. O vetor n x é paralelo ao vetor s x. O vetor s z forma um ângulo φ com relação ao vetor n z. A coordenada angular α P indica a orientação do vetor velocidade v P com relação ao eixo longitudinal do elemento não suspenso Não linear O vetor velocidade do ponto P é dado por v P = v P cos α P n x + v P sin α P n y 2) e os vetores posição dos pontos que localizam os quatro pneus do veículo FD, FE, RD e RE) com relação ao ponto P são dados por r FD/P = an x l 2 n y r FD/P = an x + l 2 n y r FD/P = bn x l 2 n y r FD/P = bn x + l 2 n y. 3) Os vetores velocidade em cada roda podem ser escritos como v FD = v P + w Ψ r FD/P v FE = v P + w Ψ r FE/P v RD = v P + w Ψ r RD/P v RE = v P + w Ψ r RE/P. 4) Substituindo as equações em 3) em 4) temos

15 15 v FD = v P cos α P + l ) 2 ψ n x + v P sin α P + a ψ ) n y v FE = v P cos α P l ) 2 ψ n x + v P sin α P + a ψ ) n y v RD = v P cos α P + l ) 2 ψ n x + v P sin α P b ψ ) n y v RE = v P cos α P l ) 2 ψ n x + v P sin α P b ψ ) n y. 5) Portanto, os ângulos de deriva em cada pneu são dados por vp sin α P + a α FD = arctan ψ ) v P cos α P + l ψ δ 2 vp sin α P + a α FE = arctan ψ ) v P cos α P l ψ δ 2 vp sin α P b α RD = arctan ψ ) v P cos α P + l ψ 2 vp sin α P b α RE = arctan ψ ) v P cos α P l ψ. 2 6) O vetor velocidade do centro de massa é dado por onde a mudança de orientação da base Φ é dada por v T = v P + w Φ r T/P, 7) A mudança de orientação da base Φ é dada por w Φ = φn x + 0n y + ψn z. 8) Logo o vetor velocidade do ponto T é w Ψ = ψn z. 9)

16 16 v T = v P cos α P + ψh sin φ ) n x + v P sin α P φh cos φ ) n y + φh sin φ ) n z. 10) Derivando a equação 10) temos a T = v P cos α P v P ψ + α P ) sin α P + ψh sin φ + 2h ψ φ cos φ ) n x v P sin α P + v P ψ + α P ) sin α P φh cos φ + h ψ 2 + φ 2 ) sin φ ) n y h φ sin φ h φ 2 cos φ ) n z. 11) As forças nos quatro pneus são dadas por F FD = F FD,x cos δ F FD,y sin δ) n x + F FD,x sin δ + F FD,y cos δ) n y F FE = F FE,x cos δ F FE,y sin δ) n x + F FE,x sin δ + F FE,y cos δ) n y F RD = F RD,x n x + F RD,y n y F RE = F RE,x n x + F RE,y n y. 12) Neste momento é importante observar que a força vertical em cada pneu é a força de vínculo que mantém o ponto de contato dos pneus contidos no plano horizontal. O teorema do movimento do baricentro é dado por ma = F ext. 13) Substituindo as equações 11) e 12) em 13), na direção n x temos m v P cos α P v P ψ + α P ) sin α P + ψh sin φ + 2h ψ φ cos φ ) = = F FD,x + F FE,x ) cos δ F FD,y + F FE,y ) sin δ + F RD,x + F RE,x ) 14) e na direção n y temos

17 17 m v P sin α P + v P ψ + α P ) sin α P φh cos φ + h ψ 2 + φ 2 ) sin φ ) = = F FD,x + F FE,x ) sin δ + F FD,y + F FE,y ) cos δ + F RD,y + F RE,y ). 15) A posição do ponto T em relação ao ponto P na base Φ é r T/P = hs z. 16) Além disso, a aceleração do ponto P é obtida derivando em relação ao tempo a equação 2). Escrevendo o resultado na base Φ temos a P = v P cos α P v α P + ψ) sin α P ) sx + v P sin α P cos φ + α P + ψ) cos α P cos φ ) s y v P sin α P cos φ + v α P + ψ) cos α P sin φ ) s z. 17) O vetor w Φ escrito na base Φ é dado por w Φ = φs x + ψ sin φs y + ψ cos φs z. 18) Derivando a equação 18) em relação ao tempo temos ẇ Φ = φs x + ψ φ cos φ + ψ sin φ)s y + ψ φ sin φ + ψ cos φ)s z. 19) Os momentos das forças externas com relação ao ponto P são dados por M FD = r FD/P F FD M FE = r FE/P F FE M RD = r RD/P F RD M RE = r RE/P F RE. 20) Substituindo as equações 3) e 12) em 20) e escrevendo o resultado na base Φ

18 18 M FD = sin φ af FD,x sin δ + af FD,y cos δ + l 2 F FD,x cos δ l ) 2 F FD,y sin δ s y +... )... + cos φ af FD,x sin δ + af FD,y cos δ + l 2 F FD,x cos δ l 2 F FD,y sin δ M FE = sin φ af FE,x sin δ + af FE,y cos δ l 2 F FE,x cos δ + l ) 2 F FE,y sin δ s y cos φ af FE,x sin δ + af FE,y cos δ l 2 F FE,x cos δ + l ) 2 F FE,y sin δ s z ) ) M RD = sin φ bf RD,y + l 2 F RD,x s y + cos φ bf RD,y + l 2 F RD,x M RE = sin φ bf RE,y l ) 2 F RE,x s y + cos φ bf RE,y l ) 2 F RE,x s z. s z s z 21) O momento gerado pela força peso é dado por M P = r T/P P = h sin φn y + h cos φn z ) mg) n z = mgh sin φn x = mgh sin φs x 22) e o momento gerado pela mola torcional é M K = Kφs x. 23) Por fim, o momento gerado pelo amortecimento é M K = C φs x. 24) O tensor de inércia em relação ao ponto P e escrito na base Φ é dado por I P = I xx I xy I xz I xy I yy I yz I xz I yz I zz. 25) O teorema da variação da quantidade de movimento angular em relação ao ponto P é dado, na forma matricial, por m r T/P a P + w Φ I P w Φ + I P ẇ Φ = M ext,p 26) onde a notação sublinhado simples indica uma matriz coluna e sublinhado duplo indica uma matriz quadrada. As matrizes quadradas que representam vetores seguem a seguinte construção

19 19 ξ x q x + ξ y q y + ξ z q z = 0 ξ z ξ y ξ z 0 ξ x ξ y ξ x 0 27) onde q são os vetores unitários de uma base qualquer. Logo, substituindo as equações 16), 17), 18), 19), 21), 22), 23), 24) e 25) em 26) temos na direção s x I zz I yy ) I xx φ Iyz ψ2 Ixz ψ cos φ Ixy ψ ψ 2 sin2φ) sin φ + + 2I yz ψ2 cos 2 φ v P hm cos φ sin α P α P + ψ)hmv P cos α P cos φ = mgh sin φ Kφ C φ 28) e na direção s z I zz ψ cos φ φ ψ sin φ) φi xy φ + Ixx ψ sin φ) ψ sin φi yy φ + Ixy ψ sin φ) ψ cos φiyz φ Ixz ψ sin φ) I yz ψ sin φ + φ ψ cos φ) I xz φ = = cos φaf FD,x + F FE,x ) sin δ + af FD,y + F FE,y ) cos δ l 2 F FD,x F FE,x ) cos δ + l 2 F FD,y + F FE,y ) sin δ cos φ bf RD,y + F RE,y ) + l 2 F RD,x + F RE,x ). 29) 29). Logo, as equações de movimento do sistema são dadas pelas equações 14), 15), 28) e Linearizado Este modelo apresenta as variáveis e derivadas temporais ψ, ψ, v, v, φ, φ, φ, α P e α P. Logo, as equações dinâmicas 14), 15), 28) e 29) podem ser usadas para escrever explícitamente as derivadas temporais ψ, v, α P e φ em função das demais variáveis e derivadas. Nesta situação o modelo passa a ser

20 20 α P v φ ψ = f ) ψ, v, φ, φ, αp. 30) Em seguida o modelo é linearizado num dado ponto de operação. Neste relatório, todas as entradas, F FD,x, F FE,x, F RD,x, F RE,x, e δ, são consideradas zero. Em seguida, a linearização é realizada através do truncamento da expansão em série de Taylor da equação 30). Desta forma,o módulo do vetor velocidade v P se mantém constante, portanto a equação diferencial correspondente a v P é desprezada. O modelo linearizado pode ser escrito em espaço de estados. Na forma matricial ẋ = Ax + Bu y = Cx + Du, 31) onde os estados são dados por x = α P φ ψ φ. 32) O vetor de saidas é composto pelas duas acelerações angulares, ψ e φ, que são as duas grandezas medidas do sistema. Ou seja, a matriz C é composta pelas linhas 2 e 3 da matriz A, portanto possui dimensão 2 4. Os dados utilizados na integração numérica estão apresentados na tabela 1. Os autovalores do sistema, neste caso são dado por i i i i Além disso, nesta situação, o para A,C) é completamente observável, pois a matriz de observabilidade

21 21 Obs = C CA CA 2 CA 3 33) apresenta posto pleno. Tabela 1 Parâmetros do veículo Item Descrição Valor Unidade m Massa do veículo 1000 kg a Distância entre o ponto P e o eixo dianteiro 1.2 m b Distância entre o ponto P e o eixo traseiro 1 m h Altura do centro de massa 0.5 m l Distância entre os pneus de um mesmo eixo 0.8 m K Rigidez da inclinação lateral N m/rad C Amortecimento da inclinação lateral N s/rad k Coeficiente de rigidez de curva N/rad I xx Momento de inércia 800 kg m 2 I yy Momento de inércia 1000 kg m 2 I zz Momento de inércia 1000 kg m 2 I xy Produto de inércia 200 kg m 2 I xz Produto de inércia 200 kg m 2 I yz Produto de inércia 200 kg m 2 v P Velocidade do ponto P 10 m/s Fonte: Autor A evolução dos estados para uma condição inicial dada por x = α P,0 φ 0 ψ 0 φ 0 = 0,5 0,2 0,3 0,1. 34) é ilustrada na figura 2. Nesta figura é possível observar que todos os estados convergem para zero num tempo de simulação menor que dois segundos.

22 22 Figura 2 Evolução dos estados para uma determinada condição inicial ψ [rad/s] α [rad] φ [rad/s] φ [rad] t [s] t [s] t [s] t [s] Fonte: Autor

23 23 2 OBSERVADOR IDENTIDADE A configuração dos estados de um determinado sistema dinâmico pode ser obtida a partir da medição das variáveis do sistema através de sensores. Entretanto, em muitas situações práticas, a medição direta dos estados não é possível devido a sua condição inacessível. Para contornar esta limitação são aplicados os chamados observadores de estado. Estes modelos matemáticos estimam a configuração dos estados a partir das medições que foram realizadas. Na figura 3 é possível observar o diagrama de blocos do observador de estados identidade. Este observador estima, a partir das medidas, a condição dinâmica dos estados que compõem o sistema. Figura 3 Diagrama de blocos da planta com o observador identidade Fonte: Autor adaptado de Luenberger, 1979 É possível observar que a equação dinâmica do observador é dada por ż = A EC) z + Ey + Bu, 35) onde y é o vetor das variáveis medidas da planta e u é o vetor de entradas. Neste caso, ambos são considerados entradas do modelo do observador. Comparando as equações 31) e 35) é possível demonstrar que ė = A EC) e 36) onde e = z x. Ou seja, e é igual ao erro de estimação. Através da matriz E, arbitrária, é feito o ajusto dos autovalores de A EC). Quando os polos da equação 36) se encontram

24 24 a esquerda do eixo imaginário o erro converge para zero. Os polos do observador identidade foram escolhidos: i i i i A matriz E é obtida pelo comando place do programa Matlab. O desempenho do observador identidade pode ser observado na figura 4. Nesta figura, as linhas cheias representam a evolução dos estados para a mesma integração apresentada na figura 2 e as linhas tracejadas indicam as estimativas dos estados z obtidas integrando a equação 35) com entrada u nula e y com as informações de medição da planta. É possível observar que em menos de 0,2 segundos os estados estimados assumem os mesmos valores dos estados da integração do modelo linear que simula a planta.

25 25 Figura 4 Desempenho do observador identidade. As linhas tracejadas são as estimativas dos estados α [rad] φ [rad/s] ψ [rad/s] φ [rad] t [s] t [s] t [s] t [s] Fonte: Autor

26 26 3 OBSERVADOR DE OREM REDUZIDA Uma outra abordagem consiste em utilizar um observador de ordem reduzida, devido ao grau de redundância que existe no observador identidade. Como duas medidas são realizadas, apenas dois estados precisam ser estimados. Para isto, é realizada uma transformação de variável através da matriz P = V C, 37) em que V deve ser escolhida de tal maneira que a matriz P tenha a mesma dimensão de A e seja inversível. O novo vetor transformado é x = w y. 38) A equação dinâmica do observador é dada por ż = Ā 11 EĀ 21 ) z + Ā11 E EĀ 21 E + Ā 12 EĀ 22 ) y + B 1 E B 2 ) u. 39) O vetor z é obtido integrando a equação 39) com condições iniciais nulas) apenas com y como entrada. Desta forma, a estimativa de w pode ser calculada como A estimativa da variável transformada é dada por ŵ = z + Ey. 40) ˆ x = ŵ y. 41) Por fim, a estimativa dos estados do sistema pode ser obtida pela equação 1979). ˆx = P 1ˆ x. 42) A descrição detalhada deste tipo de observador pode ser encontrada em Luenberger

27 27 Nesta técnica, a dinâmica do observador é, também, ajustada pela matriz E. Os autovalores de Ā 11 EĀ 21 ) são escolhidos como i i e a matriz E é obtida pelo comando place do programa Matlab. O desempenho do observador é ilustrada na figura 5 para a mesma integração vista na figura 2. Em menos de 0,1 segundos os estados estimados convergem para os valores dos estados do modelo linear que representa a planta. Figura 5 Desempenho do observador de Luenberger. As linhas tracejadas são as estimativas dos estados α [rad] φ [rad/s] ψ [rad/s] φ [rad] t [s] t [s] t [s] t [s] Fonte: Autor

28 28 REFERÊNCIAS LUENBERGER, D. Introduction to dynamic systems: theory, models, and applications. [S.l.]: Wiley, 1979.