Agenda. Teoria dos Grafos Apresentação do Curso. Apresentação do Curso. Bibliografia. Avaliação

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1 Agena Teoria os Grafos Apresentação o o crso Introção Informal Motiação Jorge Figeireo Visão Geral o o Crso Apresentação o Crso Apresentação o Crso Homepage ( Lista e e iscssão (tg-l@sc.fcg.e.br) Pré-reqisito: Teoria os conjntos Programação Horário e Sala Aitório Mário Hattori - DSC S Horário e e úias: Sob emana, com hora marcaa. Aaliação Bibliografia Mini-proas (pelo menos por nota parcial) Reposição: Possíel eiar 0% as mini-proas (por nota parcial) Proa Final: 0/0/008 Grafos e Algoritmos Comptacionais, e e J.L. Szwarcfiter. Fnamentos Matemáticos para a Comptação, e e J.L. Gersting. Introction to to Graph Theor, e e R. R. J. J. Wilson. Discrete Mathematics with Graph Theor, e e E.G. Gooaire e M.M. Parmenter. Graph Theor, e e R. R. Diestel. (ersão eletrônica isponíel)

2 Introção Informal Por qe estar grafos? Um grane número e e problemas, nas mais iersas áreas a aciência a acomptação, poem ser istos como problemas e e grafos. Em mitos casos, basta resoler a seginte qestão: como epressar o me problema como m problema e e grafos? Poerosa ferramenta matemática com solções prontas pra so. O Qe São Grafos? Ferramenta para resoler problemas. Ferramenta e e moelagem. Estrtra e e aos. Ferramenta tilizaa na naabstração e e problemas comptacionais. Ferramenta fnamental para a ciência a comptação. As Pontes e Königsberg Resolio em por Leonhar Eler. Marco inicial a ateoria os Grafos. É Épossíel sair e e ma as ilhas, passar ma única ez em caa ma as pontes e retornar ao aoponto e e origem? As Pontes e Königsberg Necessário m moelo para representar o problema as pontes. Abstrair etalhes irreleantes: Área e e caa ilha. Formato e e caa ilha. Tipo a aponte, etc. Eler generalizo o problema a partir e e m moelo e e grafos. O Problema as Casas É possíel conectar os os seriços em caa ma as casas sem haer crzamento e e tblação? Coloração e Mapas Com qantas cores é possíel colorir o mapa a aregião Noreste? Estaos izinhos não poem ter a mesma cor. A Teoria os Grafos mostra qe não é possíel!!!

3 Coloração e Mapas O O Teorema as cores () garante qe com cores é possíel colorir qalqer mapa planar. Moelagem com Grafos Estamos interessaos em entiaes e as as relações entre elas. Qem são elas nos problemas apresentaos? Como representar no no moelo? Forma matemática. Forma gráfica. Moelagem com Grafos A A forma mais simples e e representar graficamente: Pontos (értices) e linhas (arestas). Moelagem com Grafos No problema as casas: Vértices = casas + seriços. Arestas = tblação entre casa e seriço. No problema e e coloração e e mapas: Vértices = estaos. Arestas = relacionam estaos izinhos. Grafos no Mno Real Programa a ser cmprio Rees e e comptaores. Coneão e e ôos aéreos. Restrições e e preceência. Flo e e m programa. Mais eemplos?.. Conceitos Básicos... Representação e e Grafos... Caminhos e circitos... Grafos irigios... Grafos aloraos... Conectiiae, Planariae e Coloração... Árores Bsca em Grafos... Flo em Rees. 0.Emparelhamento.

4 Algmas Dicas Teoria os Grafos Participem em sala e e ala. Façam pergntas. Isso aja a conhecer o qe a trma não está enteneno Dimina o ritmo e e apresentação os slies, se se for o caso. Não eiem mini-proa pra reposição. Façam as as listas e e eercícios: Resolam, se se possíel, noos problemas. Isso reqer insight na na percepção o o mapeamento para grafos. Consoliam os os algoritmos estaos em sala e e ala. Leiam atentamente as as qestões as mini-proas: Mita gente erra pelo fato e e não entener o qe foi foi peio. Definições e Conceitos Básicos Definições Dois tipos e e elementos: Vértices o onós. Arestas. Grafo Simples G = (V, E) E) V é m conjnto finito não-azio e e értices. E é m conjnto finito e e arestas. Se e E, E, é m conjnto a aforma: e = {,, w} w} = w = w, one,w V. V. e é inciente a e w. w. e w são ajacentes o oizinhos. Grafo Simples Gras e Vértices e V = {,,,,, } E = {,,,,, } Gra e e m értice (eg()) é o número e e arestas qe inciem em.. Vértice ímpar. Vértice par. Vértice isolao. Um grafo é reglar (k-reglar) se se toos os osses értices tem o mesmo gra (k). Seqüência e e gras e e m grafo consiste em escreer em orem crescente os osgras e e ses értices. e é inciente a e,, e são ajacentes a

5 Gras e Vértices Otros Tipos e Grafos e é m értice isolao. eg() = 0 Pseo-grafos: Mltigrafos. Grafos com ato-laços. Grafos irigios. Não eiste terminologia paronizaa. é m értice par. eg() = é m értice ímpar. eg() = Vamos sar o termo grafo para representar grafos finitos, não irigios, com ato-laços e múltiplas arestas. Seqüência e gras = 0,,,,, Proposição e Eler A A partir o o conceito e e ajacência e gras e e értices. Proa é intitia. Como conseqüência: número e e értices ímpares é par. e Proposição e Eler: eg() = eg() = n i eg i E Isomorfismo e Grafos Σ eg(i) = = = e értices ímpares = = e Dois grafos são isomórficos: São essencialmente igais. Corresponência entre os osértices e arestas. Sejam G= (V, E) e G = (V, E): G G, se se eistir ma bijeção f: f: V V: Se w é ma aresta e e E, então f()f(w) éarestae é e E. Toa aresta em E tem a forma e e f()f(w) para algma aresta w E.

6 Isomorfismo e Grafos Isomorfismo e Grafos w w z z f() = azl, f() = roo, f(w) = ermelho f() = ere, f() = amarelo, f(z) = rosa Isomorfismo e Grafos Isomorfismo presera: Simetria: G G G G. Refleiiae: G G. G. Transitiiae: G G e G G G G. Proposições álias se se G G: G e G têm o mesmo número e e értices. G e G têm a mesma seqüência e e gras. G e G têm o mesmo número e e arestas. Sbgrafos G = (V, E) é sbgrafo e e G = (V, E) sss: V é sbconjnto e e V; e, e, E é sbconjnto e e E. Sbgrafos poem ser obtios atraés a aremoção e e arestas e értices. Sbgrafos Grafos Completos e nlos w w w Grafo nlo é aqele em qe E = Ø. Ø. Um grafo simples é completo se se qalqer par e e értices istintos é ajacente. Grafo simples completo e e n értices é ito Kn. z z z K G G G G = G \ {z} G = G \ {} K K

7 Grafos Bipartios Grafos Bipartios Grafo bipartio é aqele em qe V poe ser iiio em ois sbconjntos isjntos não azios V e V. Caa aresta conecta m értice e e V e m értice e e V. Grafo bipartio completo: caa m os elementos e e V é ajacente a caa m os elementos e e V. w V = {,, w} V = {,, z} z K, Complemento e m Grafo Eercício Seja G m grafo simples: Gé complemento e e G se: V= V; V; e, e, Dois értices são ajacentes em G se se e somente se se eles não são ajacentes em G. G... Consiere as as 8 primeiras letras o o se nome. Constra m grafo simples em qe: Toa ogal é ajacente a toa consoante. Nenhma ogal é ajacente a otra ogal. Nenhm consoante é ajacente a otra consoante. a) a) Defina formalmente esse grafo. b) b) Determine o complemento esse grafo. c) c) É m grafo bipartio? Jstifiqe. Eercício Eercício.. Você e se se amigo retornam as as férias e são são recebios no no aeroporto pelas mães e por por as irmãs o o se se amigo. Após troca e e abraços, caa ma as as (otras) cinco pessoas lhe lhe fala fala o número e e abraços qe qe e. Criosamente, toos os os números são são iferentes. Assmino qe: Você e se se amigo não não se se abraçaram. A mãe e e ocês não não se se abraçaram. As As irmãs não não se se abraçaram. Das mesmas pessoas se se abraçaram, no no máimo, ma ez. Respona:.. Qantas pessoas ocê abraço?.. Qantas pessoas se se amigo abraço?.. Hoje à noite tem qatro jogos na na roaa o o Campeonato Brasileiro. Antes as partias, comentaristas e e três jornais eram se palpite sobre qem enceria. São eles: Diário a a Bola - São Palo, Corinthians, Flamengo e Vasco. Folha a a Arqibancaa - Palmeiras, Santos, Flamengo e São Palo. O Pênalti - Crzeiro, Corinthians, Santos e São Palo. Nenhm jornal aposto qe o Grêmio enceria. Qem joga contra qem?

8 Eercício Teoria os Grafos.. Se G é m grafo r-reglar com n értices e m arestas, epresse m em fnção e e n e r. r... Qal o número e e arestas e e m grafo completo com értices?.. Determine o complemento e e m K.. Representação e Grafos Representação e Grafos Representação gráfica: Útil na naprática. Não é aeqaa para representar internamente (em m comptaor) aos sobre a estrtra e e grafos. Várias formas e e representar m grafo: Listas e e Ajacência. Matriz e e Ajacência. Matriz e e Inciência. Listas e Ajacência Consiste e e m arra Aj e e V listas, m para caa értice e e V. V. Para caa em V, V, Aj[] consiste e e toos os osértices e e G ajacentes a.. Vértices armazenaos e e forma arbitrária na nalista. Também poe ser tilizaa no no caso e e grafos irigios. Eemplo Lista e Ajacência Forma compacta e e representar grafos esparsos. Utilizaa com otras tipos e e grafos. Ineficiente para eterminar se se w está no no grafo. 8

9 Matriz e Ajacência Eemplo Reqer qe os osértices sejam nmeraos arbitrariamente e e,,,,...,..., V. Matriz A= (a (a ij ), ij ), e e orem V V : a ij = ij,, se se (i, (i, j) j) E a ij = ij 0, 0, caso contrário Matriz e Ajacência Preferíel em grafos peqenos. Reqer apenas m bit bit por entraa. Válio também com otros tipos e e grafos. Eemplo: grafos poneraos. O(V ). ). Matriz e Inciência Matriz B= (b (b ij ), ij ), e e orem V E : b ij = ij,, se se értice i e i aresta e j forem j incientes b ij = ij 0, 0, caso contrário e e e e e e e Verificano Isomorfismo Eemplo Sejam A e A as as matrizes e e ajacência e e G e G.. Se G e G são isomórficos: PA P T = A P é ma matriz e e permtação. Teorema: Dois Grafos são isomórficos sss ses értices poem ser rotlaos e tal forma qe as corresponentes matrizes e ajacências são igais. G A = G A =

10 Eemplo Teoria os Grafos Se fizermos: ; ; ;. P = Conjnto Inepenente e Vértices, Cliqe e Cobertra e Vértices Teorema: Dois Grafos rotlaos G e G, com respectias matrizes A e A, são isomórficos sss A = PA P T, para algma matriz e permtação P. Conjnto Inepenente e Vértices Conjnto Inepenente e Vértices Seja m grafo G= (V, E): Um conjnto inepenente e e értices V IND e IND e G ém sbconjnto e e V em qe não eiste nenhma aresta entre qalqer par e e elementos e e V IND. IND. V IND é IND máimo se se não eiste m V IND IND tal talqe V V IND IND > V V IND. IND. V IND é IND maimal se se não eiste m V IND IND tal talqe V IND IND V IND. IND. O conjnto inepenente o o eemplo abaio é máimo? É maimal? Grafo G Conjnto Inepenente e G Grafo G Conjnto Inepenente e G Conjnto Inepenente e Vértice Conjnto Inepenente e Vértice Eercício : : Encontre no no grafo abaio m Conjnto Inepenente Maimal qe não é máimo. Qal a carinaliae o o Conjnto Inepenente máimo? Eercício : : Consiere o algoritmo abaio. Ele resole o problema o o conjnto inepenente máimo? A B C D CINDMa(G) C IND while V-C IND C IND {} é inepenente o C IND C IND {} retrn C IND E F G H 0

11 Conjnto Inepenente e Vértice Cobertra e Vértices Eercício : : Consiere o algoritmo abaio. Ele resole o problema o o conjnto inepenente máimo? CINDMa(G) C IND Y V while Y o escolher V, com N() mínimo C IND C IND {} Y Y {} Y Y N() retrn C IND Seja m grafo G= (V, E): Uma cobertra e e értices V COB e COB e G é m sbconjnto e e V em qe para qalqer aresta (, (, ) ) E, E, V COB o COB o V COB. COB. Das possíeis cobertra e értices e G Cliqe Seja m grafo G= (V, E): Um cliqe V CLQ e CLQ e G é m sbconjnto e e V, V, em qe qaisqer ois értices,, V CLQ, CLQ, a aresta (, (, ) ) E. E. Não eiste nenhm algoritmo e e tempo polinomial qe resola estes problemas. É possíel, entretanto, erificar em tempo polinomial se se m eterminao conjnto e e értices é m conjnto inepenente, m cliqe o o ma cobertra e e értices. Um conjnto inepenente e e G é m cliqe o o complemento e e G. G. Eercício Teoria os Grafos A Vila e e Grafos é ma área qe consiste e e m grane número e e ras retilíneas qe ligam peqenas praças. Um gara postao em ma praça é capaz e e igiar toas as as ras qe saem a a praça. Qal o número mínimo garas necessário para igiar toa a Vila? Resola sano grafos. Caminhos e Conectiiae e Grafos

12 Eemplos e Aplicação e Grafos Planejamento eficiente e e roteamento e e pacotes na na Internet. Definir melhor rota e e istribição e e corresponência nos postos e e istribição a aect. Determinar se se ma mensagem poe ser trocaa por ois comptaores em ma ree (possielmente sano links intermeiários) Iéia básica: eterminar alcançabiliae entre os értices atraés e caminhamento em arestas. Passeio (walk) Um passeio em m grafo G= (V, E) E) é ma seqüência alternaa e e értices e arestas qe começa e termina com értices. A seqüência,,, k k,,,,, kk V, V, é m passeio e e a k k,, se se ( ( j, j, j+ j+ ) E, E, j j k k.. Um passeio com k értices possi k arestas. Neste caso teríamos as as segintes arestas: ( (,, ), ),( (,, ), ),, ( ( k- k-,, k k ) O comprimento e e m passeio é o número e e arestas o o passeio. Passeio (walk) Passeio (walk) Passeio: a seqüência,,,, Passeio (walk) Caminho (Path) Um caminho o ocaminho simples em m grafo é m passeio em qe toos os osses értices são istintos. O qe izer a seqüência,,,,,,,,? O passeio,,,,,,,, não constiti m caminho.

13 Trilha (Trail), Circito e Ciclo Uma trilha o otrajeto em m grafo é m passeio em qe toas as as sas arestas são istintas. Um trajeto fechao o ocircito em m grafo é m trajeto em qe o értice inicial e o értice final são igais. Um circito em qe toos os osértices são istintos (com eceção o o primeiro e o o último) é chamao e e ciclo. Um grafo acíclico é aqele qe não possi ciclos. Um triânglo é m ciclo e e tamanho.. b e c a f Forneça eemplos e: -Passeio qe não é nem trilha nem caminho. -Passeio qe é trilha e não é caminho. -Passeio fechao qe não é circito. -Circito qe não é ciclo. -Triânglo. Grafos Conectaos (o Coneos) Grafo Eleriano Um grafo é conectao se se e somente se se eiste m caminho entre qalqer par e e értices o o grafo. Um componente e e m grafo é m sbgrafo conectao maimal. Um grafo com apenas m componente é m grafo conectao. Um grafo conectao G é ito Eleriano se se eiste ma trilha fechaa conteno caa ma as arestas e e G. G. O problema as pontes (lembram a aprimeira ala?) é eqialente a ientificar se se o grafo corresponente é Eleriano. Teorema: Um Grafo Conectao G é Eleriano se e somente se o gra e caa értice é par. Grafo Eleriano Grafo Hamiltoniano O K Ké Eleriano? Um Grafo Hamiltoniano é m grafo qe contém ma trilha fechaa, passano eatamente ma única ez em caa m os értices. K Teorema (Ore, 0): Se G é m grafo com n ( ) értices, e se eg() + eg(w) n para caa par e értices não-ajacentes e w, então G é Hamiltoniano.

14 Eercício.. Um grafo G = (V, E) E) é coneo se se e somente se se possi m értice V, V, tal tal qe para caa értice w VVeiste m caminho e e w a.. Jstifiqe... Proe qe too grafo coneo com n értices tem pelo menos n - arestas... K,, é Eleriano?.. É possíel qe m grafo e o se complemento sejam ambos esconectaos? Teoria os Grafos Grafos Dirigios (Digrafos) Grafos Dirigios Grafos Dirigios o Dígrafos: Conjnto finito não-azio e értices. Conjnto finito e pares orenaos e értices. Chamamos e arcos em ez e arestas. Um arco (, w) é rezio para w. D = (V, A) Grafos Dirigios Dígrafo Simples: Toos os osarcos são istintos. Não eistem ato-laços. Para obter o grafo corresponente e e m ígrafo: Eliminar as as ireções os arcos. Não necessariamente o grafo corresponente a m ígrafo simples é simples. b a c V = {a, b, c, } A = {ab, bb, bc, cb, cb, ca, c} Eemplo Representação por Lista e Ajacência b Dígrafo Simples a c b a Grafo corresponente. Não é simples. c

15 Representação por Matriz e Ajacência Representação por Matriz e Inciência e e e e e e e e Gra e Vértices Eemplo Os értices e m ígrafo possem: Gra e entraa (ineg()) :: número e arcos qe chegam no értice. Gra e saía (oteg()) :: número e arcos qe partem o értice. Da mesma forma: Seqüência e gras e entraa. Seqüência e gras e saía. b a c ineg(a) = oteg(a) = ineg(b) = oteg(b) = seqüência ineg = 0,,, seqüência oteg =,,, Proposição: i i ) = A A = Otros Conceitos Eemplo Dois ígrafos são isomórficos se: Eiste m isomorfismo entre os respectios grafos corresponentes. Presera a orem os értices em caa arco. Os conceitos e passeio, caminho, ciclos, etc. são semelhantes: Dee respeitar a orientação os arcos. D e D não são isomórficos. b D a c D a Eemplo e ma trilha: cbca Eemplo e m ciclo: cabc

16 Digrafos Conectaos Eemplo Um ígrafo D é conectao se: Grafo corresponente é conectao. D é fortemente conectao se se para qaisqer ois értices e w, w, eiste m caminho entre e w. w. D é Eleriano se se e somente: Fortemente conectao. ineg( i ) i = oteg( i ), i ), para too i. i. b a c D é conectao. D não é fortemente conectao. D não é Eleriano. b a D c D é conectao. D é fortemente conectao. D é Eleriano. Torneio Eemplo Um torneio é m ígrafo em qe para qaisqer értices istintos e w, eiste eatamente m arco entre eles: o w o w. O score e m értice em m torneio é igal a oteg(). A seqüência e score é a seqüência e gras e saía. e a c b Torneio e tamanho. score(a) = score(b) = seqüência e score = 0,,,, Mais Sobre Torneios Teorema: too torneio tem m caminho Hamiltoniano. Um torneio é transitio se e somente se: Sempre qe e w são arcos, w também é. é. É eqialente izer e m torneio T: T: T tem m único caminho Hamiltoniano. T é transitio. Too jogaor (értice) em T tem m score iferente. Eercício.. Professor Alencar é mito metóico. Toos os os ias pela manhã, ele sege o mesmo rital para se se estir. Faz parte o o se estário: ceca, calça, cinto, camisa, graata, paletó, meias e sapato, além e e m istoso relógio e e plso. Ele sempre este a ceca antes e e por as as meias e a calça. Os sapatos são calçaos após o professor ter estio a ceca, calça e meias. O cinto ai epois a a calça e a a camisa. O relógio poe ser colocao em qalqer momento. O paletó só sóé estio epois o o cinto e a a graata qe é colocaa epois a a camisa. Moele a rotina o o Professor Alencar sano grafos.

17 Eercício Teoria os Grafos.. Consiere a figra abaio qe qe mostra a planta baia e e ma casa. É possíel ientificar portas qe qe iiem os os iersos cômoos a a casa e portas qe qe ão ão acesso à parte eterna a a casa. Utilize a teoria os os grafos para eterminar se se é possíel começar o o lao e e fora fora a a casa, entrar na na casa e isitar caa cômoo ma única ez ez (sem eiar a casa) e, e, finalmente sair sair a a casa. Jstifiqe. Bsca em Grafos Bsca em Grafos Objetio: sistematicamente eplorar toos os értices e arestas e m grafo. Dois tipos e bsca: Bsca em amplite (Breath First Search BFS). Bsca em profniae (Depth First Search DFS). Bsca em Amplite (BFS) Representa m os mais simples algoritmos e e bsca em grafos. É sao como moelo para algns algoritmos importantes: Menor caminho. Árore e e cobertra mínima. Similar ao aocaminhamento por níeis em árores. Iéia: processa os osértices por níeis, começano por aqeles értices mais próimos o o értice inicial s e eiano os os értices mais istantes para epois. Bsca em Amplite (BFS) Bsca em Amplite (BFS) O algoritmo BFS poe ser resmio nos segintes passos:.. Distingir o értice inicial s. s... Sistematicamente eplorar as as arestas o o grafo para escobrir toos os osértices alcançáeis a partir e e s. s... Comptar a istância (menor número e e arestas) e e s para toos os osértices alcançáeis... Prozir ma árore e e amplite cja raiz é s e contém toos os osértices alcançáeis... Para too értice alcançáel a partir e e s, s, o caminho na na árore e e amplite correspone ao aomenor caminho e e s para no no grafo. O algoritmo escobre toos os osértices com istância k a partir e e s, s, antes e e escobrir os osértices com istância k+. Para manter controle o o processamento os értices, o algoritmo tiliza m esqema e e cores: branco, cinza e preto: Toos os osértices começam com cor branca e epois poem mar para cinza e, e, posteriormente, para preto. Qano m értice é isitao a primeira ez ele eia e e ser branco. É necessário sar as cores iferente o o branco para garantir a sistemática a aamplite.

18 Algoritmo BFS Assmir qe o grafo G = (V, E) E) é representao com lista e e ajacências. Para caa értice no no grafo, o algoritmo mantém estrtras ailiares: A ariáel cor[] mantém a informação sobre a cor e e caa értice. A ariáel π[] mantém a informação o o preecessor e e caa értice. Qano não eiste preecessor π[] = NIL. [] mantém o alor a a istância entre o értice inicial e.. Uma fila Q com política FIFO para gerenciar a lista e e értices e e cor cinza. Algoritmo BFS BFS(G, s) for V[G] {s} o cor[] BRANCO [] π[] NIL cor[s] CINZA [s] 0 π[s] NIL Q {s} while Q Ø o Desenfileira[Q] for Aj[] o if cor[] = BRANCO then cor[] CINZA [] [] + π[] Enfileira(Q, ) cor[] PRETO Algoritmo BFS Algoritmo BFS BFS(G, s) for V[G] {s} o cor[] BRANCO [] π[] NIL cor[s] CINZA [s] 0 π[s] NIL Q {s} while Q Ø o Enfileira[Q] for Aj[] o if cor[] = BRANCO then cor[] CINZA [] [] + π[] Enfileira(Q, ) cor[] PRETO Inicia ariáeis ailiares Para caa m os értices, Com eceção a origem BFS(G, s) for V[G] {s} o cor[] BRANCO [] π[] NIL cor[s] CINZA [s] 0 π[s] NIL Q {s} while Q Ø o Desenfileira[Q] for Aj[] o if cor[] = BRANCO then cor[] CINZA [] [] + π[] Enfileira(Q, ) cor[] PRETO Inicia ariáeis ailiares a origem s e a fila Q Algoritmo BFS Algoritmo BFS BFS(G, s) for V[G] {s} o cor[] BRANCO [] π[] NIL cor[s] CINZA [s] 0 π[s] NIL Q {s} while Q Ø o Desenfileira[Q] for Aj[] o if cor[] = BRANCO then cor[] CINZA [] [] + π[] Enfileira(Q, ) cor[] PRETO Se o értice ajacente é branco, significa qe ele nnca foi isitao. Dee ser pintao e CINZA e enfileirao para posterior processamento. BFS(G, s) for V[G] {s} o cor[] BRANCO [] π[] NIL cor[s] CINZA [s] 0 π[s] NIL Q {s} while Q Ø o Desenfileira[Q] for Aj[] o if cor[] = BRANCO then cor[] CINZA [] [] + π[] Enfileira(Q, ) cor[] PRETO Qano toos os ajacentes e forem processaos, ele passa a ser PRETO 8

19 Eemplo BFS Eemplo BFS r s t r s t 0 w w Q: s Eemplo BFS Eemplo BFS r s t 0 r s t 0 w w Q: w r Q: r t Eemplo BFS Eemplo BFS r s t 0 r s t 0 w w Q: t Q:

20 Eemplo BFS Eemplo BFS r s t 0 r s t 0 w w Q: Q: Eemplo BFS Eemplo BFS r s t 0 r s t 0 w w Q: Q: Ø Bsca em Profniae (DFS) Bsca em Profniae (DFS) DFS é ma generalização o caminhamento em préorem em árores. A iéia principal é bscar erticalmente, sempre qe possíel. Sempre qe m noo értice é escoberto, ele ee ser eplorao por completo. Qano é totalmente eplorao, fazer backtracking para o se preecessor. Algns etalhes sobre o algoritmo e DFS: Sempre qe m értice é escoberto, o alo e π (preecessor) é atalizao. Poe ser formaa ma floresta e árores. Caa értice tem as marcas e tempo [] e f[] qe inicam, respectiamente, qano foi primeiramente isitao (cor CINZA) e qano foi totalmente eplorao (cor PRETO). 0

21 Algoritmo DFS Eemplo DFS DFS(G) for V[G] o cor[] BRANCO π[] NIL tempo 0 for V[G] o if cor[] = BRANCO then VisitaDFS() origem VisitaDFS() cor[] CINZA [] tempo tempo + for Aj[] o if cor[] = BRANCO then π[] VisitaDFS() cor[] PRETO F[] tempo tempo + Eemplo DFS Eemplo DFS f f Eemplo DFS Eemplo DFS f f

22 Eemplo DFS Eemplo DFS f f Eemplo DFS Eemplo DFS f 8 f 8 Eemplo DFS Eemplo DFS f 8 f 8 0 0

23 Eemplo DFS Eemplo DFS f 8 f Eemplo DFS Eemplo DFS f 8 f Eemplo DFS Teoria os Grafos f 8 0 Componentes Fortemente Conectaos

24 Eemplo DFS Eemplo DFS r s t r s t / / / / / / / / / w / / / w Eemplo DFS Eemplo DFS r s t r s t / / / / / / / / / w / / / w Eemplo DFS Eemplo DFS r s t r s t / / / / / / / / / w / / / w

25 Eemplo DFS Eemplo DFS r s t r s t / / / / / / / / / w / / / w Eemplo DFS Eemplo DFS r s t r s t /8 / / /8 / / / / / w / / / w Eemplo DFS Eemplo DFS r s t r s t /8 / / /8 / / / / 0/ w / / 0/ w

26 Eemplo DFS r s t /8 / / / / 0/ w Bsca em Profniae (Reisão) A bsca em profniae proz ma floresta e árores. É possíel ientificar tipos e arcos: Arcos a árore: arcos na árore e profniae. Arcos e retorno: aqeles qe conectam m értice a m értice ancestral na árore e profniae. Arcos forwar: aqeles qe conectam m értice a m értice escente na árore e profniae. Arcos e crzamento: os emais arcos. DFS (Tipos e Arcos) r s t /8 / / C F B / / 0/ w B Componente Fortemente Conectao (SCC) Um GrafoG Gé fortemente conectao se,, V, eiste m caminho entre e e m caminho entre e.. Um componente fortemente conectao e m grafo é m sbconjnto maimal e értices (jntamente com os ses corresponentes arcos) qe é fortemente conectao. Não é Fortemente Fortemente Conectao Conectao Eemplo SCC Eemplo SCC r s t r s t w w

27 Grafo e Componentes Transposto e m Grafo Dirigio G G SCC SCC = (V SCC SCC,, E SCC SCC ). ). V V SCC SCC tem m értice para caa SCC em G. E E SCC SCC tem m arco se eiste m arco entre os corresponentes SCCs em G. G G T é transposto e m grafo irigiro: G T = (V, E T ), ), E T = {(, ) ) ::(, ) ) E}. G T é G com toos os arcos reertios. r s r s G G T w w Algoritmo SCC Eemplo Grafo e SCCs r s t SCC(G) DFS(G) Calcla G T DFS(G T ) Saía: os arcos e árore formam SCCs w Passo : Aplicar DFS Passo : Calclar G T r s t r s t / / /0 8/ / / / / w w

28 Passo : DFS e G T Passo : DFS e G T r s t r s t w w Passo : DFS e G T Passo : DFS e G T r s t r s t w w Passo : DFS e G T Passo : DFS e G T r s t r s t w w 8

29 Passo : DFS e G T Passo : Componentes e G T r s t rs t w w Teoria os Grafos Menor Caminho com Origem Única Menor Caminho e Origem Única Problema: encontrar o caminho, mais crto possíel, entre Campina Grane e Natal. Sponha qe temos m mapa com toas as estraas o Noreste, com a istância entre toos os pares e ciaes ajacentes. Como eterminar a menor istância entre as as ciaes? Uma maneira e resoler este problema é encontrar a menor istância entre Campina Grane e toas as otras ciaes o Noreste. Em grafos: Menor Caminho com Origem Única Menor Caminho com Origem Única Menor Caminho com Origem Única Consieramos m grafo irigio G = (V, E), com ma fnção peso w(, ): ): E R, R, qe mapeia pesos a arestas. O peso o o caminho p = < < 0,,,,, k k > é a soma os pesos as arestas qe o constitem: w(p) = kk i= w( i= i- i-,, i ) i Definimos o menor caminho entre e como: δ(, ) ) = min{w(p): }, }, se se eistir m caminho. δ(, ) ) =,, se se não eistir caminho. O problema e e menor caminho em m grafo consiste em eterminar o menor caminho entre m értice inicial s V e toos os osemais értices e e V. V. Algmas ariações o o problema: Menor caminho com estino único. Menor caminho entre m par e e értices. Menor caminho entre toos os ospares e e értices. Em algmas instância é possíel encontrar pesos negatios.

30 Eemplo e Menor Caminho Eemplo e Menor Caminho s 0 s 0 Eemplo e Menor Caminho Algoritmo e Dijkstra s 0 Assmir qe qalqer ciae é infinitamente istante a a ciae origem: Aboragem otimista: Sempre qe chegar em ma ciae, assmir qe encontro o menor caminho. Se epois encontra algo melhor, atalizar os os aos. A partir a a ciae e e origem, isitar primeiro as as ciaes ajacentes, epois as as ajacentes as ajacentes, e assim por iante. Algoritmo bastante conhecio, tilizao no no OSPF. Algoritmo e Dijkstra Algoritmo e Dijkstra Não consiera pesos negatios. Uso e e as ariáeis ailiares: [] (estimatia e e menor istância) π[] (preecessor) Atalização os aos tiliza a técnica e e relaamento. IniciaMenorCaminho(G, s) for V[G] o [] π[] NIL [s] 0 Relaa(,, w) if [] > [] + w(,) then [] [] + w(,) π[] 0

31 Algoritmo e Dijkstra Eecção o Algoritmo e Dijkstra Dijkstra(G, w, s) IniciaMenorCaminho(G, s) S Ø Q V[G] while Q Ø o EtraiMenor[Q] S S {} for Aj[] o Relaa(,, w) s 0 0 Q: s Eecção o Algoritmo e Dijkstra Eecção o Algoritmo e Dijkstra s 0 s 0 Q: Q: Eecção o Algoritmo e Dijkstra Eecção o Algoritmo e Dijkstra s 0 s 0 Q: Q:

32 Eecção o Algoritmo e Dijkstra Eecção o Algoritmo e Dijkstra s 0 s 0 Q: Q: Eecção o Algoritmo e Dijkstra Eecção o Algoritmo e Dijkstra s 0 s 0 Q: Q: Ø Algoritmo Bellman-For Algoritmo e Bellman-For Resole menor caminho e e forma mais genérica, inclino pesos negatios. Verifica a eistência e e ciclos e e peso negatio: Se eistir, inica qe não é possíel achar menor caminho. Também tiliza a técnica e e relaamento e e arestas. A iéia principal: progressiamente ir ir iminino a estimatia e e istância até encontrar o menor caminho. Bellman-For(G, w, s) IniciaMenorCaminho(G, s) for i to V[G] - o for (, ) E[G] o Relaa(,, w) for (, ) E[G] o if [] > [] + w(, ) then retrn FALSE retrn TRUE

33 Eecção o Algoritmo e Bellman-For Eecção o Algoritmo e Bellman-For z z 0 8 -,,,,,,, z, z, z,,,,,,, z, z, z Eecção o Algoritmo e Bellman-For Eecção o Algoritmo e Bellman-For z z 0 8 -,,,,,,, z, z, z,,,,,,, z, z, z Resltao Após Primeira Passaa Resltao Após Segna Passaa z z 0 8 -,,,,,,, z, z, z,,,,,,, z, z, z

34 Resltao Após Terceira Passaa Resltao Após Qarta Passaa z z ,,,,,,, z, z, z,,,,,,, z, z, z Resltao Final Algoritmo e Flo-Warshall z 0 TRUE: asência e ciclos negatios Calcla a menor istância entre toos os pares e értices. Consiera ma matriz n n e tiliza a técnica e programação inâmica. Seja A[i,j] = c[i,j] i,j i,j & i j. Se (i,j) não é ma aresta, fazer A[i,j]= e A[i,i]=0 A k [i,j] = min (A k- k- [i,j],, A k- k- [i,k]+ A k- k- [k,j]),,,,,,, z, z, z Algoritmo e Flo-Warshall Algoritmo e Flo-Warshall Flo-Warshall(G, w) Iniciar A[i,j] = w[i,j] Iniciar A[i,i] = 0 for k to n o for i to n o for j to n o if A[i,j] > A[i,k] + A[k,j] then A[i,j] = A[j,k] + A[k,j]

35 Teoria os Grafos Árore - Introção Árores Em nosso ia-a-ia nos eparamos com mitos eemplos e árores: Árore genealógica. Organograma e ma empresa. Tabela e m torneio esportio. Na comptação: Organização a estrtra e arqios (iretório). Armazenamento e bsca eficiente e aos. Orenação. Árores e ecisão. Árore Lire Árore Enraizaa Uma árore (lire) é m grafo acíclico, não orientao e conectao. Uma floresta é m grafo acíclico, não orientao mas, possielmente, esconectao. Consierano qe G = (V, E) E) é m grafo não orientao, é eqialente izer:.. G é ma árore... Um par e e értice qalqer (, (, w) w) e e G está conectao por apenas m caminho... G é conectao. A remoção e e ma aresta esconecta G. G... G é conectao e E = V G éacíclicoe E = V G é acíclico. A aição e e ma aresta cria m ciclo em G. G. Tipo especial e e árore qe apresenta m értice (raiz) qe se se istinge os emais. Utilizamos o termo nó nópara fazer referência aos értices. 0 8 Algmas Definições Algmas Definições Seja m nó nóe ma árore enraizaa T com raiz r: r: Ancestral: é qalqer nó nó no no caminho e e r a.. Descenente: é m escenente e e se se é ancestral e e.. Ancestral Próprio: é ancestral próprio e e se se é ancestral e e e.. Descenente Próprio: é escenente próprio e e se se é escenente e e e.. Sb-árore enraizaa em : : árore inzia pelos escenentes e e,, com seno a raiz. Filho: é filho e e se se ele é m escenente ireto. Pai: é o ancestral próprio mais próimo. A raiz é o único nó nósem pai. Folha: m nó nósem filhos. Nó interno: m nó nóqe não é folha. Gra: o gra e e é o número e e filhos e e.. Profniae: o comprimento ese a raiz r até éa profniae e e em T. T. Altra: a altra e e m nó nóem ma árore é o maior comprimento o o nó nóaté ma folha. A altra e e ma árore é a altra e e sa raiz. Altra a aárore é a maior profniae e e qalqer nó nóa aárore.

36 Eemplo 0 8 Profniae 0 Profniae Profniae Profniae Profniae Implementação e Árores Além a informação e caa nó, m link para caa m os filhos. Inconeniente: não sabemos a priori a qantiae e filhos em caa nó. Altra a árore é Implementação e Árores Implementação e Árores Os filhos e m nó são mantios em ma lista encaeaa. A / B / C / D E F G / N / / H / / I / J / K / L / M / / P / Q / / Árore Orenaa Árore Binária Árore enraizaa em qe os osfilhos e e caa nó nóestão orenaos. 0 0 Estrtra e e nós qe é efinia recrsiamente atraés e e m conjnto e e nós: Não contém nenhm nó, o; Formaa por conjntos isjntos: m nó nóraiz, as sbárores binárias (ireita e esqera). 8 8 raiz Árores enraizaas igais. Árores orenaas iferentes. T L T R

37 Árore Binária Conceitos Importantes Árore Binária Cheia Árore azia o nla: não contém nenhm nó. Filho a esqera: raiz a asb-árore a aesqera (qano hoer). Filho a ireita: raiz a asb-árore a aireita (qano hoer). Filho asente: qano a sb-árore é éa árore nla. Caa nó nóo oé ma folha o otem gra eatamente.. 8 O número e nós internos e ma árore binária cheia é f, one f é o número e folhas. Árore Binária Completa Árore k-ária Completa Árore binária em qe toas as as folhas estão em ma mesma profniae e toos os osnós internos têm gra.. 8 Em ma árore posicional, os osfilhos e e m nó nósão rotlaos como inteiros istintos. Árore k-ária é ma árore posicional one os osfilhos com rótlos maiores o o qe k são asentes. Árore k-ária completa é ma árore k-ária one toas as as folhas têm a mesma profniae e toos os osnós internos têm gra k. k. Uma árore binária é ma árore k-ária com k =.. O número e nós internos e ma árore binária completa é h, one h é a altra a árore. O número e nós internos e ma árore k-ária completa é k h / k -, one h é a altra a árore. Aplicação: Árores e Epressões Seja a epressão (a+b*c)+((*e+f)*g): Folhas são operanos. Nós internos são operaores. Árores e Epressões Caminhamento em orem: proz epressão na notação infia. ((a+(b*c))+(((*e)+f)*g))

38 Árores e Epressões Caminhamento em pós-orem: proz epressão na notação pósfia. Árore Binária e Pesqisa - ABP Árore binária em qe caa nó tem ma chae qe não é menor o qe as chaes os nós e sa sbárore esqera e não é maior o qe as chaes os nós a sb-árore ireita. Epressão pósfia: abc*+e*f+g*+ ABP Não é ABP Heap Binário Implementação e Heap Binário Árore binária com as proprieaes: Estrtra: árore binária qase completa. O último níel poe não ser completao. Orem: too filho é maior (o igal) o o qe o pai. Usar m arra: Parent(i) = i/ Left(i) = i i Right(i) = i i Inserção em Heap Binário Inserção em Heap Binário Manter proprieaes e e orem e estrtra. Inserir no no slot lire e epois procrar lgar correto Próimo slot lire Trocar com o pai, se necessário 8

39 Inserção em Heap Binário Inserção em Heap Binário Proprieae e orem OK!! Inserção em Heap Binário Remoção em Heap Binário 0 Manter proprieaes e e orem e estrtra. Sempre remoe o menor elemento Remoção em Heap Binário Remoção em Heap Binário Manter proprieaes e e orem e estrtra. Sempre remoe o menor elemento. Manter proprieaes e e orem e estrtra. Sempre remoe o menor elemento

40 Remoção em Heap Binário Remoção em Heap Binário Manter proprieaes e e orem e estrtra. Sempre remoe o menor elemento. Manter proprieaes e e orem e estrtra. Sempre remoe o menor elemento Remoção em Heap Binário Remoção em Heap Binário Manter proprieaes e e orem e estrtra. Sempre remoe o menor elemento. Manter proprieaes e e orem e estrtra. Sempre remoe o menor elemento Proprieae e orem OK!! Aplicação em Orenação: HeapSort Teoria os Grafos Inserir N itens no no heap. eectar N operações e e remoção. O(N log N). Não é necessário armazenamento etra. Árore e Cobertra Mínima 0

41 Árore e Cobertra - Introção Árore e Cobertra - Introção Problema : : Os pinos e e ma placa e e circito impresso eem ser conectaos com a menor qantiae e e fio. Problema : : Os pinos e e ma placa e e circito impresso eem ser conectaos com a menor qantiae e e fio. Problema : : No sistema e e abastecimento e e ága e e Campina Grane, eistem ários tanqes e e armazenamento e tratamento a aága qe em o o Açe e e Boqeirão. Como interligar os ostanqes (em princípio, qlalqer par e e tanqes poe ser interligao), e e moo a garantir o correto abastecimento e qe o csto seja mínimo? Problema : : No sistema e e abastecimento e e ága e e Campina Grane, eistem ários tanqes e e armazenamento e tratamento a aága qe em o o Açe e e Boqeirão. Como interligar os ostanqes (em princípio, qlalqer par e e tanqes poe ser interligao), e e moo a garantir o correto abastecimento e qe o csto seja mínimo? Os ois problemas acima são conhecios como o problema a coneão mínima. Na Teoria os Grafos é o problema e encontrar a árore e cobertra (geraora) mínima para o grafo. O qe é ma árore e cobertra? Árore e cobertra Uma árore e e cobertra e e m grafo não irigio G=(V,E) é m sbgrafo e e G qe é ma árore e contém toos os os értices e e G. G. Um grafo poe ter mais e e ma árore e e cobertra? Um grafo não conectao poe ter ma árore e e cobertra? Grafo Árore e Cobertra Árore e cobertra Um grafo poe ter mais e e ma árore e e cobertra? Um grafo não conectao poe ter ma árore e e cobertra? Como Encontrar ma Árore e Cobertra? Para encontrar ma árore e cobertra: Se o grafo G não tem ciclos, G é ma árore e cobertra. Se G tem ciclo, é necessário remoer recrsiamente arestas (até achar ma árore), manteno o grafo conectao.

42 Árore e Cobertra Mínima (MST) Árore e Cobertra Mínima (MST) O csto e e m sbgrafo (e m grafo não irigio ponerao) é a soma os pesos e e sas arestas. Uma árore e e cobertra mínima e e m grafo não irigio ponerao é ma árore e e cobertra com menor csto. Um grafo poe ter mais e e ma árore e e cobertra mínima? O csto e e m sbgrafo (e m grafo não irigio ponerao) é a soma os pesos e e sas arestas. Uma árore e e cobertra mínima e e m grafo não irigio ponerao é ma árore e e cobertra com menor csto. Um grafo poe ter mais e e ma árore e e cobertra mínima? b a 8 h 8 i c g f 0 e b a 8 h 8 i c g f 0 e Como Encontrar ma MST? Como Reconhecer ma Aresta Segra? Algoritmo Genérico.. A.. while A não nãoé ma árore e e cobertra.. o oencontre ma aresta (,) qe qeé segra para A.. A A {(,)}.. retrn A Definir m corte no grafo, particionano o conjnto e értices. Uma aresta crza o corte se caa m os értices qe formam a aresta está em partição iferente. O corte ee respeitar A. Isso acontece se nenhma aresta e A crza o corte. A aresta segra é aqela e menor peso qe crza o corte. Aresta Segra Algoritmos para Encontrar MST b a 8 h 8 i c g f 0 e Krskal: Encontra a aresta segra e aiciona a árore e e cobertra qe está seno formaa. A noa aresta não ee necessariamente ter m os értices na naárore qe está seno formaa. O seja, ma floresta poe eistir antes a a MST ter sio encontraa. Prim: Encontra a aresta segra e m os értices necessariamente ee pertencer a árore qe está seno constría. Sempre eiste ma única árore parcial.

43 Algoritmo e Krskal Algoritmo e Prim.. A.. for forcaa értice V[G].. o omake-set().. Orene as as arestas e e E (orem crescente por peso w) w).. ege (,) E, E, (consierano a orem).. if iffin-set() Fin-Set().. then A A {(,)} Union(,).. retrn A.. for caa értice V[G].. o chae[] // chae[] é o csto e e para paraértice a aárore.. π[] NIL.. chae[r] 0 // // r r é a raiz raiza aárore.. Q V[G] // // Q contém toos os osértices qe qeaina não nãoestão na naárore.. while Q.. o Etract-Min[Q] for caa Aj[].. o if if Q w(,) < chae[] 0. then π[]. chae[] w(,) Teoria os Grafos Planariae em Grafos Planariae e Grafos Estos e aspectos a topologia e grafos: Grafos planares Coloração e grafos Problema as casas/ seriços Problema e coloração e mapas Utiliae prática Conceitos Básicos Conceitos Básicos Grafo planar Grafo plano K é planar? Um grafo plano iie o plano em árias regiões. Uma elas é chamaa região eterna. Caa aresta ee fazer parte a bora e algma região.

44 Conceitos Básicos c b a regiões: R: ac,cb,ba R: ab, b,a R: bc, c, b R: ac, c,a (eterna) Uma árore etermina ma única região. Toa aresta a árore é parte a bora esta região. c b a c b a a b c e Fórmla e Eler Para o grafo plano abaio iniqe: Qantiae e regiões. Conjnto e arestas e caa bora. A região eterna. Grafos planares Polieros. a c f TEOREMA: Seja G m grafo plano com V értices, E arestas e R regiões. Então V E + R =. b e g Grafos Não-Planares K, é não-planar. Proa por constrção. Proa por inção. K é não-planar. Proa por constrção. TEOREMA: Seja G m grafo planar com V e E arestas. Então E V -. értices

45 Teorema e Kratowski Importância o K, e K para escobrir se m grafo é o não planar. Nenhm grafo qe contém m estes grafos como sbgrafo não poe ser planar. Nenhm grafo obtio atraés o K, e K pela simples aição e értices às arestas não poe ser planar. DEFINIÇÃO: Dois grafos são homeomórficos se e somente se se eles poem ser obtios a partir o mesmo grafo pela aição e értices (necessariamente e gra ) às arestas. Teoria os Grafos TEOREMA (Kratowski): Um grafo é planar se e somente se ele não tem sbgrafo homeomórfico a K e K,. Coloração em Grafos Coloração em Grafos Qal o número mínimo e cores qe eemos sar para colorir os estaos o mapa o Brasil, com a restrição e qe estaos izinhos não poem ter a mesma cor? Relação com o problema e colorir értices e m grafo. O Teorema as Cores, proao em, se constiti em m os resltaos mais importantes a matemática no Séclo XX. (permanece sem solção ese 8) Aplicação em mitos problemas práticos. Coloração em Grafos Uma coloração e m grafo é ma atribição e cores aos értices, e moo qe értices ajacentes tenham cores istintas. Um grafo G tem k-coloração se ele poe ser colorio com k cores. Se G tem k-coloração mas não poe ter (k-)- coloração: O número cromático e G é k. k. G é k-cromático. χ(g) = k..

46 Coloração em Grafos Coloração em Grafos Algns Cenários Interessantes χ(g) =.. O qe isso significa? χ(k n ) =? χ(g) =.. Qano isso ocorre? Algns Cenários Interessantes χ(g) =.. Poemos afirmar qe o grafo G não tem arestas. χ(k n ) = n. n. Isso implica izer qe poemos ter números cromáticos granes. χ(g) =.. Se e somente se é bipartio. E no caso e ma árore? Mais consierações Não é possíel garantir qe tipos e grafos são - - cromáticos. Se m grafo tem n értices, se número cromático não poe ser maior o qe n. n. Se K rr é sbgrafo e m grafo G, o número cromático não poe ser menor o qe r. r.

47 Algns Teoremas Úteis Se G é m grafo e é o maior gra e ses értices, então G tem ( ( + )-coloração. Se G é m grafo conectao qe não é completo, e se o maior gra e ses értices é ( ( ), então G tem ( )-coloração. Too grafo planar poe ter -coloração. Appel e Hasken proaram em qe too grafo planar amite -coloração. Como eterminar o número cromático e m grafo? Eercício Eercício.. Uma companhia manfatra os os protos qímicos C, C, Cn. Algns estes protos poem eploir se se colocaos em contato com otros. Como precação contra acientes, a companhia qer constrir k armazéns para armazenar os os protos qímicos e e tal tal forma qe protos incompatíeis fiqem em armazéns iferentes. Qal é o menor número k e e armazéns qe eem ser constríos? Como resoler este problema com a aja a a teoria os Grafos?.. Emissoras e e teleisão ão ão ser ser instalaas em em estações baseaas em em noe ciaes e e nosso estao (ciaes A, A, B, B,...,..., I). I). As As reglamentações o o setor e e telecomnicações inicam qe qe ma mesma emissora não não poe ser ser instalaa em em as ciaes com istância inferior a 0Km. Consiere a tabela abaio qe qe inica as as istâncias entre as as ciaes. Qal o menor número e e emissoras para contemplar as as noe ciaes? Utilize a teoria os os grafos para resoler este problema e jstificar a sa saresposta.

48 Teoria os Grafos Introção Flo em Rees Consiere a seginte sitação moelaa por m grafo: Caa arco representa ma ra e e mão única. O peso e e caa arco inica o maior flo possíel ao ao longo a a ra (eíclos/hora). Qal o maior número possíel e e eíclos qe poe iajar e e a w em ma hora? w z Ree (e flo) Uma ree (e flo) G = (V, E) E) é m grafo irigio em qe caa aresta (, ) ) E tem m alor (não-negatio) capaciae c(,). Se (, ) ) E, E, assme-se qe c(,) = Uma ree possi ois értices especiais: fonte e soreoro. V, V, assme-se qe eiste m caminho entre a fonte e soreoro qe passa por.. O grafo é, é, portanto, conectao e E V -.. s 0 0 t z Flo em Ree Sejam m grafo G = (V, E), a fnção capaciae c, c, ma fonte s e m soreoro t. t. O flo em G é ma fnção f: f: V V REAIS qe satisfaz às às segintes proprieaes:.. Restrição e e capaciae:, V, V, f(,) c(,)... Simetria:, V, V, f(,) = -f(,)... Conseração o o flo: V {s, t}, t}, V V f(, ) ) = A qantiae f(,) (positia o o negatia) inica o flo a a ree a partir o o értice até o értice.. O flo total a a ree é f f = V V f(s,). s / 8/ 0 / / / / /0 / t / z 8

49 Rees Resiais f f =. Apenas os os flos positios são mostraos. Se f(,) > 0, 0, mostramos f(,)/c(,). Caso contrário mostramos apenas a capaciae. Poe ser generalizao para rees com múltiplas fontes e soreoros. Um os problemas é encontrar o flo máimo. Sejam ma ree e m flo. Uma ree resial é ma ree com os os arcos a a ree original qe comportam mais flo. Sejam m grafo G = (V, E), a fnção capaciae c, c, m flo f, f, ma fonte s e m soreoro t: t: Capaciae resial e e (,): c f (,) f = c(,) f(,). A ree resial inzia por f é G f f = (V, E f ), f ), em qe E f f = {(,) V V : c f (,) f >0}. Ree Resial (eemplo) Caminho Epaníel s t Seja ma ree G = (V, E) E) e m flo f,, m caminho epaníel p é m caminho e e s para t na na ree resial G f. f. A capaciae resial e e m caminho epaníel é efinia como: c f (p) f = min{c f (,) f : (,) p}. 8 z Caminho Epaníel (eemplo) O Métoo e For-Flkerson Como eterminar o flo máimo? Utilizar os os conceitos e e grafo resial e caminho epaníel. s 8 t BFS(G, s, t) for e E[G] o flo[e] 0 z while eisitr m caminho epaníel p o amentar f ao longo e p retrn f

50 Cortes Um corte é ma partição e V em S e T = V S, em qe s S e t t T O flo a ree (f(s,t)) atraés o corte é a soma os flos f(,), em qe S e T A capaciae (c(s,t)) o corte é a soma as capaciaes c(,), em qe S e T Corte mínimo m corte com a menor capaciae f = f(s,t) s / 8/ 0 / / / / / z /0 / t S T Teorema o Flo Máimo-Corte Mínimo Se f f é o flo e G, as segintes conições são eqialentes:.. f f é m flo máimo e G.. A ree resial G ff não contém caminhos epaníeis.. f f = c(s,t) para algm corte (S,T) e G Teoria os Grafos Emparelhamento Introção Introção Conjnto e arestas M E, em qe nenhm értice é inciente a mais e ma aresta. Emparelhamento Maimal Nenhma aresta e, e, com M {e} também formano m emparelhamento. Emparelhamento Máimo Emparelhamento com o maior M possíel. Emparelhamento Perfeito M = n/: caa értice é inciente a algma aresta e M. Emparelhamento com csto mínimo: caa aresta tem m csto associao. Principais problemas: Seja m grafo G, G, encontrar: Emparelhamento Maimal: fácil (algoritmo gloso) Emparelhamento Máimo: Não é fácil encontrar em tempo polinomial. Caso mais simples é no no caso e e grafos bipartios. Emparelhamento perfeito: Caso especial e e emparelhamento máimo Aplicações: Atribições pessoais: tarefas e competências. Escalonamento. Seleção e e aersários em competições esportias. 0

51 Emparelhamento em Grafos Bipartios Emparelhamento em Grafos Bipartios X X Y a b c Y a b c Vértices emparelhaos:,, a, b. Vértices não-emparelhaos:, c. É m emparelhamento maimal? Emparelhamento máimo. Emparelhamento perfeito. Como encontrar m emparelhamento máimo? Eemplo Utilizar o métoo e e For-Flkerson para flo em ree. A iéia é eterminar m flo em ree, em qe os os flos corresponem aos emparelhamentos. Definir a ree corresponente G = (V, E ), a partir o o grafo bipartio G= (L (L R, R, E): V = V {s, {s, t}. t}. E = {(s,): L} L} {(,): L, L, R, R, (,) E} E} {(,t): R} R} Assinalar peso para caa aresta em E. soreoro a b c e f fonte Eemplo Eemplo soreoro soreoro a b c e f a b c e f fonte fonte

52 Eemplo Eemplo soreoro soreoro a b c e f a b c e f fonte fonte Eemplo Eemplo soreoro soreoro a b c e f a b c e f fonte fonte Eemplo Ecercício soreoro a b c e f fonte a b c e