Observe as retas a, b, c e d. Elas formam um feixe de retas paralelas.

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1 TEOREMA DE TALES CONTEÚDO Teorema de Tales AMPLIANDO SEUS CONHECIMENTOS Observe as retas a, b, c e d. Elas formam m feixe de retas paralelas. A retas f e g são retas transversais a esse feixe. Saiba mais Define-se como feixe de retas paralelas o conjnto de retas qe estão em m mesmo plano e são paralelas entre si. Veja qe a intersecção da transversal f com as retas a, b, c e d, determina nessa transversal algns segmentos. Se esses segmentos forem divididos em n partes congrentes entre si, os segmentos da transversal g também serão divididos em n partes congrentes entre si. Acompanhe:

2 Ao dividir o segmento GH em n partes congrentes, representadas cada ma delas por ma nidade, vemos qe nesse segmento, cabe 4 vezes. Já no segmento JI, o qal também foi dividido em n partes congrentes, cabe 2 vezes. Relacionando a medida desses dois segmentos temos: GH 4 2 JI 2 Portanto, a razão entre GH e JI é igal a 2. Vejamos agora essa mesma divisão para os segmentos KL e MN. Ao dividir o segmento KL em n partes congrentes, representadas cada ma delas por ma nidade, vemos qe nesse segmento, cabe 4 vezes. Já no segmento MN, o qal também foi dividido em n partes congrentes, cabe 2 vezes. Identificando como a nidade de medida de cada segmento. Relacionando a medida desses dois segmentos temos: KL MN Portanto, pode-se dizer qe : GH JI KL MN Concli-se qe m feixe de retas paralelas determina sobre das transversais segmentos proporcionais. Essa relação entre o feixe de paralelas e as retas transversais é conhecida como teorema de Tales.

3 Os triânglos e o teorema de Tales Dado o triânglo ABC, traçando ma paralela ao lado AC, essa terá dois pontos de encontro, m deles com o lado AB (ponto E) e o otro com o lado BC (ponto F). Traçando pelo vértice B ma reta paralela à reta qe passa pelos pontos E e F e sendo paralela ao lado AC, podemos considerar três retas paralelas e das transversais. Essas retas determinam, nos lados do triânglo ABC, 4 segmentos. Os qais, pelo teorema de Tales, apresentam a seginte relação: EB EA BF FC Assim, temos: Toda reta paralela a m lado do triânglo qe encontra os otros dois lados em pontos distintos, determina sobre esses dois lados, segmentos proporcionais.

4 ATIVIDADES 1. Sabendo qe as retas a, b e c são paralelas, tilizando o teorema de Tales, determine as medidas desconhecidas de cada m dos segmentos a) b) c)

5 2. Dadas as retas r// s // t, determine a medida dos segmentos w e z. 3. Aplicando o teorema de Tales, o valor de x na figra abaixo é igal a 3x + 5 2x a) 10 b) 20 c) 5 d) 60 e) 6 4. Sabendo qe g // f // h, determine a medida dos segmentos AJ e LK. f 3x 4 g 9 6x 6 h

6 5. (Saresp 2007) Valdemar tem m terreno na forma de m trapézio. Um riacho paralelo à estrada em qe se sita divide o terreno em das partes, como mostra a figra abaixo. Ele já cerco qase todo o limite externo do terreno e só falta o trecho x, cja medida em metros é a) 15 b) 20 c) 36 d) Sendo a // b // c e OK = 14, determine a hipotensa do triânglo AMJ. 5 12,6

7 7. As cidades Santa Fé, Inaia e Rio José, são interligadas por rodovias, conforme ilstrase na imagem a segir. Se de Santa Fé até Inaia há ma distância de 180 km, qantos qilômetros a mais, m viajante percorre ao decidir ir para Inaia passando pelas cidades de Rio José e São Batista? a) 216 km. b) 96 km. c) 256 km. d) 220 km

8 LEITURA COMPLEMENTAR Tales de Mileto Tales de Mileto foi m filósofo, matemático, engenheiro, comerciante e astrônomo da Grécia Antiga. Nasce por volta de 623 a.c o 624 a.c na cidade de Mileto ma colônia grega na região da Jônia e qe hoje faz parte da Trqia e falece por volta de 546 a.c. o 548 a.c. Tales prodzi mitos trabalhos no decorrer de sa vida; sendo inclsive, considerado por mitos como o pai da ciência e da filosofia ocidental e apontado como m dos sete sábios da Grécia Antiga. Foi m dos fndadores da Escola Jônica de Filosofia e também troxe mitas contribições para a matemática (...) (...) Umas das demonstrações de Tales mais conhecida e apresentada nos livros didáticos é a qe se refere a razão entre a altra de m objeto e o comprimento de sa sombra. Existem registros qe relatam qe ao voltar de ma de sas viagens ao Egito, foi lançado m desafio a Tales: Você consegiria mediar a altra de ma das pirâmides de Qéops (constrída por volta de 2500 a.c.)? Usando m bastão, Tales aplico ses conhecimentos sobre segmentos proporcionais, sabendo qe a razão entre a altra de m objeto e o comprimento da sombra qe esse objeto projeta no chão é sempre a mesma para qaisqer objetos, logo a medida da altra da pirâmide poderia ser calclada da mesma forma.

9 A razão entre a altra da pirâmide e o comprimento da sombra projetada pelo bastão poderiam axiliá-lo na resolção de tal qestão. Uso apenas m bastão e as medidas das sombras da pirâmide e do bastão, nm mesmo instante. Tales imagino os triânglos VHB e ABC, qe são semelhantes, por terem dois ânglos respectivamente congrentes. Como Tales sabia qe os lados desses triânglos eram proporcionais, pode determinar a altra VH da pirâmide através da proporção VH está para AB, assim como HB está para BC. VH = HB AB = BC Por este feito e por otros tantos, Tales foi considerado m dos sábios da Grécia. Disponível em:< Acesso em: 09 jn h. INDICAÇÕES Assista os vídeos indicados nos links a segir e estde m poco mais sobre o teorema de Tales. Teorema de Tales Disponível em: Matemática em toda parte - Tales e a altra das Pirâmides Disponível em: Teorema de Tales Extensivo Matemática Disponível em:

10 REFERÊNCIAS GIOVANNI, José Ry. GIOVANNI, José Ry Júnior. BENEDICTO, Castrcci. A conqista da Matemática. São Palo: FTD, p IEZZI, Gelson. MACHADO, Antonio. básicos. 1ª ed. São Palo: Atal, DOCE, Osvaldo. Geometria Plana. Conceitos SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Edcação (SEE). Edcação de Jovens e Adltos: Mndo do Trabalho modalidade semipresencial, v 1. Matemática: caderno do estdante. Disponível em: < no>. Acesso em: 18 jan h. SARESP. Prova Manhã- 8ª série 2007.Disponível em:< A%20s%C3%A9rie%20EF/1_Manh%C3%A3/Prova-MAT-8EF-Manha.pdf>. Acesso em: 09 jn h45min. GABARITO 1. a. Sendo esses segmentos proporcionais, temos: 1,5 2,25 2,25 1,5.x = 1,0.2,25 1,5.x = 2,25 x = 1, 5 1,0 x 1,5 b. Sendo os segmentos proporcionais, temos: y = y = 12 y = 2, 4 2 y 5 c. Sendo os segmentos proporcionais, temos: x = 6.1,5 5.x = 9 x = 1, 8 x 1, Sendo os segmentos proporcionais, temos: 2 w 28 7.w = w = 28 w = Se w + z = 14 e w = 4, concli-se qe z = 10

11 3. A alternativa correta é a letra C. Sendo os segmentos proporcionais, temos: x 2x.24 = 12. (3x + 5) 48x = 36.x x x 36.x = x = 60 x = Sendo as retas g // f // h, aplicando o teorema de Tales, temos: 3x 9 4 3x.(6x 6) = x² - 18x = 36 18x² - 18x 36 = 0 6x 6 Neste caso, para determinar as medidas dos segmentos AJ e LK, é preciso resolver a eqação do 2º gra. Resolvendo a eqação: x = b 2.a Δ x = (-18) (-18)² (-36) 2.18 x = 18 ( x = x = x 1 = x 2 = Como x determina a medida de m segmento, tilizaremos apenas o valor positivo. Logo, AJ = 3.x AJ = 3.2 AJ = 6 LK = 6.x 6 LK = LK = 12 6 LK = 6 5. A alternativa correta é a letra D. Sendo a estrada e o riacho paralelos, o terreno fica dividido em partes proporcionais, assim pode-se aplicar o teorema de Tales.

12 60 x x = x = 900 x = Então o trecho qe falta para cercar mede 45 m. 6. Para determinar a medida da hipotensa do triânglo AMJ, pode-se aplicar o teorema de Tales. Identificando a hipotensa como x, temos: x x = 5.12,6 9.x = 63 x = 7 12,6 9 9 Portanto, a hipotensa do triânglo AMJ mede 7 nidades de medida. 7.Ao analisar o triânglo, vemos qe neste caso, podemos aplicar o teorema de Tales. Para tanto, primeiramente, precisamos observar qe: se de Santa Fé até Inaia há ma distância de 180 km e de Rio Peqeno até Inaia a distância é de 100 km, concli-se qe de Santa Fé até Rio Peqeno a distância é de 80 km, com essas informações podemos, por meio da proporcionalidade entre os segmentos, encontrar a medida da distância entre as cidades de Rio José e João Batista. Assim, temos: x = x = x = 80 x 100 x = 96 Portanto, de Rio José até João Batista há ma distância de 96 km. E, ao decidir ir para Inaia passando pelas cidades de Rio José e São Batista, o viajante percorrerá 256 Km a mais em relação à opção de ir de Santa Fé para Inaia, passando por Rio Peqeno. Acompanhe esse cálclo: 220 km + 96 km km = 436 Km 436 Km 180 km = 256 km