Para discutir a lei dos cossenos, vamos pensar sobre a seguinte situação: Dado o triângulo ABC, determine a medida do lado a desse triângulo.

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1 LEI DOS COSSENOS CONTEÚDO Lei dos cossenos AMPLIANDO SEUS CONHECIMENTOS Para discutir a lei dos cossenos, vamos pensar sobre a seguinte situação: Dado o triângulo ABC, determine a medida do lado a desse triângulo. Observando esse triângulo, talvez você tenha pensado que caso conheça as medidas dos lados b e c, talvez seja possível aplicar o teorema de Pitágoras e determinar a medida do lado a. Mas antes que você tente levantar informações para aplicar o teorema de Pitágoras, pense na seguinte questão: O teorema de Pitágoras estabelece uma relação entre os catetos e a hipotenusa de um triângulo retângulo. Desta forma, será que nesse triângulo é possível aplicar o teorema? A resposta é não, isso porque não temos um triângulo retângulo, e neste caso o teorema de Pitágoras não se aplica. Porém, como nosso objetivo é conhecer a medida do lado a, o teorema de Pitágoras será de grande utilidade. Acompanhe: No triângulo ABC, vamos traçar a altura relativa ao lado AB, essa altura será identificada como h.

2 c -m Agora, considerando o triângulo retângulo BCD, sendo Dˆ o ângulo reto, pode-se aplicar o teorema de Pitágoras estabelecendo a seguinte relação: a² = h² + (c m)² Já, para o triângulo retângulo ACD, que apresenta reto o ângulo Dˆ, é válida a seguinte relação: b² = m² + h² Observe que nesta relação, podemos dizer que h² = b² - m². Iremos identificar essas relações como I e II. I - a² = h² + (c m)² II - b² = m² + h² Ainda em relação ao triângulo retângulo ACD, aplicando a razão trigonométrica relacionada ao cosseno, temos: cos m b Dada essa razão, podemos dizer que m = cos.b Observe o triângulo que apresenta essa razão.

3 Hipotenusa triângulo ACD do c -m Cateto adjacente ao ângulo β Voltando as relações I e II, tem-se: I - a² = h² + (c m)² II - b² = m² + h² Considerando que na relação II temos h² = b² - m² Pode-se dize que a² = (b² - m²) + ( c m)² Logo, Lembre-se! Aplicando a distributiva, temos: (c m)² = c² - 2.c.m + m² a² = b² - m² + c² - 2.c.m + m² a² = b² + c² - 2.c.m De acordo com a razão trigonométrica observada anteriormente, em relação ao ângulo β, temos: m = cos.b. E substituindo m nessa última relação observada, temos: a² = b² + c² - 2.c.m a² = b² + c² - 2.c. cos.b Portanto: a² = b² + c² - 2.c.b. cos Assim, dado o triângulo ABC, que deu início a toda essa discussão, temos a seguinte relação:

4 a² = b² + c² - 2.c.b. cos β Vejamos um exemplo de como aplicar essa relação. Para tanto, utilizaremos o triângulo ABC, agora com algumas de suas medidas identificadas. a² = b² + c² - 2.c.b. cos a² = 5² + 7² cos60 Para o cos 60 vamos considerar 0,5. a² = ,5 a² = ,5 a² = a² = 39 a = 39 a= 6,25 ( aproximadamente) Essa mesma relação pode ser aplicada aos demais lados do triângulo ABC.

5 α a² = b² + c² - 2.c.b. cos b² = a² + c² - 2.a.c.cosθ c² = a² + b² - 2.a.b.cosα β θ ATIVIDADES 1. Dados os triângulos ABC, DEF e HIJ, aplicando a lei dos cossenos, determine o valor do lado desconhecido em cada um deles. a) Determine a medida aproximada do lado c do triângulo ABC. Para tanto, considere cos 135 = - 0,71 b) Determine a medida aproximada do lado d do triângulo ABC. Para tanto, considere cos 37 = 0,8

6 c) Determine a medida aproximada do lado i do triângulo HIJ. Para tanto, considere cos 74 = 0,28 2. Dado o paralelogramo DEFG, sabendo que a diagonal DE mede 3,5 cm, que o lado DG mede 2,25 cm e que o ângulo α mede 80º, determine a medida aproximada do maior lado desse paralelogramo. α Considere cos 80º = 0,17

7 3. A seguir, apresenta-se um esboço do projeto de uma luminária que terá suas hastes de sustentação (triângulo ABC) feitas por um cano de alumínio e revestida com um tipo especial de tecido. Se os lados AC e BC são congruentes e medem cada um 50 cm, sendo o ângulo Ĉ igual a 73,7º, qual será o comprimento total de alumínio que será utilizado para as hastes dessa luminária? Considere cos 73,7º = 0,28 4. (UNESP 2009) Paulo e Marta estão brincando de jogar dardos. O alvo é um disco circular de centro P. Paulo joga um dardo, que atinge o alvo num ponto, que vamos denotar por P; em seguida, Marta joga outro dardo, que atinge um ponto denotado por M, conforme figura. Sabendo-se que a distância do Ponto P ao centro do alvo é PO= 10 cm, que a distância de P a M é PM = 14 cm e que o ângulo PÔM mede 120º, a distância, em centímetros, do ponto M ao centro O é a) 12. b) 9. c) 8. d) 6. e) 5.

8 5. Três ilhas aparecem em um mapa construído na escala 1: , conforme visualiza-se no desenho a seguir. Em uma grande aventura, um mergulhador resolve que em 1 dia de passeio ele irá visitar as três ilhas. Se ele iniciar o passeio pela ilha 1, em seguida deslocar-se para as ilhas 2 e 3, respectivamente, e depois retornar para ilha 1, pois lá estará o barco que o conduzirá de volta até a praia, quantos quilômetros ele percorrerá nessa visita nas ilhas? Considere cos 130 = - 0,64 INDICAÇÕES Consulte os links indicados a seguir e estude um pouco mais a Lei dos cossenos. Acesse o link e acompanhe a resolução de exercícios envolvendo a lei dos cossenos. Lei dos cossenos - Disponível em: Acesse o link e acompanhe uma vídeo aula que traz a resolução de um exercício explorando a lei dos cossenos. Lei dos cossenos - Disponível em: /video/tvweb/objetivo/colegio/ead/auladigital/bandalarga/140711_antoniogonca lves_matematica_ii_1serie_ad.ism/manifest

9 Acesse o link e acompanhe alguns vídeos que demonstram a lei dos cossenos e trazem a resolução de exercícios que exploram o conteúdo. OBMEP Lei dos cossenos - Disponível em: Acesse o link e acompanhe um vídeo que traz a resolução de um exercício e demonstra a lei dos cossenos. Geekie Games Lei dos cossenos - Disponível em: REFERÊNCIAS SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação (SEE). Educação de Jovens e Adultos: Mundo do Trabalho modalidade semipresencial, v 3. Matemática: caderno do estudante. p Disponível em: < =Aluno>. Acesso em: 18 set h. SMOLE, Kátia Stocco. DINIZ, Maria Ignez. Matemática Ensino Médio. v.1. 6ª ed. São Paulo: Saraiva, p UNESP. Vestibular Disponível em: < df>. Acesso em: 26 set h50min. GABARITO 1.a) c² = (2,83)² + 5² - 2.2,83.5.cos 135 c² = ,3.(-0,71) c² = ,09 c² = 53,09 c = 53, 09 c 7,29

10 obs.: todos os cálculos foram realizados considerando apenas 2 casas decimais. b) d² = 5² + 4² cos 37 d² = cos 37 d² = (0,80) d² = d² = d² = 9 d = 9 d = 3 c) i² = 5² + 5² cos 74 i² = cos 74 i 2 = ,28 i² = i² = 36 i = 36 i = 6 2. Observando a imagem, visualiza-se que os pontos DEG formam um triângulo em que são conhecidos dois de seus lados e um ângulo correspondente ao lado de medida desconhecida, com essas informações, podemos aplicar a lei dos cossenos. Para tanto, o lado desconhecido ( GE ) será identificado como x. x² = (2,25)² + ( 3,5)² - 2.(2,25).(3,5). cos 80º x² = 5, ,25 15,75. 0,17 x² = 5, ,25 2,68 x² = 17,31 2,68 x² = 14,63 x = 14,63 x 3,82

11 Portanto, o lado de maior medida tem aproximadamente 3,82 cm. 3. Observando o esboço, percebe-se que as hastes formam um triângulo, e sendo conhecidos dois lados e um ângulo, o qual é o correspondente ao lado desconhecido, pode-se aplicar a lei dos cossenos. Identificando o lado ABcomo x, temos: x² = 50² + 50² cos 73,7 x² = ,28 x² = x² = x = x = 60 Se o lado AC mede 50 cm, o lado BC mede 50 cm e o lado AB mede 60 cm, para as hastes serão utilizados 160 cm de alumínio. 4. A alternativa correta é a letra D. São conhecidos dois lados e um ângulo correspondente a um desses lados, com essas informações, podemos aplicar a Lei dos cossenos. Assim, temos: 14² = 10² + x² x.cos120º Observe que o lado desconhecido MO será identificado como x. Para solucionar a situação-problema colocada, você deve lembrar que cos 120º = - 0,5. Assim temos: 14² = 10² + x² x.(-0,5) 196 = x² 20.x.(-0,5) 196 = x² + 10x = x² + 10.x 96 = x² + 10x x² + 10x 96 = 0 Temos agora uma equação do 2º grau e para determinar o valor de x é necessário resolver a equação. Para tanto, vamos recordar a fórmula de Bhaskara. x = b b² 4. a. c 2. a Sabemos que: a = 1; b = 10; c = - 96

12 10 10² 4.1.( 96) x = 2.1 x = x = x = x = x 1 = x 2 = Como x trata-se de uma medida, neste caso, podemos apenas considerar o valor 6. Portanto a distância de M ao centro O é igual a 6 cm. 5. Para saber quantos quilômetros o mergulhador irá percorrer, é necessário conhecer a distância entre as ilhas 1 e 3. Para tanto, podemos fazer uso da lei dos cossenos. Para calcular a distância entre as ilhas 1 e 3, vamos identificá-la como x. Assim, temos: x² = 5² + 5² cos130 x²= (-0,64) x² = x² = 82 x = 82 x 9 Portanto, no mapa, a distância entre as ilhas 1 e 3 é de 9 cm. Se o mapa está construído na escala 1: , entre essas ilhas, temos as seguintes distâncias reais: Distância entre as ilhas 1 e 2: = cm ou 5 km Distância entre as ilhas 2 e = cm ou 5 km

13 Distância entre as ilhas 1 e = cm ou 9 km Se o mergulhador fez o passeio pelas três ilhas, partindo da ilha 1, passando pelas ilhas 2 e 3 e retornando para primeira ilha, ele percorreu nesse passeio 19 km. 5 km + 5 km + 9 km = 19 km.